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%course Mathematik 1 - Knospe, Randerath %quiz 7: Zusammenfassendes Quiz Beschränkte Mengen a in { -5, -4, ..., -2 } b := a + 3 x, y in { 1, 2, 3 } c := b + x d := c + y m := a M := d Sei $ X = [a, c[ uu [b, d[ $. Bestimmen Sie: * Infimum m = inf $ (X) = #m $ * Supremum M = sup $ (X) = #M $ Wählen Sie die richtigen Antworten aus: [x] Das Minimum von X existiert [ ] Das Maximum von X existiert %%% Injektivität, Surjektivität, Bijektivität a in { 2, 3, ..., 10 } Betrachten Sie die folgende Abbildung und wählen Sie die richtigen Antworten aus: $ f : RR -> [a,oo[, \ f(x) = x^2 + a $ % TODO (parser): oo -> infinity [ ] $f$ ist injektiv. [x] $f$ ist surjektiv. [ ] $f$ ist bijektiv. %%% Exponentialfunktion a, b in { 2, 3, ..., 8 } Gegeben sei die Funktion $ f : RR -> RR, x |-> e^(-a*x+b) $. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? [ ] $f$ ist streng monoton steigend [x] $f$ ist streng monoton fallend [x] $f$ besitzt den Wertebereich $ ]0, oo[ $ [ ] $f$ besitzt den Wertebereich $ ]b, oo[ $ %%% Konvergenz von Folgen x, y, z in { 2, 3, 4, 5} u, v, w in { 2, 3, 4, 5} res1 := 0 res2 := x / y res3 := x / u Bestimme: * $ lim_(n -> oo) x/n = #res1 $ * $ lim_(n -> oo) (x*n)/(y*n+z) = #res2 $ * $ lim_(n -> oo) (x*n^2 + y*n + z)/(u*n^2 + v*n + w) = #res3 $ %%% Konvergente Folgen x, y, z, w in { 2, 3, 4, 5} Welche der folgenden Folgen sind __konvergent__? [x] $ (a_n)_(n in NN) $ mit $ a_n = x $ [ ] $ (a_n)_(n in NN) $ mit $ a_n = x * n $ [x] $ (a_n)_(n in NN) $ mit $ a_n = (x*n^10 + y*n^2)/(z*n^10 + w*n^4) $ [ ] $ (a_n)_(n in NN) $ mit $ a_n = (-1)^n * x $ %%% Potenzreihe a, b in { 2, 3, 4 } x := 1/b k0 := 1 / 0! * (a*x)^0 k1 := 1 / 1! * (a*x)^1 k2 := 1 / 2! * (a*x)^2 Geben Sie die ersten __drei Summanden der Potenzreihe__ von $ e^(a * "x") $ an. Weiterhin sei $ "x" = 1/b $: * $ k=0 $ : $ #k0 $ * $ k=1 $ : $ #k1 $ * $ k=2 $ : $ #k2 $ %%% Ableitungen a, b, c, d in { 2, 3, 4 } f1(x) := (a*x^3 + b*x) * (c*x + d) f1_deriv(x) := diff(f1, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv $ %%% Ableitungen a, b, c in { 3, 4, ..., 8 } f1(x) := sin(a * x^2 + b*x + c) f1_deriv(x) := diff(f1, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv $ %%% Höhere Ableitungen a in { 3, 4, ..., 8 } f1(x) = a * x * exp(x) f1_deriv_1(x) := diff(f1, x) f1_deriv_2(x) := diff(f1_deriv_1, x) f1_deriv_3(x) := diff(f1_deriv_2, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv_1 $ $ f''(x) = #f1_deriv_2 $ $ f'''(x) = #f1_deriv_3 $ %%% Stationäre Stellen a, b in { 3, 4, 5 } f1(x) = a * x^2 + b f1_deriv_1(x) = diff(f1, x) f1_deriv_2(x) = diff(f1_deriv_1, x) s = 0 Sei $ f(x) = f1 $. Bestimme die stationäre Stelle: $ x_0 = #s $. Dann besitzt $f$ in $x_0$: ( ) ein lokales Maximum (x) ein lokales Minimum %%% Taylorpolynom f(x) := exp(x) x0 := 0 f1(x) := diff(f, x) f2(x) := diff(f1, x) p0(x) := f(x0) / 0! * (x - x0)^0 p1(x) := f1(x0) / 1! * (x - x0)^1 p2(x) := f2(x0) / 2! * (x - x0)^2 Bestimme das zweite