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Magicland","logo":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}},"url":"https://blog.mhuig.top/notes/person/9","wordCount":0,"datePublished":"2026-04-04T01:07:00.000Z","dateModified":"2026-05-03T01:10:00.000Z","articleSection":"历史","keywords":"History,人物,伊万涅茨,解析数论,筛法","image":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}}]</script></head><body itemscope="" itemtype="http://schema.org/WebPage"><pjax></pjax><header itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPHeader" id="l_header" class="l_header auto shadow floatable blur show" style="opacity:0"><div class="container"><div id="wrapper"><div class="nav-sub"><p class="title"></p><ul class="switcher nav-list-h m-phone" id="pjax-header-nav-list"><li><a id="s-comment" class="fa-solid fa-comments fa-fw" target="_self" title="comment"></a></li><li><a id="s-toc" class="s-toc fa-solid fa-list fa-fw" target="_self" 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="Iwaniec波兰裔美国数学家Henryk Iwaniec的生平与解析数论里程碑贡献"><meta itemprop="description" content="波兰裔美国数学家Henryk Iwaniec，其工作标志着现代解析数论的方法论飞跃。他突破奇偶性障碍，在多项式素数表示、算术级数素数分布及自守形式谱理论等方面做出奠基性贡献"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">Iwaniec</span></p><br><h1 hidden="">Iwaniec</h1><div class="story post-story"><h2 id="生平"><a href="#生平" class="headerlink" title="生平"></a>生平</h2><p>亨里克・伊万涅茨（Henryk Iwaniec，1947- ）是一位波兰裔美国数学家，出生于波兰东北部靠近波罗的海的工业城市埃尔布隆格（Elblag）。他比他的双胞胎兄弟塔德乌什・伊万涅茨（Tadeusz Iwaniec，1947- ；后来也成为了一位杰出的分析学家）早出生八个小时。他们的家庭并没有任何学术背景，父母均为普通阶层，但他的父母，尤其是母亲，为他们营造了极佳的学习氛围，不断鼓励他们并对他们寄予厚望。</p><p>童年时期的 Iwaniec 兄弟并没有表现出对数学的特殊偏好。为了将来能拥有一份安稳且高薪的职业，兄弟俩在 1961 年进入了 Elblag Technical High School 学习，这所学校的教学重点是蒸汽涡轮机等机械与工程技术。</p><p>然而在这所技术高中里，他们偶然发掘了对数学的热情。起初这主要归功于各种数学竞赛。他们先参加校内竞赛，后被校长科乔尔科夫斯基（Aleksander Kociołkowski）推荐，每月前往格但斯克（Gdańsk）参加更高级别的数学俱乐部。</p><p>到了高中三年级，兄弟俩开始参加数学奥林匹克竞赛，并立刻取得了惊人的成功。两人均代表波兰参加了 1965 年和 1966 年的国际数学奥林匹克竞赛（IMO），并在 1966 年双双斩获银牌。</p><p>由于在竞赛中的卓越表现，他们的高中数学老师安杰伊・温德克（Andrzej Wendecker）对他们给予了特殊的关照。</p><p>Iwaniec 后来回忆道，Wendecker 是一位极其出色的教育家，他有一个充满戏剧性的习惯：当他叫一个学生去黑板前答题时，他会把该学生的笔记本放在讲桌的边缘，如果学生回答错误，他就会把笔记本往边缘推一点，直到它掉在地上；而 Iwaniec 兄弟的笔记本从未掉落过。</p><p>最终，这位开明的老师免除了他们的日常作业和考试，让他们有充足的课堂时间去探索自己真正感兴趣的数学领域。</p><p>凭借在 IMO 中的优异成绩，Iwaniec 兄弟在 1966 年免试进入了 Warsaw 大学数学系。这一免试资格让 Henryk Iwaniec 感到如释重负，因为这让他得以避开当时极其令人头疼的俄语必修入学考试。</p><p>在大学期间，虽然兄弟俩对数学的热情如出一辙，但为了保持智识上的独立性，他们刻意决定在未来的研究中避开彼此的领域，选择不同的专业方向。</p><p>在大学的第一年结束时，Iwaniec 展露出的非凡才华引起了波兰著名数论学家辛泽尔（Andrzej Bobola Maria Schinzel，1937-2021）的注意。Schinzel 本人是谢尔宾斯基（Wacław Franciszek Sierpiński，1882-1969）的学生。Schinzel 邀请 Iwaniec 参加他在波兰科学院数学研究所主持的数论研讨会，并鼓励他在会上发表演讲。</p><p>在 Schinzel 的引导下，Iwaniec 迅速被解析数论深深吸引。他发现，这门学科能够将极其广泛且多样的数学工具汇聚在一起，用来解决具有纯粹算术风味的经典问题。</p><p>他在本科期间特别受到了苏联数学家林尼克（Yuri Vladimirovich Linnik，1915-1972）工作的震撼，并开始独自钻研筛法（Sieve methods）理论。</p><p>在 Schinzel 提供宏观建议和论文编辑帮助下，Iwaniec 展现出了惊人的早熟：在 1971 年本科毕业前，他就已经有两篇关于筛法的重要论文被学术期刊接受发表。</p><p>这两篇论文顺理成章地分别成为了他的硕士论文（1971 年）和博士论文（1972 年）。</p><p>1972 年春，Iwaniec 在 Warsaw 大学顺利通过了博士论文答辩，其博士生导师正是 Andrzej Schinzel。</p><p>关于他的博士答辩阶段，有一段极其有趣且广为流传的轶事。在当时的波兰，获得博士学位的一个硬性条件是必须通过马克思主义哲学的考试。</p><p>由于 Iwaniec 将全部精力投入于数学，从未去听过相关的哲学课程，他只能硬着头皮去见科学哲学教授瓦迪斯瓦夫・克拉耶夫斯基（Władysław Krajewski，1919-2006）。Krajewski 教授最初问他什么是 “唯我论（solipsism）”，Iwaniec 凭借之前碰巧读到的一点知识勉强回答了上来。</p><p>接着教授问他是否喜欢物理，得到肯定答复后，他解释 “Heisenberg 测不准原理（Heisenberg's uncertainty principle）”。Iwaniec 抓住机会，滔滔不绝地讲了很久，试图借此耗尽考试的规定时间。</p><p>然而教授察觉到了他的意图，温和地打断他说：“你知道，这毕竟是一场马克思主义哲学考试，我必须问你那个领域的问题。请告诉我，根据普列汉诺夫（Plekhanov）的观点，唯物主义和经验批判主义之间有什么区别？”</p><p>面对这个问题，Iwaniec 大脑一片空白，彻底崩溃。幸运的是，这位仁慈的教授笑着问他：“如果我把你这三个问题的成绩平均一下，算你及格，你觉得公平吗？”</p><p>Iwaniec 就这样有惊无险地拿到了他的博士学位。</p><p>从 1971 年本科毕业到 1983 年离开波兰之前，Iwaniec 一直在波兰科学院数学研究所担任研究职务。这里的纯科研职位让他免于繁重的教学任务，能够全心全意地投入到深度的数学思考中。</p><p>1976 年，他在该研究所完成了 Habilitation（任职资格论文）的答辩。在此期间，尽管当时波兰的政治环境对出国访问有诸多限制，但他依然抓住了前往多国交流的机会。</p><p>为了在国际学术界立足，他意识到必须提高自己的英语<br>口语水平，而这奇妙地发生在他访问意大利期间。</p><p>1976 至 1977 年，他获得了 Accademia Nazionale dei Lincei 的奖学金，前往意大利 Pisa 的 Scuola Normale Superiore（比萨高等师范学院）访学。正是在这里，他结识了加拿大数学家约翰・本杰明・弗里德兰德（John Benjamin Friedlander），并极大提升了他的英语。</p><p>Iwaniec 与 Friedlander 不仅成为终生挚友，还开启了一段长达数十年、极具传奇色彩的合作，两人共同发表了六十余篇论文，他们的合作构成了 Iwaniec 学术生涯的核心主体。</p><p>1979 年，他受邀前往法国 University of Bordeaux 为研究生讲学，这促成了他与法国解析数论学派的长期合作，特别是与艾蒂安・富夫里（Étienne Fouvry，1953- ）以及让 - 马克・德苏耶（Jean-Marc Deshouillers，1946- ）建立了深厚的友谊与科研纽带。1983 年，Iwaniec 晋升为正教授，并<br>当选为波兰科学院通讯院士。</p><p>同年，Iwaniec 迎来了人生的重大转折。1983 年，他带着家人离开波兰前往美国，最初在普林斯顿的高等研究院（IAS）担任访问学者（1983–1984，1985–1986），随后在 Michigan 大学（1984 年夏）担任访问教授，并在 Colorado Boulder 大学（1984 年秋）担任 Ulam Distinguished Visiting Professor。</p><p>在 IAS 期间，他与 John Friedlander、恩里科・邦别里<br>（Enrico Bombieri，1940- ）密切合作，将他在波兰和法国<br>萌芽的思想进一步推向巅峰。</p><p>1987 年 1 月，他正式接受了 Rutgers 大学的 New Jersey State Professor of Mathematics 席位，并在此任职至今。他后来正式成为美国公民，同时保留了波兰国籍。</p><p>Iwaniec 凭借其在数论领域深邃而革命性的贡献获得了众多荣誉。</p><p>他于 1995 年当选为美国艺术与科学院院士，2006 年当选为美国国家科学院院士，并于 2012 年成为美国数学会会士。