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%course Mathematik 2 - Knospe, Randerath
%quiz 4: Funktionen von mehreren Variablen


Komponentenfunktionen

	a, b, c, d, e, fx, g, h, ix in { 0, 1 }

	f_1(x,y,z) := a*x + b*y + c*z
	f_2(x,y,z) := d*x + e*y + fx*z
	f_3(x,y,z) := g*x + h*y + ix*z

Sei $ f : RR^3 -> RR^3 $; $ f(x,y,z) = (f_1,f_2,f_3) $ ein Vektorfeld.

Bestimmen Sie die __Komponentenfunktionen__ von $f$:

* $ "f_1"(x,y,z) = #f_1 $
* $ "f_2"(x,y,z) = #f_2 $
* $ "f_3"(x,y,z) = #f_3 $


%%%


Partielle Ableitungen

	a, b, c, d, e in { 2, 3, ..., 5}

	f(x,y) := a*x^b + c*x^d*y^e
	fx(x,y) := diff(f, x)
	fy(x,y) := diff(f, y)

Sei $ "f"(x,y) = f $. Bestimmen Sie die __partiellen Ableitungen__:
* $ (del "f") / (del x) = #fx $
* $ (del "f") / (del y) = #fy $


%%%


Partielle Ableitungen

	a in { 0, 1 }
	b := 1 - a
	c in { 4, 5, ..., 8}

	f(x,y) := c / (a*x^2 + b*y^2)
	fx(x,y) := diff(f, x)
	fy(x,y) := diff(f, y)

Sei $ "f"(x,y) = f $. Bestimmen Sie die __partiellen Ableitungen__:
* $ (del "f") / (del x) = #fx $
* $ (del "f") / (del y) = #fy $

% TODO:
%	fx00 := fx(0,0)
%
%Gegeben Sie $"f"(0,0)$ an:
%* $ "f"(0,0) = #fx00 $


%%%


Gradient

	a, b in { 0, 1 }
	c in { 2, 3, ..., 5}

	f(x,y) := - x^3 - a*y^3 + b*c*x*y
	fx(x,y) := diff(f, x)
	fy(x,y) := diff(f, y)

Gegeben sei eine Funktion $ "f"(x,y) = f $.
Bestimmen Sie den __Gradienten__:
* $ grad "f" = ( #fx, #fy ) $


%%%


Gradient

	c in { 2, 3, ..., 5}

	f(u,v) := u^2 / v^2 + c
	fu(u,v) := diff(f, u)
	fv(u,v) := diff(f, v)

Gegeben sei eine Funktion $ "f"(u,v) = f $.
Bestimmen Sie den __Gradienten__:
* $ grad "f" = ( #fu, #fv ) $


%%%


Gradient

	a in { 0, 1 }
	b := 1 - a
	c, d in { 2, 3, ..., 5}

	f(x,y) := exp(c*x) * (a*sin(d*y) + b*cos(d*y))
	fx(x,y) := diff(f, x)
	fy(x,y) := diff(f, y)

Gegeben sei eine Funktion $ "f"(x,y) = f $.
Bestimmen Sie den __Gradienten__:
* $ grad "f" = ( #fx, #fy ) $

_Hinweis: geben Sie die Exponentialfunktion in der Form `exp(x)` an._



% %%%    TODO
%
%
%Jacobi-Matrix
%
%	a in { 0, 1 }
%	b := 1 - a
%	c in { -1, 1 }
%	d in { 1, 2, ..., 5}
%	f1(x,y) := a * x * y * sin(x) + b * x * y * cos(x)
%	f2(x,y) := x^2 + c * y^2 + d
%	J(x,y) := [ [ diff(f1,x), diff(f1,y) ], [ diff(f2,x), diff(f2,y) ] ]
%
%Sei $f(x,y) = ( f1, f2 )$.
%Bestimmen Sie die __Jacobi-Matrix__:
%* $ "J_f" = #J $


