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%course Mathematik 1 - Knospe, Randerath %quiz 4: Differentialrechnung Geradensteigung Sei $g$ eine Gerade im $RR^2$ und $(x_0, y_0), (x_1, y_1)$ zwei verschiedene Punkte auf $g$. Dann ist die Steigung $m$ definiert durch: (x) $m = (y_1-y_0)/(x_1-x_0) = (Delta y)/(Delta x)$ ( ) $m = (x_1-x_0)/(y_1-y_0) = (Delta x)/(Delta y)$ %%% Ableitungen a in { 3, 4, ..., 8 } f1(x) := a f1d(x) := diff(f1, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1d $ %%% Ableitungen a in { 3, 4, ..., 8 } f1(x) := a * x f1_deriv(x) := diff(f1, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv $ %%% Ableitungen a, b in { 3, 4, ..., 8 } f1(x) := a * x^b f1_deriv(x) := diff(f1, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv $ %%% Ableitungen a, b, c in { 3, 4, ..., 8 } f1(x) := a*x^2 + b*x + c f1_deriv(x) := diff(f1, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv $ %%% Ableitungen a, b in { 3, 4, ..., 8 } f1(x) := a / x f1_deriv(x) := diff(f1, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv $ %%% Ableitungen a, b, c, d in { 2, 3, 4 } f1(x) := (a*x^3 + b*x) * (c*x + d) f1_deriv(x) := diff(f1, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv $ %%% Ableitungen f1(x) := exp(x) f1_deriv(x) := diff(f1, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv $ %%% Ableitungen f1(x) := sin(x) f1_deriv(x) := diff(f1, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv $ %%% Ableitungen f1(x) := cos(x) f1_deriv(x) := diff(f1, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv $ %%% Ableitungen a in { 3, 4, ..., 8 } f1(x) := a * x * exp(x) f1_deriv(x) := diff(f1, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv $ %%% Ableitungen a, b in { 3, 4, ..., 8 } f1(x) := a * exp(b*x) f1_deriv(x) := diff(f1, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv $ %%% Ableitungen a, b, c in { 3, 4, ..., 8 } f1(x) := sin(a * x^2 + b*x + c) f1_deriv(x) := diff(f1, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv $ %%% Ableitungen a, b in { 3, 4, ..., 8 } f1(x) := sin(a*x) + cos(b*x) f1_deriv(x) := diff(f1, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv $ % TODO: f(x) = ln(x), D=]0,oo[ %%% Höhere Ableitungen a, b, c in { 3, 4, ..., 8 } f1(x) = a*x^2 + b*x + c f1_deriv_1(x) := diff(f1, x) f1_deriv_2(x) := diff(f1_deriv_1, x) f1_deriv_3(x) := diff(f1_deriv_2, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv_1 $ $ f''(x) = #f1_deriv_2 $ $ f'''(x) = #f1_deriv_3 $ %%% Höhere Ableitungen a, b in { 3, 4, ..., 8 } f1(x) = sin(a * x + b) f1_deriv_1(x) := diff(f1, x) f1_deriv_2(x) := diff(f1_deriv_1, x) f1_deriv_3(x) := diff(f1_deriv_2, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv_1 $ $ f''(x) = #f1_deriv_2 $ $ f'''(x) = #f1_deriv_3 $ %%% Höhere Ableitungen a in { 3, 4, ..., 8 } f1(x) = a * x * exp(x) f1_deriv_1(x) := diff(f1, x) f1_deriv_2(x) := diff(f1_deriv_1, x) f1_deriv_3(x) := diff(f1_deriv_2, x) $ f(x) = f1 $ $ f'(x) = #f1_deriv_1 $ $ f''(x) = #f1_deriv_2 $ $ f'''(x) = #f1_deriv_3 $ %%% Stationäre Stellen Sei $f$ eine auf $]a,b[$ zweimal differenzierbare Funktion und $x_0 in ]a,b[$ eine Stelle mit $f'(x_0)=0$. Gilt $f''(x_0)<0$, so besitzt $f$ an der Stelle $x_0$: (x) ein lokales __Maximum__. ( ) ein lokales __Minimum__. %%% Stationäre Stellen a, b in { 3, 4, 5 } f1(x) = a * x^2 + b f1_deriv_1(x) = diff(f1, x) f1_deriv_2(x) = diff(f1_deriv_1, x) s = 0 Sei $ f(x) = f1 $. Bestimme die stationäre Stelle: $ x_0 = #s $. Dann besitzt $f$ in $x_0$: ( ) ein lokales Maximum (x) ein lokales Minimum %%% Krümmung Sei $f$ eine auf $[a,b]$ stetige und auf $]a,b[$ zweimal differenzierbare Funktion. Gilt $f''(x)>0$ für alle $x in ]a,b[$, so ist $f$ auf dem Intervall $]a,b[$ (x) __linksgekrümmt oder konvex__. ( ) __rechtsgekrümmt oder konkav__. %%% Taylorpolynom f(x) := exp(x) x0 := 0 f1(x) := diff(f, x) f2(x) := diff(f1, x) p0(x) := f(x0) / 0! * (x - x0)^0 p1(x) := f1(x0) / 1! * (x - x0)^1 p2(x) := f2(x0) / 2! * (x - x0)^2 Bestimme das zweite Taylorpolynom $p_2(x) = sum_(k=0)^2 ( "f"^(k)(x) ) / ( k ) (x-x_0)^k $ für $"f"(x)=f$ und $x_0=0$: * $ p_0(x) = #p0 $ * $ p_1(x) = #p1 $ * $ p_2(x) = #p2 $ %%% Taylorpolynom f(x) := sin(x) x0 := 0 f1(x) := diff(f, x) f2(x) := diff(f1, x) f3(x) := diff(f2, x) p0(x) := f(x0) / 0! * (x - x0)^0 p1(x) := f1(x0) / 1! * (x - x0)^1 p2(x) := f2(x0) / 2! * (x - x0)^2 p3(x) := f3(x0) / 3! * (x - x0)^3 Bestimme das dritte Taylorpolynom $p_3(x) = sum_(k=0)^3 ( "f"^(k)(x) ) / ( k ) (x-x_0)^k $ für $"f"(x)=f$ und $x_0=0$: * $ p_0(x) = #p0 $ * $ p_1(x) = #p1 $ * $ p_2(x) = #p2 $ * $ p_3(x) = #p3 $ %%% Taylorpolynom f(x) := cos(x) x0 := 0 f1(x) := diff(f, x) f2(x) := diff(f1, x) f3(x) := diff(f2, x) p0(x) := f(x0) / 0! * (x - x0)^0 p1(x) := f1(x0) / 1! * (x - x0)^1 p2(x) := f2(x0) / 2! * (x - x0)^2 p3(x) := f3(x0) / 3! * (x - x0)^3 Bestimme das dritte Taylorpolynom $p_3(x) = sum_(k=0)^3 ( "f"^(k)(x) ) / ( k ) (x-x_0)^k $ für $"f"(x)=f$ und $x_0=0$: * $ p_0(x) = #p0 $ * $ p_1(x) = #p1 $ * $ p_2(x) = #p2 $ * $ p_3(x) = #p3 $