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ag-gipp/GoUldI

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<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="\left(\frac{a}{p}\right)=\begin{cases}1&amp;\text{ if }a\text{ is a quadratic %&#10;residue modulo }p\text{ and }a\not\equiv 0\pmod{p},\\&#10;-1&amp;\text{ if }a\text{ is a quadratic non-residue modulo }p,\\&#10;0&amp;\text{ if }a\equiv 0\pmod{p}.\end{cases}" display="inline"> <semantics id="p1.1.m1.1a"> <mrow id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo> <mfrac id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.cmml">a</mi> <mi id="p1.1.m1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.2.3.cmml">p</mi> </mfrac> <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">=</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml">{</mo> <mtable columnspacing="5pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.6" 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xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.4.cmml">p</mi> <mo id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.1.1c" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.1.1.cmml">⁢</mo> <mtext id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.5.cmml"> and </mtext> <mo id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.1.1d" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.1.1.cmml">⁢</mo> <mi id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.6.cmml">a</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.8.cmml">≢</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.2.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.9.cmml">0</mn> <mspace width="veryverythickmathspace" id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.2a" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.2.cmml"/> <mrow id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.10" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.1.cmml"> <mo lspace="8.1pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.4" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.1.1.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.10.2" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.1.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.7" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.1.1.cmml">mod</mo> <mi 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xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.2.cmml">a</mi> <mo id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.1a" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.1.cmml">⁢</mo> <mtext id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.3.cmml"> is a quadratic non-residue modulo </mtext> <mo id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.1b" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.1.cmml">⁢</mo> <mi id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.4.cmml">p</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.cmml">,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr id="p1.1.m1.1.6g" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml"> <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.6h" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.6.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1.cmml">0</mn> </mtd> <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.6i" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.6.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.1.cmml"> <mtext id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.1.cmml"> if </mtext> <mo id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.1.1.cmml">⁢</mo> <mi id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.2.cmml">a</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.3.cmml">≡</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.2.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.4.cmml">0</mn> <mspace width="veryverythickmathspace" id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.2a" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.2.cmml"/> <mrow id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.10" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.1.cmml"> <mo lspace="8.1pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.4" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.1.1.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.10.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.1.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.7" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.1.1.cmml">mod</mo> <mi id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.8" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.8.cmml">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.9" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.1.1.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.6" 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<mtext id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.1"> if </mtext> <ci id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.2">𝑎</ci> <mtext id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.3"> is a quadratic residue modulo </mtext> <ci id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.4">𝑝</ci> <mtext id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.5"> and </mtext> <ci id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.6">𝑎</ci> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.2"> <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.2">annotated</csymbol> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.9">0</cn> <apply id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.10"> <ci id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.4">pmod</ci> <ci id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.8">𝑝</ci> </apply> </apply> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.6.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.1"> <minus id="p1.1.m1.1.6.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.1.1"/> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.6.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.1.2">1</cn> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1"> <times id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.1"/> <mtext id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.1"> if </mtext> <ci id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.2">𝑎</ci> <mtext id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.3"> is a quadratic non-residue modulo </mtext> <ci id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.4">𝑝</ci> </apply> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.6.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1">0</cn> <apply id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1"> <equivalent id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.3"/> <apply id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.1"> <times id="p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.1.1.cmml" 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