</p><p>他获得了 2001 年的 Ostrowski Prize：</p><table><thead><tr><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th></tr></thead><tbody><tr><td>1989</td><td>de Branges</td><td>1991</td><td>J. Bourgain</td><td>1995</td><td>A.J. Wiles</td></tr><tr><td>2001</td><td>H. Iwaniec<br>P. Sarnak<br>R. L. Taylor</td><td>2005</td><td>B. Green<br>陶哲轩</td><td>2013</td><td>张益唐</td></tr><tr><td>2015</td><td>P. Scholze</td><td>2021</td><td>T. Austin</td><td>2025</td><td>王虹</td></tr></tbody></table><p>Ostrowski Prize 部分获奖者</p><p>2002 年的 Cole Prize in Number Theory：</p><table><thead><tr><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th></tr></thead><tbody><tr><td>1931</td><td>H. Vandiver</td><td>1941</td><td>Chevalley</td><td>1951</td><td>Paul Erdos</td></tr><tr><td>1956</td><td>J.T. Tate</td><td>1962</td><td>Iwasawa<br>B.M. Dwork</td><td>1977</td><td>Shimura</td></tr><tr><td>1982</td><td>Langlands<br>B. Mazur</td><td>1987</td><td>Goldfeld<br>B. Gross<br>D. Zagier</td><td>1992</td><td>K. Rubin<br>P. Vojta</td></tr><tr><td>1997</td><td>A.J. Wiles</td><td>2002</td><td>H. Iwaniec<br>R. Taylor</td><td>2025</td><td>P. Sarnak</td></tr><tr><td>2014</td><td>张益唐<br>D. Goldston<br>J. Pintz<br>C.Y. Yildirim</td><td>2020</td><td>J. Maynard</td><td>2026</td><td>F. Calegari<br>V. Dimitrov<br>唐云清</td></tr></tbody></table><p>Cole Prize in Number Theory 部分获奖者</p><p>2011 年的 Leroy P. Steele Prize in Mathematical Exposition（表彰其长期以来卓越的数学论著，特别是《谱理论和自守型引论》（Introduction to the spectral theory of automorphic forms）与《经典自守型的专题》（Topics in classical automorphic forms），颁奖词赞誉其著作 “已成为该领域的经典，是学生们的基本资源”。</p><p>2015 年的邵逸夫奖（与法尔廷斯（Gerd Faltings，1954-）共同获得，表彰他们在数论领域引入和发展基本工具，促使他们和其他数学家解决了长期存在的经典问题）</p><p>2017 年的 Doob Prize（与 John Friedlander 共同获得，表彰他们合著的关于筛法的集大成之作《Opera de Cribro》（中文翻译很有意思，叫《婴儿床歌剧院》））。</p><p>Iwaniec 在培养学生和提携后辈方面同样成就斐然。他以其极具感染力的数学品味、深厚的解析功底和慷慨的合作精神，指导并影响了一大批杰出的数学家，其中包括 Étienne Fouvry 和赫尔夫戈特（Harald Andrés Helfgott，1977- ）。</p><p>2013 年，Helfgott 证明了 Goldbach 弱猜想（Goldbach weak conjecture）—— 每个大于 5 的奇整数都可表示为三个素数之和。</p><p>在数学研究之外，Iwaniec 的个人生活充满了温情与广泛的兴趣。在 Warsaw 大学本科学习的第一年，他就结识了同班同学卡塔齐娜（Katarzyna），两人因共同的学术背景坠入爱河，并于 1971 年毕业后立刻步入了婚姻。</p><p>他们育有两个女儿：大女儿 Irena 在纽约著名的 Cooper Union 学习艺术；小女儿 Anna 则走上了科学的道路，在 Caltech 学习工程，随后获得了医学工程的博士学位并成为教授。</p><p>他为人幽默、谦逊，且对数学的美学和宇宙的内在秩序有着近乎宗教般的敬畏。</p><p>英国作家 K. Sabbagh 在其著作中记录了 Iwaniec 的一段名言，称他谈及素数时听起来 “仿佛已经准备好与路西法（Lucifer，即魔鬼）探讨交易条款了”：“我愿意用我在数学上所知道的一切，去换取黎曼猜想的证明。那是极其华丽壮美的瑰宝（It's gorgeous stuff）。我唯一担心的是，我自己会无法理解它的证明。那将是最糟糕的事情……”</p><p>Henryk Iwaniec 的数学工作标志着现代解析数论在方法论上的一次重大飞跃。他将高维几何、代数几何中的 Weil 猜想、自守形式的谱理论与传统的组合筛法进行了极其深度的融合。</p><p>André Weil (1906-1998)</p></div><div class="story post-story"><h2 id="贡献"><a href="#贡献" class="headerlink" title="贡献"></a>贡献</h2><h3 id="一、Friedlander-Iwaniec-定理"><a href="#一、Friedlander-Iwaniec-定理" class="headerlink" title="一、Friedlander-Iwaniec 定理"></a>一、Friedlander-Iwaniec 定理</h3><p>素数分布理论中最艰深的问题之一是证明由多项式生成的序列中包含无穷多个素数。</p><p>对线性多项式<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.491ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1101 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="ax+b"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(529,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.234ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1429.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="ax+b"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="b" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="1D44F" d="M281 445C245 445 209 428 174 394L243 679C241 688 238 694 226 694 193 694 120 685 107 684 92 682 84 675 84 660 84 650 93 645 112 645 131 645 157 646 157 632 157 628 152 608 143 571L63 249C52 207 47 173 47 148 47 62 93-11 175-11 240-11 297 22 347 89 392 151 415 216 415 283 415 370 364 445 281 445M279 415C318 415 337 385 337 326 337 299 331 263 319 218 297 133 268 75 233 44 213 27 194 19 175 19 134 19 114 51 114 115 114 137 119 170 129 214L151 304C154 319 159 330 165 338 204 389 242 415 279 415Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ， <strong>Dirichlet 的算术级数素数定理（Dirichlet's theorem on arithmetic progressions）</strong> 已给出肯定答案（对互素的正整数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 529 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 、<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="b"><g data-mml-node="mi" data-latex="b"><path data-c="1D44F" d="M281 445C245 445 209 428 174 394L243 679C241 688 238 694 226 694 193 694 120 685 107 684 92 682 84 675 84 660 84 650 93 645 112 645 131 645 157 646 157 632 157 628 152 608 143 571L63 249C52 207 47 173 47 148 47 62 93-11 175-11 240-11 297 22 347 89 392 151 415 216 415 283 415 370 364 445 281 445M279 415C318 415 337 385 337 326 337 299 331 263 319 218 297 133 268 75 233 44 213 27 194 19 175 19 134 19 114 51 114 115 114 137 119 170 129 214L151 304C154 319 159 330 165 338 204 389 242 415 279 415Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，存在无穷多个形如<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.491ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1101 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="ax+b"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(529,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="1.776ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1555.8 785"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\ge 2"><g data-mml-node="mo" data-latex="\ge"><path data-c="2265" d="M684 310C694 315 699 322 699 333 699 344 694 352 684 357L110 629C107 630 103 631 99 631 83 631 75 623 75 606 75 597 80 590 89 586L623 333 89 80C80 76 75 69 75 60 75 43 83 35 99 35 103 35 107 36 110 38M678-72 100-72C84-72 76-80 76-95 76-111 84-119 100-119L678-119C694-119 702-111 702-95 702-83 691-72 678-72Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的多项式，传统的分析方法遇到了不可逾越的高墙 —— <strong>奇偶性障碍（parity problem）</strong> 。</p><p>Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)</p><p>1949 年，塞尔伯格（Atle Selberg，1917-2007）深刻地指出，如果在应用筛法时仅仅依赖于序列在同余类中分布的渐近信息（即所谓的 <strong>Type I 信息</strong>），那筛法在本质上无法区分具有偶数个素因子和奇数个素因子的整数。