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itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="回顾几个有趣的小题目"><meta itemprop="description" content="本文回顾多个有趣数学题，围绕递推数列展开，通过迭代过程分析对数、余弦、指数等函数生成的数列，运用单调有界准则、拉格朗日中值定理等证明极限存在并求解，探讨数列在函数曲线“夹缝”中的收敛特性。"></span><div class="headimg-div"><div class="headimg-a"> <img itemprop="image" class="headimg lazyload" alt="回顾几个有趣的小题目" src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1651972981212/20201116211140.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1651972981212/20201116211140.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw=="></div></div><div class="article-meta" id="top"><h1 class="hidden" itemprop="name headline"> 回顾几个有趣的小题目</h1><div class="new-meta-box"><div class="new-meta-item author" itemprop="author" itemscope itemtype="http://schema.org/Person"> <a itemprop="url" class="author" target="_blank" href="https://mhuig.top/" rel="nofollow noopener" alt="author"><img itemprop="image" 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data-mml-node="math" data-latex="a_1"><g data-mml-node="msub" data-latex="a_1"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"/></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 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transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a_3到"><g data-mml-node="msub" data-latex="a_3"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"/></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-latex="3"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526C431 569 410 604 369 631C333 654 292 666 246 666C201 666 162 654 127 631C88 605 68 571 68 528C68 495 90 472 122 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data-latex="、"><g data-mml-node="mo" data-latex="、"><text data-variant="normal" transform="scale(1,-1)" font-size="884px" font-family="serif">、</text></g></g></g></svg></mjx-container><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.357ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.344ex" height="1.357ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 1036.3 599.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a_n"><g data-mml-node="msub" data-latex="a_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 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149 537 137Z"/></g></g></g></g></svg></mjx-container>单调减少，且有下界0.</p><p>(1)用数学归纳法证明有界.</p><p>1.验证<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.185ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -750 965.6 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a_1>0"><g data-mml-node="msub" data-latex="a_1"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"/></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"/></g></g></g></g></svg><mjx-break size="4"> </mjx-break><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a_1>0"><g data-mml-node="mo" data-latex=">"><path data-c="3E" d="M686 227C696 232 701 239 701 250C701 261 696 268 686 273L112 545C109 546 105 547 101 547C85 547 77 539 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data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314C485 314 508 345 508 379C508 418 476 445 437 445C392 445 344 415 291 356C250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694C242 694 166 685 154 684C139 682 132 675 132 660C132 650 141 645 159 645C178 645 204 646 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data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314C485 314 508 345 508 379C508 418 476 445 437 445C392 445 344 415 291 356C250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694C242 694 166 685 154 684C139 682 132 675 132 660C132 650 141 645 159 645C178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 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301 615C299 624 298 633 298 643C298 652 300 665 303 680C303 691 298 697 287 697C272 697 265 679 265 644C265 637 267 626 271 609C190 584 101 516 101 420M362 590C376 590 389 589 400 587C388 585 373 584 356 584C343 584 333 585 326 588C335 589 347 590 362 590M294 320C309 320 323 319 334 318C323 315 307 314 287 314C274 314 262 315 253 318C265 319 279 320 294 320Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>就在那里，可是就是不知道它是几.</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1651973127965/20201116211222.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1651973127965/20201116211222.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="在两条曲线的夹缝中求生存"></p><p>相当于在两条曲线的夹缝中求生存，最终的极限值趋近于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.009ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -697 446 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\xi"><g data-mml-node="mi" data-latex="\xi"><path data-c="1D709" d="M101 420C101 375 121 340 161 315C69 244 23 174 23 105C23 70 40 42 52 24C69 7 86-6 105-16C154-37 226-64 286-88C307-98 318-101 318-127C318-152 299-175 274-175C246-175 218-165 190-144C185-141 180-139 177-139C168-139 163-144 163-153C163-158 169-165 180-174C207-195 238-205 274-205C331-205 380-152 380-95C380-58 364-34 331-21L271 2C242 13 222 20 211 25L152 48C105 67 81 96 81 133C81 200 149 271 198 297C222 289 251 285 284 285C347 285 379 296 379 319C379 340 351 350 295 350C265 350 238 346 214 339C196 358 187 382 187 412C187 485 239 549 291 575C304 561 325 554 355 554C416 554 446 566 446 589C446 610 418 620 361 620C338 620 318 618 301 615C299 624 298 633 298 643C298 652 300 665 303 680C303 691 298 697 287 697C272 697 265 679 265 644C265 637 267 626 271 609C190 584 101 516 101 420M362 590C376 590 389 589 400 587C388 585 373 584 356 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58C29 12 76-11 125-11C167-11 201 12 228 58C247 12 283-11 335-11C383-11 423 12 455 57C482 96 496 125 496 144C496 153 491 158 481 158C472 158 467 153 464 144C447 87 402 18 337 18C304 18 287 38 287 79C287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413C445 413 458 410 469 405C442 396 429 378 429 351C429 325 443 312 470 312C502 312 527 341 527 373Z"/></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"/></g></g></g></g></svg></mjx-container>、<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewbox="0 -442 1008.6 592"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="x_2"><g data-mml-node="msub" data-latex="x_2"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442C389 442 355 419 329 373C308 419 273 442 222 442C173 442 133 419 101 374C74 335 60 306 60 287C60 278 65 273 75 273C84 273 90 278 92 287C111 345 153 413 220 413C253 413 269 392 269 351C269 330 251 252 216 118C199 51 169 18 126 18C112 18 99 21 88 26C114 36 127 54 127 80C127 106 114 119 87 119C54 119 29 91 29 58C29 12 76-11 125-11C167-11 201 12 228 58C247 12 283-11 335-11C383-11 423 12 455 57C482 96 496 125 496 144C496 153 491 158 481 158C472 158 467 153 464 144C447 87 402 18 337 18C304 18 287 38 287 79C287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413C445 413 458 410 469 405C442 396 429 378 429 351C429 325 443 312 470 312C502 312 527 341 527 373Z"/></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" 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