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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="Dehn数学家马克斯·德恩：从希尔伯特问题到拓扑与流亡的学术人生"><meta itemprop="description" content="德国数学家马克斯·德恩以解决希尔伯特第三问题闻名，在拓扑学、纽结理论和群论有奠基性贡献。其学术生涯因纳粹迫害中断，晚年在美国教学。"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">Dehn</span></p><br><h1 hidden="">Dehn</h1><div class="story post-story"><h2 id="生平"><a href="#生平" class="headerlink" title="生平"></a>生平</h2><p>马克斯・威廉・德恩（Max Wilhelm Dehn，1878-1952）于 1878 年出生于德国 Hamburg。他的父亲马克西米利安・摩西・德恩（Maximilian Moses Dehn，1841-1897）是一位医生。他父亲 Maximilian 于 1867 年在德国 Hamburg 与贝尔塔・拉夫・赫希（Berta Raf Hirsch，1845-1926）结婚。他们共有九个孩子。这个家庭是犹太人，但他们并不把自己视为犹太人，而更把自己看作德国人。</p><p>Dehn 在汉堡长大，就读于 Wilhelm 高中（Wilhelm Gymnasium）。这所学校创办于 1881 年，以德皇 Wilhelm 一世命名。这是一所为大学预科而设的学校，毕业后，Dehn 进入 Freiburg 大学。</p><p>有趣的是，Dehn 的导师希尔伯特（David Hilbert，1862-1943），在 1879 年 - 1880 年就读于柯尼斯堡（Königsberg）的 Wilhelm 高中（Wilhelmsgymnasium）—— 同样以德皇 Wilhelm 一世命名，1874 年创办。</p><p>在 Freiburg，Dehn 学习数学；但和当时许多学生一样，他并不是始终只在一所大学就读。</p><p>他也曾在 Göttingen 学习，并在 David Hilbert 指导下，于 1900 年以论文《关于三角形内角和的 Legendre 定理》（Die Legendreschen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck）获得博士学位。</p><p>在这篇论文中，他证明了 Saccheri-Legendre 定理，即在 “绝对几何（absolute geometry）” 中，三角形内角和至多为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.241ex" height="1.579ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -675.9 1874.3 697.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="180^\circ"><g data-mml-node="msup" data-latex="180^\circ"><g data-mml-node="mn" data-latex="80"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 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Ann., 1901）中证明，这个问题的答案是否定的。他利用今天所谓的 <strong>Dehn 不变量（Dehn invariant）</strong> 构造了一个反例。这是 Hilbert 问题中第一个被解决的问题。</p><p>1900 年底前，他把解决 Hilbert 第三问题的论文作为 habilitation 论文提交给明斯特（Münster）大学；次年，他被任命为 Münster 的 Privatdozent（无薪讲师），并一直任此职到 1911 年。</p><p>1907 年，Dehn 与希加德（Poul Heegaard，1871-1948）一起为《数学科学百科全书》（Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften）撰写了一篇最早的拓扑学系统综述之一。后来对这篇文章的评价是：<br>“它第一次系统地呈现了一条具有深度与美感的研究路线 —— 这条路线可追溯到 Euler、Gauss、Listing、Riemann、Möbius、Betti 和 Poincaré—— 当时它被称作‘位置分析（analysis situs）’，今天大概会被称为几何拓扑。”</p><p>之后，Dehn 试图证明 Poincaré 猜想，当然，他并未成功。不过，正是这些尝试促使他发表了 1910 年的论文《关于三维空间的拓扑》（Über die Topologie des dreidimensionalen Raumes）。</p><p>在这篇论文中，他讨论了由三叶纽结（trefoil knot）及其他若干纽结（knot）的补空间构造出的、具有平凡同调的三维流形。为了研究这些流形，他构造了它们基本群的 Cayley 图（Cayley graph）。</p><p>1911 年，Dehn 被任命为 Kiel 的编外教授；1913 年至 1921 年间，他在 Breslau 大学任正教授。