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> 如何用 $\text{Splay}$ 维护二叉查找树。

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# 简介

$\text{Splay}$ 是一种二叉查找树，它通过不断将某个节点旋转到根节点，使得整棵树仍然满足二叉查找树的性质，并且保持平衡而不至于退化为链，它由 Daniel Sleator 和 Robert Tarjan 发明。

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# 结构

### 二叉查找树的性质

首先肯定是一棵二叉树！

能够在这棵树上查找某个值的性质：左儿子的值 $<$ 根节点的值 $<$ 右儿子的值。

### 节点维护信息

| $rt$  | $tot$ | $fa[i]$ | $ch[i][0/1]$ | $val[i]$ | $cnt[i]$ | $sz[i]$ |
| :---- | :---- | :------ | :----------- | :------- | :------- | :------ |
| 根节点编号 | 节点个数  | 父亲      | 左右儿子编号       | 节点权值     | 权值出现次数   | 子树大小    |

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# 操作

### 基本操作

- $\text{maintain}(x)$：在改变节点位置前，将节点 $x$ 的 $\text{size}$ 更新。
- $\text{get}(x)$：判断节点 $x$ 是父亲节点的左儿子还是右儿子。
- $\text{clear}(x)$：销毁节点 $x$。

```cpp
void maintain(int x) {
	sz[x]=sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+cnt[x];
}
bool get(int x) {
	return x==ch[fa[x]][1];
}
void clear(int x) {
	ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=val[x]=sz[x]=cnt[x]=0;
}
```

### 旋转操作

为了使 $\text{Splay}$ 保持平衡而进行旋转操作，旋转的本质是将某个节点上移一个位置。

**旋转需要保证**：

- 整棵 $\text{Splay}$ 的中序遍历不变（不能破坏二叉查找树的性质）。
- 受影响的节点维护的信息依然正确有效。
- $root$ 必须指向旋转后的根节点。

在 $\text{Splay}$ 中旋转分为两种：左旋和右旋。

![](./images/splay2.png)

**具体分析旋转步骤**（假设需要旋转的节点为 $x$，其父亲为 $y$，以右旋为例）

1.  将 $y$ 的左儿子指向 $x$ 的右儿子，且 $x$ 的右儿子的父亲指向 $y$。
    `ch[y][0]=ch[x][1]; fa[ch[x][1]]=y;`
2.  将 $x$ 的右儿子指向 $y$，且 $y$ 的父亲指向 $x$。
    `ch[x][chk^1]=y; fa[y]=x;`
3.  如果原来的 $y$ 还有父亲 $z$，那么把 $z$ 的某个儿子（原来 $y$ 所在的儿子位置）指向 $x$，且 $x$ 的父亲指向 $z$。
    `fa[x]=z; if(z) ch[z][y==ch[z][1]]=x;`

```cpp
void rotate(int x) {
	int y=fa[x],z=fa[y],chk=get(x);
	ch[y][chk]=ch[x][chk^1]; fa[ch[x][chk^1]]=y; ch[x][chk^1]=y;
	fa[y]=x; fa[x]=z;
	if(z) ch[z][y==ch[z][1]]=x;
	maintain(x); maintain(y);
}
```

### Splay 操作

$\text{Splay}$ 规定：每访问一个节点后都要强制将其旋转到根节点。此时旋转操作具体分为 $6$ 种情况讨论（其中 $x$ 为需要旋转到根的节点）

![](./images/splay1.png)

- 如果 $x$ 的父亲是根节点，直接将 $x$ 左旋或右旋（图 $1,2$）。
- 如果 $x$ 的父亲不是根节点，且 $x$ 和父亲的儿子类型相同，首先将其父亲左旋或右旋，然后将 $x$ 右旋或左旋（图 $3,4$）。
- 如果 $x$ 的父亲不是根节点，且 $x$ 和父亲的儿子类型不同，将 $x$ 左旋再右旋、或者右旋再左旋（图 $5,6$）。

分析起来一大串，其实代码一小段。大家可以自己模拟一下 $6$ 种旋转情况，就能理解 $\text{Splay}$ 的基本思想了。

```cpp
void splay(int x) {
	for(int f=fa[x];f=fa[x],f;rotate(x))
		if(fa[f]) rotate(get(x)==get(f)?f:x);
	rt=x;
}
```

