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!!! note " 例题 [ luogu P4322 \[JSOI2016\] 最佳团体 ](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4322)"
    题目大意：有一棵 $n+1$ 个结点的树，根为 $0$ 号结点。每个结点 $i$ 有一个价值 $p_i$ 和费用 $s_i$ 。你需要选择 $k$ 个结点 $a_1,a_2,\ldots,a_k$ （不包括 $0$ 号结点），使得

    $$
    \frac{\sum_{i=1}^k p_{a_i}}{\sum_{i=1}^k s_{a_i}}
    $$

    最大。你需要保证对于你选择的一个树上结点，它的父亲一定被选中。求出这个最大的比值。

如果每个点都只有一个价值（设为 $v_i$ ），我们要做的只是最大化这个最后能得到的价值，那么我们可以用树形动态规划解决这个问题。

定义 $f(i,j)$ 表示以 $i$ 为根的子树中选择 $j$ 个结点的最大价值。由于要满足如果一个点被选择，其父亲也一定被选择，如果 $j\ge 1$ ，那么当前结点 $i$ 一定是已经被选中的。利用树上背包进行合并。写出状态转移方程：

$$
f(i,j)=\left\{
\begin{aligned}
& 0, & j=0, \\
& \max\left\{\sum f(son,k)\right\}+v(i),\quad\text{where }\sum k=j-1, & j\neq 0
\end{aligned} \right
.
$$

如果 ** 合并方式得当 ** ，则可以在 $O(n^2)$ 的时间复杂度内完成状态转移，具体细节参见代码。

但是，我们是让一个分式的值最大化，然而这个分式的分母又不确定，怎么办呢？

首先我们明确一个性质：设最后最大化的答案为 $ans$ ，那么对于任意一个小于等于 $ans$ 的实数 $a$ ，都有 $v_i=p_i-a\times s_i$ ，这样的 $v$ 数组算出的 $f(0,k+1)$ 的值都大于零。该式等于零当且仅当 $a=ans$ 。

那么，我们就可以用二分的思想解决这个问题。每次选择一个 $mid$ ，令 $v_i=p_i-mid\times s_i$ ， 算出 $f(0,k+1)$ 的值，如果大于零则选择右区间，反之选择左区间。最后当区间 $[l,r]$ 的大小 $r-l$ 在可以容许的范围内时，输出最后的答案。时间复杂度为 $O(n^2\log ans)$ 。

这就是分数规划的基本思想。

代码：

```cpp
// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=2510;
int k,n,rr,cur,h[maxn],nxt[maxn*2],p[maxn*2],siz[maxn];
double s[maxn],pp[maxn],l,r,mid,v[maxn],f[maxn][maxn];
void add_edge(int x,int y)
{
    cur++;
    nxt[cur]=h[x];
    h[x]=cur;
    p[cur]=y;
}
void dfs(int x,int fa)
{
    siz[x]=1;f[x][0]=0;f[x][1]=v[x];
    for(int i=h[x];i!=-1;i=nxt[i])if(p[i]!=fa)
    {
        dfs(p[i],x);
        for(int j=siz[x];j>=1;j--)for(int k=0;k<=siz[p[i]];k++)
        f[x][j+k]=max(f[x][j+k],f[x][j]+f[p[i]][k]);
        siz[x]+=siz[p[i]];
    }
}
int main()
{
    memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d%d",&k,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf%d",s+i,pp+i,&rr),add_edge(rr,i),add_edge(i,rr);
    r=10000.0;
    while(r-l>1e-4)
    {
        mid=(l+r)*0.5;
        for(int i=1;i<=n;i++)v[i]=pp[i]-mid*s[i];
        for(int i=0;i<maxn;i++)for(int j=0;j<maxn;j++)f[i][j]=-2e9;
        dfs(0,-1);
        if(f[0][k+1]>0)l=mid;
        else r=mid;
    }
    printf("%.3lf\n",l);
    return 0;
}
```

## 习题

[ luogu P3705 \[SDOI2017\]新生舞会 ](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3705)

[ luogu P3288 \[SCOI2014\]方伯伯运椰子 ](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3288)

[ luogu P3199 \[HNOI2009\]最小圈 ](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3199)