oi-wiki/docs/math/linear-equation.md

wiki for OI / ACM-ICPC

## 介绍

形如 $ax \equiv b \pmod c$ 的方程被称为**线性同余方程**。

[\[NOIp 2012\] 同余方程](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1082)

## 求解方法

根据以下两个定理，我们可以求出同余方程 $ax \equiv b \pmod c$ 的解。

定理 1：

> 方程 $ax+by=c$ 与方程 $ax \equiv c \pmod b$ 是等价的，有整数解的充要条件为 $\gcd(a,b) \mid c$。

根据定理 1，方程 $ax+by=c$，我们可以先用扩展欧几里得算法求出一组 $x_0,y_0$，也就是 $ax_0+by_0=\gcd(a,b)$，然后两边同时除以 $\gcd(a,b)$，再乘 $c$。然后就得到了方程 $acx_0/\gcd(a,b)+bcy_0/\gcd(a,b)=c$，然后我们就找到了方程的一个解。

定理 2：

> 若 $\gcd(a,b)=1$，且 $x_0,y_0$ 为方程 $ax+by=c$ 的一组解，则该方程的任意解可表示为：$x=x_0+bt,y=y_0+at$, 且对任意整数 $t$ 都成立。

根据定理 2，可以求出方程的所有解。但在实际问题中，我们往往被要求求出一个最小整数解，也就是一个特解 $x,t=b/\gcd(a,b),x=(x \mod t+t)\mod t$。

代码：

```cpp
int ex_gcd(int a,int b,int& x,int& y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int d=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;x=y;y=temp-a/b*y;
    return d;
}
bool liEu(int a,int b,int c,int&x,int &y){
    int d=ex_gcd(a,b,x,y);
    if(c%d!=0) return 0;
    int k=c/d;
    x*=k;
    y*=k;
    return 1;
}
```