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## 图是怎么存的？ ### 直接存边什么意思呢？我们开一个数组，数组里每个元素是图的一条边。这样做有个缺点，每次想要知道两个点之间是否有连边（或者说一条边是否存在），都需要在数组里进行一番查找。而且如果没有对边事先排序的话，就不能使用二分查找的方法（$O(\log n)$），而是每次只能按顺序找（$O(n)$），成本较高。什么时候会用到这个方法呢？最简单的一个例子是使用 Kruskal 算法求 [最小生成树](/graph/mst) 的时候。 ### 邻接矩阵邻接矩阵的英文名是 adjacency matrix。它的形式是 `bool adj[n][n]`，这里面 $n$ 是节点个数，$adj[i][j]$ 表示 $i$ 和 $j$ 之间是否有边。如果边有权值，也可以直接用 `int adj[n][n]`，直接把边权存进去。它的优点是可以在 $O(1)$ 时间内得到一条边是否存在，缺点是需要占用 $O(n^2)$ 的空间。对于一个稀疏的图（边相对于点数的平方比较少）来说，用邻接矩阵来存的话，成本偏高。 ### 邻接表邻接表英文名是 adjacency list。它的形式是 `vector adj[n]`，用 `adj[i]` 存以 $i$ 为起点的边。用 `vector` 无法科学地删除，所以常用 `list` 实现。它的特点是可以用来按顺序访问一个结点的出边（或者入边）。 ### 前向星为什么它搜不到英文名呢？因为是中国玩家乱搞出来的。首先介绍一下链式前向星，本质上是用单向链表实现的邻接表。形式上是一个结构体：`struct edge {edge *pre, int to;} *head[N], edge[M]'` 这个结构广泛出现于算法竞赛选手的代码中，编写简洁而且对于大多数题目效率足够高。其中 `head[i]` 用来存以 $i$ 为起点的边，`edge` 数组是边表。那么什么是前向星呢？事先把 `edge` 数组排个序即可。这里可以使用 [基数排序](basic/sort) 做到 $O(m)$。 ## 一些跟图有关的定义 ### 路径 path，是指一个边的序列，其中的边首尾相连。 ### 简单路径 simple path，是每条边只经过了一次的路径。 ### 回路 cycle，也称为 `环`，是起点和终点相同的路径。 ### 简单回路图的定点序列中，除了起点和终点相同外，其余顶点不重复的回路。 ### 连通 #### 两个点连通无向图中点 $u$ 和 $v$ 连通是指存在一条 $u$ 到 $v$ 的路径。 #### 图连通如果无向图 $G$ 中任意两个节点连通，称其为是连通的。 ### 可达有向图中点 $u$ 到 $v$ 可达是指存在一条 $u$ 到 $v$ 的路径。 ### [强连通](/graph/scc) 有向图 $G$ 强连通是指，$G$ 中任意两个节点连通。 ### [弱连通](/graph/bcc) 有向图 $G$ 弱连通是指，$G$ 中的所有边替换为无向边后，$G$ 为连通图。 ### 子图选取一个节点的子集和边的子集构成的图。 #### 生成子图选取的子图的节点和原图一样。 #### 导出子图选取一个节点的子集，再选取这些节点相关联的边的集合构成的图。 #### 边导出子图选取一个边的子集，再选取这些边相关联的节点的集合，构成的图。 #### 连通子图（一个无向图的）连通的子图。 #### 连通分量（一个无向图的）极大的连通子图。【注】：极大是指添加任何节点或者边后都不再满足。 ### 稀疏图 $m = \Theta(n)$ 的图，或者指 $m$ 相对较小的图。 ### 稠密图 $m = \Theta(n^2)$ 的图，或者指 $m$ 相对较大的图。 ### 完全图 $m = \frac{n(n-1)}{2}$ 的简单无向图。 ### 路径的长度一般来说，路径的长度在数值上等于路径的边数，或者如果边是带权的，则是路径的边权和。 ### [最短路径](/graph/shortest-path) 两个节点之间，长度最小的路径。【注】：不一定存在，不一定唯一。