%%%


Rotation und Divergenz

	a, b in { 0, 1 }
	c := 1 - a
	d := 1 - b
	ee in { 2, 3, ..., 9 }
	f1(x,y,z) := a * x + c * z
	f2(x,y,z) := b * sin(pi*y) + d * cos(pi*x)
	f3(x,y,z) := x^3 + ee * z^2

Sei $f(x,y) = ( f1, f2, f3 )$.
Bestimmen Sie __Rotation__ und __Divergenz__ des Vektorfeldes.

	rx(x,y,z) := diff(f3,y) - diff(f2,z)
	ry(x,y,z) := diff(f1,z) - diff(f3,x)
	rz(x,y,z) := diff(f2,x) - diff(f1,y)

* rot$(f) = ( #rx, #ry, #rz )$

	d(x,y,z) := diff(f1,x) + diff(f2,y) + diff(f3,z)

* div$(f) = #d$


%%%


Höhere partielle Ableitungen

	a in { 0, 1 }
	b := 1 - a
	c, d in { 3, 4 }
	f(x,y) := c * x^d * y + x^(d-1)
	dxx(x,y) := diff( diff(f,x), x)
	dxy(x,y) := diff( diff(f,x), y)
	dyy(x,y) := diff( diff(f,y), y)

Sei $"f"(x,y) = f$. Bestimmen Sie die folgenden __höheren partiellen Ableitungen__:
* $ (del^2 "f") / (del x^2) = #dxx $
* $ (del^2 "f") / (del x del y) = #dxy $
* $ (del^2 "f") / (del y^2) = #dyy $


%%%


Stationäre Stellen

	a, b in { 2, 3, ..., 8}
	f(x,y) := a*x^2 - b*y^2
	fx(x,y) := diff(f, x)
	fy(x,y) := diff(f, y)
	sx := 0
	sy := 0

Gegeben sei eine Funktion $ "f"(x,y) = f $.

* Bestimmen Sie zunächst den __Gradienten__:
  $ grad "f" = ( #fx, #fy ) $

* Geben Sie die (einzige) __stationäre Stelle__ an:
  $ ( #sx, #sy ) $


%%%


Definitheit

	a, b, c in { -1, 1, 2 }
	A := [[a,0,0],[0,b,0],[0,0,c]]
	s := { a, b, c }
	p1 := min(s) > 0
	p2 := max(s) < 0
	p3 := not (p1 or p2)

Sei $ "A" = A $ eine Matrix über $ RR $.
Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?
[p1] $"A"$ ist __positiv definit__
[p2] $"A"$ ist __negativ definit__
[p3] $"A"$ ist __indefinit__


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Definitheit

	a := { 1, 2, 4 }
	A in MM(2 x 2 | a, invertible, symmetric)
	s = eigenvalues_sym(A)
	p1 := min(s) > 0
	p2 := max(s) < 0
	p3 := not (p1 or p2)

Sei $ "A" = A $ eine Matrix über $ RR $.
Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?
[p1] $"A"$ ist __positiv definit__
[p2] $"A"$ ist __negativ definit__
[p3] $"A"$ ist __indefinit__


%%%


Hesse-Matrix

	a in { 2, 3, ..., 8 }
	b in { 2, 3, 4 }
	f(x,y) := a * x^b * y^(b+1)
	h11(x,y) := diff( diff(f,x), x)
	h12(x,y) := diff( diff(f,x), y)
	h21(x,y) := diff( diff(f,y), x)
	h22(x,y) := diff( diff(f,y), y)
	H := [ [ h11, h12 ], [ h21, h22 ] ]