</p><p>具体而言，筛法的目标函数通常涉及 Möbius 函数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.482ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1981 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mu(n)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\mu"><path data-c="1D707" d="M572 142C572 151 567 156 556 156 548 156 542 149 539 136 519 56 495 16 468 16 451 16 442 30 442 58 442 75 448 109 461 159L489 266C498 302 506 327 512 358L518 386C520 393 521 398 521 400 521 421 510 431 488 431 466 431 452 419 446 394L374 108C374 97 358 77 326 47 304 26 279 16 250 16 204 16 181 43 181 98 181 117 185 144 194 181L236 347C244 378 249 400 251 411 251 432 240 442 218 442 196 442 182 429 175 403L33-169C31-177 30-182 30-185 30-206 41-216 62-216 77-216 89-208 100-193 103-186 120-117 153 14 177-4 208-13 246-13 305-13 344 18 375 54 386 17 419-13 466-13 535-13 556 68 572 142Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(603,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(992,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1592,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:55.008ex"><svg style="vertical-align:-3.398ex;min-width:55.008ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="7.927ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -2001.9)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\mu(n)=
\begin{cases}
1 & n=1 \\
(-1)^k & n=p_1\cdots p_k,\ n\text{无平方数因子} \\
0 & n>1\text{且有平方数因子}
\end{cases}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\mu(n)=
\begin{cases}
1 & n=1 \\
(-1)^k & n=p_1 \cdots p_k,\ n\text{无平方数因子} \\
0 & n>1\text{且有平方数因子}
\end{cases}
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 2001.9) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="10078.7 -2001.9 1 3503.7"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="\mu"><path data-c="1D707" d="M572 142C572 151 567 156 556 156 548 156 542 149 539 136 519 56 495 16 468 16 451 16 442 30 442 58 442 75 448 109 461 159L489 266C498 302 506 327 512 358L518 386C520 393 521 398 521 400 521 421 510 431 488 431 466 431 452 419 446 394L374 108C374 97 358 77 326 47 304 26 279 16 250 16 204 16 181 43 181 98 181 117 185 144 194 181L236 347C244 378 249 400 251 411 251 432 240 442 218 442 196 442 182 429 175 403L33-169C31-177 30-182 30-185 30-206 41-216 62-216 77-216 89-208 100-193 103-186 120-117 153 14 177-4 208-13 246-13 305-13 344 18 375 54 386 17 419-13 466-13 535-13 556 68 572 142Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(603,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(992,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 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137Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(633,363) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.394ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1500.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n^2+1"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的素数” 之类的问题，在纯粹的经典筛法下是无解的。</p><p>1998 年，Iwaniec 与合作者 John Friedlander 在《Annals of Mathematics》上发表了划时代的论文《多项式<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.029ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 1338.7 1083.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X^2 + Y^4"><g data-mml-node="msup" data-latex="X^2"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(935.2,363) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.108ex" height="2.47ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -841.7 2257.8 1091.7"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X^2 + Y^4"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="Y^4" transform="translate(1000.2,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="Y"><path data-c="1D44C" d="M664 680C646 680 584 683 565 683 550 683 542 675 542 660 542 649 548 644 561 644 582 644 593 638 593 626 593 615 584 600 567 581L342 322 236 609C233 617 231 622 230 625 230 638 248 644 284 644 303 644 312 652 312 668 312 678 306 683 293 683L168 680C146 680 76 683 58 683 43 683 35 675 35 659 35 649 44 644 62 644 80 644 95 642 104 640 123 635 124 632 130 613L252 288C255 281 256 276 256 273L235 190C223 139 215 107 211 94 204 67 197 51 190 46 183 41 160 39 122 39 100 38 91 37 91 15 91 5 97 0 109 0L234 3 360 0C375-1 383 7 383 24 383 31 380 36 375 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fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X^2 + Y^4"><g data-mml-node="msup" data-latex="X^2"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 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data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(562,363) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 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\sum_{\substack{a^2 + b^4 \leq X} } \Lambda(a^2 + b^4) = \frac{2\Gamma(1/4)^2}{3\pi\sqrt{2\pi} } X^{3/4} \left( 1 + O\left( \frac{\log\log X}{\log X} \right) \right)
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="\begin{subarray}{c}a^2 + b^4 \leq X\end{subarray} } \Lambda(a^2 + b^4 ) = \frac{2\Gamma(1/4)^2}{3\pi\sqrt{2\pi} } X^{3/4} \left( 1 + O\left( \frac{\log\log X}{\log X} \right) \right)
