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365 lines 27.9 kB
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="S_{\rm probe}=-(T_{4}L)\int d^{4}x\,\sqrt{-g}\left[{1\over 2}\left(1+\frac{g_{%&#10;s}\pi\sin\theta}{2(M_{s}L)(M_{s}y)^{2}}\right)|\partial y|^{2}-2\left(1-\frac{%&#10;g_{s}\pi\tan^{3}\theta}{8(M_{s}L)(M_{s}y)^{2}}\right)\right]" display="inline"> <semantics id="p1.1.m1.1a"> <mrow id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.36.cmml"> <msub id="p1.1.m1.1.36.1" xref="p1.1.m1.1.36.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">S</mi> <mi id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">probe</mi> </msub> <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.36.2" xref="p1.1.m1.1.36.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">-</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.36.2.1" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.36.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.2.2.cmml"> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.2.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.36.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.2.2.cmml"> <msub id="p1.1.m1.1.36.2.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.2.2.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">T</mi> <mn id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">4</mn> </msub> <mo id="p1.1.m1.1.36.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.2.2.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.2.2.cmml">)</mo> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.36.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.36.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.cmml"> <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.cmml"> <msup id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">d</mi> <mn id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">4</mn> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.1.cmml"></mo> <mpadded 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id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.2.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.2.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.2.2.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">+</mo> <mfrac id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.21.2.cmml"> <msub id="p1.1.m1.1.21.2.7" xref="p1.1.m1.1.21.2.7.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.21.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.2.1.cmml">g</mi> <mi id="p1.1.m1.1.21.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.1.cmml">s</mi> </msub> <mo id="p1.1.m1.1.21.2.6" xref="p1.1.m1.1.21.2.6.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.21.2.3" xref="p1.1.m1.1.21.2.3.cmml">π</mi> <mo id="p1.1.m1.1.21.2.6a" xref="p1.1.m1.1.21.2.6.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.21.2.8" xref="p1.1.m1.1.21.2.8.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.21.2.4" xref="p1.1.m1.1.21.2.4.cmml">sin</mi> <mo id="p1.1.m1.1.21.2.8a" xref="p1.1.m1.1.21.2.8.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.21.2.5" xref="p1.1.m1.1.21.2.5.cmml">θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow id="p1.1.m1.1.21.3" xref="p1.1.m1.1.21.3.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.21.3.1" xref="p1.1.m1.1.21.3.1.cmml">2</mn> <mo id="p1.1.m1.1.21.3.13" xref="p1.1.m1.1.21.3.13.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.21.3.14" xref="p1.1.m1.1.21.3.14.2.cmml"> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21.3.2" xref="p1.1.m1.1.21.3.14.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.21.3.14.2" xref="p1.1.m1.1.21.3.14.2.cmml"> <msub id="p1.1.m1.1.21.3.14.2.2" xref="p1.1.m1.1.21.3.14.2.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.21.3.3" xref="p1.1.m1.1.21.3.3.cmml">M</mi> <mi id="p1.1.m1.1.21.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.21.3.4.1.cmml">s</mi> </msub> <mo id="p1.1.m1.1.21.3.14.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.3.14.2.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.21.3.5" xref="p1.1.m1.1.21.3.5.cmml">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21.3.6" xref="p1.1.m1.1.21.3.14.2.cmml">)</mo> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.21.3.13a" xref="p1.1.m1.1.21.3.13.cmml"></mo> <msup id="p1.1.m1.1.21.3.15" xref="p1.1.m1.1.21.3.15.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.21.3.15.2" xref="p1.1.m1.1.21.3.15.2.2.cmml"> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21.3.7" xref="p1.1.m1.1.21.3.15.2.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.21.3.15.2.2" xref="p1.1.m1.1.21.3.15.2.2.cmml"> <msub id="p1.1.m1.1.21.3.15.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.21.3.15.2.2.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.21.3.8" xref="p1.1.m1.1.21.3.8.cmml">M</mi> <mi id="p1.1.m1.1.21.3.9.1" xref="p1.1.m1.1.21.3.9.1.cmml">s</mi> </msub> <mo id="p1.1.m1.1.21.3.15.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.3.15.2.2.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.21.3.10" xref="p1.1.m1.1.21.3.10.cmml">y</mi> </mrow> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21.3.11" xref="p1.1.m1.1.21.3.15.2.2.cmml">)</mo> </mrow> <mn id="p1.1.m1.1.21.3.12.1" xref="p1.1.m1.1.21.3.12.1.cmml">2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.2.2.cmml">)</mo> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.1.cmml"></mo> <msup id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.3.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.3.2.1.cmml"> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.3.2.1.1.cmml">|</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.3.2.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml"></mo> <mo id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.3.2.2a" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.3.2.2.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">y</mi> </mrow> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.3.2.1.1.cmml">|</mo> </mrow> <mn id="p1.1.m1.