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## 经典题型

数位 DP 问题往往都是这样的题型，给定一个闭区间 $[l,r]$，让你求这个区间中满足 **某种条件** 的数的总数。

??? note " 例题 [luogu P2657 \[SCOI2009\] windy 数](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2657)"
    题目大意：给定一个区间 $[l,r]$ ，求其中满足条件 **不含前导 $0$ 且相邻两个数字相差至少为 $2$** 的数字个数。

首先我们将问题转化成更加简单的形式。设 $ans_i$ 表示在区间 $[1,i]$ 中满足条件的数的数量，那么所求的答案就是 $ans_r-ans_{l-1}$。

分开求解这两个问题。

对于一个小于 $n$ 的数，它从高到低肯定出现某一位，使得这一位上的数值小于 $n$ 这一位上对应的数值。而之前的所有位都和 $n$ 上的位相等。

有了这个性质，我们可以定义 $f(i,st,op)$ 表示当前将要考虑的是从高到低的第 $i$ 位，当前该前缀的状态为 $st$ 且前缀和当前求解的数字的大小关系是 $op$ （$op=1$ 表示等于，$op=0$ 表示小于）时的数字个数。在本题中，这个前缀的状态就是上一位的值，因为当前将要确定的位不能取哪些数只和上一位有关。在其他题目中，这个值可以是：前缀的数字和，前缀所有数字的 $\gcd$，该前缀取模某个数的余数，也有两种或多种合用的情况。

写出 **状态转移方程** ： $f(i,st,op)=\sum_{i=1}^{maxx} f(i+1,k,op=1~ \operatorname{and}~ i=maxx )\quad (|st-k|\ge 2)$

这里的 $k$ 就是当前枚举的下一位的值，而 $maxx$ 就是当前能取到的最高位。因为如果 $op=1$，那么你在这一位上取的值一定不能大于求解的数字上该位的值，否则则没有限制。

我们发现，尽管前缀所选择的状态不同，而 $f$ 的三个参数相同，答案就是一样的。为了防止这个答案被计算多次，可以使用记忆化搜索的方式实现。

核心代码：

```cpp
int dfs(int x,int st,int op)//op=1 =;op=0 <
{
    if(!x)return 1;
    if(!op&&~f[x][st])return f[x][st];
    int maxx=op?dim[x]:9,ret=0;
    for(int i=0;i<=maxx;i++)
    {
        if(abs(st-i)<2)continue;
        if(st==11&&i==0)ret+=dfs(x-1,11,op&(i==maxx));
        else ret+=dfs(x-1,i,op&(i==maxx));
    }
    if(!op)f[x][st]=ret;
    return ret;
}
int solve(int x)
{
    memset(f,-1,sizeof f);
    dim.clear();
    dim.push_back(-1);
    int t=x;
    while(x)
    {
        dim.push_back(x%10);
        x/=10;
    }
    return dfs(dim.size()-1,11,1);
}
```

## 几道练习题

[BZOJ 3679 数字之积 ](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3679)

[luogu P2602 \[ZJOI2010\] 数字计数 ](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2602)

[luogu P4127 \[AHOI2009\] 同类分布 ](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4127)

[luogu  P3413 SAC#1 - 萌数](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3413)

[HDU 6148 Valley Number ](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6148)

[CF55D Beautiful numbers](http://codeforces.com/problemset/problem/55/D)

[CF628D Magic Numbers](http://codeforces.com/problemset/problem/628/D)

[CF401D Roman and Numbers](http://codeforces.com/problemset/problem/401/D)