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1720.1) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="12499.5 -1720.1 1 2940.3"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,176.2)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="munder" data-latex="\sum_{{subarray}}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\sum" transform="translate(776.4,0)"><path data-c="2211" d="M1265-450 1389-124 1355-124C1336-174 1304-216 1258-250 1145-334 1000-356 791-356L200-356 700 232C707 239 710 246 710 251L244 894 781 894C970 894 1127 870 1230 804 1290 766 1332 719 1356 663L1389 663 1265 950 88 950C70 950 60 947 57 941 56 938 56 926 56 905L581 187 68-415C61-423 57-430 57-435 57-445 67-450 88-450Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(0,-1133.4) scale(0.707)" data-latex="{{subarray}}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mtable" data-latex-item="{subarray}" data-latex="{subarray}"><g data-mml-node="mtr" data-latex-item="{c}" data-latex="{c}" transform="translate(0,-111.4)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msup" data-latex="a^2"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(562,363) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 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data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-748)"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(3)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 578 119 580 145 615 186 633 242 633 302 633 332 598 332 527 332 485 324 450 309 421 282 373 245 364 183 364 171 362 165 357 165 348 165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173 348 88 317 14 241 14 176 14 128 36 99 80 134 79 160 105 160 139 160 173 135 198 101 198 62 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996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\pi(x; a, q)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(570,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 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\sum_{q \leq x^{1/2-\epsilon} } \max_{\substack{(a,q)=1} } \max_{y \leq x} |E(y; q,a)| \ll_{A,\epsilon} \frac{x}{(\log x)^A}
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jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 469 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\theta = 1"><g data-mml-node="mi" data-latex="\theta"><path data-c="1D703" d="M164-11C209-11 256 16 302 70 382 163 455 335 455 498 455 539 448 582 434 625 416 678 382 705 333 705 288 705 243 678 196 624 116 532 42 360 42 196 42 94 75-11 164-11M332 675C365 675 382 637 382 560 382 517 372 452 352 367L155 367C180 460 204 529 229 574 266 641 301 675 332 675M145 327 341 327C322 246 299 181 274 132 235 57 199 19 164 19 131 19 115 58 115 135 115 185 125 249 145 327Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\theta = 1"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><p>1986 年，Bombieri、Friedlander 和 Iwaniec 在《Acta Mathematica》上发表了里程碑式论文《等差数列中模数较大的素数》（Primes in arithmetic progressions to large moduli）。他们首次在严格的加权意义下打破了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 469 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\theta = 1/2 = 0.5"><g data-mml-node="mi" data-latex="\theta"><path data-c="1D703" d="M164-11C209-11 256 16 302 70 382 163 455 335 455 498 455 539 448 582 434 625 416 678 382 705 333 705 288 705 243 678 196 624 116 532 42 360 42 196 42 94 75-11 164-11M332 675C365 675 382 637 382 560 382 517 372 452 352 367L155 367C180 460 204 529 229 574 266 641 301 675 332 675M145 327 341 327C322 246 299 181 274 132 235 57 199 19 164 19 131 19 115 58 115 135 115 185 125 249 145 327Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.782ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\theta = 1/2 = 0.5"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1555.8,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex="/"><path data-c="2F" d="M444 718C445 720 445 723 445 726 445 742 437 750 421 750 410 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data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex=".5" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path><path data-c="2E" d="M192 53C192 82 168 106 139 106 110 106 86 82 86 53 86 24 110 0 139 0 168 0 192 24 192 53Z" transform="translate(500,0)"></path><path data-c="35" d="M118 315C123 315 129 319 134 326 164 371 205 393 257 393 292 393 319 373 337 332 348 305 354 264 354 209 354 146 346 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。</p><p>定理（Bombieri-Friedlander-Iwaniec，1986）</p><p>固定任意非零整数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 529 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 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\sum_{\substack{q \leq Q, (a,q)=1} } \lambda(q) E(x; q,a) \ll_{a,A,\epsilon} \frac{x}{(\log x)^A}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="\begin{subarray}{c}q \leq Q, (a,q)=1\end{subarray} } \lambda(q) E(x; q,a) \ll_{a,A,\epsilon} \frac{x}{(\log x)^A}
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data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(9087.1,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -1368.6 1 2237.2"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:9" transform="translate(0,1166.6)"><text data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-748)"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(9)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="39" d="M116 140C83 140 67 123 67 89 67 14 128-22 207-22 287-22 351 18 398 99 437 166 457 243 457 329 457 456 434 546 388 599 349 644 304 666 253 666 194 666 145 645 106 602 63 557 42 503 42 440 42 379 60 327 96 284 134 238 183 215 242 215 294 215 334 243 361 299L361 286C361 177 342 103 303 63 272 30 239 14 206 14 166 14 137 23 118 42 149 42 165 60 165 91 165 119 144 140 116 140M243 246C204 246 175 266 155 306 144 329 138 374 138 439 138 504 145 548 158 573 180 613 212 633 253 633 294 633 324 608 343 558 354 531 361 485 361 420 361 333 322 246 243 246Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 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20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(583,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="q" transform="translate(972,0)"><path data-c="1D45E" d="M372 377C352 420 321 442 280 442 215 442 158 409 109 342 63 280 40 216 40 149 40 62 90-13 173-13 209-13 245 4 