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content="理解卷积"><meta itemprop="description" content="本文通过抛球概率模型直观解释卷积概念：两次下落总距离的概率等于所有分段距离组合的概率之和，即离散卷积公式(f∗g)(c)=∑f(a)g(c−a)。进一步扩展到二维卷积，举例图像处理中模糊、边缘检测等应用，并揭示卷积神经网络通过共享权重实现高效特征提取的原理，其核心是滑动窗口的加权求和运算。"></span><div class="article-meta" id="top"><h1 class="title allow-select" itemprop="name headline"> 理解卷积</h1><div class="new-meta-box"><div class="new-meta-item author" itemprop="author" itemscope itemtype="http://schema.org/Person"> <a itemprop="url" class="author" target="_blank" href="https://mhuig.top/" rel="nofollow noopener" alt="author"><img itemprop="image" src="/lib/avatar/avatar-16.webp" class="lazyload" data-srcset="/lib/avatar/avatar-16.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="author"><p itemprop="name">MHuiG</p></a></div><div class="new-meta-item wordcount"><a class="notlink"><i class="fa-duotone fa-keyboard fa-fw" aria-hidden="true"></i><p>字数：2.2k 字</p></a></div><div class="new-meta-item readtime"><a class="notlink"><i class="fa-duotone fa-hourglass-half fa-fw" aria-hidden="true"></i><p>时长：7 分钟</p></a></div></div></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p>本文的目的是深入的理解卷积,通过一些示例,卷积将会成为一个非常简单的想法.</p><div class="story post-story"><h2 id="抛球的经验"><a href="#抛球的经验" class="headerlink" title="抛球的经验"></a>抛球的经验</h2><p>想象一下，我们将一个球从某个高度掉落到地面上，球在该地面只能在一个方向上运动,如果您将球放下然后从其着陆点上方再次放下,球可能会前进的距离<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="c"><g data-mml-node="mi" data-latex="c"><path data-c="1D450" d="M328 325C328 300 341 287 368 287C404 287 427 318 427 354C427 410 368 442 308 442C239 442 176 412 122 353C68 294 41 229 41 159C41 61 106-11 204-11C257-11 304 2 345 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78-245Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>降落距起点<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 529 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>个单位，其中<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.249ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -705 552 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705C400 705 357 665 334 586C329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411C204 400 214 395 235 395L295 395L222 8C211-49 201-91 192-119C180-156 163-175 141-175C126-175 114-171 103-164C135-159 151-140 151-108C151-82 138-69 111-69C77-69 53-99 53-133C53-177 94-205 141-205C166-205 189-195 208-174C240-141 265-94 283-31C294 8 304 46 311 84L369 395L451 395C474 395 484 396 484 419C484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644C430 665 444 675 462 675C477 675 490 671 501 664C470 657 454 639 454 608C454 582 467 569 494 569C528 569 552 599 552 633Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>是概率分布。</p><p>现在，在第一次下落之后，我们将球捡起并从其首次着陆点上方的另一个高度下落。球从新起点滚动<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -694 429 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="b"><g data-mml-node="mi" data-latex="b"><path data-c="1D44F" d="M281 445C245 445 209 428 174 394L243 679C241 688 238 694 226 694C193 694 120 685 107 684C92 682 84 675 84 660C84 650 93 645 112 645C131 645 157 646 157 632C157 628 152 608 143 571L63 249C52 207 47 173 47 148C47 62 93-11 175-11C240-11 297 22 347 89C392 151 415 216 415 283C415 370 364 445 281 445M279 415C318 415 337 385 337 326C337 299 331 263 319 218C297 133 268 75 233 44C213 27 194 19 175 19C134 19 114 51 114 115C114 137 119 170 129 214L151 304C154 319 159 330 165 338C204 389 242 415 279 415Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>单位的概率为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.561ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.81ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -748 1684 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="g(b)"><g data-mml-node="mi" data-latex="g"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205C197-205 241-193 280-170C324-144 351-109 362-66L471 373C473 383 474 389 474 392C474 412 463 422 442 422C420 422 406 410 399 387C377 424 347 442 310 442C246 442 189 410 140 346C95 286 72 223 72 158C72 71 123-3 207-3C246-3 282 14 315 47L285-71C256-140 211-175 148-175C122-175 100-173 82-169C103-158 113-141 113-118C113-93 99-80 72-80C40-80 15-109 15-141M356 392C376 371 386 351 386 331C386 330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60C259 38 233 27 210 27C170 27 150 56 150 114C150 169 184 291 204 327C235 384 270 412 311 412C329 412 344 405 356 392Z"/></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(477,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"/></g><g data-mml-node="mi" data-latex="b" transform="translate(866,0)"><path data-c="1D44F" d="M281 445C245 445 209 428 174 394L243 679C241 688 238 694 226 694C193 694 120 685 107 684C92 682 84 675 84 660C84 650 93 645 112 645C131 645 157 646 157 632C157 628 152 608 143 571L63 249C52 207 47 173 47 148C47 62 93-11 175-11C240-11 297 22 347 89C392 151 415 216 415 283C415 370 364 445 281 445M279 415C318 415 337 385 337 326C337 299 331 263 319 218C297 133 268 75 233 44C213 27 194 19 175 19C134 19 114 51 114 115C114 137 119 170 129 214L151 304C154 319 159 330 165 338C204 389 242 415 279 415Z"/></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1295,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40C268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540C188 631 138 699 78 745C75 747 72 748 71 748C62 748 57 743 57 734C57 730 59 726 62 723C114 683 156 617 187 526C214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26C156-117 114-183 62-223C59-227 57-231 57-234C57-243 62-248 71-248C72-248 75-247 78-245Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>,其中<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.079ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 477 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="g"><g data-mml-node="mi" data-latex="g"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205C197-205 241-193 280-170C324-144 351-109 362-66L471 373C473 383 474 389 474 392C474 412 463 422 442 422C420 422 406 410 399 387C377 424 347 442 310 442C246 442 189 410 140 346C95 286 72 223 72 158C72 71 123-3 207-3C246-3 282 14 315 47L285-71C256-140 211-175 148-175C122-175 100-173 82-169C103-158 113-141 113-118C113-93 99-80 72-80C40-80 15-109 15-141M356 392C376 371 386 351 386 331C386 330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60C259 38 233 27 210 27C170 27 150 56 150 114C150 169 184 291 204 327C235 384 270 412 311 412C329 412 344 405 356 392Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>如果从不同高度掉落，则可能是不同的概率分布。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001306301/20200504112434.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001306301/20200504112434.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="在第一次下落之后，我们将球捡起并从其首次着陆点上方的另一个高度下落。"