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> SAT 是适定性（ Satisfiability ）问题的简称 。一般形式为 k - 适定性问题，简称 k-SAT 。而当 $k>2$ 时该问题为 NP 完全的。所以我们之研究 $k=2$ 的情况。

## 定义

2-SAT ，简单的说就是给出 $n$ 个集合，每个集合有两个元素，已知若干个 $<a,b>$ ，表示 $a$ 与 $b$ 矛盾（其中 $a$ 与 $b$ 属于不同的集合）。然后从每个集合选择一个元素，判断能否一共选 $n$ 个两两不矛盾的元素。显然可能有多种选择方案，一般题中只需要求出一种即可。

## 现实意义

比如邀请人来吃喜酒，夫妻二人必须去一个，然而某些人之间有矛盾（比如 A 先生与 B 女士有矛盾，C 女士不想和 D 先生在一起），那么我们要确定能否避免来人之间没有矛盾，有时需要方案。这是一类生活中常见的问题。

## 常用解决方法

### Tarjan [SCC 缩点](/graph/scc)

算法考究在建图这点，我们举个例子来讲：

假设有 ${a1,a2}$ 和 ${b1,b2}$ 两对，已知 $a1$ 和 $b2$ 间有矛盾，于是为了方案自洽，由于两者中必须选一个，所以我们就要拉两条条有向边 $(a1,b1)$ 和 $(b2,a2)$ 表示选了 $a1$ 则必须选 $b1$ ，选了 $b2$ 则必须选 $a2$ 才能够自洽。

然后通过这样子建边我们跑一遍 Tarjan SCC 判断是否有一个集合中的两个元素在同一个 SCC 中，若有则输出不可能，否则输出方案。构造方案只需要把几个不矛盾的 SCC 拼起来就好了。

显然地, 时间复杂度是 $O(n+m)$ 的，即缩点的复杂度。

### 爆搜

就是沿着图上一条路径，如果一个点被选择了，那么这条路径以后的点都将被选择，那么，出现不可行的情况就是，存在一个集合中两者都被选择了。

那么，我们只需要枚举一下就可以了，数据不大，答案总是可以出来的。

#### 爆搜模板

下方代码来自刘汝佳的白书：

```cpp
//来源：白书第323页
struct Twosat{
    int n;
    vector<int> g[maxn*2];
    bool mark[maxn*2];
    int s[maxn*2],c;
    bool dfs(int x){
        if(mark[x^1]) return false;
        if(mark[x]) return true;
        mark[x]=true;
        s[c++]=x;
        for(int i=0;i<(int)g[x].size();i++)
            if(!dfs(g[x][i])) return false;
        return true;
    }
    void init(int n){
        this->n=n;
        for(int i=0;i<n*2;i++) g[i].clear();
        memset(mark,0,sizeof(mark));
    }
    void add_clause(int x,int y){//这个函数随题意变化
        g[x].push_back(y^1);//选了x就必须选y^1
        g[y].push_back(x^1);
    }
    bool solve(){
        for(int i=0;i<n*2;i+=2)
            if(!mark[i]&&!mark[i+1]){
                c=0;
                if(!dfs(i)){
                    while(c>0) mark[s[--c]]=false;
                    if(!dfs(i+1)) return false;
                }
            }
        return true;
    }
};
```

## 例题

### **HDU3062 [Party](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3062)**

> 题面：有 n 对夫妻被邀请参加一个聚会，因为场地的问题，每对夫妻中只有 $1$ 人可以列席。在 $2n$ 个人中，某些人之间有着很大的矛盾（当然夫妻之间是没有矛盾的），有矛盾的 $2$ 个人是不会同时出现在聚会上的。有没有可能会有 $n$ 个人同时列席？

这是一道多校题，裸的 2-SAT 判断是否有方案，按照我们上面的分析，如果 $a1$ 中的丈夫和 $a2$ 中的妻子不合，我们就把 $a1$ 中的丈夫和 $a2$ 中的丈夫连边，把 $a2$ 中的妻子和 $a1$ 中的妻子连边，然后缩点染色判断即可。

```cpp
//作者：小黑AWM
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define maxn 2018
#define maxm 4000400
using namespace std;
int Index,instack[maxn],DFN[maxn],LOW[maxn];
int tot,color[maxn];
int numedge,head[maxn];
struct Edge{
    int nxt,to;
}edge[maxm];
int sta[maxn],top;
int n,m;
void add(int x,int y){
    edge[++numedge].to=y;
    edge[numedge].nxt=head[x];
    head[x]=numedge;
}
void tarjan(int x){//缩点看不懂请移步强连通分量上面有一个链接可以点。
    sta[++top]=x;
    instack[x]=1;
    DFN[x]=LOW[x]=++Index;
    for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt){
        int v=edge[i].to;
        if(!DFN[v]){
            tarjan(v);
            LOW[x]=min(LOW[x],LOW[v]);
        }
        else if(instack[v])
            LOW[x]=min(LOW[x],DFN[v]);
    }
    if(DFN[x]==LOW[x]){
        tot++;
        do{
            color[sta[top]]=tot;//染色
            instack[sta[top]]=0;
        }while(sta[top--]!=x);
    }
}
bool solve(){
    for(int i=0;i<2*n;i++)
        if(!DFN[i])
            tarjan(i);
    for(int i=0;i<2*n;i+=2)
        if(color[i]==color[i+1])return 0;
    return 1;
}
void init(){
    top=0;
    tot=0;
    Index=0;
    numedge=0;
    memset(sta,0,sizeof(sta));
    memset(DFN,0,sizeof(DFN));
    memset(instack,0,sizeof(instack));
    memset(LOW,0,sizeof(LOW));
    memset(color,0,sizeof(color));
    memset(head,0,sizeof(head));
}
int main(){
    while(~scanf("%d%d", &n , &m )){
        init();
        for(int i = 1 ; i <= m ; i++){
            int a1,a2,c1,c2;
            scanf("%d%d%d%d",&a1,&a2,&c1,&c2);//自己做的时候别用cin会被卡
            add( 2*a1+c1 , 2*a2+1-c2 );//我们将2i+1表示为第i对中的，2i表示为妻子。
            add( 2*a2+c2 , 2*a1+1-c1 );
        }
        if( solve() )
            printf("YES\n");
        else
            printf("NO\n");
    }
    return 0;
}
```

## 练习题

HDU1814 [和平委员会](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1814)

POJ3683 [牧师忙碌日](http://poj.org/problem?id=3683)