</p><p>1912 年 8 月 23 日，他与安东尼・兰道（Antonie Landau）结婚；二人共有三个孩子：Helmut（1914-2007）、Maria（1915-2013）和 Eva Agathe（1919-2008），都出生于 Breslau。</p><p>1914 年，Dehn 发表论文《两个三叶纽结》（Die beiden Kleeblattschlingen）。琼・西尔维娅・利特尔・伯曼（Joan Sylvia Lyttle Birman，1927- ）评价这篇论文：“这篇写于 1914 年、在拓扑空间基本群概念提出后不久的论文，处理了一个简单而优美的问题：确认最简单的纽结所具有的一种性质，而这种性质只需做五分钟实验便会让人产生怀疑 —— 即右手三叶纽结与左手三叶纽结并不同胚。1914 年时，基本群还是一种很新的工具；Dehn 通过研究其外自同构群，以一种相当高明的方式使用了它。在用它证明三叶纽结不是 amphicheiral（即不能与其镜像重合）之后，论文结尾还简要研究了八字纽结（figure-eight knot）基本群的外自同构群，而这个结恰恰是 amphicheiral 的。他还识别出了其生成元（后来得到了证明）。…… 在 1984 年以前，我们实际上并没有什么简单方法来检测一个结是否非 amphicheiral，因此 Dehn 的工作 —— 乍看之下仿佛是用大炮打麻雀 —— 在将近 70 年里始终是核心的文献。</p><p>当然，1914 年也是第一次世界大战开始的年份。Dehn 于 1915 至 1918 年在军队服役，他的学术生涯因此中断。</p><p>服完兵役后，他回到 Breslau 的教授职位；但在 1921 年，他接替比伯巴赫（Ludwig Georg Elias Moses Bieberbach，1886-1982），出任 Frankfurt 大学纯粹与应用数学讲席教授。在那里，他组织了一个著名的数学史研讨班。</p><p>韦伊（André Abraham Weil，1906-1998）写道：“作为一位具有人文气质的数学家，Dehn 把数学看作整个人类思想史中的一个章节 —— 当然绝不是最不重要的那一章 —— 因此他不可能不对数学史研究作出原创性贡献，也不可能不把同事和学生卷入这一事业。这个贡献，或者不如说这一创造，就是 Frankfurt 数学研究所的历史研讨班。表面上看，没有什么比这更简单、更不张扬了：</p><p>选一篇原始文献来读，尽量不仅把握其表层脉络，也把握其内在思想推进的方向。…… 我是在后来几次去 Frankfurt 时才参加这个研讨班的；我总是尽可能多去那里。我已记不清是否早在 1926 年夏季学期，在一次讨论 Cavalieri（1598-1647）的研讨班上，Dehn 就已经展示出这类文本应当如何从作者自身的立场出发来阅读，既考虑作者时代普遍接受了什么，也考虑 Cavalieri 竭力想要实现的新思想。每个人都参加讨论，尽自己所能为集体努力作出贡献。</p><p>1932 年，Dehn 写了论文《人类中的数学》（Das Mathematische im Menschen），发表于恩里克斯（Abramo Giulio Umberto Federigo Enriques，1871-1946）在博洛尼亚编辑的意大利期刊《Scientia》。</p><p>在这篇文章中，Dehn 把 “数学能力” 放在了一个基本的人类学层次上。正是因为相信数学深深扎根于人性之中，正如音乐建立在与生俱来的音乐能力之上一样，他才有信心认为，即使不是职业数学家的人，也能够欣赏这门科学。</p><p>1933 年初，Hitler 在德国上台。Dehn 勉强仍继续主持 Frankfurt 大学的数学研讨班。然而在 1935 年，Dehn 被迫辞职，但仍留在 Frankfurt。</p><p>1936 年，他把子女送出德国：儿子 Helmut 去了美国，女儿 Maria 和 Eva 则被送往英国继续学业。</p><p>之后几年里，Dehn 在若干欧洲国家讲学，并于 1938 年 1 月至 4 月间在英国与两个女儿同住。</p><p>他仍继续发表论文。</p><p>1936 年，他在《Scientia》上发表了《从数学的观点看亚里士多德的空间、时间与数》（Raum, Zeit, Zahl bei Aristoteles vom mathematischen Standpunkt aus）。</p><p>1938 年，他发表了《映射类群》（Die Gruppe der Abbildungsklassen），其中包含今天称为 Dehn twist（德恩扭转）的重要思想。</p><p>1938 年 11 月 11 日，Dehn 被逮捕；但由于被关押的犹太人太多，监狱已经人满为患，他当日稍晚便被释放。随即，担心再次被捕的 Dehn 与妻子逃往 Frankfurt 以北的朋友家。</p><p>几周后，纳粹对犹太人的迫害稍有减弱，于是 Dehn 夫妇冒险逃往 Hamburg，暂时住在 Dehn 的一位姐姐家中；随后于 1939 年 1 月先逃到丹麦，再从那里去往挪威。</p><p>Dehn 不久便在特隆赫姆（Trondheim）的技术学院（如今的挪威科技学院）获得一个临时职位，代替正在休假的布朗（Viggo Brun，1885-1978）——1915 年提出著名的 Brun 筛法（Brun Sieve）。</p><p>然而，1940 年 3 月 1 日，德国入侵挪威，Trondheim 于 4 月 9 日落入德军之手。Dehn 逃离了这座城市，但冒着巨大危险，到 6 月又回到城中，并开始筹划前往美国。