></p><p>如果我们确定了第一个的结果，我们就知道了球的移动距离<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 529 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>，对于球的总距离为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="c"><g data-mml-node="mi" data-latex="c"><path data-c="1D450" d="M328 325C328 300 341 287 368 287C404 287 427 318 427 354C427 410 368 442 308 442C239 442 176 412 122 353C68 294 41 229 41 159C41 61 106-11 204-11C257-11 304 2 345 27C379 48 404 69 420 90C427 99 430 106 430 109C430 120 425 126 414 126C409 126 404 122 398 114C365 70 324 42 277 30C246 22 223 18 206 18C149 18 121 53 121 122C121 184 150 274 174 317C198 361 249 413 308 413C346 413 372 402 386 381C355 378 328 358 328 325Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>，第二个球的移动距离也固定为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -694 429 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="b"><g data-mml-node="mi" data-latex="b"><path data-c="1D44F" d="M281 445C245 445 209 428 174 394L243 679C241 688 238 694 226 694C193 694 120 685 107 684C92 682 84 675 84 660C84 650 93 645 112 645C131 645 157 646 157 632C157 628 152 608 143 571L63 249C52 207 47 173 47 148C47 62 93-11 175-11C240-11 297 22 347 89C392 151 415 216 415 283C415 370 364 445 281 445M279 415C318 415 337 385 337 326C337 299 331 263 319 218C297 133 268 75 233 44C213 27 194 19 175 19C134 19 114 51 114 115C114 137 119 170 129 214L151 304C154 319 159 330 165 338C204 389 242 415 279 415Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>，其中<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -750 529 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a+b=c"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"/></g></g></g></svg><mjx-break size="3"> </mjx-break><svg 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data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526C431 569 410 604 369 631C333 654 292 666 246 666C201 666 162 654 127 631C88 605 68 571 68 528C68 495 90 472 122 472C154 472 176 495 176 527C176 560 157 578 119 580C145 615 186 633 242 633C302 633 332 598 332 527C332 485 324 450 309 421C282 373 245 364 183 364C171 362 165 357 165 348C165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173C348 88 317 14 241 14C176 14 128 36 99 80C134 79 160 105 160 139C160 173 135 198 101 198C62 198 42 178 42 137C42 88 64 49 108 18C147-9 193-22 244-22C301-22 350-3 393 34C436 71 457 117 457 173C457 267 383 332 303 353Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的总距离的唯一方法。球第一次可以滚动<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="1"><g data-mml-node="mn" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>个单位，第二次可以滚动<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612C69 576 50 534 50 483C50 449 75 424 106 424C136 424 161 450 161 480C161 513 137 536 105 536C102 536 100 536 98 535C117 584 161 627 224 627C306 627 352 556 352 470C352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0L450 180L417 180C409 129 402 100 396 91C391 86 361 84 306 84L139 84L236 179C304 243 390 312 419 365C439 400 449 435 449 470C449 588 357 666 237 666Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>个单位。 或第一次为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -666 500 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="0"><g data-mml-node="mn" data-latex="0"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320C460 473 428 575 365 625C330 652 291 666 250 666C109 666 39 551 39 320C39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332C371 240 367 172 360 128C347 48 310 8 249 8C226 8 203 17 182 34C155 57 139 104 132 176C129 201 128 253 128 332C128 419 131 480 136 513C145 568 163 603 191 618C213 630 232 636 249 636C314 636 350 583 361 524Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>，第二次为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -666 500 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="3"><g data-mml-node="mn" data-latex="3"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526C431 569 410 604 369 631C333 654 292 666 246 666C201 666 162 654 127 631C88 605 68 571 68 528C68 495 90 472 122 472C154 472 176 495 176 527C176 560 157 578 119 580C145 615 186 633 242 633C302 633 332 598 332 527C332 485 324 450 309 421C282 373 245 364 183 364C171 362 165 357 165 348C165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173C348 88 317 14 241 14C176 14 128 36 99 80C134 79 160 105 160 139C160 173 135 198 101 198C62 198 42 178 42 137C42 88 64 49 108 18C147-9 193-22 244-22C301-22 350-3 393 34C436 71 457 117 457 173C457 267 383 332 303 353Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>。 只要将<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 529 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -694 429 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="b"><g data-mml-node="mi" data-latex="b"><path data-c="1D44F" d="M281 445C245 445 209 428 174 394L243 679C241 688 238 694 226 694C193 694 120 685 107 684C92 682 84 675 84 660C84 650 93 645 112 645C131 645 157 646 157 632C157 628 152 608 143 571L63 249C52 207 47 173 47 148C47 62 93-11 175-11C240-11 297 22 347 89C392 151 415 216 415 283C415 370 364 445 281 445M279 415C318 415 337 385 337 326C337 299 331 263 319 218C297 133 268 75 233 44C213 27 194 19 175 19C134 19 114 51 114 115C114 137 119 170 129 214L151 304C154 319 159 330 165 338C204 389 242 415 279 415Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>加和等于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -666 500 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="3"><g data-mml-node="mn" data-latex="3"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526C431 569 410 604 369 631C333 654 292 666 246 666C201 666 162 654 127 631C88 605 68 571 68 528C68 495 90 472 122 472C154 472 176 495 176 527C176 560 157 578 119 580C145 615 186 633 242 633C302 633 332 598 332 527C332 485 324 450 309 421C282 373 245 364 183 364C171 362 165 357 165 348C165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173C348 88 317 14 241 14C176 14 128 36 99 80C134 79 160 105 160 139C160 173 135 198 101 198C62 198 42 178 42 137C42 88 64 49 108 18C147-9 193-22 244-22C301-22 350-3 393 34C436 71 457 117 457 173C457 267 383 332 303 353Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>，它就可以取任意值。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001370125/20200504112524.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001370125/20200504112524.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="达到3的总距离的方法"></p><p>这个概率分别是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.14ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -750 1830 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f(1)\cdot g(2)"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705C400 705 357 665 334 586C329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411C204 400 214 395 235 395L295 395L222 8C211-49 201-91 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353C68 294 41 229 41 159C41 61 106-11 204-11C257-11 304 2 345 27C379 48 404 69 420 90C427 99 430 106 430 109C430 120 425 126 414 126C409 126 404 122 398 114C365 70 324 42 277 30C246 22 223 18 206 18C149 18 121 53 121 122C121 184 150 274 174 317C198 361 249 413 308 413C346 413 372 402 386 381C355 378 328 358 328 325Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的总可能性，我们不能仅考虑一种到达<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="c"><g data-mml-node="mi" data-latex="c"><path data-c="1D450" d="M328 325C328 300 341 287 368 287C404 287 427 318 427 354C427 410 368 442 308 442C239 442 176 412 122 353C68 294 41 229 41 159C41 61 106-11 204-11C257-11 304 2 345 27C379 48 404 69 420 90C427 99 430 106 430 109C430 120 425 126 414 126C409 126 404 122 398 114C365 70 324 42 277 30C246 22 223 18 206 18C149 18 121 53 121 122C121 184 150 274 174 317C198 361 249 413 308 413C346 413 372 402 386 381C355 378 328 358 328 325Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的可能方式。 