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%course Mathematik 1 - Knospe, Randerath %quiz 1: Grundlagen Mengen a, b, c in { 1, 2, 3 } A := { a, a+b, a+b+c } B := { a, a+b+c } Gegeben sei die Menge $ "A" = A $. Ist die folgende Aussage wahr? [x] $ B sub A $ %%% Mengen a, b, c, d in { 1, 2, 3, 4 } A := { a, a+b, a+b+c, a+b+c+d } Sei $ "A" = A $. Wie viele Elemente hat die __Potenzmenge__ $P("A")$? $ #16 $ %%% Mengenoperationen Seien $A$ und $B$ Mengen. $A cup B$ beschreibt: (x) die __Vereinigung__ von $A$ und $B$. ( ) den __Durchschnitt__ von $A$ und $B$. %%% Menge a, b, c in { 1, 2, 3 } b := a + b c := b + c Wie viele Elemente hat die Menge $ {{a,b},{c}} $? $ #2 $ %%% Mengen a in { 1, 2, ..., 10 } b, c in { 1, 2, 3 } x := a+b+c+4 A := { a, a+b, a+b+c } Gegeben Sei die Menge $ "A" = A $. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? [x] $ a in "A" $ [x] $ x notin "A" $ %%% Mengen a in { 2, 3, ..., 5 } B = { a*1, a*2, a*3 } Gegeben Sei die Menge $ "B" = { k in NN | k=a*n text( und ) n <= 3 } $. Geben Sie die Menge __explizit__ an: $ "B" = #B $ %%% Summe a in { 2, 3, 4 } n in { 3, 4, 5 } s := a * n Berechnen Sie $ sum_(i=1)^n a $: * $ #s $ %%% Summe a in { 2, 3, 4 } n in { 3 } s := a * 6 Berechnen Sie $ sum_(i=1)^n a*i $: * $ #s $ %%% Produkt a in { 2, 3, 4 } n in { 3, 4, 5 } s := a^n Berechnen Sie $ prod_(i=1)^n a $: * $ #s $ %%% Fakultät a in { 3, 4, 5, 6} f := a! Geben Sie $ a! $ wertmäßig an: * $ #f $ %%% Binomialkoeffizient n in { 3, 4, 5 } k in { 0, 1, ..., n } b := binomial(n, k) Bestimmen Sie den Binomialkoeffizienten $ ((n),(k)) $ mit Hilfe des __Pascalschen Dreiecks__: * $ #b $ %%% Intervalle reeller Zahlen Seien $ a, b in RR $. Wählen Sie die richtigen Antworten aus: [x] $ [a, b] $ ist ein geschlossenes Intervall [x] $ [a, b[ $ ist ein halboffenes Intervall [ ] $ ]a, b[ $ ist ein geschlossenes Intervall [x] $ ]a, b] $ ist ein halboffenes Intervall %%% Supremum, Infimum Sei $X sub RR$. * $M in RR$ heißt __Supremum__ von $X$, falls $M$ eine #"obere" Schranke ist und keine kleinere #"obere" Schranke existiert. * $M in RR$ heißt __Infimum__ von $X$, falls $m$ eine #"untere" Schranke ist und keine größere #"untere" Schranke existiert. Füllen Sie den Lückentext aus. %%% Beschränkte Mengen a in { -5, -4, ..., -2 } b := a + 3 x, y in { 1, 2, 3 } c := b + x d := c + y m := a M := d Sei $ X = [a, c[ uu [b, d[ $. Bestimmen Sie: * Infimum m = inf $ (X) = #m $ * Supremum M = sup $ (X) = #M $ Wählen Sie die richtigen Antworten aus: [x] Das Minimum von X existiert [ ] Das Maximum von X existiert %%% Betrag a in { -10, -9, ..., -1 } b := abs(a) % TODO: b := |a| $ |a| = #b $ Wählen Sie die richtigen Antworten aus: [x] $ |xy| = |x| |y| $ [ ] $ |xy| = |x * y| $ [x] $ |x+y| <= |x| + |y| $ [ ] $ |x+y| >= |x + y| $ %%% Aussagenlogik Seien $A$ und $B$ Aussagen. Die __Konjunktion__ von $A$ und $B$ wird dargestellt durch: (x) $A ^^ B$ ( ) $A vv B$ %%% Aussagenlogik a, b, c, d in { 3, 4, 5 } Welche der folgenden Ausdrücke sind __wahre Aussagen__? [ ] Die Menge $M={k in NN | k=2 m text( und ) m>3}$ hat 3 Elemente. [ ] $a + b * c$. [x] $EE x in ZZ \ x < 0$ [x] Die Gleichung $a x + c = d$ besitzt genau eine Lösung. %%% Aussagenlogik Welche der folgenden Aussagen sind wahr? [ ] $ EE x in RR \ x < x $ [x] $ AA y in ZZ \ y^2 >= 0 $ [ ] $ AA z in RR \ (z <= 0 ^^ z > 0) $ [x] $ AA z in RR \ (z <= 0 vv z > 0) $ %%% Injektivität, Surjektivität, Bijektivität a in { 2, 3, ..., 10 } Betrachten Sie die folgende Abbildung und wählen Sie die richtigen Antworten aus: $ f : RR -> [a,oo[, \ f(x) = x^2 + a $ % TODO (parser): oo -> infinity [ ] $f$ ist injektiv. [x] $f$ ist surjektiv. [ ] $f$ ist bijektiv. %%% Verkettung von Funktionen a, b, c in { 2, 3, 4, 5 } Sei $ f : RR -> RR, f(x) = a*x + b $ und $ g : RR -> RR, g(x) = x^c $. Wählen Sie die richtige Antwort aus: (x) $ (g @ f)(x) = (a*x + b)^c $ ( ) $ (g @ f)(x) = a*x^c + b $ %%% Gerade und ungerade Funktionen Welche der nachfolgenen Funktionen sind __gerade__? [x] $ f(x) = x^2 $ [ ] $ f(x) = x^3 $ [x] $ f(x) = x^4 + 3 x^2 + 7 $ [ ] $ f(x) = 2 x^5 - 2 x^2 + 4 $ %%% Beschränktheit a in { 2, 3, 4, 5 } Sei $ f : RR -> RR, x |-> (x+a)^2 $. Wählen Sie die richtigen Antworten aus: [x] $f$ ist nach __unten beschränkt__. [ ] $f$ ist nach __oben beschränkt__. %%% Monotonie a, b, c, d in { 2, 3, 4, 5 } Wählen Sie die richtigen Antworten aus: [ ] $ f : RR -> RR, f(x)=a $ ist __monoton wachsend__. [x] $ f : RR -> RR, f(x)=b x + c $ ist __streng monoton wachsend__. [ ] $ f : RR -> RR, f(x)=|x| $ ist __streng monoton wachsend__. [x] $ f : RR -> RR, f(x)=-x^3-x-d $ ist __streng monoton fallend__. %%% Umkehrabbildung Eine Funktion $f$ besitzt genau dann eine Umkehrfunktion, wenn folgendes gilt: [x] $f$ ist injektiv. [x] $f$ ist surjektiv. [x] $f$ ist bijektiv.