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246 lines 15.7 kB
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="\int_{0}^{\infty}\frac{t^{\nu+1}J_{\nu}\left(at\right)}{(t^{2}+b^{2})^{\mu+1}}%&#10;\mathrm{d}t=\frac{a^{\mu}b^{\nu-\mu}}{2^{\mu}\Gamma\left(\mu+1\right)}K_{\nu-%&#10;\mu}\left(ab\right)" display="inline"> <semantics id="p1.1.m1.1a"> <mrow id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml"> <msubsup id="p1.1.m1.1.15.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml"> <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"></mo> <mn id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">0</mn> <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml"></mi> </msubsup> <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.cmml"> <mfrac id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml"> <msup id="p1.1.m1.1.4.2.10" xref="p1.1.m1.1.4.2.10.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.cmml">t</mi> <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.4.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.1.1.cmml">ν</mi> <mo id="p1.1.m1.1.4.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.1.2.cmml">+</mo> <mn id="p1.1.m1.1.4.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.1.3.cmml">1</mn> </mrow> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.4.2.9" xref="p1.1.m1.1.4.2.9.cmml"></mo> <msub id="p1.1.m1.1.4.2.11" xref="p1.1.m1.1.4.2.11.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.cmml">J</mi> <mi id="p1.1.m1.1.4.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.1.cmml">ν</mi> </msub> <mo id="p1.1.m1.1.4.2.9a" xref="p1.1.m1.1.4.2.9.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.12" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.4.2.5" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.12.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.4.2.6" xref="p1.1.m1.1.4.2.6.cmml">a</mi> <mo id="p1.1.m1.1.4.2.12.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.4.2.7" xref="p1.1.m1.1.4.2.7.cmml">t</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.4.2.8" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> <msup id="p1.1.m1.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.4.3.10" xref="p1.1.m1.1.4.3.10.2.cmml"> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.10.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.4.3.10.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.10.2.cmml"> <msup id="p1.1.m1.1.4.3.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.10.2.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.2.cmml">t</mi> <mn id="p1.1.m1.1.4.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.1.cmml">2</mn> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.4.3.4" xref="p1.1.m1.1.4.3.4.cmml">+</mo> <msup id="p1.1.m1.1.4.3.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.10.2.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.4.3.5" xref="p1.1.m1.1.4.3.5.cmml">b</mi> <mn id="p1.1.m1.1.4.3.6.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.6.1.cmml">2</mn> </msup> </mrow> <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.3.7" xref="p1.1.m1.1.4.3.10.2.cmml">)</mo> </mrow> <mrow id="p1.1.m1.1.4.3.8.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.4.3.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.1.1.cmml">μ</mi> <mo id="p1.1.m1.1.4.3.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.1.2.cmml">+</mo> <mn id="p1.1.m1.1.4.3.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.1.3.cmml">1</mn> </mrow> </msup> </mfrac> <mo id="p1.1.m1.1.15.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">d</mo> <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">t</mi> </mrow> </mrow> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">=</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.cmml"> <mfrac id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml"> <mrow id="p1.1.m1.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.cmml"> <msup id="p1.1.m1.1.8.2.6" xref="p1.1.m1.1.8.2.6.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.8.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.cmml">a</mi> <mi id="p1.1.m1.1.8.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1.cmml">μ</mi> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.8.2.5" xref="p1.1.m1.1.8.2.5.cmml"></mo> <msup id="p1.1.m1.1.8.2.7" xref="p1.1.m1.1.8.2.7.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.8.2.3" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.cmml">b</mi> <mrow id="p1.1.m1.1.8.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.4.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.8.2.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.4.1.1.cmml">ν</mi> <mo id="p1.1.m1.1.8.2.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.4.1.2.cmml">-</mo> <mi id="p1.1.m1.1.8.2.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.8.2.4.1.3.cmml">μ</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow id="p1.1.m1.1.8.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.cmml"> <msup id="p1.1.m1.1.8.3.10" xref="p1.1.m1.1.8.3.10.cmml"> <mn id="p1.1.m1.1.8.3.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.cmml">2</mn> <mi id="p1.1.m1.1.8.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.1.cmml">μ</mi> </msup> <mo id="p1.1.m1.1.8.3.9" xref="p1.1.m1.1.8.3.9.cmml"></mo> <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.8.3.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.cmml">Γ</mi> <mo id="p1.1.m1.1.8.3.9a" xref="p1.1.m1.1.8.3.9.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.11" xref="p1.1.m1.1.8.3.11.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.8.3.4" xref="p1.1.m1.1.8.3.11.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.11.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.11.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.8.3.5" xref="p1.1.m1.1.8.3.5.cmml">μ</mi> <mo id="p1.1.m1.1.8.3.6" xref="p1.1.m1.1.8.3.6.cmml">+</mo> <mn id="p1.1.m1.1.8.3.7" xref="p1.1.m1.1.8.3.7.cmml">1</mn> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.8.3.8" xref="p1.1.m1.1.8.3.11.2.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo id="p1.1.m1.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.cmml"></mo> <msub id="p1.1.m1.1.15.