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">2</mn> </msup> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">-</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.2.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">2</mn> <mo id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.2.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.2.2.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.2.2.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.2.2.2.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml">-</mo> <mfrac id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.33.2" xref="p1.1.m1.1.33.2.cmml"> <msub id="p1.1.m1.1.33.2.8" xref="p1.1.m1.1.33.2.8.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.33.2.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.1.cmml">g</mi> <mi id="p1.1.m1.1.33.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.2.1.cmml">s</mi> </msub> <mo id="p1.1.m1.1.33.2.7" xref="p1.1.m1.1.33.2.7.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.33.2.3" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.cmml">π</mi> <mo id="p1.1.m1.1.33.2.7a" xref="p1.1.m1.1.33.2.7.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.33.2.9" xref="p1.1.m1.1.33.2.9.cmml"> <msup id="p1.1.m1.1.33.2.9.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.9.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.33.2.4" xref="p1.1.m1.1.33.2.4.cmml">tan</mi> <mn id="p1.1.m1.1.33.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.5.1.cmml">3</mn> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.33.2.9a" xref="p1.1.m1.1.33.2.9.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.33.2.6" xref="p1.1.m1.1.33.2.6.cmml">θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow id="p1.1.m1.1.33.3" xref="p1.1.m1.1.33.3.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.33.3.1" xref="p1.1.m1.1.33.3.1.cmml">8</mn> <mo id="p1.1.m1.1.33.3.13" xref="p1.1.m1.1.33.3.13.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.33.3.14" xref="p1.1.m1.1.33.3.14.2.cmml"> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.33.3.2" xref="p1.1.m1.1.33.3.14.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.33.3.14.2" xref="p1.1.m1.1.33.3.14.2.cmml"> <msub id="p1.1.m1.1.33.3.14.2.2" xref="p1.1.m1.1.33.3.14.2.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.33.3.3" xref="p1.1.m1.1.33.3.3.cmml">M</mi> <mi id="p1.1.m1.1.33.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.33.3.4.1.cmml">s</mi> </msub> <mo id="p1.1.m1.1.33.3.14.2.1" xref="p1.1.m1.1.33.3.14.2.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.33.3.5" xref="p1.1.m1.1.33.3.5.cmml">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.33.3.6" xref="p1.1.m1.1.33.3.14.2.cmml">)</mo> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.33.3.13a" xref="p1.1.m1.1.33.3.13.cmml"></mo> <msup id="p1.1.m1.1.33.3.15" xref="p1.1.m1.1.33.3.15.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.33.3.15.2" xref="p1.1.m1.1.33.3.15.2.2.cmml"> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.33.3.7" xref="p1.1.m1.1.33.3.15.2.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.33.3.15.2.2" xref="p1.1.m1.1.33.3.15.2.2.cmml"> <msub id="p1.1.m1.1.33.3.15.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.33.3.15.2.2.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.33.3.8" xref="p1.1.m1.1.33.3.8.cmml">M</mi> <mi id="p1.1.m1.1.33.3.9.1" xref="p1.1.m1.1.33.3.9.1.cmml">s</mi> </msub> <mo id="p1.1.m1.1.33.3.15.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.33.3.15.2.2.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.33.3.10" xref="p1.1.m1.1.33.3.10.cmml">y</mi> </mrow> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.33.3.11" xref="p1.1.m1.1.33.3.15.2.2.cmml">)</mo> </mrow> <mn 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xref="p1.1.m1.1.36.2.1.2"> <times id="p1.1.m1.1.36.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.2.2.1"/> <apply id="p1.1.m1.1.36.2.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.2.2.2"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.36.2.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.2.2.2">subscript</csymbol> <ci id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">𝑇</ci> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1">4</cn> </apply> <ci id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">𝐿</ci> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3"> <int id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10"/> <apply id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1"> <times id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.1"/> <apply id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.2"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.2">superscript</csymbol> <ci id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">𝑑</ci> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1">4</cn> </apply> <ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">𝑥</ci> <apply id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15"> <root id="p1.1.m1.1.15a.cmml" xref="p1.1.m1.1.15"/> <apply id="p1.1.m1.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2"> <minus id="p1.1.m1.1.15.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1"/> <ci id="p1.1.m1.1.15.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2">𝑔</ci> </apply> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3"> <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">delimited-[]</csymbol> <apply id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2"> <minus id="p1.1.m1.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.28"/> <apply id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1"> <times id="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.3.1.3.2.1.1"/> <apply id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17"> <divide id="p1.1.m1.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17"/> <cn 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