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247 lines 16.3 kB
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="F\left(x,s\right)=\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{(2\pi)^{1-s}}\left(e^{\pi i(1-%&#10;s)/2}\zeta\left(1-s,x\right)+e^{\pi i(s-1)/2}\zeta\left(1-s,1-x\right)\right)" display="inline"> <semantics id="p1.1.m1.1a"> <mrow id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.34.1" xref="p1.1.m1.1.34.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">F</mi> <mo id="p1.1.m1.1.34.1.1" xref="p1.1.m1.1.34.1.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.34.1.2" xref="p1.1.m1.1.34.1.2.1.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.34.1.2.1.cmml">(</mo> <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">x</mi> <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.34.1.2.1.cmml">,</mo> <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">s</mi> <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.34.1.2.1.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">=</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.cmml"> <mfrac id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.cmml"> <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.8.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.cmml">Γ</mi> <mo id="p1.1.m1.1.8.2.7" xref="p1.1.m1.1.8.2.7.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.8.2.8" xref="p1.1.m1.1.8.2.8.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.8.2.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.8.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.8.2.8.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.8.2.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.8.2.3" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.8.2.4" xref="p1.1.m1.1.8.2.4.cmml">-</mo> <mi id="p1.1.m1.1.8.2.5" xref="p1.1.m1.1.8.2.5.cmml">s</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.8.2.6" xref="p1.1.m1.1.8.2.8.2.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> <msup id="p1.1.m1.1.8.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.7" xref="p1.1.m1.1.8.3.7.2.cmml"> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.3.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.7.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.7.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.7.2.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.8.3.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.cmml">2</mn> <mo id="p1.1.m1.1.8.3.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.7.2.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.8.3.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.cmml">π</mi> </mrow> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.3.4" xref="p1.1.m1.1.8.3.7.2.cmml">)</mo> </mrow> <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.5.1.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.8.3.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.5.1.1.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.8.3.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.5.1.2.cmml">-</mo> <mi id="p1.1.m1.1.8.3.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.5.1.3.cmml">s</mi> </mrow> </msup> </mfrac> <mo id="p1.1.m1.1.34.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1.cmml"> <msup id="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">e</mi> <mrow id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.11.1.10" xref="p1.1.m1.1.11.1.10.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">π</mi> <mo id="p1.1.m1.1.11.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.10.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml">i</mi> <mo id="p1.1.m1.1.11.1.10.1a" xref="p1.1.m1.1.11.1.10.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.11.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.10.2.2.cmml"> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11.1.3" xref="p1.1.m1.1.11.1.10.2.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.11.1.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.10.2.2.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.11.1.4" xref="p1.1.m1.1.11.1.4.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.11.1.5" xref="p1.1.m1.1.11.1.5.cmml">-</mo> <mi id="p1.1.m1.1.11.1.6" xref="p1.1.m1.1.11.1.6.cmml">s</mi> </mrow> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11.1.7" xref="p1.1.m1.1.11.1.10.2.2.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.11.1.8" xref="p1.1.m1.1.11.1.8.cmml">/</mo> <mn id="p1.1.m1.1.11.1.9" xref="p1.1.m1.1.11.1.9.cmml">2</mn> </mrow> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">ζ</mi> <mo id="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1.3.1.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1.3.1.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1.3.2.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">-</mo> <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">s</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1.3.1.cmml">,</mo> <mi id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">x</mi> <mo id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.1.3.1.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">+</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2.cmml"> <msup id="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">e</mi> <mrow id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.22.1.10" xref="p1.1.m1.1.22.1.10.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.22.1.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.1.cmml">π</mi> <mo id="p1.1.m1.1.22.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.10.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.22.1.2" xref="p1.1.m1.1.22.1.2.cmml">i</mi> <mo id="p1.1.m1.1.22.1.10.1a" xref="p1.1.m1.1.22.1.10.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.22.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.22.1.10.2.2.cmml"> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.22.1.3" xref="p1.1.m1.1.22.1.10.2.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.22.1.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.22.1.10.2.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.22.1.4" xref="p1.1.m1.1.22.1.4.cmml">s</mi> <mo id="p1.1.m1.1.22.1.5" xref="p1.1.m1.1.22.1.5.cmml">-</mo> <mn id="p1.1.m1.1.22.1.6" xref="p1.1.m1.1.22.1.6.cmml">1</mn> </mrow> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.22.1.7" xref="p1.1.m1.1.22.1.10.2.2.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.22.1.8" xref="p1.1.m1.1.22.1.8.cmml">/</mo> <mn id="p1.1.m1.1.22.1.9" xref="p1.1.m1.1.22.1.9.cmml">2</mn> </mrow> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">ζ</mi> <mo id="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2.3.1.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2.3.1.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2.3.2.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">-</mo> <mi id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">s</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2.3.1.cmml">,</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.2.2.3.3.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">-</mo> <mi id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">x</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.32" 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xref="p1.1.m1.1.8.2.7"/> <ci id="p1.1.m1.1.8.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.1">Γ</ci> <apply id="p1.1.m1.1.8.2.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.8"> <minus id="p1.1.m1.1.8.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.4"/> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.3">1</cn> <ci id="p1.1.m1.1.8.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.5">𝑠</ci> </apply> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.8.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.8.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3">superscript</csymbol> <apply id="p1.1.m1.1.8.3.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.7"> <times id="p1.1.m1.1.8.3.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.7.2.1"/> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.2">2</cn> <ci id="p1.1.m1.1.8.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.3">𝜋</ci> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.8.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.5.1"> <minus id="p1.1.m1.1.8.3.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.5.1.2"/> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.3.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.5.1.1">1</cn> <ci 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