### 插入操作

插入操作是一个比较复杂的过程，具体步骤如下（插入的值为 $k$）：

- 如果树空了则直接插入根并退出。
- 如果当前节点的权值等于 $k$ 则增加当前节点的大小并更新节点和父亲的信息，将当前节点进行 $\text{Splay}$ 操作。
- 否则按照二叉查找树的性质向下找，找到空节点就插入即可（当然别忘了 $\text{Splay}$ 操作哦）。

```cpp
void ins(int k) {
	if(!rt) {
		val[++tot]=k;
		cnt[tot]++;
		rt=tot;
		maintain(rt);
		return;
	}
	int cnr=rt,f=0;
	while(1) {
		if(val[cnr]==k) {
			cnt[cnr]++;
			maintain(cnr); maintain(f);
			splay(cnr);
			break;
		}
		f=cnr;
		cnr=ch[cnr][val[cnr]<k];
		if(!cnr) {
			val[++tot]=k;
			cnt[tot]++;
			fa[tot]=f;
			ch[f][val[f]<k]=tot;
			maintain(tot); maintain(f);
			splay(tot);
			break;
		}
	}
}
```

### 查询 x 的排名

根据二叉查找树的定义和性质，显然可以按照以下步骤查询 $x$ 的排名：

- 如果 $x$ 比当前节点的权值小，向其左子树查找。
- 如果 $x$ 比当前节点的权值大，将答案加上左子树（$size$）和当前节点（$cnt$）的大小，向其右子树查找。
- 如果 $x$ 与当前节点的权值相同，将答案加 $1$ 并返回。

注意最后需要进行 $\text{Splay}$ 操作。

```cpp
int rk(int k) {
	int res=0,cnr=rt;
	while(1) {
		if(k<val[cnr]) {
			cnr=ch[cnr][0];
		} else {
			res+=sz[ch[cnr][0]];
			if(k==val[cnr]) {
				splay(cnr);
				return res+1;
			}
			res+=cnt[cnr];
			cnr=ch[cnr][1];
		}
	}
}
```

### 查询排名 x 的数

设 $k$ 为剩余排名，具体步骤如下：

- 如果左子树非空且剩余排名 $k$ 不大于左子树的大小 $size$，那么向左子树查找。
- 否则将 $k$ 减去左子树的和根的大小。如果此时 $k$ 的值小于等于 $0$，则返回根节点的权值，否则继续向右子树查找。

```cpp
int kth(int k) {
	int cnr=rt;
	while(1) {
		if(ch[cnr][0]&&k<=sz[ch[cnr][0]]) {
			cnr=ch[cnr][0];
		} else {
			k-=cnt[cnr]+sz[ch[cnr][0]];
			if(k<=0) return val[cnr];
			cnr=ch[cnr][1];
		}
	}
}
```

### 查询前驱

前驱定义为小于 $x$ 的最大的数，那么查询前驱可以转化为：将 $x$ 插入（此时 $x$ 已经在根的位置了），前驱即为 $x$ 的左子树中最右边的节点，最后将 $x$ 删除即可。

```cpp
int pre() {
	int cnr=ch[rt][0];
	while(ch[cnr][1]) cnr=ch[cnr][1];
	return cnr;
}
```

### 查询后继

后继定义为大于 $x$ 的最小的数，查询方法和前驱类似：$x$ 的右子树中最左边的节点。

```cpp
int nxt() {
	int cnr=ch[rt][1];
	while(ch[cnr][0]) cnr=ch[cnr][0];
	return cnr;
}
```

### 删除操作

删除操作也是一个比较复杂的操作，具体步骤如下：

- 首先将 $x$ 旋转到根的位置。
- 接下来分为多个情况考虑：

1. 如果有不止一个 $x$，那么将 $cnt[x]$ 减 $1$ 并退出。
2. 如果 $x$ 没有儿子节点，那么直接将当前节点 $\text{clear}$ 并退出。
3. 如果 $x$ 只有一个儿子，那么先将当前节点 $\text{clear}$ 再把唯一的儿子作为根节点。
4. 否则将 $x$ 的前驱旋转到根并作为根节点，将 $x$ 的右子树接到根节点的右子树上，最后要将根的信息更新。

```cpp
void del(int k) {
	rk(k);
	if(cnt[rt]>1) {cnt[rt]--;maintain(rt);return;}
	if(!ch[rt][0]&&!ch[rt][1]) {clear(rt);rt=0;return;}
	if(!ch[rt][0]) {int cnr=rt;rt=ch[rt][1];fa[rt]=0;clear(cnr);return;}
	if(!ch[rt][1]) {int cnr=rt;rt=ch[rt][0];fa[rt]=0;clear(cnr);return;}
	int x=pre(),cnr=rt;
	splay(x);
	fa[ch[cnr][1]]=x;
	ch[x][1]=ch[cnr][1];
	clear(cnr);
	maintain(rt);
}
```