相反，我们考虑将<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="c"><g data-mml-node="mi" data-latex="c"><path data-c="1D450" d="M328 325C328 300 341 287 368 287C404 287 427 318 427 354C427 410 368 442 308 442C239 442 176 412 122 353C68 294 41 229 41 159C41 61 106-11 204-11C257-11 304 2 345 27C379 48 404 69 420 90C427 99 430 106 430 109C430 120 425 126 414 126C409 126 404 122 398 114C365 70 324 42 277 30C246 22 223 18 206 18C149 18 121 53 121 122C121 184 150 274 174 317C198 361 249 413 308 413C346 413 372 402 386 381C355 378 328 358 328 325Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>划分为两个球<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 529 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -694 429 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="b"><g data-mml-node="mi" data-latex="b"><path data-c="1D44F" d="M281 445C245 445 209 428 174 394L243 679C241 688 238 694 226 694C193 694 120 685 107 684C92 682 84 675 84 660C84 650 93 645 112 645C131 645 157 646 157 632C157 628 152 608 143 571L63 249C52 207 47 173 47 148C47 62 93-11 175-11C240-11 297 22 347 89C392 151 415 216 415 283C415 370 364 445 281 445M279 415C318 415 337 385 337 326C337 299 331 263 319 218C297 133 268 75 233 44C213 27 194 19 175 19C134 19 114 51 114 115C114 137 119 170 129 214L151 304C154 319 159 330 165 338C204 389 242 415 279 415Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的所有可能方法，并对每种方法的概率求和。</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width: 47.944ex;"><svg style="vertical-align: -0.566ex; min-width: 47.944ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false" data-mjx-viewbox="0 -750 21191.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math" data-latex="...f(0)\cdot g(3)+f(1)\cdot g(2)+f(2)\cdot g(1)..."><g data-mml-node="mtable" data-latex="...f(0)\cdot g(3)+f(1)\cdot g(2)+f(2)\cdot g(1)..." transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveaspectratio="xMidYMid" viewbox="8517.6 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo" data-latex="."><path data-c="2E" d="M192 53C192 82 168 106 139 106C110 106 86 82 86 53C86 24 110 0 139 0C168 0 192 24 192 53Z"/></g><g data-mml-node="mo" data-latex="." transform="translate(278,0)"><path data-c="2E" d="M192 53C192 82 168 106 139 106C110 106 86 82 86 53C86 24 110 0 139 0C168 0 192 24 192 53Z"/></g><g data-mml-node="mo" data-latex="." transform="translate(556,0)"><path data-c="2E" d="M192 53C192 82 168 106 139 106C110 106 86 82 86 53C86 24 110 0 139 0C168 0 192 24 192 53Z"/></g><g data-mml-node="mi" data-latex="f" transform="translate(834,0)"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705C400 705 357 665 334 586C329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411C204 400 214 395 235 395L295 395L222 8C211-49 201-91 192-119C180-156 163-175 141-175C126-175 114-171 103-164C135-159 151-140 151-108C151-82 138-69 111-69C77-69 53-99 53-133C53-177 94-205 141-205C166-205 189-195 208-174C240-141 265-94 283-31C294 8 304 46 311 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在第一次下降之后，它将以概率<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.561ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.206ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -748 1859 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f(a)"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705C400 705 357 665 334 586C329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411C204 400 214 395 235 395L295 395L222 8C211-49 201-91 192-119C180-156 163-175 141-175C126-175 114-171 103-164C135-159 151-140 151-108C151-82 138-69 111-69C77-69 53-99 53-133C53-177 94-205 141-205C166-205 189-195 208-174C240-141 265-94 283-31C294 8 304 46 311 84L369 395L451 395C474 395 484 396 484 419C484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644C430 665 444 675 462 675C477 675 490 671 501 664C470 657 454 639 454 608C454 582 467 569 494 569C528 569 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data-latex="a"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>处，则它有概率<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.939ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -750 1299 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="g(c-a)"><g data-mml-node="mi" data-latex="g"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205C197-205 241-193 280-170C324-144 351-109 362-66L471 373C473 383 474 389 474 392C474 412 463 422 442 422C420 422 406 410 399 387C377 424 347 442 310 442C246 442 189 410 140 346C95 286 72 223 72 158C72 71 123-3 207-3C246-3 282 14 315 47L285-71C256-140 211-175 148-175C122-175 100-173 82-169C103-158 113-141 113-118C113-93 99-80 72-80C40-80 15-109 15-141M356 392C376 371 386 351 386 331C386 330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60C259 38 233 27 210 27C170 27 150 56 150 114C150 169 184 291 204 327C235 384 270 412 311 412C329 412 344 405 356 392Z"/></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(477,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"/></g><g data-mml-node="mi" data-latex="c" transform="translate(866,0)"><path data-c="1D450" d="M328 325C328 300 341 287 368 287C404 287 427 318 427 354C427 410 368 442 308 442C239 442 176 412 122 353C68 294 41 229 41 159C41 61 106-11 204-11C257-11 304 2 345 27C379 48 404 69 420 90C427 99 430 106 430 109C430 120 425 126 414 126C409 126 404 122 398 114C365 70 324 42 277 30C246 22 223 18 206 18C149 18 121 53 121 122C121 184 150 274 174 317C198 361 249 413 308 413C346 413 372 402 386 381C355 378 328 358 328 325Z"/></g></g></g></svg><mjx-break size="3"> </mjx-break><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.34ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -750 1918.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="g(c-a)"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270L80 270C64 270 56 263 56 250C56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250C722 262 710 270 698 270Z"/></g><g data-mml-node="mi" data-latex="a" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"/></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1529.2,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40C268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540C188 631 138 699 78 745C75 747 72 748 71 748C62 748 57 743 57 734C57 730 59 726 62 723C114 683 156 617 187 526C214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26C156-117 114-183 62-223C59-227 57-231 57-234C57-243 62-248 71-248C72-248 75-247 78-245Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>降落在位置<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="c"><g data-mml-node="mi" data-latex="c"><path data-c="1D450" d="M328 325C328 300 341 287 368 287C404 287 427 318 427 354C427 410 368 442 308 442C239 442 176 412 122 353C68 294 41 229 41 159C41 61 106-11 204-11C257-11 304 2 345 27C379 48 404 69 420 90C427 99 430 106 430 109C430 120 425 126 414 126C409 126 404 122 398 114C365 70 324 42 277 30C246 22 223 18 206 18C149 18 121 53 121 122C121 184 150 274 174 317C198 361 249 413 308 413C346 413 372 402 386 381C355 378 328 358 328 325Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>处。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001415676/20200504112819.