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<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="\operatorname{Ln}\Gamma\left(z\right)=\left(z-\tfrac{1}{2}\right)\ln z-z+%&#10;\tfrac{1}{2}\ln\left(2\pi\right)+2\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{arctan}%&#10;\left(t/z\right)}{e^{2\pi t}-1}\mathrm{d}t" display="inline"> <semantics id="p1.1.m1.1a"> <mrow id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.32.1" xref="p1.1.m1.1.32.1.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.32.1.2" xref="p1.1.m1.1.32.1.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">Ln</mi> <mo id="p1.1.m1.1.32.1.2a" xref="p1.1.m1.1.32.1.2.cmml"></mo> <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">Γ</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.32.1.1" xref="p1.1.m1.1.32.1.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.32.1.3" xref="p1.1.m1.1.32.1.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.32.1.cmml">(</mo> <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">z</mi> <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.32.1.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> <mo 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id="p1.1.m1.1.32.2.1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.32.2.1.1.3.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">z</mi> </mrow> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">-</mo> <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">z</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">+</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.32.2.2" xref="p1.1.m1.1.32.2.2.cmml"> <mfrac id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.cmml">1</mn> <mn id="p1.1.m1.1.18.3" xref="p1.1.m1.1.18.3.cmml">2</mn> </mfrac> <mo id="p1.1.m1.1.32.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.32.2.2.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.32.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.32.2.2.2.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">ln</mi> <mo id="p1.1.m1.1.32.2.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.32.2.2.2.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.32.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.32.2.2.2.1.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.32.2.2.2.1.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.32.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.32.2.2.2.2.1.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">2</mn> <mo id="p1.1.m1.1.32.2.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.32.2.2.2.2.1.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">π</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.32.2.2.2.1.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.17a" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">+</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.32.2.3" xref="p1.1.m1.1.32.2.3.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">2</mn> <mo id="p1.1.m1.1.32.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.32.2.3.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.32.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.32.2.3.2.cmml"> <msubsup id="p1.1.m1.1.32.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.32.2.3.2.1.cmml"> <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml"></mo> <mn id="p1.1.m1.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">0</mn> <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.cmml"></mi> </msubsup> <mrow id="p1.1.m1.1.32.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.32.2.3.2.2.cmml"> <mfrac id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml"> <mrow 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xref="p1.1.m1.1.29.3.2.1.4.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.29.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.29.3.2.1.2.cmml">π</mi> <mo id="p1.1.m1.1.29.3.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.29.3.2.1.4.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.29.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.29.3.2.1.3.cmml">t</mi> </mrow> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.29.3.3" xref="p1.1.m1.1.29.3.3.cmml">-</mo> <mn id="p1.1.m1.1.29.3.4" xref="p1.1.m1.1.29.3.4.cmml">1</mn> </mrow> </mfrac> <mo id="p1.1.m1.1.32.2.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.32.2.3.2.2.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.32.2.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.32.2.3.2.2.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">d</mo> <mi id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">t</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b"> <apply id="p1.1.m1.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.32"> <eq id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7"/> <apply id="p1.1.m1.1.32.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.32.1"> <times id="p1.1.m1.1.32.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.32.1.1"/> <apply 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