</p><p>1940 年 10 月，Dehn 夫妇移民美国，路线是：从挪威到瑞典斯德哥尔摩，再到苏联莫斯科，从那里乘西伯利亚铁路到符拉迪沃斯托克，然后坐船到日本神户，再换船前往旧金山，并于 1941 年 1 月 1 日抵达。</p><p>到了美国后，Dehn 曾在几所大学和学院任教，例如 Idaho 大学 Pocatello 分校、Illinois 理工学院，以及 Maryland 州 Annapolis 的 St. John's College。</p><p>切辛（Paul L. Chessin）曾回忆 Dehn 在 Wisconsin 州 Madison 时的一些个人轶事：“1945 年，Dehn 接替当时 Wisconsin 大学 Madison 分校数学系主任兰格（Rudolf Ernest Langer，1894-1968），后者休假去了 Texas 大学。Dehn 教授来开了几门研究生课程。我上了他的‘非线性偏微分方程’课。他常常在校园酒吧 Rathskellar（那是当时十大联盟大学中唯一的校园啤酒馆）里高谈阔论。我们在酒馆里学到的东西更多，比如他的个人生活。</p><p>他是家里的异类。只要他还留在大学里，就能得到家人的支持。因此，他获得了许多博士学位。他会手持啤酒杯，用希腊语朗诵一些古典文学的段落。公布最终成绩时，他只是点名，然后逐一询问课本章节标题。显然，我们可以提前翻阅，确保答案正确。我记得他给了大约 18 个 A 和 3、4 个 B。上课期间，他会不时打断课堂，表达他对能否通过公民考试的担忧。”</p><p>然而，Dehn 始终没能找到一个全职职位。麦克兰恩（Saunders Mac Lane，1909-2005）后来写道：“…… 大多数逃离欧洲的数学家在美国都多少得到了某种职位…… 我记得有两个失败的例子：Max Dehn—— 以拓扑工作著称 —— 只得到一个很弱的职位。”</p><p>Mac Lane 所说的这个 “很弱的职位”，就是 Black Mountain College。这所学院并不授予正式认证的学位，教学主要集中在创意艺术方面。</p><p>1944 年，Dehn 受邀前往那里作两场讲座时，教员中甚至没有受过专业训练的数学家。他意识到自己无法讲授高等数学，因此讲的是 “数学与装饰艺术的共同根源” 和 “数学思想发展中的若干时刻”。学院随后向他提供了一个每月 25 美元的长期职位。他坚持要求每月 40 美元，最终学院同意了。Dehn 于 1945 年加入该校教师队伍，并一直留在那里直到去世。Black Mountain College 于 1956 年关闭，而 Dehn 是这所学院历史上唯一任教过的数学家。</p><p>佩弗（David Peifer）写道：“Dehn 教授数学、哲学、希腊文和意大利文。在数学方面，他的课程包括数学史和射影几何。他因热爱自然和艺术而被人铭记。他的讲课经常岔出去谈哲学、艺术，以及它们与数学的关系。他最出色的时候，是用一种苏格拉底式的方式来讲授。他很喜欢带着学生在树林里徒步时上课。人们记得他是一位关怀学生、极其投入的教师。”</p><p>Dehn 出色的研究记录，与他晚年最后那个职位的低层次形成了鲜明对照。他是一位凭直觉工作的几何学家，深受 Hilbert 公理化方法的启发。他在拓扑上的工作把他引向了群论，尤其是那些从拓扑中自然产生的群表示问题。</p><p>在 1911 年的论文《关于无限不连续群》（Über unendliche diskontinuierliche Gruppen）中，Dehn 提出了关于群表示的两个重要问题：字问题（word problem）和同构问题（isomorphism problem）。</p><p>字问题提出了一个根本性的问题：对由一个表示给出的群，是否存在一种算法，能够判定一个词是否表示单位元。<br>后来人们已经证明，一般情况下并不存在这样的算法。这类问题的研究直到今天仍是组合群论中的重要主题。</p><p>除此之外，Dehn 还写过关于静力学、射影平面以及 —— 如前所述 —— 数学史的论文。</p><p>第二次世界大战结束后，德国数学会（DMV）于 1948 年重新建立。卡姆克（Erich Kamke，1890-1961）致信所有曾被开除的人，请他们重新加入。</p><p>Dehn 拒绝了。下面是他 1948 年 8 月写的回信，其中相当清楚地说明了理由：我并不怀有任何怨恨。你大概知道，我如今又和德国的几位数学家保持着密切联系，当然首先是和那些我过去特别亲近的人。但我不能重新加入德国数学会。</p><p>我已经失去了信心，不相信这样一个协会今后会比 1935 年表现得更好。我担心，它仍会再次对来自外部的不公正措施不加抵抗。德国数学会并没有保管什么极其重要的价值。让我产生这种负面印象的事实是：它 1935 年没有自行解散，而且甚至没有相当数量的数学家退出该协会。我并不担心德国数学会将来会再次驱逐犹太人，但也许下一次被针对的会是所谓的共产党人、无政府主义者，或者 “有色人种”。与德国，尤其是与德国数学家的联系，对我始终非常珍贵。</p><p>Dehn 于 1951–1952 学年结束时退休，并被授予名誉教授称号。退休后他仍继续在 Black Mountain College 工作，为教师和学生提供建议。</p><p>不久，在监督校园里若干棵山茱萸树的移除工作后，他生病了，并因栓塞去世。他被安葬在 Black Mountain College 校园里那片他所热爱的树林中。