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001415676/20200504112819.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="考虑球可能着陆的位置"></p><p>为了得到卷积，我们考虑所有中间位置。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001443618/20200504112854.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001443618/20200504112854.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="考虑所有中间位置"></p></div><div class="story post-story"><h2 id="可视化卷积"><a href="#可视化卷积" class="headerlink" title="可视化卷积"></a>可视化卷积</h2><p>有一个很好的技巧，可以帮助人们更轻松地思考卷积。</p><p>首先，观察。 假设一个球从其起点降落一定距离<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="x"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442C389 442 355 419 329 373C308 419 273 442 222 442C173 442 133 419 101 374C74 335 60 306 60 287C60 278 65 273 75 273C84 273 90 278 92 287C111 345 153 413 220 413C253 413 269 392 269 351C269 330 251 252 216 118C199 51 169 18 126 18C112 18 99 21 88 26C114 36 127 54 127 80C127 106 114 119 87 119C54 119 29 91 29 58C29 12 76-11 125-11C167-11 201 12 228 58C247 12 283-11 335-11C383-11 423 12 455 57C482 96 496 125 496 144C496 153 491 158 481 158C472 158 467 153 464 144C447 87 402 18 337 18C304 18 287 38 287 79C287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413C445 413 458 410 469 405C442 396 429 378 429 351C429 325 443 312 470 312C502 312 527 341 527 373Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的概率为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.561ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.303ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -748 1902 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705C400 705 357 665 334 586C329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411C204 400 214 395 235 395L295 395L222 8C211-49 201-91 192-119C180-156 163-175 141-175C126-175 114-171 103-164C135-159 151-140 151-108C151-82 138-69 111-69C77-69 53-99 53-133C53-177 94-205 141-205C166-205 189-195 208-174C240-141 265-94 283-31C294 8 304 46 311 84L369 395L451 395C474 395 484 396 484 419C484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644C430 665 444 675 462 675C477 675 490 671 501 664C470 657 454 639 454 608C454 582 467 569 494 569C528 569 552 599 552 633Z"/></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(552,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"/></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(941,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442C389 442 355 419 329 373C308 419 273 442 222 442C173 442 133 419 101 374C74 335 60 306 60 287C60 278 65 273 75 273C84 273 90 278 92 287C111 345 153 413 220 413C253 413 269 392 269 351C269 330 251 252 216 118C199 51 169 18 126 18C112 18 99 21 88 26C114 36 127 54 127 80C127 106 114 119 87 119C54 119 29 91 29 58C29 12 76-11 125-11C167-11 201 12 228 58C247 12 283-11 335-11C383-11 423 12 455 57C482 96 496 125 496 144C496 153 491 158 481 158C472 158 467 153 464 144C447 87 402 18 337 18C304 18 287 38 287 79C287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413C445 413 458 410 469 405C442 396 429 378 429 351C429 325 443 312 470 312C502 312 527 341 527 373Z"/></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1513,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40C268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540C188 631 138 699 78 745C75 747 72 748 71 748C62 748 57 743 57 734C57 730 59 726 62 723C114 683 156 617 187 526C214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26C156-117 114-183 62-223C59-227 57-231 57-234C57-243 62-248 71-248C72-248 75-247 78-245Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>。 然后，此后，它从着陆点开始的距离为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="x"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442C389 442 355 419 329 373C308 419 273 442 222 442C173 442 133 419 101 374C74 335 60 306 60 287C60 278 65 273 75 273C84 273 90 278 92 287C111 345 153 413 220 413C253 413 269 392 269 351C269 330 251 252 216 118C199 51 169 18 126 18C112 18 99 21 88 26C114 36 127 54 127 80C127 106 114 119 87 119C54 119 29 91 29 58C29 12 76-11 125-11C167-11 201 12 228 58C247 12 283-11 335-11C383-11 423 12 455 57C482 96 496 125 496 144C496 153 491 158 481 158C472 158 467 153 464 144C447 87 402 18 337 18C304 18 287 38 287 79C287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413C445 413 458 410 469 405C442 396 429 378 429 351C429 325 443 312 470 312C502 312 527 341 527 373Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的概率为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.129ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -750 941 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f(-x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705C400 705 357 665 334 586C329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411C204 400 214 395 235 395L295 395L222 8C211-49 201-91 192-119C180-156 163-175 141-175C126-175 114-171 103-164C135-159 151-140 151-108C151-82 138-69 111-69C77-69 53-99 53-133C53-177 94-205 141-205C166-205 189-195 208-174C240-141 265-94 283-31C294 8 304 46 311 84L369 395L451 395C474 395 484 396 484 419C484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644C430 665 444 675 462 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208L288 292C288 371 268 453 229 540C188 631 138 699 78 745C75 747 72 748 71 748C62 748 57 743 57 734C57 730 59 726 62 723C114 683 156 617 187 526C214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26C156-117 114-183 62-223C59-227 57-231 57-234C57-243 62-248 71-248C72-248 75-247 78-245Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001476917/20200504113141.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001476917/20200504113141.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="观察"></p><p>如果我们知道球在第二次下降后落在位置<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="c"><g data-mml-node="mi" data-latex="c"><path data-c="1D450" d="M328 325C328 300 341 287 368 287C404 287 427 318 427 354C427 410 368 442 308 442C239 442 176 412 122 353C68 294 41 229 41 159C41 61 106-11 204-11C257-11 304 2 345 27C379 48 404 69 420 90C427 99 430 106 430 109C430 120 425 126 414 126C409 126 404 122 398 114C365 70 324 42 277 30C246 22 223 18 206 18C149 18 121 53 121 122C121 184 150 274 174 317C198 361 249 413 308 413C346 413 372 402 386 381C355 378 328 358 328 325Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>上，那么前一个位置是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 529 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的概率是多少？</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001517967/20200504113212.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001517967/20200504113212.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="概率是多少？"