* * *

# 完整代码

```cpp
#include<cstdio>
const int N=100005;
int rt,tot,fa[N],ch[N][2],val[N],cnt[N],sz[N];
struct Splay {
	void maintain(int x) {
		sz[x]=sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+cnt[x];
	}
	bool get(int x) {
		return x==ch[fa[x]][1];
	}
	void clear(int x) {
		ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=val[x]=sz[x]=cnt[x]=0;
	}
	void rotate(int x) {
		int y=fa[x],z=fa[y],chk=get(x);
		ch[y][chk]=ch[x][chk^1]; fa[ch[x][chk^1]]=y; ch[x][chk^1]=y;
		fa[y]=x; fa[x]=z;
		if(z) ch[z][y==ch[z][1]]=x;
		maintain(x); maintain(y);
	}
	void splay(int x) {
		for(int f=fa[x];f=fa[x],f;rotate(x))
			if(fa[f]) rotate(get(x)==get(f)?f:x);
		rt=x;
	}
	void ins(int k) {
		if(!rt) {
			val[++tot]=k;
			cnt[tot]++;
			rt=tot;
			maintain(rt);
			return;
		}
		int cnr=rt,f=0;
		while(1) {
			if(val[cnr]==k) {
				cnt[cnr]++;
				maintain(cnr); maintain(f);
				splay(cnr);
				break;
			}
			f=cnr;
			cnr=ch[cnr][val[cnr]<k];
			if(!cnr) {
				val[++tot]=k;
				cnt[tot]++;
				fa[tot]=f;
				ch[f][val[f]<k]=tot;
				maintain(tot); maintain(f);
				splay(tot);
				break;
			}
		}
	}
	int rk(int k) {
		int res=0,cnr=rt;
		while(1) {
			if(k<val[cnr]) {
				cnr=ch[cnr][0];
			} else {
				res+=sz[ch[cnr][0]];
				if(k==val[cnr]) {
					splay(cnr);
					return res+1;
				}
				res+=cnt[cnr];
				cnr=ch[cnr][1];
			}
		}
	}
	int kth(int k) {
		int cnr=rt;
		while(1) {
			if(ch[cnr][0]&&k<=sz[ch[cnr][0]]) {
				cnr=ch[cnr][0];
			} else {
				k-=cnt[cnr]+sz[ch[cnr][0]];
				if(k<=0) return val[cnr];
				cnr=ch[cnr][1];
			}
		}
	}
	int pre() {
		int cnr=ch[rt][0];
		while(ch[cnr][1]) cnr=ch[cnr][1];
		return cnr;
	}
	int nxt() {
		int cnr=ch[rt][1];
		while(ch[cnr][0]) cnr=ch[cnr][0];
		return cnr;
	}
	void del(int k) {
		rk(k);
		if(cnt[rt]>1) {cnt[rt]--;maintain(rt);return;}
		if(!ch[rt][0]&&!ch[rt][1]) {clear(rt);rt=0;return;}
		if(!ch[rt][0]) {int cnr=rt;rt=ch[rt][1];fa[rt]=0;clear(cnr);return;}
		if(!ch[rt][1]) {int cnr=rt;rt=ch[rt][0];fa[rt]=0;clear(cnr);return;}
		int x=pre(),cnr=rt;
		splay(x);
		fa[ch[cnr][1]]=x;
		ch[x][1]=ch[cnr][1];
		clear(cnr);
		maintain(rt);
	}
}tree;

int main() {
	int n,opt,x;
	for(scanf("%d",&n);n;--n) {
		scanf("%d%d",&opt,&x);
		if(opt==1) tree.ins(x);
		else if(opt==2) tree.del(x);
		else if(opt==3) printf("%d\n",tree.rk(x));
		else if(opt==4) printf("%d\n",tree.kth(x));
		else if(opt==5) tree.ins(x),printf("%d\n",val[tree.pre()]),tree.del(x);
		else tree.ins(x),printf("%d\n",val[tree.nxt()]),tree.del(x);
	}
	return 0;
}
```

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# 例题

以下题目都是裸的 $\text{Splay}$ 维护二叉查找树。~~（直接套板子即可）~~

- [【模板】普通平衡树](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3369)
- [\[HNOI2002\] 营业额统计](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1588)
- [\[HNOI2004\] 宠物收养所](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1208)

# 练习题

[bzoj 1552 \[Cerc2007\] robotic sort](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1552) （权限题）

[luogu P3380 【模板】二逼平衡树（树套树）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3380)

[bzoj 2827 千山鸟飞绝](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2827)

[bzoj 4923 \[Lydsy1706 月赛\]K 小值查询](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4923)

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> 本文部分内容引用于 [algocode 算法博客](https://algocode.net)，特别鸣谢！