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%course Mathematik 2 - Knospe, Randerath %quiz 3: Lineare Algebra Matrizenoperationen a := { 1, 2, 3 } A, B in MM(3 x 3 | a ) C := A - B input rows := resizable input cols := resizable Berechne $ A - B = #C $ _Hinweis: Dimensionieren Sie zunächst die Ergebnismatrix._ %%% Matrizenoperationen a in { 2, 3, ..., 5 } A in MM(3 x 3 | { 1, 2, 3 } ) B := a * A input rows := resizable input cols := resizable Berechne $ a * A = #B $ _Hinweis: Dimensionieren Sie zunächst die Ergebnismatrix._ %%% Transponierte Matrix A in MM(3 x 2 | { 1, 2, 3 } ) B := A^T input rows := resizable input cols := resizable Berechne $ A^T = #B $ _Hinweis: Dimensionieren Sie zunächst die Ergebnismatrix._ %%% Matrizenoperationen A, B in MM(2 x 2 | { 1, 2, 3 } ) C := A * B input rows := resizable input cols := resizable Berechne $ A*B = #C $ _Hinweis: Dimensionieren Sie zunächst die Ergebnismatrix._ %%% Matrizenoperationen a := { 1, 2, 3 } A in MM( 2 x 1 | a ) B in MM( 2 x 2 | a ) C in MM( 2 x 1 | a ) D := (A + B^T * C)^T input rows := resizable input cols := resizable Berechne $ (A + B^T * C)^T = #D $ _Hinweis: Dimensionieren Sie zunächst die Ergebnismatrix._ %%% Restklassen Geben Sie jeweils den __Standardrepräsentaten__ an: a, b, c in { 10, 11, ..., 20 } a2, b2, c2, c3 in { 2, 3, ..., 5 } sa := a mod a2 b := - b sb := b mod b2 sc := c2*c3 mod c2 * $ ZZ_c2 $ : $ c2*c3 equiv #sc mod c2 $ * $ ZZ_a2 $ : $ a equiv #sa mod a2 $ * $ ZZ_b2 $ : $ b equiv #sb mod b2 $ %%% Körper Welche der folgenden Restklassen sind __Körper__? [x] $ ZZ_3 $ [ ] $ ZZ_4 $ [x] $ ZZ_7 $ [ ] $ ZZ_10 $ %%% Multiplikativ inverses Element n in { 3, 5, 7 } b in { 1, 2, ..., 7 } c := b + 1 b := b mod (n-1) + 1 c := c mod (n-1) + 1 s1 := xgcd(b, n, 2) mod n % 2 := get 2nd parameter of xgcd %TODO: enable solution hints again... Hinweis: $(b * x) mod n equiv 1 $. Bitte geben Sie den Standardrepräsentaten an. s2 := xgcd(c, n, 2) mod n %TODO: enable solution hints again... %Hinweis: $(c * x) mod n equiv 1 $. Bitte geben Sie den Standardrepräsentaten an. Geben Sie die __multiplikativ inversen Elemente__ für den Körper $GF(n)$ an: * $b^(-1) equiv #s1 mod n$ * $c^(-1) equiv #s2 mod n$ %%% Untervektorräume Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des $RR^2$? a,b,c,d in {1, 2, ..., 5} [ ] $ M_1 = { [[a],[b]] } $ [x] $ M_2 = { [[0],[0]] } $ [ ] $ M_3 = { mu * [[c],[d]] | mu in ZZ } $ %%% Untervektorräume Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des $GF(2)^2$? [ ] $ M_1 = { [[1],[1]] } $ %TODO: $ 0 in K, u in U $ -> $ 0 * u notin U$ [x] $ M_2 = { [[0],[0]] } $ %[ ] $ M_3 = { [[0],[1]] , [[1],[0]] } $ % TODO!!!!! [x] $ M_4 = { lambda * [[0],[1]] | lambda in GF(2) } $ %%% Erzeugendensysteme % TODO: vector operations... a, b, c, d, ee, f in { 0, 1 } a := 1 d := 0 ee := 1 l1 := 0 l2 := 1 l3 := 1 l4 := 1 g := (a*l1 + d*l2) mod 2 h := (b*l1 + ee*l2) mod 2 i_ := (c*l1 + f*l2) mod 2 j_ := (a*l3 + d*l4) mod 2 k := (b*l3 + ee*l4) mod 2 l := (c*l3 + f*l4) mod 2 Seien $ v_1 = [[a],[b],[c]] $, $ v_2 = [[d],[ee],[f]] $ Vektoren im $ GF(2)^3 $ und $ U = lt v_1, v_2 gt $. Welche der folgenden Antworten sind richtig? [x] $ w_1 = [[g],[h],[i_]] in U $ [x] $ w_2 = [[j_],[k],[l]] in U $ %%% Matrizenoperationen Berechnen Sie den folgenden Term über $GF(2)$. a := { 0, 1 } A in MM( 2 x 1 | a ) B in MM( 2 x 2 | a ) C in MM( 2 x 1 | a ) term := (A + B^T * C)^T mod 2 input rows := resizable input cols := resizable * $ (A + B^T * C)^T = #term $ _Hinweis: Dimensionieren Sie zunächst die Ergebnismatrix._ %%% Matrix-Vektor Multiplikation a := { 1, 2, ..., 4 } A in MM( 2 x 2 | a ) x in MM( 2 x 1 | a ) Ax := A * x input rows := resizable input cols := resizable Seien $ "A" = A $ und $ "x" = x $. Berechnen Sie: * $ f("x") = "A" * "x" = #Ax $ _Hinweis: Dimensionieren Sie zunächst die Ergebnismatrix._ %%% Determinante a := { -5, -4, ..., 5 } A in MM( 3 x 3 | a ) A[1,1] := 0 A[1,2] := 0 d := det(A) Sei $ "A" = A $ eine 3 x 3 Matrix über $ K = RR $. Berechnen Sie die __Determinante__: * $ det("A") = #d $ %%% Rang a := { 0, 1, 2 } A in MM( 3 x 3 | a ) r := rank(A) Sei $ "A" = A $ eine 3 x 3 Matrix über $ K = RR $. Bestimmen Sie den __Rang__: * $ rg("A") = #r $ %%% Inverse Matrix a := { 0, 1, 2 } A in MM( 3 x 3 | a, invertible ) iA := inv(A) Berechnen Sie die __inverse__ Matrix: * $ A^(-1) = #iA $ %%% Lineare Abbildungen a, b, c, d in { 2, 3, ..., 9 } Ist $ f : RR^2 -> RR^2 $, $ f(x_1, x_2) = (a x_1 + b x_2, c x_1 + d) $ eine __lineare Abbildung__? ( ) ja (x) nein % Achten Sie auf die Konstante $ d $ % TODO: solution-hints for single-choice is not yet implemented... %%% Lineare Abbildungen Sei die folgende __lineare Abbildung__ gegeben: a, b, c, d, e in { 2, 3, ..., 9 } A := [[a,0,b],[e,c,d]] * $ f : RR^3 -> RR^2 = (a*x_1 + b*x_3, c*x_2 + d*x_3 + e*x_1) $ Geben Sie die zugehörige Abbildungsmatrix $ "A" $ an: * $ "A" = #A $ %%% Zusammengesetzte lineare Abbildungen a, b, c, d, e, f, g, h, i in { 0, 1 } A := [[a,b],[c,d]] B := [[e,f],[g,h]] AB = (A * B) mod 2 Seien die beiden linearen Abbildungen $ "f", "g" : GF(2)^2 -> GF(2)^2 $ gegeben: % TODO: show x_i conditionally! * $ "f"(x_1, x_2) = ( a * x_1 + b * x_2, c * x_1 + d * x_2 ) $ * $ "g"(x_1, x_2) = ( e * x_1 + f * x_2, g * x_1 + h * x_2 ) $ Bestimmen Sie zunächst die __lineare Abbildung__ $"f"$ und geben Sie die Lösung als Matrix an: * $ "A" = #A $ Bestimmen Sie weiterhin die __lineare Abbildung__ $"g"$: * $ "B" = #B $ Bestimmen Sie nun die __zusammengesetzte Abbildung__ $ "f" circ "g" $. * $ "AB" = #AB $ %%% Lineare Unabhängigkeit a, b, c, d, e, f, g, h, _i in { 0, 1 } v1 := [[a],[b]] v2 := [[c],[d]] A := [[a,c],[b,d]] % TODO: concatenate vectors v1 and v2 q1 := (det(A) mod 2) != 0 a := (a + 1) mod 2 v3 := [[a],[b]] v4 := [[c],[d]] A := [[a,c],[b,d]] % TODO: concatenate vectors v3 and v4 q2 := (det(A) mod 2) != 0 v5 := [[a],[b],[c]] v6 := [[d],[e],[f]] v7 := [[g],[h],[_i]] A := [[a,d,g],[b,e,h],[c,f,_i]] q3 := (det(A) mod 2) != 0 Welche der unten stehenden Vektoren über dem $ GF(2) $ sind __linear unabhängig__? [q1] $ v1, v2 $ [q2] $ v3, v4 $ [q3] $ v5, v6, v7 $ %%% Basen Bilden die folgenden Vektoren eine __Basis__ des $ RR^3 $? _Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Determinante._ a := { 0, 1, ..., 4 } A in MM( 3 x 3 | a, invertible ) q1 := true b := { 0, 1, 2 } B in MM( 3 x 3 | b ) B[3,3] := 0 q2 := det(B) != 0 [q1] $ A[:,1], A[:,2], A[:,3] $ [q2] $ B[:,1], B[:,2], B[:,3] $ %%% Orthonormalbasis Bestimmen Sie $c_1 in RR$, sodass die folgenden beiden Vektoren eine __Orthogonalbasis__ des $RR^2$ bilden: a in { -1, -2, 1, 2 } b := a + 1 x := a * a - b * b y := 2 * a * b c1 := -y * $ "b_1" = [[x],[y]] $ $ "b_2" = [[c_1],[x]] $ * $ c_1 = #c1 $ Bestimmen Sie nun $c_2 in RR$, sodass die Basis $ { c_2 * "b_1", c_2 * "b_2" } $ eine __Orthonormalbasis__ ist. c2 := 1 / sqrt(x^2+y^2) * $ c_2 = #c2 $ %%% Orthogonale Matrizen E2 := eye(2) a := { 0, 1 } A, B, C, D in MM(2 x 2 | a) A[1,1] = 0 B[1,1] = 1 % TODO: matrix indices on RHS C[2,1] = 0 D[2,1] = 1 qa := (A * A^T) == E2 qb := (B * B^T) == E2 qc := (C * C^T) == E2 qd := (D * D^T) == E2 Welche der folgenden Matrizen über $RR$ sind __orthogonal__? [qa] $A$ [qb] $B$ [qc] $C$ [qd] $D$ %%% Orthogonale Matrizen Bestimmen Sie $a, b in RR$, sodass die folgende Matrix über $ RR $ __orthogonal__ ist: c in { -2, -3, -4 } d in { 2, 3, 4 } a := c^2 + d^2 b := -c * $ 1/sqrt("a") [[c,d],[d,"b"]] $ $ "a" = #a $ $ "b" = #b $ %%% Eigenwerte a in { 1, 2, ..., 5 } b in { -8, -7, ..., -2 } lambda := { a, b } Sei $ A = [[a,0],[0,b]] $. Geben Sie die __Eigenwerte__ von $A$ an: * $ "lambda" = #lambda $ %%% Eigenwerte A in MM(2 x 2 | { 1, 2, 4 }, invertible, symmetric) lambda = eigenvalues_sym(A) Sei $ "A" = A $. Geben Sie die __Eigenwerte__ von $"A"$ an: * $ "lambda" = #lambda $ _Hinweis: Geben Sie bei Bedarf `sqrt(x)` für $ sqrt(x) $ an._ %%% Eigenwerte a := { -10, -9, ..., 10 } x1, x2, x3, x4 in a A in MM(4 x 4 | a) A := triu(A) A[1,1] := x1 A[2,2] := x2 A[3,3] := x3 A[4,4] := x4 % TODO: allow syntax "A[4,4] in a" lambda := { x1, x2, x3, x4 } Sei $ "A" = A $. Geben Sie die __Eigenwerte__ von $"A"$ an: * $ "lambda" = #lambda $