sellquiz/examples/TODO/ma2-3.8-3.9.txt---TODO.txt

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%course Mathematik 2 - Knospe, Randerath
%quiz 3.8 bis 3.9: Eigenwerte und Eigenvektoren, Koordinaten und Basiswechsel



Eigenvektoren

	a in { 1, 2, ..., 5 }
	b in { -8, -7, ..., -2}
	v = [[0],[1]]

Sei $ A = [[a,0],[0,b]] $.

Geben Sie den __Eigenvektor__ $ "v_1" $ zum Eigenwert $lambda = b$ an:

* $ "v_1" = #v*c in RR^(2 x 1) $

% TODO: ambiguity in grammar: solution properties vs continued term!
% idea: "solution. * c " for rendering "[    ] * c"


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Eigenwerte und Eigenvektoren

	x := 1
	y in { 9, 16, 25, 36, 49 }     % TODO:  "y in { x^2 | x in NN, x <= 7 } "
	A := [[0,x],[y,0]]
	l := { -sqrt(x*y), sqrt(x*y) }
	v := [[1],[sqrt(x*y)]]

Sei $ "A" = A $.

Geben Sie die __Eigenwerte__ von $"A"$ an:

* $ lambda = #l $

Bestimmen Sie nun den __Eigenraum__ $ lt "v" gt$ zu dem wertmäßig __größeren__ der beiden Eigenwerte:

* $ "v" = #v * c in RR^(2 x 1) $


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Koordinaten

	a,b in { 1, 2, ..., 10 }
	v := [[a],[b]]

Sei $ "v" = v $. Geben Sie die kartesischen Koordinaten von $ "v" $ bezüglich der Standardbasis $B_1 = { e_1, e_2 }$ an:
* $( #a, #b )$


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Basiswechsel

	e_1 := [[1],[0]]
	e_2 := [[0],[1]]
	a in { 2, 4 }
	b in { 2, 4 }
	b_1 := [[a],[b]]
	b_2 := [[-b],[a]]
	T_ := [[a,-b],[b,a]]

Seien die folgenden beiden __Basen__ gegeben:
* $ B_1 = { e_1, e_2 } $
* $ B_2 = { b_1, b_2 } $

Bestimmen Sie die __Abbildungsmatrix__ $ T $ für die lineare Abbildung $f$, die die Basis $ B_1 $ in die Basis $ B_2 $ abbildet:
* $ T = #T_ $

	Tinv := inv(T_)        % TODO: also allow syntax $ T^(-1) $

Berechnen Sie nun die __inverse Matrix__ $T^(-1)$:
* $ T^(-1) = #Tinv $

	w1, w2 in { -1, -2, 1, 2}
	w := [[w1],[w2]]
	v := Tinv * w

Sei der Vektor $"w"=w$ mit den Koordinaten bezüglich $B_1$ gegeben.
Berechnen Sie den Koordinatenvektor $"v"$ bezüglich $B_2$:
* $ "v" = #v $


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Basiswechsel

	a in { -1, -2, -3 }
	d := a - 1
	c, b in { 10, 11, 12 }
	A := [[a,b],[c,d]]
	x := (a+d)/2
	test := x^2 + b*c - a*d
	y := sqrt(x^2 + b*c - a*d)
	lambda = { x+y, x-y }

Sei $"A"=A$ eine __Abbildungsmatrix__ von $f$ bezüglich der Standardeinheitsbasis $B_1$.
* $"A"$ besitze eine Basis $B_2=(v_1,v_2)$ aus Eigenvektoren.
* Stellen Sie $f$ bezüglich $B_2$ durch eine Diagonalmatrix $D=T^(-1)*"A"*T = [["lambda_1",0],[0,"lambda_2"]]$ dar.
* $ "lambda" = #lambda $

_Hinweis: Geben Sie bei Bedarf `sqrt(x)` für $sqrt("x")$ an._