Taylorpolynom $p_2(x) = sum_(k=0)^2 ( "f"^(k)(x) ) / ( k ) (x-x_0)^k $ für $"f"(x)=f$ und $x_0=0$: * $ p_0(x) = #p0 $ * $ p_1(x) = #p1 $ * $ p_2(x) = #p2 $ %%% Stammfunktion a in { 2, 3, 4 } f(x) := a * sin(x) Bestimme die Stammfunktion zu $"f"(x) = f $ $ F(x) = #[diff x]f + C \ \ (C in RR)$ %%% Uneigentliche Integrale a, b, c, d, e in { 3, 4, 4} Welche der folgenden Integrale sind __konvergent__? [ ] $int_0^(oo) a x^2 + b dx$ [ ] $int_0^c d/x dx $ [x] $int_1^c e/x dx $ %%% Partielle Integration f(x) = (x+1) / exp(x) Bestimme durch __partielle Integration:__ $ int f dx = #[diff x]f + C \ \ (C in RR)$ _Hinweis: Schreiben Sie $e^x$ als $exp(x)$._ %%% Substitutionsregel f(x) = 3*x * sin(x^2+1) Bestimme durch __Substitution:__ $ int f dx = #[diff x]f + C \ \ (C in RR)$ %%% Partialbruchzerlegung a, b in { 2, 3, 4, 5 } c := 2*a d := a^2+b Das folgende Integral soll gelöst werden: * $int 1 / (x^2 + c x + d) dx$ Welcher ist der richtige __Ansatz__? (x) $ (A)/((x+a)^2+b)$ ( ) $ (A)/(x-a)$ ( ) $ (A)/(x-a) + (B)/(x-a)^2$ ( ) $ (A)/(x-c)^2 + (B)/(x-d)$ %%% Kollinear a, b in { -4, -3, -2, 2, 3, 4 } ux, uy in { -3, -2, -1, 1, 2, 3 } u1 := [[ux],[uy]] v1 := a * u1 ux, uy in { -3, -2, -1, 1, 2, 3 } u2 := [[ux],[uy]] v2 := [[ux*b],[uy*(-b)]] Welche der folgenden Ortsvektoren sind __kollinear__? [x] $ u=u1 $ und $ v=v1 $ [ ] $ u=u2 $ und $ v=v2 $ %%% Orthogonale Vektoren u, v, w, x, y, z in MM(2 x 1 | {-1,0,1}) uv := dot(u,v) == 0 wx := dot(w,x) == 0 yz := dot(y,z) == 0 Welche der folgenden Vektoren im $RR^2$ sind __orthogonal__? [uv] $u$ und $v$ [wx] $w$ und $x$ [yz] $y$ und $z$ %%% Vektorprodukt set := { -2, -1, 0, 1, 2 } u, v in MM(3 x 1 | set ) uxv := cross(u, v) input rows := resizable Gegeben sind die beiden Vektoren $"u"=u$ und $"v"=v$ im $RR^3$. Bestimme das Vektorprodukt von $"u"$ und $"v"$: * $"u" xx "v" = #uxv$ %%% Matrizenoperationen a := { 1, 2, 3 } A in MM( 2 x 1 | a ) B in MM( 2 x 2 | a ) C in MM( 2 x 1 | a ) D := (A + B^T * C)^T input rows := resizable input cols := resizable Berechne $ (A + B^T * C)^T = #D $ %%% Lösungsmenge Ein lineares Gleichungssytem ist durch den Gaußalgorithmus bereits in Dreiecksform gebracht worden. Die erweiterte Koeffizienenmatrix sieht folgendermaßen aus: a := { -3, -2, -1, 1, 2, 3 } A in MM(3 x 3 | a ) b in MM(3 x 1 | a ) A := triu(A) A[3,3] := 0 b[3,1] := 0 $ augmented(A|b) $ Welche Aussage über die __Lösungsmenge__ ist korrekt? ( ) Es gibt eine eindeutige Lösung $x in RR^n$. ( ) Es gibt keine Lösung. (x) Die Lösungsmenge kann mit einer freien Variable beschrieben werden. %%% Gaußalgorithmus Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit Hilfe des __Gaußalgorithmus__: a := { 1, 2, 4 } A in MM(3 x 3 | a, invertible ) b in MM(3 x 1 | a ) x := linsolve(A,b) $ augmented(A|b) $ Lösungsvektor: $"x"=#x$ %%% Determinante a := { -5, -4, ..., 5 } A in MM( 3 x 3 | a ) A[1,1] := 0 A[1,2] := 0 d := det(A) Sei $ "A" = A $ eine 3 x 3 Matrix über $ RR $. Berechnen Sie die __Determinante__: * $ det("A") = #d $