></p><p>因此，先前位置为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 529 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的概率为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.959ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -750 866 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="g(-(a-c))=g(c-a)"><g data-mml-node="mi" data-latex="g"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205C197-205 241-193 280-170C324-144 351-109 362-66L471 373C473 383 474 389 474 392C474 412 463 422 442 422C420 422 406 410 399 387C377 424 347 442 310 442C246 442 189 410 140 346C95 286 72 223 72 158C72 71 123-3 207-3C246-3 282 14 315 47L285-71C256-140 211-175 148-175C122-175 100-173 82-169C103-158 113-141 113-118C113-93 99-80 72-80C40-80 15-109 15-141M356 392C376 371 386 351 386 331C386 330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60C259 38 233 27 210 27C170 27 150 56 150 114C150 169 184 291 204 327C235 384 270 412 311 412C329 412 344 405 356 392Z"/></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(477,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"/></g></g></g></svg><mjx-break size="0"> </mjx-break><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.837ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -750 1696 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="g(-(a-c))=g(c-a)"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270L80 270C64 270 56 263 56 250C56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250C722 262 710 270 698 270Z"/></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" 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381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的概率为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.939ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -750 1299 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="g(c-a)"><g data-mml-node="mi" data-latex="g"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205C197-205 241-193 280-170C324-144 351-109 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data-latex="c" transform="translate(866,0)"><path data-c="1D450" d="M328 325C328 300 341 287 368 287C404 287 427 318 427 354C427 410 368 442 308 442C239 442 176 412 122 353C68 294 41 229 41 159C41 61 106-11 204-11C257-11 304 2 345 27C379 48 404 69 420 90C427 99 430 106 430 109C430 120 425 126 414 126C409 126 404 122 398 114C365 70 324 42 277 30C246 22 223 18 206 18C149 18 121 53 121 122C121 184 150 274 174 317C198 361 249 413 308 413C346 413 372 402 386 381C355 378 328 358 328 325Z"/></g></g></g></svg><mjx-break size="3"> </mjx-break><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.34ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -750 1918.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="g(c-a)"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270L80 270C64 270 56 263 56 250C56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250C722 262 710 270 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292L228 208C228 131 214 53 187-26C156-117 114-183 62-223C59-227 57-231 57-234C57-243 62-248 71-248C72-248 75-247 78-245Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001552544/20200504113228.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001552544/20200504113228.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="考虑每个中间位置"></p><p>对所有<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 529 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>求和，我们得到了卷积。</p><p>这种方法的优点是，它使我们可以在单个图片中可视化卷积在值<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="c"><g data-mml-node="mi" data-latex="c"><path data-c="1D450" d="M328 325C328 300 341 287 368 287C404 287 427 318 427 354C427 410 368 442 308 442C239 442 176 412 122 353C68 294 41 229 41 159C41 61 106-11 204-11C257-11 304 2 345 27C379 48 404 69 420 90C427 99 430 106 430 109C430 120 425 126 414 126C409 126 404 122 398 114C365 70 324 42 277 30C246 22 223 18 206 18C149 18 121 53 121 122C121 184 150 274 174 317C198 361 249 413 308 413C346 413 372 402 386 381C355 378 328 358 328 325Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>处的评估。 通过移动下半部分，我们可以评估其他<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="c"><g data-mml-node="mi" data-latex="c"><path data-c="1D450" d="M328 325C328 300 341 287 368 287C404 287 427 318 427 354C427 410 368 442 308 442C239 442 176 412 122 353C68 294 41 229 41 159C41 61 106-11 204-11C257-11 304 2 345 27C379 48 404 69 420 90C427 99 430 106 430 109C430 120 425 126 414 126C409 126 404 122 398 114C365 70 324 42 277 30C246 22 223 18 206 18C149 18 121 53 121 122C121 184 150 274 174 317C198 361 249 413 308 413C346 413 372 402 386 381C355 378 328 358 328 325Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>值的卷积。 这使我们能够从整体上理解卷积。</p><p>例如，我们可以看到分布对齐时达到峰值。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001584297/20200504113307.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001584297/20200504113307.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="分布对齐时达到峰值"></p><p>且随着分布之间的交点变小而缩小。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001617289/20200504113355.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001617289/20200504113355.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="随着分布之间的交点变小而缩小"></p><p>过在动画中使用此技巧，实际上可以从视觉上理解卷积。</p><p>下面，我们可以看到两个框函数的卷积：</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.4/data/20200504113430.gif" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.4/data/20200504113430.gif" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="两个框函数的卷积"></p><p>有了这种观点，很多事情就会变得更加直观。</p><p>让我们考虑一个非概率示例。 卷积有时在音频处理中使用。 例如，一个函数可能会使用其中有两个尖峰但在其他所有地方为零的函数来创建回波。 当我们的双尖峰功能滑动时，一个尖峰首先击中一个时间点，将该信号添加到输出声音中，然后又出现另一个尖峰，并添加第二个延迟副本。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="高维卷积"><a href="#高维卷积" class="headerlink" title="高维卷积"></a>高维卷积</h2><p>卷积是一个非常笼统的想法。我们还可以将它们用于更大的尺寸。</p><p>让我们再次考虑一个落球的例子。现在，随着位置的下降，它的位置不仅在一维，而在二维。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001649550/20200504113452.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001649550/20200504113452.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="二维落球的例子"></p><p>卷积与以前相同：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width: 36.127ex;"><svg style="vertical-align: -1.942ex; min-width: 36.127ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.015ex" role="img" focusable="false" data-mjx-viewbox="0 -1358.2 15968 2216.4"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1358.2)"><g data-mml-node="math" data-latex="(f\ast g)(c) = \sum_{a+b=c} f(a) \cdot g(b)"><g data-mml-node="mtable" data-latex="(f\ast g)(c) = \sum_{a+b=c} f(a) \cdot g(b)" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1358.2) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveaspectratio="xMidYMid" viewbox="5906 -1358.2 1 2216.4"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,408.2)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo" data-latex="("><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"/></g><g data-mml-node="mi" data-latex="f" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705C400 705 357 665 334 586C329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411C204 400 214 395 235 395L295 395L222 8C211-49 201-91 192-119C180-156 163-175 141-175C126-175 114-171 103-164C135-159 151-140 151-108C151-82 138-69 111-69C77-69 53-99 53-133C53-177 94-205 141-205C166-205 189-195 208-174C240-141 265-94 283-31C294 8 304 46 311 84L369 395L451 395C474 395 484 396 484 419C484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644C430 665 444 675 462 675C477 675 490 671 501 664C470 657 454 639 454 608C454 582 467 569 494 569C528 569 552 599 552 633Z"/></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\ast" transform="translate(1163.2,0)"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279L282 425C285 445 269 462 250 462C231 462 215 445 218 425L233 279L115 366C110 370 103 372 96 372C78 