282 38L241-126C238-141 229-150 215-153 210-154 197-155 174-155 168-156 164-156 162-156 153-157 148-165 148-179L148-183C151-190 157-194 165-194 184-194 244-191 263-191 282-191 345-194 364-194 378-194 385-186 385-170 385-160 375-155 356-155 338-155 313-156 313-144 313-140 314-133 317-123L452 427C452 436 447 441 438 441 420 441 382 391 372 377M340 373C349 352 354 338 354 329 354 328 353 322 351 313L327 216C308 144 299 107 298 105 279 70 224 16 176 16 137 16 117 46 117 105 117 151 148 263 162 300 181 347 225 412 280 412 307 412 327 399 340 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1424,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是 level 为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.79ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 791 899"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="Q"><g data-mml-node="mi" data-latex="Q"><path data-c="1D444" d="M306-24C335-24 366-19 399-10 396-48 395-72 395-81 395-156 424-194 481-194 542-194 589-145 612-100 637-48 650-14 650 2 650 11 645 16 635 16 628 16 623 12 620 3 605-43 564-90 508-90 457-90 450-49 442 6 526 39 597 96 654 178 711 260 740 345 740 434 740 513 717 577 670 628 623 679 561 705 484 705 431 705 378 692 325 665 217 612 138 528 87 415 62 358 49 302 49 245 49 88 151-24 306-24M645 466C645 405 630 335 600 254 565 161 511 92 436 48 432 70 426 90 418 108 405 138 381 153 346 153 291 153 241 103 241 48 241 39 242 30 244 23 177 54 144 117 144 213 144 255 152 306 169 366 204 493 267 583 358 636 401 660 441 672 478 672 588 672 645 581 645 466M346 123C383 123 402 96 402 43 402 34 399 29 393 27 365 15 338 9 312 9 284 9 270 22 270 48 270 86 308 123 346 123Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的良好可分解函数。</p><p>将分布水平提高需要极其繁复的分析技巧，经典的 Type II 双线性形式估计会完全失效。Bombieri、Friedlander 和 Iwaniec 的创新在于运用 Linnik 的 dispersion method，将误差项转化为复杂的指数和，并使用了基于自守形式谱理论的 Kuznetsov 迹公式等工具进行估计。</p><p>这一定理的框架极大地丰富了解析数论的武器库。张益唐（1955- ）在 2013 年证明素数间有界距离时，其核心的技术突破正是对 BFI 定理的深度变体。</p><h3 id="三、Kloosterman-sum-与自守形式谱理论"><a href="#三、Kloosterman-sum-与自守形式谱理论" class="headerlink" title="三、Kloosterman sum 与自守形式谱理论"></a>三、Kloosterman sum 与自守形式谱理论</h3><p>在解析数论中，特别是应用圆法（circle method）或处理移位卷积问题时，常遇到 Kloosterman sum，其经典定义：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:47.231ex"><svg style="vertical-align:-2.577ex;min-width:47.231ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.285ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1639.1)"><g data-mml-node="math" data-latex="
S(m,n;c):= \sum_{x\in (\mathbb{Z}/c\mathbb{Z})^\times} e\left(\frac{mx + n\bar{x} } {c}\right)
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S(m,n;c):= \sum_{x\in (\mathbb{Z}/c\mathbb{Z})^\times} e\left(\frac{mx + n\bar{x} } {c}\right)
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229 41 159 41 61 106-11 204-11 257-11 304 2 345 27 379 48 404 69 420 90 427 99 430 106 430 109 430 120 425 126 414 126 409 126 404 122 398 114 365 70 324 42 277 30 246 22 223 18 206 18 149 18 121 53 121 122 121 184 150 274 174 317 198 361 249 413 308 413 346 413 372 402 386 381 355 378 328 358 328 325Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(3834.3,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 对<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="c"><g data-mml-node="mi" data-latex="c"><path data-c="1D450" d="M328 325C328 300 341 287 368 287 404 287 427 318 427 354 427 410 368 442 308 442 239 442 176 412 122 353 68 294 41 229 41 159 41 61 106-11 204-11 257-11 304 2 345 27 379 48 404 69 420 90 427 99 430 106 430 109 430 120 425 126 414 126 409 126 404 122 398 114 365 70 324 42 277 30 246 22 223 18 206 18 149 18 121 53 121 122 121 184 150 274 174 317 198 361 249 413 308 413 346 413 372 402 386 381 355 378 328 358 328 325Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 进行求和。此时简单的绝对值相加（即使用 Weil 界）不足以给出最优结果。</p><p>在 1982 年发表于《Inventiones Mathematicae》的论文《Kloosterman 和与尖点形式 Fourier 系数》（Kloosterman sums and Fourier coefficients of cusp forms）中，Iwaniec 与 Deshouillers 深入研究了 Kuznetsov 迹公式。该等式的一侧是按模数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="c"><g data-mml-node="mi" data-latex="c"><path data-c="1D450" d="M328 325C328 300 341 287 368 287 404 287 427 318 427 354 427 410 368 442 308 442 239 442 176 412 122 353 68 294 41 229 41 159 41 61 106-11 204-11 257-11 304 2 345 27 379 48 404 69 420 90 427 99 430 106 430 109 430 120 425 126 414 126 409 126 404 122 398 114 365 70 324 42 277 30 246 22 223 18 206 18 149 18 121 53 121 122 121 184 150 274 174 317 198 361 249 413 308 413 346 413 372 402 386 381 355 378 328 358 328 325Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>求和的 Kloosterman 和，另一侧则是双曲空间商群<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.185ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2291.6 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Gamma_0(q)\setminus\mathbb{H}"><g data-mml-node="msub" data-latex="\Gamma_0"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Gamma"><path data-c="393" d="M274 641 376 641C443 641 487 626 509 596 538 555 541 520 550 450L583 450 554 680 33 680 33 641 61 641C96 641 117 639 124 634 131 629 135 617 135 599L135 81C135 63 131 51 124 46 117 41 96 39 61 39L33 39 33 0C59 2 110 3 187 3 274 3 330 2 356 0L356 39 320 39C267 39 238 44 233 55 231 60 230 69 230 82L230 606C230 641 236 641 274 641Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(658,-150) scale(0.707)" data-latex="0"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(1061.6,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="q" transform="translate(1450.6,0)"><path data-c="1D45E" d="M372 377C352 420 321 442 280 442 215 442 158 409 109 342 63 280 40 216 40 149 40 62 90-13 173-13 209-13 245 4 282 38L241-126C238-141 229-150 215-153 210-154 197-155 174-155 168-156 164-156 162-156 153-157 148-165 148-179L148-183C151-190 157-194 165-194 184-194 244-191 263-191 282-191 345-194 364-194 378-194 385-186 385-170 385-160 375-155 356-155 338-155 313-156 313-144 313-140 314-133 317-123L452 427C452 436 447 441 438 441 420 441 382 391 372 377M340 373C349 352 354 338 354 329 354 328 353 322 351 313L327 216C308 144 299 107 298 105 279 70 224 16 176 16 137 16 117 46 117 105 117 151 148 263 162 300 181 347 225 412 280 412 307 412 327 399 340 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1902.6,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.546ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1567.