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%course Mathematik 1 - Knospe, Randerath %quiz 5: Integralrechnung Riemann Integral Zur Bestimmung des __Riemann-Integrals__ einer Funktion $f:[a,b]->RR$ unterteilt man [a,b] in "kleine" Teilintervalle und bestimmt für diese Intervalle jeweils den kleinsten und größten Funktionswert. Die Summation der vorzeichenbehafteten Flächen mit dem größten Funktionswert liefert die (x) __Obersumme__ ( ) __Untersumme__ %%% Begriffe Sei $ int_a^b f(x) dx$. Finden Sie die richtigen __Begriffe__: * $a$ und $b$ heißen #"Integrationsgrenzen". * $x$ heißt #"Integrationsvariable". * $f(x)$ heißt #"Integrand". * $dx$ heißt #"Differential". %%% Grenzen a in { 3, 4, ..., 8 } Bestimme $ int_a^a f(x) dx = #0 $. %%% Eigenschaften des Riemann-Integrals Seien $a<b<c$ und $f:[a,c]->RR$ eine Funktion die auf dem Intervall $[a,c]$ Riemann-integrierbar ist. Wählen Sie die korrekten Aussagen: [x] $ int_a^c f(x) dx = int_a^b f(x) dx + int_b^c f(x) dx $ [x] $ int_b^a f(x) dx = - int_a^b f(x) dx $ [ ] $ int_b^a f(x) dx = int_a^b f(x) dx $ %%% Integrierbarkeit Seien $a,b in RR, a < b$: [x] Jede __stetige__ Funktion $f:[a,b]->RR$ ist integrierbar. [x] Jede __monotone__ Funktion $f:[a,b]->RR$ ist integrierbar. %%% Bestimmtes Integral a in { 0, 1 } b in { 4, 5 } u in { 3, 4, ..., 8 } f(x) := u f_int := integrate(f, x, a, b) Bestimme das folgende __bestimmte__ Integral: * $ int_a^b f dx = #f_int $ %%% Unbestimmte Integrale u1, u2 in { 2, 4, ..., 9 } f(x) := u1 g(y) := u2 Bestimme die folgenden __unbestimmten__ Integrale: * $ int f dx = #[diff x]f + C \ \ (C in RR)$ * $ int g dy = #[diff y]g + C \ \ (C in RR)$ %%% Stammfunktion u in { 3, 4, ..., 8 } f(x) := u * x Bestimme die Stammfunktion zu $"f"(x) = f $ $ F(x) = #[diff x]f + C \ \ (C in RR)$ %%% Stammfunktion u, v in { 3, 4, ..., 8 } f(x) := u + v * x Bestimme die Stammfunktion zu $"f"(x) = f $ $ F(x) = #[diff x]f + C \ \ (C in RR)$ %%% Stammfunktion u in { 3, 4, ..., 8 } f(x) := u * x^2 Bestimme die Stammfunktion zu $"f"(x) = f $ $ F(x) = #[diff x]f + C \ \ (C in RR)$ %%% Stammfunktion f(x) := cos(x) Bestimme die Stammfunktion zu $"f"(x) = f $ $ F(x) = #[diff x]f + C \ \ (C in RR)$ %%% Stammfunktion a in { 2, 3, 4 } f(x) := a * sin(x) Bestimme die Stammfunktion zu $"f"(x) = f $ $ F(x) = #[diff x]f + C \ \ (C in RR)$ %%% Uneigentliches Integral a in { 3, 4, ..., 8 } f(x) = a / x^2 Bestimme das folgende uneigentliche Integral: $ int_1^(oo) f dx = #a $ %%% Uneigentliche Integrale a, b, c, d, e in { 3, 4, 4} Welche der folgenden Integrale sind __konvergent__? [ ] $int_0^(oo) a x^2 + b dx$ [ ] $int_0^c d/x dx $ [x] $int_1^c e/x dx $ %%% Partielle Integration f(x) = x * exp(x) Bestimme durch __partielle Integration:__ $ int f dx = #[diff x]f + C \ \ (C in RR)$ _Hinweis: Schreiben Sie $e^x$ als $exp(x)$._ %%% Partielle Integration f(x) = x * sin(x) Bestimme durch __partielle Integration:__ $ int f dx = #[diff x]f + C \ \ (C in RR)$ %%% Partielle Integration f(x) = (x+1) / exp(x) Bestimme durch __partielle Integration:__ $ int f dx = #[diff x]f + C \ \ (C in RR)$ _Hinweis: Schreiben Sie $e^x$ als $exp(x)$._ %%% Substitutionsregel f(x) = (x+1)^2 Bestimme durch __Substitution:__ $ int f dx = #[diff x]f + C \ \ (C in RR)$ %%% Substitutionsregel f(x) = exp(3*x-1) Bestimme durch __Substitution:__ $ int f dx = #[diff x]f + C \ \ (C in RR)$ _Hinweis: Schreiben Sie $e^x$ als $exp(x)$._ %%% Substitutionsregel f(x) = 3*x * sin(x^2+1) Bestimme durch __Substitution:__ $ int f dx = #[diff x]f + C \ \ (C in RR)$ %%% Partialbruchzerlegung a, b in { 3, 4, 5 } Das folgende Integral soll gelöst werden: * $int b / (x (x-a)^2) dx$ Welcher ist der richtige __Ansatz__? (x) $ (A)/(x) + (B_1)/(x-a) + (B_2)/((x-a)^2)$ ( ) $ (A)/(x) + (B)/((x-a)^2)$ ( ) $ (A)/((x-a)^2)$ ( ) $ (A)/(x-a) + (B)/((x-a)^2)$ %%% Partialbruchzerlegung a, b in { 2, 3, 4, 5 } c := 2*a d := a^2+b Das folgende Integral soll gelöst werden: * $int 1 / (x^2 + c x + d) dx$ Welcher ist der richtige __Ansatz__? (x) $ (A)/((x+a)^2+b)$ ( ) $ (A)/(x-a)$ ( ) $ (A)/(x-a) + (B)/(x-a)^2$ ( ) $ (A)/(x-c)^2 + (B)/(x-d)$