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239 lines 15.2 kB
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="\int_{P}^{(1+,0+,1-,0-)}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\mathrm{d}t=-4e^{\pi i(a+b)}\sin%&#10;\left(\pi a\right)\sin\left(\pi b\right)\mathrm{B}\left(a,b\right)" display="inline"> <semantics id="p1.1.m1.1a"> <mrow id="p1.1.m1.1.35" xref="p1.1.m1.1.35.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.cmml"> <msubsup id="p1.1.m1.1.35.1.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.1.cmml"> <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">P</mi> <mrow id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.14.cmml"> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.14.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.3.1.15" xref="p1.1.m1.1.3.1.15.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.1.2.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.1.3.cmml">+</mo> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.3.1.14.cmml">,</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.3.1.16" xref="p1.1.m1.1.3.1.16.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.3.1.5.cmml">0</mn> <mo id="p1.1.m1.1.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.3.1.6.cmml">+</mo> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.3.1.7" xref="p1.1.m1.1.3.1.14.cmml">,</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.3.1.17" xref="p1.1.m1.1.3.1.17.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.3.1.8" xref="p1.1.m1.1.3.1.8.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.3.1.9" xref="p1.1.m1.1.3.1.9.cmml">-</mo> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.3.1.10" xref="p1.1.m1.1.3.1.14.cmml">,</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.3.1.18" xref="p1.1.m1.1.3.1.18.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.3.1.11" xref="p1.1.m1.1.3.1.11.cmml">0</mn> <mo id="p1.1.m1.1.3.1.12" xref="p1.1.m1.1.3.1.12.cmml">-</mo> </mrow> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.1.13" xref="p1.1.m1.1.3.1.14.cmml">)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow id="p1.1.m1.1.35.1.2" xref="p1.1.m1.1.35.1.2.cmml"> <msup id="p1.1.m1.1.35.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.35.1.2.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">t</mi> <mrow id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">a</mi> <mo id="p1.1.m1.1.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.cmml">-</mo> <mn id="p1.1.m1.1.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.5.1.3.cmml">1</mn> </mrow> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.35.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.2.1.cmml"></mo> <msup id="p1.1.m1.1.35.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.35.1.2.3.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.35.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.35.1.2.3.2.2.cmml"> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.35.1.2.3.2.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.35.1.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.35.1.2.3.2.2.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">1</mn> <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">-</mo> <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">t</mi> </mrow> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.35.1.2.3.2.2.cmml">)</mo> </mrow> <mrow id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">b</mi> <mo id="p1.1.m1.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml">-</mo> <mn id="p1.1.m1.1.11.1.3" xref="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml">1</mn> </mrow> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.35.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.35.1.2.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.35.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.35.1.2.4.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">d</mo> <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">t</mi> </mrow> </mrow> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">=</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.35.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">-</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.35.2.1" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">4</mn> <mo id="p1.1.m1.1.35.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.1.cmml"></mo> <msup id="p1.1.m1.1.35.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">e</mi> <mrow id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.18.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.cmml">π</mi> <mo id="p1.1.m1.1.18.1.8" xref="p1.1.m1.1.18.1.8.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.18.1.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.cmml">i</mi> <mo id="p1.1.m1.1.18.1.8a" xref="p1.1.m1.1.18.1.8.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.9" xref="p1.1.m1.1.18.1.9.2.cmml"> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.18.1.3" xref="p1.1.m1.1.18.1.9.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.9.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.18.1.4" xref="p1.1.m1.1.18.1.4.cmml">a</mi> <mo id="p1.1.m1.1.18.1.5" xref="p1.1.m1.1.18.1.5.cmml">+</mo> <mi id="p1.1.m1.1.18.1.6" xref="p1.1.m1.1.18.1.6.cmml">b</mi> </mrow> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.18.1.7" xref="p1.1.m1.1.18.1.9.2.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.35.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.35.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.3.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">sin</mi> <mo id="p1.1.m1.1.35.2.1.3.2a" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.3.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.35.2.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.3.1.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.3.1.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.35.2.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.3.2.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">π</mi> <mo id="p1.1.m1.1.35.2.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.3.2.1.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">a</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.3.1.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.35.2.1.1b" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.35.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.4.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">sin</mi> <mo id="p1.1.m1.1.35.2.1.4.2a" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.4.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.35.2.1.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.4.1.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.4.1.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.35.2.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.4.2.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">π</mi> <mo id="p1.1.m1.1.35.2.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.4.2.1.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">b</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.4.1.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.35.2.1.1c" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.1.cmml"></mo> <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">B</mi> <mo id="p1.1.m1.1.35.2.1.1d" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.35.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.5.1.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.5.1.cmml">(</mo> <mi id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">a</mi> <mo id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.5.1.cmml">,</mo> <mi id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">b</mi> <mo id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.5.1.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b"> <apply id="p1.1.m1.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.35"> <eq id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14"/> <apply id="p1.1.m1.1.35.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.1"> <apply id="p1.1.m1.1.35.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.1.1"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.35.1.1.1.cmml" 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