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="贡献"><a href="#贡献" class="headerlink" title="贡献"></a>贡献</h2><h3 id="一、几何基础与-Hilbert-第三问题"><a href="#一、几何基础与-Hilbert-第三问题" class="headerlink" title="一、几何基础与 Hilbert 第三问题"></a>一、几何基础与 Hilbert 第三问题</h3><p>Dehn 最早的重要工作属于几何基础。其中一个重要工作是 1900 年的 habilitation 工作《关于体积》（Ueber den Rauminhalt）。</p><p>Hilbert 第三问题问：两个体积相等的多面体，是否总能分割成有限多个小多面体，并重新拼装为彼此？</p><p>Dehn 在这篇论文中给出了否定的答案。</p><p>他的关键构造就是后来所谓 Dehn 不变量（Dehn invariant）。现代写法中，若多面体<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.706ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 754 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="P"><g data-mml-node="mi" 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631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的作用，是防止长度与角度之间出现非整数线性关系的混淆。</p><p>这个量对切割与重组是可加的，因此如果两个多面体能通过有限分割互相拼装，它们不仅体积相同，而且 Dehn 不变量也必须相同。</p><p>Dehn 用这一点构造出反例，从而说明 “体积相等” 并不足以推出 “可分割同构”。后来 Sydler 证明，在三维中 “体积 + Dehn 不变量” 正好给出完整判据。</p><h3 id="二、早期拓扑"><a href="#二、早期拓扑" class="headerlink" title="二、早期拓扑"></a>二、早期拓扑</h3><p>1907 年，Dehn 与希加德（Poul Heegaard，1871-1948）合作撰写《位置分析》（Analysis situs）。</p><p>这篇文章的历史地位并不在于它给出某个单一定理，而在于它第一次把当时仍然松散的 “analysis situs” 工作系统地整理为一个方向。</p><p>正如前文提及：这是一条可以追溯到 Euler、Gauss、Listing、Riemann、Möbius、Betti、Poincaré 的研究传统，而 Dehn 与 Heegaard 的文章第一次把它连成了一个整体。</p><p>这篇综述还保留了很强的几何与组合色彩：Dehn 对拓扑的理解，不是纯粹集合论式的，而是始终与曲面分解、纽结、基本群和具体图形操作相连。</p><h3 id="三、三维空间的拓扑"><a href="#三、三维空间的拓扑" class="headerlink" title="三、三维空间的拓扑"></a>三、三维空间的拓扑</h3><p>Dehn 在 1910 年发表论文《论三维空间的拓扑》（Über die Topologie des dreidimensionalen Raumes）。</p><p>斯蒂尔韦尔（John Colin Stillwell，1942- ）认为这篇论文 “与 Poincaré 1904 年的论文一起，它构成了后来三维拓扑几乎全部工作的出发点。”</p><p>Stillwell 列举这篇论文中首次集中出现的内容：有限表示群的字问题与共轭问题、把这类群实现为曲面复形的基本群、Dehn 引理、三叶纽结群的图示、用手术构造同调球，以及对其中一个同调球 —— 实际上就是 Poincaré 同调球 —— 基本群有限性的证明。</p><p>其中最著名的结果后来被称为 <strong>Dehn 引理（Dehn lemma）</strong> 。若三维流形<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1044 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 中有一个带自交的二维圆盘<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.873ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 828 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="D"><g data-mml-node="mi" data-latex="D"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>，其边界<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.719ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 760 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C = \partial D"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.542ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2449.