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Gamma_0(q)\setminus\mathbb{H}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\setminus"><path data-c="2216" d="M488-103C504-103 512-95 512-79 512-74 511-70 508-66L100 592C94 599 87 603 80 603 64 603 56 595 56 579 56 574 57 570 60 566L468-92C474-99 481-103 488-103Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{H}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(790.2,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="210D" d="M674 95 674 590C674 641 678 642 731 642 751 642 761 649 761 663 761 682 748 685 724 685L455 685C430 685 418 678 418 663 418 649 428 642 448 642 500 642 505 640 505 590L505 374 273 374 273 590C273 641 278 642 331 642 350 642 360 649 360 663 360 682 348 685 324 685L55 685C30 685 17 678 17 663 17 649 27 642 48 642 100 642 104 640 104 590L104 95C104 48 100 43 52 43 28 43 17 36 17 22 17 4 32 0 55 0L324 0C348 0 360 7 360 22 360 36 350 43 329 43 278 43 273 46 273 95L273 320 505 320 505 95C505 48 502 43 454 43 430 43 418 36 418 22 418 3 432 0 455 0L724 0C749 0 761 7 761 22 761 36 750 43 729 43 678 43 674 46 674 95M631 93C631 72 633 55 637 43L541 43C545 55 547 72 547 93L547 592C547 613 545 630 541 642L637 642C633 630 631 613 631 592M231 93C231 72 233 55 237 43L140 43C145 55 147 72 147 93L147 592C147 613 145 630 140 642L237 642C233 630 231 613 231 592Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 上 Maass forms 的离散谱，加上 holomorphic cusp forms 的离散谱，以及连续谱（Eisenstein 级数）。</p><p>通过 Kuznetsov 迹公式，他们展示了如何将经典的指数和问题精确转化为自守形式的谱理论问题，并通过对 Maass forms 的 Fourier 系数的大筛法不等式（large sieve inequalities for exceptional Maass forms）和特征值的 Ramanujan-Petersson 猜想的深刻理解，获得了远远超越 Weil 界能达到的指数和相消结果。</p><p>Deshouillers 和 Iwaniec 借此解决了一个古老的问题：他们证明了对于无穷多个整数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，多项式<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.345ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 1036.6 1083.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n^2+1"><g data-mml-node="msup" data-latex="n^2"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.59ex" height="1.912ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 1586.7 844.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n^{1.2}"><g data-mml-node="msup" data-latex="n^{1.2}"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 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transform="translate(1953.6,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> （<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 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data-latex="\mathbb{H}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="210D" d="M674 95 674 590C674 641 678 642 731 642 751 642 761 649 761 663 761 682 748 685 724 685L455 685C430 685 418 678 418 663 418 649 428 642 448 642 500 642 505 640 505 590L505 374 273 374 273 590C273 641 278 642 331 642 350 642 360 649 360 663 360 682 348 685 324 685L55 685C30 685 17 678 17 663 17 649 27 642 48 642 100 642 104 640 104 590L104 95C104 48 100 43 52 43 28 43 17 36 17 22 17 4 32 0 55 0L324 0C348 0 360 7 360 22 360 36 350 43 329 43 278 43 273 46 273 95L273 320 505 320 505 95C505 48 502 43 454 43 430 43 418 36 418 22 418 3 432 0 455 0L724 0C749 0 761 7 761 22 761 36 750 43 729 43 678 43 674 46 674 95M631 93C631 72 633 55 637 43L541 43C545 55 547 72 547 93L547 592C547 613 545 630 541 642L637 642C633 630 631 613 631 592M231 93C231 72 233 55 237 43L140 43C145 55 147 72 147 93L147 592C147 613 145 630 140 642L237 642C233 630 231 613 231 592Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 上的商空间，其上的 Laplace-Beltrami 算子</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:36.455ex"><svg style="vertical-align:-2.213ex;min-width:36.455ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.556ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1478)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\Delta := -y^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\Delta := -y^2 \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)
" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 1478) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="5478.7 -1478 1 2455.9"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-32)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Delta"><path data-c="394" d="M759 0C776 0 785 4 785 13L445 696C438 709 429 716 416 716 403 716 394 709 387 696L52 25C49 18 47 14 47 12 47 4 56 0 73 0M384 604 644 83 124 83Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=":=" transform="translate(1110.8,0)"><g data-mml-node="text"><path data-c="3A" d="M192 375C192 405 169 431 139 431 109 431 86 405 86 375 86 345 109 319 139 319 169 319 192 345 192 375M192 56C192 86 169 112 139 112 109 112 86 86 86 56 86 26 109 0 139 0 169 0 192 26 192 56Z"></path></g><g data-mml-node="text" transform="translate(278,0)"><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lambda_j:=\frac{1}{4}+t_j^2"><g data-mml-node="mo" data-latex=":="><g data-mml-node="text"><path data-c="3A" d="M192 375C192 405 169 431 139 431 109 431 86 405 86 375 86 345 109 319 139 319 169 319 192 345 192 375M192 56C192 86 169 112 139 112 109 112 86 86 86 56 86 26 109 0 139 0 169 0 192 26 192 56Z"></path></g><g data-mml-node="text" transform="translate(278,0)"><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g></g><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{1}{4}" transform="translate(1333.8,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 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data-latex="\lambda_j:=\frac{1}{4}+t_j^2"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="msubsup" data-latex="t_j^2" transform="translate(1000.2,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="t"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(394,363) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(394,-284.4) scale(0.707)" data-latex="j"><path data-c="1D457" d="M397 621C397 648 383 661 356 661 328 661 300 633 300 605 300 578 313 565 340 565 368 565 397 593 397 621M267 444C214 444 169 404 147 369 120 326 107 299 107 287 107 278 112 274 122 274 127 274 130 275 133 276 138 284 141 291 144 296 176 375 216 414 264 414 282 414 291 400 291 373 291 358 289 341 284 323L192-46C178-104 138-175 75-175 66-175 57-174 48-171 73-161 85-143 85-118 85-92 71-79 44-79 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data-c="2F" d="M444 718C445 720 445 723 445 726 445 742 437 750 421 750 410 750 403 745 399 734L57-218C56-220 56-223 56-226 56-242 64-250 80-250 91-250 98-245 102-234Z"></path></g></g><g data-mml-node="mn" data-latex="4" transform="translate(1000,0)"><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199 28 163 289 163 289 81C289 63 285 51 278 46 271 41 252 39 219 39L194 39 194 0C223 2 269 3 331 3 393 3 439 2 468 0L468 39 443 39C410 39 391 41 384 46 377 51 373 63 373 81L373 163 471 163 471 202 373 202 373 660C373 670 366 677 353 677M295 553 295 202 67 202Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 猜想（Selberg's 1 / 4 Conjecture，1965）断言：所有非平凡特征值必定满足<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.307ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1019.6 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lambda_1 \geq \frac{1}{4}"><g data-mml-node="msub" data-latex="\lambda_1"><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(616,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.184ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 1849.3 1209.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lambda_1 \geq \frac{1}{4}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\geq"><path data-c="2265" d="M684 310C694 315 699 322 699 333 699 344 694 352 684 357L110 629C107 630 103 631 99 631 83 631 75 623 75 606 75 597 80 590 89 586L623 333 89 80C80 76 75 69 75 60 75 43 83 35 99 35 103 35 107 36 110 38M678-72 100-72C84-72 76-80 76-95 76-111 84-119 100-119L678-119C694-119 702-111 702-95 702-83 691-72 678-72Z"></path></g><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{1}{4}" transform="translate(1055.8,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)" data-latex="4"><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199 28 163 289 163 289 81C289 63 285 51 278 46 271 41 252 39 219 39L194 39 194 0C223 2 269 3 331 3 393 3 439 2 468 0L468 39 443 39C410 39 391 41 384 46 377 51 373 63 373 81L373 163 471 163 471 202 373 202 373 660C373 670 366 677 353 677M295 553 295 202 67 202Z"></path></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> （即<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.804ex" height="1.756ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 797.6 776"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="t_1"><g data-mml-node="msub" data-latex="t_1 "><g data-mml-node="mi" data-latex="t"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(394,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 必为实数）。这实际上等价于一般线性群在无限位置上的广义 Ramanujan-Petersson 猜想。</p><p>如果存在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.307ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1019.6 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lambda_1 < \frac{1}{4}"><g data-mml-node="msub" data-latex="\lambda_1"><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(616,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.184ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 1849.3 1209.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lambda_1 < \frac{1}{4}"><g data-mml-node="mo" data-latex="<"><path data-c="3C" d="M666-45C683-52 701-39 701-23 701-13 696-6 687-2L153 250 687 502C696 506 701 513 701 522 701 539 693 547 677 547 673 547 669 546 666 545L92 273C82 268 77 261 77 250 77 239 82 232 92 227Z"></path></g><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{1}{4}" transform="translate(1055.8,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)" data-latex="4"><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199 28 163 289 163 289 81C289 63 285 51 278 46 271 41 252 39 219 39L194 39 194 0C223 2 269 3 331 3 393 3 439 2 468 0L468 39 443 39C410 39 391 41 384 46 377 51 373 63 373 81L373 163 471 163 471 202 373 202 373 660C373 670 366 677 353 677M295 553 295 202 67 202Z"></path></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> （即<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.804ex" height="1.756ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 797.6 776"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="t_1"><g data-mml-node="msub" data-latex="t_1 "><g data-mml-node="mi" data-latex="t"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(394,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 为纯虚数），这就产生了所谓的例外特征值，它会在诸如 Kloosterman sum 的算术估计中产生打破平方根相消的主导误差项。