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## 「物不知数」问题 > 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即求满足以下条件的整数：除以 $3$ 余 $2$，除以 $5$ 余 $3$，除以 $7$ 余 $2$。该问题最早见于《孙子算经》中，并有该问题的具体解法。宋朝数学家秦九韶于 1247 年《数书九章》卷一、二《大衍类》对「物不知数」问题做出了完整系统的解答。上面具体问题的解答口诀由明朝数学家程大位在《算法统宗》中给出： > 三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。 $2\times 70+3\times 21+2\times 15=233=2\times 105+23$，故答案为 $23$。 ## 算法简介及过程中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 $n_1, n_2, \cdots, n_k$ 两两互质）： $$ \left \{ \begin{array}{c} x &\equiv& a_1 \pmod {n_1} \\ x &\equiv& a_2 \pmod {n_2} \\ &\vdots& \\ x &\equiv& a_n \pmod {n_k} \\ \end{array} \right. $$ 上面的「物不知数」问题就是一元线性同余方程组的一个实例。 ### 算法流程 1. 计算所有模数的积 $n$； 2. 对于第 $i$ 个方程： 1. 计算 $m_i=\frac{n}{n_i}$； 2. 计算 $m_i$ 在模 $n_i$ 意义下的[逆元](/math/inverse/) $m_i^{-1}$； 3. 计算 $c_i=m_im_i^{-1}$（**不要对 $n_i$ 取模**）。 3. 方程组的唯一解为：$a=\sum_{i=1}^k a_ic_i \pmod n$。 ### 伪代码 ```text 1 → n 0 → ans for i = 1 to k n * n[i] → n for i = 1 to k n / n[i] → m inv(m, n[i]) → b // b * m mod n[i] = 1 (ans + m * b) mod n → ans return ans ``` ## 算法的证明我们需要证明上面算法计算所得的 $a$ 对于任意 $i=1,2,\cdots,k$ 满足 $a\equiv a_i \pmod {n_i}$。当 $i\neq j$ 时，有 $m_j\equiv 0 \pmod {n_i}$，故 $c_j\equiv m_j\equiv 0 \pmod {n_i}$。又有 $c_i\equiv m_i(m_i^{-1}\bmod {n_i})\equiv 1 \pmod {n_i}$，所以我们有： $$ \begin{aligned} a&\equiv \sum_{j=1}^k a_jc_j &\pmod {n_i} \\ &\equiv a_ic_i &\pmod {n_i} \\ &\equiv a_im_i(m^{-1}_i \bmod n_i) &\pmod {n_i} \\ &\equiv a_i &\pmod {n_i} \end{aligned} $$ **即对于任意 $i=1,2,\cdots,k$，上面算法得到的 $a$ 总是满足 $a\equiv a_i \pmod{n_i}$，即证明了解同余方程组的算法的正确性。** 因为我们没有对输入的 $a_i$ 作特殊限制，所以任何一组输入 $\{a_i\}$ 都对应一个解 $a$。另外，若 $x\neq y$，则总存在 $i$ 使得 $x$ 和 $y$ 在模 $n_i$ 下不同余。 **故系数列表 $\{a_i\}$ 与解 $a$ 之间是一一映射关系，方程组总是有唯一解。** ## 例下面演示 CRT 如何解「物不知数」问题。 1. $n=3\times 5\times 7=105$； 2. 三人同行**七十**希：$n_1=3, m_1=n/n_1=35, m_1^{-1}\equiv 2\pmod 3$，故 $c_1=35\times 2=70$； 3. 五树梅花**廿一**支：$n_2=5, m_2=n/n_2=21, m_2^{-1}\equiv 1\pmod 5$，故 $c_2=21\times 1=21$； 4. 七子团圆正**半月**：$n_3=7, m_3=n/n_3=15, m_3^{-1}\equiv 1\pmod 7$，故 $c_3=15\times 1=15$； 5. 所以方程组的唯一解为 $a\equiv 2\times 70+3\times 21+2\times 15\equiv 233\equiv 23 \pmod {105}$。（除**百零五**便得知） ## 应用某些计数问题或数论问题出于加长代码、增加难度、或者是一些其他不可告人的原因，给出的模数：**不是质数**！但是对其质因数分解会发现它没有平方因子，也就是该模数是由一些不重复的质数相乘得到。那么我们可以分别对这些模数进行计算，最后用 CRT 合并答案。推荐练习：BZOJ 1951 ## 比较两 CRT 下整数考虑 CRT, 不妨假设$n_1\leq n_2 \leq ... \leq n_k$ $$ \left \{ \begin{array}{c} x &\equiv& a_1 \pmod {n_1} \\ x &\equiv& a_2 \pmod {n_2} \\ &\vdots& \\ x &\equiv& a_n \pmod {n_k} \\ \end{array} \right. $$ 与 PMR(Primorial Mixed Radix) 表示 $x=b_1+b_2n_1+b_3n_1n_2...+b_kn_1n_2...n_{k-1} ,b_i\in [0,n_i)$ 将数字转化到 PMR 下, 逐位比较即可转化方法考虑依次对 PMR 取模 $$ \begin{align} b_1&=a_1 \mod n_1\\ b_2&=(a_2-b_1)c_{1,2} \mod n_2\\ b_3&=((a_3-b_1')c_{1,3}-x_2')c_{2,3} \mod n_3\\ &...\\ b_k&=(...((a_k-b_1)c_{1,k}-b_2)c_{2,k})-...)c_{k-1,k} \mod n_k \end{align} $$ 其中$c_{i,j}$表示$n_i$对$n_j$的逆元,$c_{i,j}n_i=1 \mod n_j$ ## 扩展：模数不互质的情况 ### 两个方程设两个方程分别是 $x\equiv a_1 \pmod {m_1}$、$x\equiv a_2 \pmod {m_2}$；将它们转化为不定方程：$x=m_1p+a_1=m_2q+a_2$，其中 $p, q$ 是整数，则有 $m_1p-m_2q=a_2-a_1$。由裴蜀定理，当 $a_2-a_1$ 不能被 $\gcd(m_1,m_2)$ 整除时，无解；其他情况下，可以通过扩展欧几里得算法解出来一组可行解 $(p, q)$；则原来的两方程组成的模方程组的解为 $x\equiv b\pmod M$，其中 $b=m_1p+a_1$，$M=\text{lcm}(m_1, m_2)$。 ### 多个方程用上面的方法两两合并就可以了…… 推荐练习：POJ 2891 [【模板】扩展中国剩余定理](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4777) [\[NOI2018\] 屠龙勇士](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4774) [\[TJOI2009\] 猜数字](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3868) [\[SDOI2010\] 古代猪文](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2480)