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C = \partial D"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\partial" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="1D715" d="M256 574C256 597 241 610 212 612 243 659 288 683 347 683 439 683 484 606 484 508 484 467 476 417 461 356 444 425 401 460 334 460 257 460 190 428 130 366 70 304 40 235 40 158 40 121 53 83 79 45 110 0 158-22 225-22 315-22 390 20 449 105 505 187 566 329 566 456 566 527 548 587 512 635 473 689 418 716 349 716 282 716 232 693 198 646 171 609 157 579 157 556 157 530 171 517 199 517 229 517 256 544 256 574M439 303C439 240 420 178 381 117 338 48 287 14 228 14 162 14 124 57 124 121 124 149 131 188 145 238 159 288 173 323 188 344 228 401 277 430 334 430 407 430 439 376 439 303Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="D" transform="translate(1621.8,0)"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是一条没有奇点的简单闭曲线，那么存在另一个同边界的圆盘<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.861ex" height="1.92ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1264.6 848.6"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="D_0"><g data-mml-node="msub" data-latex="D_0 "><g data-mml-node="mi" data-latex="D"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(861,-150) scale(0.707)" data-latex="0"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> ，它可以分段线性地嵌入<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1044 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。也就是说，若一条简单闭曲线 “以某种浸入方式” 围成圆盘，那么其实也能围成一个真正嵌入的圆盘。</p><p>Dehn 当年的证明有漏洞，完整证明直到 1957 年才由帕帕（Christos Dimitriou Papakyriakopoulos，1914-1976）给出；但这并不影响该命题在三维流形与纽结理论中的根本地位。</p><p>同一篇论文里，Dehn 还首次使用后来称为 <strong>Dehn 手术（Dehn surgery）</strong> 的操作：若<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1044 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 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data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D54A" d="M258 661C296 661 334 644 371 612 408 580 431 545 440 507 444 489 451 480 462 480 476 480 483 492 483 517L483 667C483 692 476 704 462 704 458 704 452 701 444 695 431 682 416 676 399 676 384 676 362 681 332 690 302 699 276 704 256 704 120 704 29 635 29 502 29 464 42 429 67 396 85 373 114 350 155 329 162 326 196 310 259 281 270 276 285 267 305 256 338 236 361 212 376 185 384 170 388 154 388 137 388 58 346 31 264 31 218 31 176 52 137 93 98 134 79 178 79 224 79 238 72 245 59 245 41 245 37 231 37 209L37 25C37 0 44-12 59-12 62-12 70-7 81 2 92 11 106 16 121 16 138 16 156 12 177 3 202-7 231-12 263-12 334-12 395 4 444 36 501 74 530 127 530 194 530 297 466 374 337 425 286 444 219 474 192 498 167 519 154 542 154 565 154 624 199 661 258 661M440 640 440 600C433 609 423 620 410 634 423 635 433 637 440 640M125 626C116 607 112 587 112 565 112 521 135 484 180 454 211 434 255 413 311 390 370 365 412 341 435 317 470 279 488 238 488 194 488 140 465 99 420 71 427 90 431 112 431 137 431 188 410 231 367 264 334 289 295 312 249 332 194 355 153 377 126 397 89 424 71 459 71 502 71 559 89 601 125 626M79 96C86 85 97 73 112 58 99 57 88 55 79 51Z"></path></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(588,363) scale(0.707)" data-latex="3"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 578 119 580 145 615 186 633 242 633 302 633 332 598 332 527 332 485 324 450 309 421 282 373 245 364 183 364 171 362 165 357 165 348 165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173 348 88 317 14 241 14 176 14 128 36 99 80 134 79 160 105 160 139 160 173 135 198 101 198 62 198 42 178 42 137 42 88 64 49 108 18 147-9 193-22 244-22 301-22 350-3 393 34 436 71 457 117 457 173 457 267 383 332 303 353Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 构造出来。</p><p>Dehn 当年尚未拥有后来的手术理论语言，但他的几何直觉已经十分接近这一现代框架。</p><h3 id="四、《论无限不连续群》"><a href="#四、《论无限不连续群》" class="headerlink" title="四、《论无限不连续群》"></a>四、《论无限不连续群》</h3><p>1911–1912 年的《论无限不连续群》（Über unendliche diskontinuierliche Gruppen）标志着 Dehn 从拓扑进入群论中心。</p><p>这篇论文提出了关于群表示的基本问题：<strong>字问题（word problem）</strong> 和 <strong>同构问题（isomorphism problem）</strong> 。对一个由生成元和关系式给出的群而言，字问题的是一个词是否代表单位元，同构问题则问两个有限表示是否给出同构群。</p><p>20 世纪后半叶的逻辑与群论发展表明，这些问题在一般情况下并没有统一可行的算法。Dehn 的论文的重要性不只在于提问，还在于他立刻给出了一类成功的例子：闭双曲曲面的基本群。</p><p>以亏格为 2 的曲面为例，它有表示</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:42.255ex"><svg style="vertical-align:-.566ex;min-width:42.255ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\langle x_1, y_1, x_2, y_2 \mid [x_1, y_1] [x_2, y_2] = 1 \rangle
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\langle x_1 , y_1 , x_2 , y_2 \mid [x_1 , y_1 ] [x_2 , y_2 ] = 1 \rangle