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">K</mi> <mrow id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.10.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.cmml">ν</mi> <mo id="p1.1.m1.1.10.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.2.cmml">-</mo> <mi id="p1.1.m1.1.10.1.3" xref="p1.1.m1.1.10.1.3.cmml">μ</mi> </mrow> </msub> <mo id="p1.1.m1.1.15.2.1a" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.cmml"></mo> <mrow id="p1.1.m1.1.15.2.3" xref="p1.1.m1.1.15.2.3.2.cmml"> <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.15.2.3.2.cmml">(</mo> <mrow id="p1.1.m1.1.15.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.3.2.cmml"> <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">a</mi> <mo id="p1.1.m1.1.15.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.2.3.2.1.cmml"></mo> <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">b</mi> </mrow> <mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.15.2.3.2.cmml">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b"> <apply id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15"> <eq id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7"/> <apply id="p1.1.m1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1"> <apply id="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1">superscript</csymbol> <apply id="p1.1.m1.1.15.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1">subscript</csymbol> <int id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1"/> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">0</cn> </apply> <infinity id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1"/> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.15.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2"> <times id="p1.1.m1.1.15.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1"/> <apply 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</apply> <apply id="p1.1.m1.1.4.2.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12"> <times id="p1.1.m1.1.4.2.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.1"/> <ci id="p1.1.m1.1.4.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.6">𝑎</ci> <ci id="p1.1.m1.1.4.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.7">𝑡</ci> </apply> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.4.3.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3">superscript</csymbol> <apply id="p1.1.m1.1.4.3.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.10"> <plus id="p1.1.m1.1.4.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.4"/> <apply id="p1.1.m1.1.4.3.10.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.10.2.1"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.4.3.10.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.10.2.1">superscript</csymbol> <ci id="p1.1.m1.1.4.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.2">𝑡</ci> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.4.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.1">2</cn> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.4.3.10.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.10.2.2"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.4.3.10.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.10.2.2">superscript</csymbol> <ci id="p1.1.m1.1.4.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.5">𝑏</ci> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.4.3.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.6.1">2</cn> </apply> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.4.3.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.1"> <plus id="p1.1.m1.1.4.3.8.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.1.2"/> <ci id="p1.1.m1.1.4.3.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.1.1">𝜇</ci> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.4.3.8.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.1.3">1</cn> </apply> </apply> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2"> <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5">differential-d</csymbol> <ci id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">𝑡</ci> </apply> </apply> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2"> <times id="p1.1.m1.1.15.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1"/> <apply id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"> <divide id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"/> <apply id="p1.1.m1.1.8.2.cmml" 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id="p1.1.m1.1.8.3.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.10"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.8.3.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.10">superscript</csymbol> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1">2</cn> <ci id="p1.1.m1.1.8.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.1">𝜇</ci> </apply> <ci id="p1.1.m1.1.8.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.3">Γ</ci> <apply id="p1.1.m1.1.8.3.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.11"> <plus id="p1.1.m1.1.8.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.6"/> <ci id="p1.1.m1.1.8.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.5">𝜇</ci> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.7">1</cn> </apply> </apply> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.15.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2">subscript</csymbol> <ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">𝐾</ci> <apply id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1"> <minus id="p1.1.m1.1.10.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1.2"/> <ci id="p1.1.m1.1.10.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1.1">𝜈</ci> <ci id="p1.1.m1.1.10.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1.3">𝜇</ci> </apply> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.15.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.3"> <times id="p1.1.m1.1.15.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.3.2.1"/> <ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝑎</ci> <ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">𝑏</ci> </apply> </apply> </apply> </annotation-xml> </semantics> </math>