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# 线段树套平衡树

### 常见用途

在算法竞赛中，我们有时需要维护多维度信息。在这种时候，我们经常需要树套树来记录信息。当需要维护前驱，后继，第 $k$ 大，某个数的排名，或者插入删除的时候，我们通常需要使用平衡树来满足我们的需求，即线段树套平衡树。

### 实现原理

我们以**二逼平衡树**为例，来解释实现原理。

关于树套树的构建，我们对于外层线段树正常建树，对于线段树上的某一个节点，建立一棵平衡树，包含该节点所覆盖的序列。具体操作时我们可以将序列元素一个个插入，每经过一个线段树节点，就将该元素加入到该节点的平衡树中。

操作一，求某区间中某值的排名：我们对于外层线段树正常操作，对于在某区间中的节点的平衡树，我们返回平衡树中比该值小的元素个数，合并区间时，我们将小的元素个数求和即可。最后将返回值 $+1$，即为某值在某区间中的排名。

操作二，求某区间中排名为 $k$ 的值：我们可以采用二分策略。因为一个元素可能存在多个，其排名为一区间，且有些元素原序列不存在。所以我们采取和操作一类似的思路，我们用小于该值的元素个数作为参考进行二分，即可得解。

操作三，将某个数替换为另外一个数：我们只要在所有包含某数的平衡树中删除某数，然后再插入另外一个数即可。外层依旧正常线段树操作。

操作四，求某区间中某值的前驱：我们对于外层线段树正常操作，对于在某区间中的节点的平衡树，我们返回某值在该平衡树中的前驱，线段树的区间结果合并时，我们取最大值即可。

### 空间复杂度

我们每个元素加入 $\log n$ 个平衡树，所以空间复杂度为 $(n + q)\log{n}$。

### 时间复杂度

对于 $1,2,4$ 操作，我们考虑我们在外层线段树上进行 $\log{n}$ 次操作，每次操作会在一个内层平衡树树上进行 $\log{n}$ 次操作，所以时间复杂度为 $\log^2{n}$。
对于 $3$ 操作，多一个二分过程，为 $\log^3{n}$。

### 经典例题

[二逼平衡树](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3196) 外层线段树，内层平衡树。

### 示例代码

平衡树部分代码请参考 Splay 等其他条目。[传送至 Splay 条目](/ds/splay/)

操作一

```cpp
int vec_rank(int k,int l,int r,int x,int y,int t)
{
    if (x <= l && r <= y) 
	{
		return spy[k].chk_rank(t);
	}
    int mid = l + r >> 1;
    int res = 0;
    if (x <= mid) res += vec_rank(k << 1,l,mid,x,y,t);
    if (y > mid) res += vec_rank(k << 1 | 1,mid + 1,r,x,y,t);
    if (x <= mid && y > mid) res--;
    return res; 
}
```

操作二

```cpp
int el = 0,er = 100000001,emid;
while (el != er)
{
    emid = el + er >> 1;
    if (vec_rank(1,1,n,tl,tr,emid) - 1 < tk) el = emid + 1;
    else er = emid;
}
printf("%d\n",el - 1);
```

操作三

```cpp
void vec_chg(int k,int l,int r,int loc,int x)
{
    int t = spy[k].find(dat[loc]);
    spy[k].dele(t);
    spy[k].insert(x);
    if (l == r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    if (loc <= mid) vec_chg(k << 1,l,mid,loc,x);
    if (loc > mid) vec_chg(k << 1 | 1,mid + 1,r,loc,x);
}
```

操作四

```cpp
int vec_front(int k,int l,int r,int x,int y,int t)
{
    if (x <= l && r <= y) return spy[k].chk_front(t);
    int mid = l + r >> 1;
    int res = 0;
    if (x <= mid) res = max(res,vec_front(k << 1,l,mid,x,y,t));
    if (y > mid) res = max(res,vec_front(k << 1 | 1,mid + 1,r,x,y,t));
    return res; 
}
```

### 相关算法

面对多维度信息的题目时，如果题目没有要求强制在线，我们还可以考虑 **CDQ 分治**，或者**整体二分**等分治算法，来避免使用高级数据结构，减少代码实现难度。