</p><p>Selberg 本人在提出猜想时，利用 Weil 对 Kloosterman sum 的绝对界限以及他自己发明的迹公式，无条件证明了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.307ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1019.6 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lambda_1 \geq \frac{3}{16} = 0.1875"><g data-mml-node="msub" data-latex="\lambda_1"><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(616,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.816ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.984ex" height="2.773ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 2202.9 1225.5"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lambda_1 \geq \frac{3}{16} = 0.1875"><g data-mml-node="mo" data-latex="\geq"><path data-c="2265" d="M684 310C694 315 699 322 699 333 699 344 694 352 684 357L110 629C107 630 103 631 99 631 83 631 75 623 75 606 75 597 80 590 89 586L623 333 89 80C80 76 75 69 75 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scale(0.707)" data-latex="16"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path><path data-c="36" d="M383 504C416 504 432 521 432 555 432 627 378 666 304 666 221 666 155 627 106 548 63 480 42 403 42 316 42 189 65 100 112 47 152 1 198-22 251-22 312-22 362 1 401 47 438 91 457 144 457 205 457 266 439 318 403 361 365 407 316 431 257 431 205 431 165 402 138 346L138 352C138 465 166 561 226 605 252 624 279 633 306 633 342 633 368 623 385 602 351 602 334 583 334 553 334 525 355 504 383 504M344 340C355 317 361 272 361 206 361 141 356 98 345 76 325 35 294 14 251 14 222 14 200 24 184 44 171 60 162 74 158 85 146 116 140 163 140 227 140 255 144 282 151 308 164 355 201 399 256 399 295 399 325 379 344 340Z" transform="translate(500,0)"></path></g><rect width="907.1" height="60" 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data-latex="\mathcal{P}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2335.7,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="P"><path data-c="50" d="M415 648 315 247C291 151 261 88 224 58 200 39 179 29 161 29 139 29 128 38 128 56 128 65 135 93 135 102 135 125 124 136 103 136 72 136 53 120 44 88 27 25 70-11 129-11 221-11 299 56 334 121 352 154 384 236 396 287 483 288 558 313 621 363 670 402 702 451 717 512 722 531 724 548 724 563 724 588 718 608 705 625 675 666 606 686 499 687L503 705 492 710 427 685C339 685 266 663 209 619 158 581 127 539 116 492 104 443 113 418 143 418 152 418 164 423 177 432 193 446 199 463 195 495 197 518 198 531 198 534 218 609 314 647 415 648M624 610C638 591 645 569 645 545 645 533 643 520 640 507 609 387 530 326 405 324L486 648C526 648 555 645 573 639 598 631 615 621 624 610Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(3098.7,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 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data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。在线性筛（linear sieve，即每个素数平均筛去一个同余类，筛维度<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.303ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 576 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\kappa=1"><g data-mml-node="mi" data-latex="\kappa"><path data-c="1D705" d="M515 393C515 416 496 431 471 431 452 431 432 426 409 415 380 401 346 378 307 345 256 301 217 274 190 264 202 313 214 362 225 411 225 432 214 442 193 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fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="D"><g data-mml-node="mi" data-latex="D"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 控制，使得余项可通过 Bombieri-Vinogradov 型定理处理）和一定的局部密度条件（<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.305ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1903 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" 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的唯一解。</p><p>Iwaniec 基于 Buchstab 恒等式的反复迭代，并巧妙地定义了 Rosser 截断规则，证明了这组函数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.714ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2525.7 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="(F,f)"><g data-mml-node="mo" data-latex="("><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="F" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D439" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 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Spanier</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/23" href="/notes/person/23" active-action="action-notesperson23"><div class="name"> Hochschild</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/24" href="/notes/person/24" active-action="action-notesperson24"><div class="name"> Erdős</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/25" href="/notes/person/25" active-action="action-notesperson25"><div class="name"> Pólya</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/26" href="/notes/person/26" active-action="action-notesperson26"><div class="name"> Atiyah</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/27" href="/notes/person/27" active-action="action-notesperson27"><div class="name"> Singer</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/28" href="/notes/person/28" active-action="action-notesperson28"><div class="name"> Grothendieck</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/29" 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