oi-wiki/docs/math/euler.md

wiki for OI / ACM-ICPC

欧拉函数是什么？ $\varphi(n)$ 表示的是小于等于 $n$ 和 $n$ 互质的数的个数。

比如说 $\varphi(1) = 1$。

当 n 是质数的时候，显然有 $\varphi(n) = n - 1$。

利用唯一分解定理，我们可以把一个整数唯一地分解为质数幂次的乘积，

设 $n = p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_s^{k_s}$，其中 $p_i$ 是质数，那么定义 $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}}$

### 欧拉函数的一些神奇性质

-   欧拉函数是积性函数。

      积性是什么意思呢？如果有 $\gcd(a, b) = 1$，那么 $\varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b)$。

      特别地，当 $n$ 是奇数时 $\varphi(2n) = 2 \times \varphi(n)$。

-   $n = \sum_{d | n}{\varphi(d)}$

      利用 [莫比乌斯反演](/math/mobius/) 相关知识可以得出。

      也可以这样考虑：如果 $\gcd(k, n) = d$，那么 $\gcd(\frac{k}{d},\frac{n}{d}) = 1$。（$k < n$）

      如果我们设 $f(x)$ 表示 $\gcd(k, n) = x$ 的数的个数，那么 $n = \sum_{i = 1}^n{f(x)}$。

      根据上面的证明，我们发现，$f(x) = \varphi(\frac{n}{x})$，从而 $n = \sum_{d | n}\varphi(\frac{n}{d})$。注意到约数 $d$ 和 $\frac{n}{d}$ 具有对称性，所以上式化为 $n = \sum_{d | n}\varphi(d)$。

-   若 $n = p^k$，其中 $p$ 是质数，那么 $\varphi(n) = p^k - p^{k - 1}$。
      （根据定义可知）

### 如何求欧拉函数值

如果只要求一个数的欧拉函数值，那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了。

```c++
int euler_phi(int n)
{
    int m=int(sqrt(n+0.5));
    int ans=n;
    for (int i=2;i<=m;i++)
	if (n%i==0)
	{
	    ans=ans/i*(i-1);
	    while (n%i==0) n/=i;
	}
    if (n>1) ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}
```

如果是多个数的欧拉函数值，可以利用后面会提到的线性筛法来求得。
详见：[筛法求欧拉函数](/math/sieve#_2)