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%course Mathematik 2 - Knospe, Randerath
%quiz Kapitel 3 - Wiederholung


Restklassen

Geben Sie jeweils den __Standardrepräsentaten__ an:

	a, b, c in { 10, 11, ..., 20 }
	a2, b2, c2, c3 in { 2, 3, ..., 5 }
	ax := a mod a2
	b := - b
	bx := b mod b2
	cx := c2*c3 mod c2

* $ ZZ_c2 $ : $ c2*c3 equiv #cx mod c2 $
* $ ZZ_a2 $ : $ a equiv #ax mod a2 $
* $ ZZ_b2 $ : $ b equiv #bx mod b2 $


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Erzeugendensysteme

	a, b, c, d, e, f in { 0, 1 }
	a := 1
	d := 0
	e := 1
	l1 := 0
	l2 := 1
	l3 := 1
	l4 := 1

	g := (a*l1 + d*l2) mod 2
	h := (b*l1 + e*l2) mod 2
	i_ := (c*l1 + f*l2) mod 2

	j_ := (a*l3 + d*l4) mod 2
	k := (b*l3 + e*l4) mod 2
	l := (c*l3 + f*l4) mod 2

Seien $ v_1 = [[a],[b],[c]] $, $ v_2 = [[d],[e],[f]] $ Vektoren im $ GF(2)^3 $ und $ U = lt v_1, v_2 gt $.

Welche der folgenden Antworten sind richtig?

[x] $ w_1 = [[g],[h],[i_]] in U $
[x] $ w_2 = [[j_],[k],[l]] in U $


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Determinante

	a := { -5, -4, ..., 5 }
	A in MM( 3 x 3 | a )
	A[1,1] := 0
	A[1,2] := 0
	d := det(A)

Sei $ "A" = A $ eine 3 x 3 Matrix über $ K = RR $.
Berechnen Sie die __Determinante__:

* $ det("A") = #d $


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Rang

	a := { 0, 1, 2 }
	A in MM( 3 x 3 | a )
	r := rank(A)

Sei $ "A" = A $ eine 3 x 3 Matrix über $ K = RR $.
Bestimmen Sie den __Rang__:

* $ rg("A") = #r $


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Lineare Abbildungen

Sei die folgende __lineare Abbildung__ gegeben:

	a, b, c, d, e in { 2, 3, ..., 9 }
	A := [[a,0,b],[e,c,d]]

* $ f : RR^3 -> RR^2 = (a*x_1 + b*x_3, c*x_2 + d*x_3 + e*x_1) $

Geben Sie die zugehörige Abbildungsmatrix $ "A" $ an:

* $ "A" = #A $


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Lineare Unabhängigkeit

	a, b, c, d, e, f, g, h, i in { 0, 1 }

	v1 := [[a],[b]]
	v2 := [[c],[d]]
	A := [[a,c],[b,d]]     % TODO: concatenate vectors
	q1 := (det(A) mod 2) != 0

	a := (a + 1) mod 2
	v3 := [[a],[b]]
	v4 := [[c],[d]]
	A := [[a,c],[b,d]]     % TODO: concatenate vectors
	q2 := (det(A) mod 2) != 0

	v5 := [[a],[b],[c]]
	v6 := [[d],[e],[f]]
	v7 := [[g],[h],[i]]
	A := [[a,d,g],[b,e,h],[c,f,i]]
	q3 := (det(A) mod 2) != 0

Welche der unten stehenden Vektoren über dem $ GF(2) $ sind __linear unabhängig__?

[q1] $ v1, v2 $
[q2] $ v3, v4 $
[q3] $ v5, v6, v7 $


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Orthogonale Matrizen

Bestimmen Sie $a, b in RR$, sodass die folgende Matrix über $ RR $ __orthogonal__ ist:

	c in { -2, -3, -4 }
	d in { 2, 3, 4 }
	a := c^2 + d^2
	b := -c

* $ 1/sqrt("a") [[c,d],[d,"b"]] $

$ "a" = #a $ $ "b" = #b $


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Eigenwerte

	a := { 1, 2, 4 }
	A := MM(2 x 2 | a, invertible, symmetric)
	lambda = eigenvalues_sym(A)

Sei $ "A" = A $.

Geben Sie die __Eigenwerte__ von $"A"$ an:

* $ "lambda" = #lambda: $

_Hinweis: Geben Sie bei Bedarf `sqrt(x)` für $ sqrt(x) $ an._


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Eigenvektoren

	a in { 1, 2, ..., 5 }
	b in { -8, -7, ..., -2}
	v = [[0],[1]]

Sei $ A = [[a,0],[0,b]] $.

Geben Sie den __Eigenvektor__ $ "v_1" $ zum Eigenwert $lambda = b$ an:

* $ "v_1" = #v*c in RR^(2 x 1) $

% TODO: ambiguity in grammar: solution properties vs continued term!
% idea: "solution. * c " for rendering "[    ] * c"


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Basiswechsel

	a in { -1, -2, -3 }
	d := a - 1
	c, b in { 10, 11, 12 }
	A := [[a,b],[c,d]]
	x := (a+d)/2
	test := x^2 + b*c - a*d
	y := sqrt(x^2 + b*c - a*d)
	lambda = { x+y, x-y }

Sei $"A"=A$ eine __Abbildungsmatrix__ von $f$ bezüglich der Standardeinheitsbasis $B_1$.
* $"A"$ besitze eine Basis $B_2=(v_1,v_2)$ aus Eigenvektoren.
* Stellen Sie $f$ bezüglich $B_2$ durch eine Diagonalmatrix $D=T^(-1)*"A"*T = [["lambda_1",0],[0,"lambda_2"]]$ dar.
* $ "lambda" = #lambda $

_Hinweis: Geben Sie bei Bedarf `sqrt(x)` für $sqrt("x")$ an._