372 63 357 63 339C63 325 70 315 83 309L217 250L83 191C70 185 63 175 63 161C63 143 78 128 96 128C103 128 110 130 115 134L233 221L218 75C215 55 231 39 250 39C269 39 285 55 282 75L267 221L385 134C390 130 397 128 404 128C415 128 424 133 431 142C446 162 435 183 417 191L283 250L417 309C430 315 437 325 437 339C437 357 422 372 404 372Z"/></g><g data-mml-node="mi" data-latex="g" transform="translate(1885.4,0)"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205C197-205 241-193 280-170C324-144 351-109 362-66L471 373C473 383 474 389 474 392C474 412 463 422 442 422C420 422 406 410 399 387C377 424 347 442 310 442C246 442 189 410 140 346C95 286 72 223 72 158C72 71 123-3 207-3C246-3 282 14 315 47L285-71C256-140 211-175 148-175C122-175 100-173 82-169C103-158 113-141 113-118C113-93 99-80 72-80C40-80 15-109 15-141M356 392C376 371 386 351 386 331C386 330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60C259 38 233 27 210 27C170 27 150 56 150 114C150 169 184 291 204 327C235 384 270 412 311 412C329 412 344 405 356 392Z"/></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2362.4,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40C268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540C188 631 138 699 78 745C75 747 72 748 71 748C62 748 57 743 57 734C57 730 59 726 62 723C114 683 156 617 187 526C214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26C156-117 114-183 62-223C59-227 57-231 57-234C57-243 62-248 71-248C72-248 75-247 78-245Z"/></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(2751.4,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 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transform="translate(20961.5,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40C268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540C188 631 138 699 78 745C75 747 72 748 71 748C62 748 57 743 57 734C57 730 59 726 62 723C114 683 156 617 187 526C214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26C156-117 114-183 62-223C59-227 57-231 57-234C57-243 62-248 71-248C72-248 75-247 78-245Z"/></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveaspectratio="xMaxYMid" viewbox="1278 -1368.2 1 2236.5"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:7" transform="translate(0,1166.2)"><text data-id-align="true"/><g data-idbox="true" transform="translate(0,-748)"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 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78-245Z"/></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>就像一维卷积一样，我们可以将二维卷积视为将一个函数滑动到另一个函数之上，相乘和相加。</p><p>一种常见的应用是图像处理。我们可以将图像视为二维函数。许多重要的图像转换都是卷积，您可以在其中将图像函数与一个非常小的局部函数（称为“卷积核”）进行卷积。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001695361/20200504113514.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001695361/20200504113514.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="卷积核"></p><p>卷积核滑动到图像的每个位置，并计算一个新像素作为其浮动像素的加权和。</p><p>例如，通过平均3x3像素矩阵，我们可以使图像模糊。 为此，我们的内核在框中的每个像素上取值<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.816ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.795ex" height="2.773ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -864.9 793.6 1225.5"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\frac{1}{9}"><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{1}{9}"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"/></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)" data-latex="9"><path data-c="39" d="M116 140C83 140 67 123 67 89C67 14 128-22 207-22C287-22 351 18 398 99C437 166 457 243 457 329C457 456 434 546 388 599C349 644 304 666 253 666C194 666 145 645 106 602C63 557 42 503 42 440C42 379 60 327 96 284C134 238 183 215 242 215C294 215 334 243 361 299L361 286C361 177 342 103 303 63C272 30 239 14 206 14C166 14 137 23 118 42C149 42 165 60 165 91C165 119 144 140 116 140M243 246C204 246 175 266 155 306C144 329 138 374 138 439C138 504 145 548 158 573C180 613 212 633 253 633C294 633 324 608 343 558C354 531 361 485 361 420C361 333 322 246 243 246Z"/></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"/></g></g></g></svg></mjx-container>，</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001732433/20200504113634.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001732433/20200504113634.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="使图像模糊"></p><p>我们还可以通过在两个相邻像素上取值<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.188ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.891ex" height="1.695ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -666 1278 749"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="-1"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270L80 270C64 270 56 263 56 250C56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250C722 262 710 270 698 270Z"/></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(778,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="1"><g data-mml-node="mn" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>，在其他所有位置取零来检测边缘。 也就是说，我们减去两个相邻像素。 当并排像素相似时，这大约等于零。 然而，在边缘上，相邻像素在垂直于边缘的方向上有很大不同。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001763320/20200504113659.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001763320/20200504113659.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="检测边缘"></p></div><div class="story post-story"><h2 id="卷积神经网络"><a href="#卷积神经网络" class="headerlink" title="卷积神经网络"></a>卷积神经网络</h2><p>那么，卷积与卷积神经网络有何关系？</p><p>考虑一个具有输入<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.357ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.442ex" height="1.357ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 1079.3 599.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="{x_n}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="{x_n}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub" data-latex="x_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442C389 442 355 419 329 373C308 419 273 442 222 442C173 442 133 419 101 374C74 335 60 306 60 287C60 278 65 273 75 273C84 273 90 278 92 287C111 345 153 413 220 413C253 413 269 392 269 351C269 330 251 252 216 118C199 51 169 18 126 18C112 18 99 21 88 26C114 36 127 54 127 80C127 106 114 119 87 119C54 119 29 91 29 58C29 12 76-11 125-11C167-11 201 12 228 58C247 12 283-11 335-11C383-11 423 12 455 57C482 96 496 125 496 144C496 153 491 158 481 158C472 158 467 153 464 144C447 87 402 18 337 18C304 18 287 38 287 79C287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413C445 413 458 410 469 405C442 396 429 378 429 351C429 325 443 312 470 312C502 312 527 341 527 373Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18C427 18 420 28 420 47C420 61 426 84 438 115C478 224 498 296 498 333C498 403 451 442 381 442C322 442 271 416 230 363C222 407 187 442 136 442C80 442 58 390 44 345C34 313 29 294 29 287C29 278 34 273 45 273C50 273 53 274 56 276C61 285 64 292 65 299C83 375 106 413 133 413C151 413 160 399 160 371C160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19C78-1 89-11 111-11C130-11 144-1 151 19C153 24 159 49 170 92L191 181L221 295C232 318 249 341 270 365C299 397 335 413 378 413C411 413 427 391 427 348C427 310 406 234 363 120C356 102 353 87 353 74C353 25 390-11 438-11C482-11 517 14 542 64C561 104 571 131 571 144C571 153 566 158 555 158C552 158 537 149 537 