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Xtor Compute Geometry Algorithm Libary 计算几何算法库
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第一章 点与线性元素的距离
基于 js 开源项目：计算机几何算法库 Compute Geometry Algorithm（CGA），开源地址：即将到来
# 点与线
点由z,y,z三个坐标组成，可以表示为$Point(x,y,z)$
直线可以表示为$L(t)=P+t\vec{d}$, $P$是直线上的一点，$\vec{d}$是直线的方向。
$B$是直线上任意的一点
# 点到直线
假设我们有点$Q$和直线$L(t)=P+t\vec{d}$,我们要找出点$Q$与$L$的最短距离，如果$L$上离$P$最近的点$Q^\prime$ ，$Q^\prime$ 在直线上，此时$t=t_0$
$t_0$满足：
$$
t_0 = \frac{\vec{d}\cdot(Q-P)}{\vec{d}\cdot\vec{d}}
$$
并且可以确定
$$
Q^\prime = P+t_0\vec{d}
$$
那么点 Q 到直线 L 的距离为 d，说明:$\|x\|$符号表示$x$向量的长度(范数)
$$
\begin{aligned}
d &= \|Q-Q^\prime\|\\
&=\|Q-(P+t_0\vec{d})\|
\end{aligned}
$$
当$\vec{d}$为单位矩阵$||\vec{d}\|=\vec{d}\cdot\vec{d}=1$,那么
$$
t_0 =\vec{d}\cdot(Q-P)
$$
伪代码如下，JavaScript：
```javascript
/**
* 点到直线的距离
* @param {Point} point
* @param {Line} line
* @returns
* {
* lineParameter 最近点的参数
* lineCloset 最近点
* distanceSqr //到最近点距离的平方
* distance//到最近点距离
* }
*/
function distancePointLine(point，line) {
var result = {};
var diff = point.clone().sub(line.origin);
result.lineParameter = line.direction.dot(diff);
result.lineCloset = line.direction
.clone()
.multiplyScalar(result.lineParameter)
.add(line.origin);
diff = point.clone().sub(result.lineCloset);
result.distanceSqr = diff.dot(diff);
result.distance = Math.sqrt(result.distanceSqr);
return result;
}
```
# 点到射线和线段
1. 点到射线
如果$L$是直线，上文已经详细说过. 如果$L$是射线，那么我们限制$t$为非负数$t>=0$, $t_0$ 是点$Q$到射线的最近点的系数，如果$t_0>0$,那么点$Q$到最近点的的线是与$L$垂直的，但是如果 $t_0<0$是，$Q$到射线所在的直线上的最近点是在射线之外，那么最近点，就是到$L$的原点
$$
d=\left\{
\begin{aligned}
&\|Q-P\| & t_0\leq0 \\
&\|Q-(P+t_0\vec{d})\| &t_0>0
\end{aligned}
\right .
$$
图示如下：
2. 点到射线
线段可以定义成两个端点$P_0,P_1$,方向可以定义为
$$\vec{d}=P_1-P_0$$
根据$L(t)$的定义，两个端点可以表示为 $P_0=L(0),P_1 = L(1)$,我们就可以得到点到线段的最短距离$d$的方程:
$$
d=\left\{
\begin{aligned}
&\|Q-P\| &t_0\leq0 \\
&\|Q-(P+t_0\vec{d})\| & 0 <t_0<1\\
&\|Q-(P+\vec{d})\| & t_0\geq 1
\end{aligned}
\right .
$$
图是如下:
