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414 lines 28.9 kB
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\left(\alpha^{2}+\eta\right)^{1/2}+\tfrac{1}{2}\alpha\ln\eta-\alpha\ln\left(%&#10;\left(\alpha^{2}+\eta\right)^{1/2}+\alpha\right)}={\operatorname{arccos}\left(%&#10;\frac{x}{\left(1+\alpha^{2}\right)^{1/2}}\right)+\frac{\alpha}{2}\ln\left(%&#10;\frac{1+\alpha^{2}+\left(\alpha^{2}-1\right)x^{2}-2\alpha x\left(1+\alpha^{2}-%&#10;x^{2}\right)^{1/2}}{\left(1+\alpha^{2}\right)\left(1-x^{2}\right)}\right)}" display="inline"> <semantics id="p1.1.m1.1a"> <mrow id="p1.1.m1.1.43" xref="p1.1.m1.1.43.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.43.1" xref="p1.1.m1.1.43.1.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.43.1.1" xref="p1.1.m1.1.43.1.1.cmml"> <msup id="p1.1.m1.1.43.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.43.1.1.1.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.43.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.43.1.1.1.2.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.43.1.1.1.2.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.43.1.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.43.1.1.1.2.2.cmml"> <msup id="p1.1.m1.1.43.1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.1.1.1.2.2.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">α</mi> <mn id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">2</mn> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">+</mo> <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">η</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.43.1.1.1.2.2.cmml">)</mo> </mrow> <mrow id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.1.2.cmml">/</mo> <mn id="p1.1.m1.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.7.1.3.cmml">2</mn> </mrow> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">+</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.43.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.43.1.1.2.cmml"> <mfrac id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.cmml">1</mn> <mn id="p1.1.m1.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.9.3.cmml">2</mn> </mfrac> <mo id="p1.1.m1.1.43.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.1.1.2.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">α</mi> <mo id="p1.1.m1.1.43.1.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.43.1.1.2.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.43.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.43.1.1.2.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">ln</mi> <mo id="p1.1.m1.1.43.1.1.2.2a" xref="p1.1.m1.1.43.1.1.2.2.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">η</mi> </mrow> </mrow> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">-</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.43.1.2" xref="p1.1.m1.1.43.1.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">α</mi> <mo id="p1.1.m1.1.43.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.1.2.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.43.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.43.1.2.2.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">ln</mi> <mo id="p1.1.m1.1.43.1.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.43.1.2.2.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.43.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.43.1.2.2.1.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.43.1.2.2.1.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.43.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.1.2.2.2.1.cmml"> <msup id="p1.1.m1.1.43.1.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.43.1.2.2.2.1.1.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.43.1.2.2.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.43.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.43.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.43.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.43.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml"> <msup id="p1.1.m1.1.43.1.2.2.2.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.1.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">α</mi> <mn id="p1.1.m1.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.cmml">2</mn> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">+</mo> <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">η</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.43.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">)</mo> </mrow> <mrow id="p1.1.m1.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.23.1.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.1.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.23.1.2" xref="p1.1.m1.1.23.1.2.cmml">/</mo> <mn id="p1.1.m1.1.23.1.3" xref="p1.1.m1.1.23.1.3.cmml">2</mn> </mrow> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">+</mo> <mi id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">α</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.43.1.2.2.1.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">=</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.43.2" xref="p1.1.m1.1.43.2.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.43.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.43.2.1.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">arccos</mi> <mo id="p1.1.m1.1.43.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.43.2.1.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.43.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.2.1.1.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.43.2.1.1.cmml">(</mo> <mfrac id="p1.1.m1.1.35" xref="p1.1.m1.1.35.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.35.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.cmml">x</mi> <msup id="p1.1.m1.1.35.3" xref="p1.1.m1.1.35.3.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.35.3.9" xref="p1.1.m1.1.35.3.9.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.35.3.1" xref="p1.1.m1.1.35.3.9.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.35.3.9.2" xref="p1.1.m1.1.35.3.9.2.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.35.3.2" xref="p1.1.m1.1.35.3.2.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.35.3.3" xref="p1.1.m1.1.35.3.3.cmml">+</mo> <msup id="p1.1.m1.1.35.3.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.35.3.9.2.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.35.3.4" xref="p1.1.m1.1.35.3.4.cmml">α</mi> <mn id="p1.1.m1.1.35.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.35.3.5.1.cmml">2</mn> </msup> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.35.3.6" xref="p1.1.m1.1.35.3.9.2.cmml">)</mo> </mrow> <mrow id="p1.1.m1.1.35.3.7.1" xref="p1.1.m1.1.35.3.7.1.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.35.3.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.35.3.7.1.1.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.35.3.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.35.3.7.1.2.cmml">/</mo> <mn id="p1.1.m1.1.35.3.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.35.3.7.1.3.cmml">2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> <mo id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.43.2.1.1.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.37.cmml">+</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.43.2.2" xref="p1.1.m1.1.43.2.2.cmml"> <mfrac id="p1.1.m1.1.38" xref="p1.1.m1.1.38.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.38.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.cmml">α</mi> <mn id="p1.1.m1.1.38.3" xref="p1.1.m1.1.38.3.cmml">2</mn> </mfrac> <mo id="p1.1.m1.1.43.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.2.2.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.43.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.43.2.2.2.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.39" xref="p1.1.m1.1.39.cmml">ln</mi> <mo id="p1.1.m1.1.43.2.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.43.2.2.2.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.43.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.2.2.2.1.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.40" xref="p1.1.m1.1.43.2.2.2.1.cmml">(</mo> <mfrac id="p1.1.m1.1.41" xref="p1.1.m1.1.41.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.41.2" xref="p1.1.m1.1.41.2.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.41.2.28" xref="p1.1.m1.1.41.2.28.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.41.2.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.1.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.41.2.2" xref="p1.1.m1.1.41.2.2.cmml">+</mo> <msup id="p1.1.m1.1.41.2.28.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.28.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.41.2.3" xref="p1.1.m1.1.41.2.3.cmml">α</mi> <mn id="p1.1.m1.1.41.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.4.1.cmml">2</mn> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.41.2.2a" xref="p1.1.m1.1.41.2.2.cmml">+</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.41.2.28.2" xref="p1.1.m1.1.41.2.28.2.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.41.2.28.2.2" xref="p1.1.m1.1.41.2.28.2.2.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.41.2.6" xref="p1.1.m1.1.41.2.28.2.2.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.41.2.28.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.41.2.28.2.2.2.cmml"> <msup id="p1.1.m1.1.41.2.28.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.28.2.2.2.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.41.2.7" xref="p1.1.m1.1.41.2.7.cmml">α</mi> <mn id="p1.1.m1.1.41.2.8.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.8.1.cmml">2</mn> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.41.2.9" xref="p1.1.m1.1.41.2.9.cmml">-</mo> <mn id="p1.1.m1.1.41.2.10" xref="p1.1.m1.1.41.2.10.cmml">1</mn> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.41.2.11" xref="p1.1.m1.1.41.2.28.2.2.2.cmml">)</mo> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.41.2.28.2.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.28.2.1.cmml"></mo> <msup id="p1.1.m1.1.41.2.28.2.3" xref="p1.1.m1.1.41.2.28.2.3.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.41.2.12" xref="p1.1.m1.1.41.2.12.cmml">x</mi> <mn id="p1.1.m1.1.41.2.13.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.13.1.cmml">2</mn> </msup> </mrow> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.41.2.14" xref="p1.1.m1.1.41.2.14.cmml">-</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.41.2.29" xref="p1.1.m1.1.41.2.29.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.41.2.15" xref="p1.1.m1.1.41.2.15.cmml">2</mn> <mo id="p1.1.m1.1.41.2.29.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.29.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.41.2.16" xref="p1.1.m1.1.41.2.16.cmml">α</mi> <mo id="p1.1.m1.1.41.2.29.1a" xref="p1.1.m1.1.41.2.29.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.41.2.17" xref="p1.1.m1.1.41.2.17.cmml">x</mi> <mo id="p1.1.m1.1.41.2.29.1b" xref="p1.1.m1.1.41.2.29.1.cmml"></mo> <msup id="p1.1.m1.1.41.2.29.2" xref="p1.1.m1.1.41.2.29.2.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.41.2.29.2.2" xref="p1.1.m1.1.41.2.29.2.2.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.41.2.18" xref="p1.1.m1.1.41.2.29.2.2.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.41.2.29.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.41.2.29.2.2.2.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.41.2.29.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.29.2.2.2.1.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.41.2.19" xref="p1.1.m1.1.41.2.19.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.41.2.20" xref="p1.1.m1.1.41.2.20.cmml">+</mo> <msup id="p1.1.m1.1.41.2.29.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.29.2.2.2.1.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.41.2.21" xref="p1.1.m1.1.41.2.21.cmml">α</mi> <mn id="p1.1.m1.1.41.2.22.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.22.1.cmml">2</mn> </msup> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.41.2.23" xref="p1.1.m1.1.41.2.23.cmml">-</mo> <msup id="p1.1.m1.1.41.2.29.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.41.2.29.2.2.2.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.41.2.24" xref="p1.1.m1.1.41.2.24.cmml">x</mi> <mn id="p1.1.m1.1.41.2.25.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.25.1.cmml">2</mn> </msup> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.41.2.26" xref="p1.1.m1.1.41.2.29.2.2.2.cmml">)</mo> </mrow> <mrow id="p1.1.m1.1.41.2.27.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.27.1.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.41.2.27.1.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.27.1.1.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.41.2.27.1.2" xref="p1.1.m1.1.41.2.27.1.2.cmml">/</mo> <mn id="p1.1.m1.1.41.2.27.1.3" xref="p1.1.m1.1.41.2.27.1.3.cmml">2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow id="p1.1.m1.1.41.3" xref="p1.1.m1.1.41.3.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.41.3.14" xref="p1.1.m1.1.41.3.14.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.41.3.1" xref="p1.1.m1.1.41.3.14.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.41.3.14.2" xref="p1.1.m1.1.41.3.14.2.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.41.3.2" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.41.3.3" xref="p1.1.m1.1.41.3.3.cmml">+</mo> <msup id="p1.1.m1.1.41.3.14.2.1" xref="p1.1.m1.1.41.3.14.2.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.41.3.4" xref="p1.1.m1.1.41.3.4.cmml">α</mi> <mn id="p1.1.m1.1.41.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.41.3.5.1.cmml">2</mn> </msup> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.41.3.6" xref="p1.1.m1.1.41.3.14.2.cmml">)</mo> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.41.3.13" xref="p1.1.m1.1.41.3.13.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.41.3.15" xref="p1.1.m1.1.41.3.15.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.41.3.7" xref="p1.1.m1.1.41.3.15.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.41.3.15.2" xref="p1.1.m1.1.41.3.15.2.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.41.3.8" xref="p1.1.m1.1.41.3.8.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.41.3.9" xref="p1.1.m1.1.41.3.9.cmml">-</mo> <msup id="p1.1.m1.1.41.3.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.41.3.15.2.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.41.3.10" xref="p1.1.m1.1.41.3.10.cmml">x</mi> <mn id="p1.1.m1.1.41.3.11.1" xref="p1.1.m1.1.41.3.11.1.cmml">2</mn> </msup> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.41.3.12" xref="p1.1.m1.1.41.3.15.2.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo id="p1.1.m1.1.42" xref="p1.1.m1.1.43.2.2.2.1.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b"> <apply id="p1.1.m1.1.43.cmml" xref="p1.1.m1.1.43"> <eq id="p1.1.m1.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.27"/> <apply id="p1.1.m1.1.43.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.1"> <minus id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13"/> <apply id="p1.1.m1.1.43.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.1.1"> <plus id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"/> <apply id="p1.1.m1.1.43.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.1.1.1"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.43.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.1.1.1">superscript</csymbol> <apply id="p1.1.m1.1.43.1.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.1.1.1.2"> <plus 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