137Z"/></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>和输出<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.256ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 997.3 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="{y_n}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="{y_n}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub" data-latex="y_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="y"><path data-c="1D466" d="M163 442C118 442 83 417 58 367C39 328 29 301 29 286C29 277 34 272 45 272C59 272 60 278 64 293C87 372 119 412 160 412C173 412 180 403 180 385C180 369 175 346 164 317C126 214 107 145 107 108C107 32 154-13 231-13C264-13 295-1 323 23C288-109 233-175 158-175C124-175 101-164 89-142C129-140 149-121 149-85C149-60 136-47 109-47C72-47 50-78 50-115C50-170 100-205 158-205C273-205 367-99 392-1L486 377C489 388 490 396 490 401C490 421 479 431 458 431C442 431 429 423 420 408C414 387 409 369 406 354L342 97C332 61 279 16 234 16C196 16 177 41 177 92C177 134 194 198 227 284C240 319 247 343 247 357C247 406 212 442 163 442Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18C427 18 420 28 420 47C420 61 426 84 438 115C478 224 498 296 498 333C498 403 451 442 381 442C322 442 271 416 230 363C222 407 187 442 136 442C80 442 58 390 44 345C34 313 29 294 29 287C29 278 34 273 45 273C50 273 53 274 56 276C61 285 64 292 65 299C83 375 106 413 133 413C151 413 160 399 160 371C160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19C78-1 89-11 111-11C130-11 144-1 151 19C153 24 159 49 170 92L191 181L221 295C232 318 249 341 270 365C299 397 335 413 378 413C411 413 427 391 427 348C427 310 406 234 363 120C356 102 353 87 353 74C353 25 390-11 438-11C482-11 517 14 542 64C561 104 571 131 571 144C571 153 566 158 555 158C552 158 537 149 537 137Z"/></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>的一维卷积层，就像这样：</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001792007/20200504113718.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001792007/20200504113718.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="一维卷积层"></p><p>正如我们观察到的，我们可以用输入来描述输出：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width: 28.96ex;"><svg style="vertical-align: -0.566ex; min-width: 28.96ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false" data-mjx-viewbox="0 -750 12800.4 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math" data-latex="y_n = A(x_{n}, x_{n+1}, ...)"><g data-mml-node="mtable" data-latex="y_n = A(x_{n}, x_{n+1}, ...)" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveaspectratio="xMidYMid" viewbox="4322.2 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub" data-latex="y_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="y"><path data-c="1D466" d="M163 442C118 442 83 417 58 367C39 328 29 301 29 286C29 277 34 272 45 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class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.371ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -683 1048 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="W"><g data-mml-node="mi" data-latex="W"><path data-c="1D44A" d="M956 680C937 680 872 683 853 683C838 683 830 675 830 660C830 650 836 645 848 644C885 643 903 632 903 610C903 604 899 594 891 579L629 125L594 602C590 638 614 644 659 644C680 644 690 652 690 668C690 678 684 683 671 683C649 683 572 680 550 680C531 680 465 683 446 683C431 683 423 675 423 659C423 649 432 644 451 644C482 644 498 637 499 623L505 548L261 125L225 613C222 638 264 644 296 644C313 644 321 652 321 668C321 678 315 683 303 683C281 683 203 680 181 680C162 680 96 683 77 683C62 683 55 675 55 660C55 649 65 644 84 644C126 644 130 642 132 612L177 7C178-12 185-22 197-22C210-20 215-17 223-2C224-1 224 0 224 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data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="y"><path data-c="1D466" d="M163 442C118 442 83 417 58 367C39 328 29 301 29 286C29 277 34 272 45 272C59 272 60 278 64 293C87 372 119 412 160 412C173 412 180 403 180 385C180 369 175 346 164 317C126 214 107 145 107 108C107 32 154-13 231-13C264-13 295-1 323 23C288-109 233-175 158-175C124-175 101-164 89-142C129-140 149-121 149-85C149-60 136-47 109-47C72-47 50-78 50-115C50-170 100-205 158-205C273-205 367-99 392-1L486 377C489 388 490 396 490 401C490 421 479 431 458 431C442 431 429 423 420 408C414 387 409 369 406 354L342 97C332 61 279 16 234 16C196 16 177 41 177 92C177 134 194 198 227 284C240 319 247 343 247 357C247 406 212 442 163 442Z"/></g><g data-mml-node="mo" data-latex="=" transform="translate(767.8,0)"><path data-c="3D" d="M698 367L80 367C64 367 56 359 56 344C56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344C722 356 711 367 698 367M698 179L80 179C64 179 56 171 56 156C56 141 64 133 80 133L698 133C714 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202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"/></g><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{12}" transform="translate(389,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"/><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612C69 576 50 534 50 483C50 449 75 424 106 424C136 424 161 450 161 480C161 513 137 536 105 536C102 536 100 536 98 535C117 584 161 627 224 627C306 627 352 556 352 470C352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0L450 180L417 180C409 129 402 100 396 91C391 86 361 84 306 84L139 84L236 179C304 243 390 312 419 365C439 400 449 435 449 470C449 588 357 666 237 666Z" transform="translate(500,0)"/></g><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{)}" transform="translate(1389,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40C268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540C188 631 138 699 78 745C75 747 72 748 71 748C62 748 57 743 57 734C57 730 59 726 62 723C114 683 156 617 187 526C214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26C156-117 114-183 62-223C59-227 57-231 57-234C57-243 62-248 71-248C72-248 75-247 78-245Z"/></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>矩阵的每一行都描述了将神经元连接到其输入的权重。</p><p>但是，返回到卷积层，因为同一神经元有多个副本，所以许多权重出现在多个位置。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001818418/20200504113730.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001818418/20200504113730.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="许多权重出现在多个位置"></p><p>对应于等式：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width: 37.143ex;"><svg style="vertical-align: -0.566ex; min-width: 37.143ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false" data-mjx-viewbox="0 -750 16417.