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%course Mathematik 2 - Knospe, Randerath
%quiz 1: Komplexe Zahlen


Addition  #simple

	a, b, c, d in { 1, 2, ..., 5 }
	ee in { -1, 1 }
	a := a * ee
	z_1 := a + b * i
	z_2 := c + d * i

Seien $ "z_1" = z_1 $ und $ "z_2" = z_2 $ komplexe Zahlen.

* Berechnen Sie die folgende __Summe__ und geben Sie das Ergebnis in Normalform an:
  $ "z_1" + "z_2" = #(z_1 + z_2) $


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Multiplikation

	a,b,c,d in { 1, 2, ..., 5 }
	ee in { -1, 1 }
	a := a * ee
	z_1 := a + b * i
	z_2 := c + d * i

Seien $ "z_1" = z_1 $ und $ "z_2" = z_2 $ komplexe Zahlen. 

* Berechnen Sie das folgende __Produkt__ und geben Sie das Ergebnis in Normalform an:
  $ "z_1" * "z_2" = #(z_1*z_2) $


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Komplex konjugierte Zahl

	a,b in { 1, 2, ..., 5 }
	c in { -1, 1 }
	a := a * c
	z := a + b * i

Sei $ "z" in CC $ und $ "z" = z $.

	s1 := conj(z)

* Berechnen Sie die zu $ "z" $ __komplex konjugierte__ Zahl:
  $ bar "z" = #s1 $

	s2 := z * conj(z)   % a*a + b*b

* Berechnen Sie:
  $ "z" * bar "z" = #s2 $


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Betrag einer komplexen Zahl

	a, b in { 1, 2, 3 }
	x := a * a - b * b
	y := 2 * a * b
	z := x + y * i
	res := abs(z)

Sei $ "z" in CC $ und $ "z" = z $.

* Berechnen Sie:
  $ abs("z") = #res $


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Inverse einer komplexen Zahl

	a,b in { 2, 3, ..., 5 }
	c := a^2 + b^2
	res := a + b*i

Sei $ "z" in CC $ und $ z = a/c - b/c*i $.

* Berechnen Sie:
  $ 1 / z = #res $


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Division

	a,b,c,d in { 1, 2, ..., 5 }
	ee in { -1, 1 }
	a := a * ee
	z_2 := a + b * i
	res := c + d * i
	z_1 := z_2 * res

Seien $ "z_1" = z_1 $ und $ "z_2" = z_2 $ komplexe Zahlen.

* Berechnen Sie den folgenden __Quotienten__ und geben Sie das Ergebnis in Normalform an:
  $ "z_1" / "z_2" = #res $


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Komplexe Terme

	a,b,c,d in { 1, 2, 3 }
	pow in { 2 }
	z1 := a + b * i
	z2 := c + d * i
	res := z1^pow + z2

* Berechnen Sie den folgenden __komplexen Term__ und geben Sie das Ergebnis in Normalform an:
  $ (z1)^pow + z2 = #res $


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Komplexe Folgen

	c in { 2, 3, 4 }
	z := c * i
	a1 := z^1
	a2 := z^2
	a3 := z^3

Bestimmen Sie die ersten $ 3 $ __Folgenglieder__ der komplexen Folge $ (a_n)_(n in NN) = ((c*i)^n)_(n in NN) $

* $ n=1 $ : $ #a1 $
* $ n=2 $ : $ #a2 $
* $ n=3 $ : $ #a3 $

( ) Die Folge ist __konvergent__
(x) Die Folge ist __divergent__


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Komplexe Folgen

	c in { 2, 3, 4 }
	z := 1/c + 1/c * i
	a1 := z^1
	a2 := z^2

Bestimmen Sie die ersten $ 2 $ __Folgenglieder__ der komplexen Folge $ (a_n)_(n in NN) = ((1/c+1/c*i)^n)_(n in NN) $

* $ n=1 $ : $ #a1 $
* $ n=2 $ : $ #a2 $

(x) Die Folge ist __konvergent__
( ) Die Folge ist __divergent__


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Komplexe Reihen

	a,b in { 2, 3, ..., 6 }

Ist die folgende geometrische Reihe __absolut konvergent__?

* $ sum_(k=0)^(oo) (1/a + 1/b*i)^k $

(x) ja
( ) nein


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Komplexe Nullstellen

	a in { 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 }
	z1 :=  sqrt(a) * i
	z2 := -sqrt(a) * i
	res := { z1, z2 }

Gegeben sei das Polynom $ f(z) = z^2 + a $

* Bestimmen Sie die beiden __Nullstellen__:
  $ z = #res $

_Hinweis: Geben Sie komplexe Zahlen in der Form $ "a" + "b"i $ ein._


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Quotienten von Polynomen

Gegeben sei die folgende rationale Funktion:

	a,b,c,d in { 2, 3, ..., 8 }
	ee in { 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 }
	A := 0*i
	B := sqrt(ee)*i
	C := -sqrt(ee)*i
	res := { A, B, C }

* $ r(z) = ((a+b*i)*z+c*i+d)/(z*(z^2+ee)) $

Bestimmen Sie den Definitionsbereich $ D_r = CC \\ X $

* $ X = #res $

_Hinweis: Geben Sie komplexe Zahlen in der Form $ "a" + "b"i $ ein._


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Konvergenzradius

	a,b in { 2, 3, ..., 10 }
	z1 := a + b*i
	res := 1

Bestimmen Sie den __Konvergenzradius__ der Potenzreihe $ sum_(k=0)^(oo) k * (z1) * z^k $

* $ R = #res $


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Komplexe Potenzen

	a in { 1, 2 }
	c in { 4, 5, ..., 8 }
	z := a + a*i
	res := z^c

Berechnen Sie $(z)^c$ unter Verwendung der Exponentialform:

* $ #res $