Sei $"f"(x,y) = f$.
Bestimmen Sie die __Hesse-Matrix__:
* $ "H" "f" = #H $


%%%


Hesse-Matrix

	a, b in { 0, 1 }
	c := 1 - a
	d := 1 - b
	ee in { 2, 3, ..., 8 }
	f(x,y) := exp(a*x+c*y) + ee * x^2 + y^2 + b*cos(y) + d*sin(y)
	h11(x,y) := diff( diff(f,x), x)
	h12(x,y) := diff( diff(f,x), y)
	h21(x,y) := diff( diff(f,y), x)
	h22(x,y) := diff( diff(f,y), y)
	H := [ [ h11, h12 ], [ h21, h22 ] ]

Sei $"f"(x,y) = f$.
Bestimmen Sie die __Hesse-Matrix__:
* $ "H" "f" = #H $

_Hinweis: geben Sie die Exponentialfunktion in der Form `exp(x)` an._


%%%


Extremwerte

	%f(x,y) := -x^3 - y^3 + 3*x*y
	w1 in { 0, 1 }
	w2 := 1 - w1
	w3, w4, w5, w6, w7, w8, w9, w10 in { 2, 3 }
	f(x,y) := w4*x^w5*y^w6 + w7*x^w8 + w9*y^w10
	h11(x,y) := diff( diff(f,x), x)
	h12(x,y) := diff( diff(f,x), y)
	h21(x,y) := diff( diff(f,y), x)
	h22(x,y) := diff( diff(f,y), y)
	H := [ [ h11, h12 ], [ h21, h22 ] ]
	ax := 0
	ay := 0
	A := [ [ h11(ax,ay), h12(ax,ay) ], [ h21(ax,ay), h22(ax,ay) ] ]
	lambda := eigenvalues_sym(A)
	p1 := min(lambda) > 0
	p2 := max(lambda) < 0
	p3 := not (p1 or p2)

Sei $"f"(x,y) = f$.
Bestimmen Sie die __Hesse-Matrix__:
* $ "H" "f" = #H $

%* _Hinweis: geben Sie die Exponentialfunktion in der Form `exp(x)` an._

Betrachten Sie die potentielle Extremstelle $ a=(ax,ay) $ und berechnen Sie die Eigenwerte von $ ("H" "f")(a) $:
* $ "lambda" = #lambda $

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?
[p1] $"f"$ besitzt bei $a$ ein __lokales Minimum__
[p2] $"f"$ besitzt bei $a$ ein __lokales Maximum__
[p3] $"f"$ besitzt bei $a$ einen __Sattelpunkt__


%%%


Fehlerfortpflanzung

	a, b, c, vx, vy in { 2, 3, 4 }
	f(x,y) := a*x^b * y^c + x*y
	ex(x,y) := diff(f, x)
	ey(x,y) := diff(f, y)
	delta := 0.1
	zmax := abs(ex(vx,vy))*delta + abs(ey(vx,vy))*delta

Sei $"f"(x,y) = f$.

Bestimmen Sie die __maximale Messunsicherheit__ bei __linearer Fehlerfortpflanzung__:
* $ (Delta z)_{max} = abs("a") Delta "x" + abs("b") Delta "y" $; $ "a" = #ex $, $ "b" = #ey $

Seien nun $x=vx$, $y=vy$ und $Delta x = Delta y = delta$.
Berechnen Sie die folgende Fehlergröße:
* $ (Delta z)_{max} = #zmax $


STOP


% TODO:
%Bestimmen Sie nun die __maximale Messunsicherheit__ bei __Gauß'scher Fehlerfortpflanzung__:
%* $ (Delta z)_{max} = |#ex| Delta x + |#ey| Delta y $


%%%


Implizite Funktion
	w1 in { 0, 1 }
	w2 := 1 - w1
	w3, w4 in { 2, 3, 4 }
	F(x,y) := w3*x^w4 + w1*cos(x*y) + w2*sin(x*y)
	res(x,y) := - diff(F, x) / diff(F, y)

Sei $ "F"(x,y) = F = 0 $ und $a = (a_1, a_2)$.
Bestimmen Sie die __Ableitung__ der __implizit definierten Funktion__ $y = f(x)$.
* $ f'(a_1) = #res (a_1, a_2) $