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math" data-latex="y_0 = \sigma(W_0 x_0 + W_1 x_1 -b)"><g data-mml-node="mtable" data-latex="y_0 = \sigma(W_0 x_0 + W_1 x_1 -b)" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveaspectratio="xMidYMid" viewbox="5630.6 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub" data-latex="y_0"><g data-mml-node="mi" data-latex="y"><path data-c="1D466" d="M163 442C118 442 83 417 58 367C39 328 29 301 29 286C29 277 34 272 45 272C59 272 60 278 64 293C87 372 119 412 160 412C173 412 180 403 180 385C180 369 175 346 164 317C126 214 107 145 107 108C107 32 154-13 231-13C264-13 295-1 323 23C288-109 233-175 158-175C124-175 101-164 89-142C129-140 149-121 149-85C149-60 136-47 109-47C72-47 50-78 50-115C50-170 100-205 158-205C273-205 367-99 392-1L486 377C489 388 490 396 490 401C490 421 479 431 458 431C442 431 429 423 420 408C414 387 409 369 406 354L342 97C332 61 279 16 234 16C196 16 177 41 177 92C177 134 194 198 227 284C240 319 247 343 247 357C247 406 212 442 163 442Z"/></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-latex="0"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320C460 473 428 575 365 625C330 652 291 666 250 666C109 666 39 551 39 320C39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332C371 240 367 172 360 128C347 48 310 8 249 8C226 8 203 17 182 34C155 57 139 104 132 176C129 201 128 253 128 332C128 419 131 480 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d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"/></g><g data-mml-node="msub" data-latex="W_0" transform="translate(3220.1,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="W"><path data-c="1D44A" d="M956 680C937 680 872 683 853 683C838 683 830 675 830 660C830 650 836 645 848 644C885 643 903 632 903 610C903 604 899 594 891 579L629 125L594 602C590 638 614 644 659 644C680 644 690 652 690 668C690 678 684 683 671 683C649 683 572 680 550 680C531 680 465 683 446 683C431 683 423 675 423 659C423 649 432 644 451 644C482 644 498 637 499 623L505 548L261 125L225 613C222 638 264 644 296 644C313 644 321 652 321 668C321 678 315 683 303 683C281 683 203 680 181 680C162 680 96 683 77 683C62 683 55 675 55 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... & ... & ... & ... & ...\\
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"><g data-mml-node="mtable" data-latex="W = \begin{bmatrix}
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... & ... & ... & ... & ...\\
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d="M280 0L346 0L346 1500L53 1500C31 1500 20 1489 20 1466C20 1443 31 1432 53 1432L280 1432Z" transform="translate(0,2122.9)"/><path data-c="23A6" d="M53 0L346 0L346 1500L280 1500L280 68L53 68C31 68 20 57 20 34C20 11 31 0 53 0Z" transform="translate(0,-3122.9)"/><svg width="667" height="3885.9" y="-1692.9" x="0" viewbox="0 971.5 667 3885.9"><path data-c="23A5" d="M280 0L346 0L346 1000L280 1000Z" transform="scale(1,5.829)"/></svg></g></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveaspectratio="xMaxYMid" viewbox="1778 -3622.9 1 6745.9"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:15"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"/></g><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{15}" transform="translate(389,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"/><path data-c="35" d="M118 315C123 315 129 319 134 326C164 371 205 393 257 393C292 393 319 373 337 332C348 305 354 264 354 209C354 146 346 102 331 76C306 35 272 14 229 14C162 14 109 62 91 114C94 113 96 114 100 114C130 114 155 137 155 167C155 198 130 219 100 219C65 219 50 200 50 163C50 63 131-22 231-22C292-22 344 0 386 44C428 88 449 141 449 202C449 260 432 310 398 353C361 400 315 423 259 423C212 423 171 408 138 378L138 556C165 548 191 544 218 544C264 544 304 555 338 578C369 597 390 616 402 634C408 642 411 648 411 651C411 661 406 666 396 666C341 645 294 634 256 634C211 634 168 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18315.8 6600"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -3550)"><g data-mml-node="math" data-latex="
W = \begin{bmatrix}
w_0 & w_1 & 0 & 0 & ...\\
0 & w_0 & w_1 & 0 & ...\\
0 & 0 & w_0 & w_1 & ...\\
0 & 0 & 0 & w_0 & ...\\
... & ... & ... & ... & ...\\
\end{bmatrix}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="W = \begin{bmatrix}
w_0 & w_1 & 0 & 0 & ...\\
0 & w_0 & w_1 & 0 & ...\\
0 & 0 & w_0 & w_1 & ...\\
0 & 0 & 0 & w_0 & ...\\
... & ... & ... & ... & ...\\
\end{bmatrix}" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 3550) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveaspectratio="xMidYMid" viewbox="6579.9 -3550 1 6600"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="W"><path data-c="1D44A" d="M956 680C937 680 872 683 853 683C838 683 830 675 830 660C830 650 836 645 848 644C885 643 903 632 903 610C903 604 899 594 891 579L629 125L594 602C590 638 614 644 659 644C680 644 690 652 690 668C690 678 684 683 671 683C649 683 572 680 550 680C531 680 465 683 446 683C431 683 423 675 423 659C423 649 432 644 451 644C482 644 498 637 499 623L505 548L261 125L225 613C222 638 264 644 296 644C313 644 321 652 321 668C321 678 315 683 303 683C281 683 203 680 181 680C162 680 96 683 77 683C62 683 55 675 55 660C55 649 65 644 84 644C126 644 130 642 132 612L177 7C178-12 185-22 197-22C210-20 215-17 223-2C224-1 224 0 224 1L509 494L545 7C546-12 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1000Z" transform="scale(1,5.61)"/></svg></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(667,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,2800)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub" data-latex="w_0"><g data-mml-node="mi" data-latex="w"><path data-c="1D464" d="M590 391C590 382 595 372 606 362C629 340 641 313 641 281C641 264 635 237 623 198C586 78 539 18 482 18C435 18 412 45 412 100C412 119 416 142 423 171C441 243 460 314 477 387C479 394 480 398 480 401C480 421 469 431 447 431C427 431 414 421 407 401L367 245C352 187 341 167 341 115C341 107 341 101 342 98C319 45 290 18 255 18C205 18 180 47 180 104C180 141 197 204 231 293C242 323 248 344 248 357C248 406 212 442 163 442C118 442 84 417 59 367C39 328 29 301 29 287C29 278 34 273 45 273C58 273 60 279 64 293C88 373 120 413 160 413C174 413 181 403 181 384C181 369 175 347 164 317C127 220 108 154 108 117C108 32 165-11 252-11C294-11 328 10 355 53C375 10 416-11 479-11C541-11 590 30 625 112C648 164 691 302 691 369C691 384 690 394 689 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class="headerlink" title="结论"></a>结论</h2><p>我们在此博客文章中介绍了许多数学机制，但是获得的结果可能并不明显。 卷积显然是概率论和计算机图形学中的有用工具，但是从卷积的角度说卷积神经网络有什么好处呢？</p><p>第一个优点是我们拥有一些非常强大的语言来描述网络的布线。 到目前为止，我们所处理的示例还不够复杂，以至于无法清楚地看到这种好处，但是通过卷积可以使我们摆脱大量令人不快的簿记工作。</p><p>其次，卷积具有明显的实施优势。 许多库提供高效的卷积例程。 此外，尽管卷积天真地看起来是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.561ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.975ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -748 2641 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="O(n2)"><g data-mml-node="mi" data-latex="O"><path data-c="1D442" d="M702 263C727 320 740 377 740 435C740 513 717 577 670 628C623 679 561 705 484 705C431 705 378 692 325 666C217 613 138 529 87 415C62 359 49 303 49 246C49 167 72 103 119 53C166 3 228-22 306-22C358-22 410-9 463 16C572 69 651 152 702 263M644 474C644 341 584 208 520 129C476 74 400 12 312 12C205 12 149 105 149 218C149 253 156 300 169 357C196 475 264 579 353 633C396 659 438 672 478 672C586 672 644 586 644 474Z"/></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(763,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"/></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(1152,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18C427 18 420 28 420 47C420 61 426 84 438 115C478 224 498 296 498 333C498 403 451 442 381 442C322 442 271 416 230 363C222 407 187 442 136 442C80 442 58 390 44 345C34 313 29 294 29 287C29 278 34 273 45 273C50 273 53 274 56 276C61 285 64 292 65 299C83 375 106 413 133 413C151 413 160 399 160 371C160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 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