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="7260.4 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo" data-latex="\langle"><path data-c="27E8" d="M313-250C328-250 336-242 336-226 336-223 336-220 335-218L158 250 335 717C336 719 336 722 336 726 336 742 328 750 313 750 302 750 295 745 291 735L111 259C110 257 110 254 110 250 110 247 110 244 111 242L291-235C295-245 302-250 313-250Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="x_1" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1397.6,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="y_1" transform="translate(1842.2,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="y"><path data-c="1D466" d="M163 442C118 442 83 417 58 367 39 328 29 301 29 286 29 277 34 272 45 272 59 272 60 278 64 293 87 372 119 412 160 412 173 412 180 403 180 385 180 369 175 346 164 317 126 214 107 145 107 108 107 32 154-13 231-13 264-13 295-1 323 23 288-109 233-175 158-175 124-175 101-164 89-142 129-140 149-121 149-85 149-60 136-47 109-47 72-47 50-78 50-115 50-170 100-205 158-205 273-205 367-99 392-1L486 377C489 388 490 396 490 401 490 421 479 431 458 431 442 431 429 423 420 408 414 387 409 369 406 354L342 97C332 61 279 16 234 16 196 16 177 41 177 92 177 134 194 198 227 284 240 319 247 343 247 357 247 406 212 442 163 442Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 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34 272 45 272 59 272 60 278 64 293 87 372 119 412 160 412 173 412 180 403 180 385 180 369 175 346 164 317 126 214 107 145 107 108 107 32 154-13 231-13 264-13 295-1 323 23 288-109 233-175 158-175 124-175 101-164 89-142 129-140 149-121 149-85 149-60 136-47 109-47 72-47 50-78 50-115 50-170 100-205 158-205 273-205 367-99 392-1L486 377C489 388 490 396 490 401 490 421 479 431 458 431 442 431 429 423 420 408 414 387 409 369 406 354L342 97C332 61 279 16 234 16 196 16 177 41 177 92 177 134 194 198 227 284 240 319 247 343 247 357 247 406 212 442 163 442Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 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143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z" transform="translate(889,0)"></path></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>Dehn 注意到，这个群的 Cayley 图可看成双曲平面中正八边形铺砌的 1 - 骨架，而 relator 就标记着每个八边形的边界。</p><p>于是，如果一个约化词代表单位元，那么它在某处必然含有一个 “超过 relator 一半长度” 的长子词；把这段长子词替换为 relator 中互补的更短部分，就能缩短词长。不断重复，若最终化到空词，则原词代表单位元。这就是后来所谓 <strong>Dehn algorithm</strong> 的原型。</p><p>它不仅解决了特定曲面群的字问题，也给后来小消去理论、双曲群和几何群论中的线性消去思想提供了模板。</p><h3 id="五、扭结理论"><a href="#五、扭结理论" class="headerlink" title="五、扭结理论"></a>五、扭结理论</h3><p>1914 年，Dehn 发表《两个三叶纽结》（Die beiden Kleeblattschlingen）。这篇论文解决的问题非常具体： <strong>左手三叶纽结和右手三叶纽结是否等价？</strong></p><p>Joan Birman 在回顾这篇论文时说，Dehn 用一种在 1914 年看来相当 “重型” 的方式解决了一个直观上只需几分钟实验便会冒出来的问题：他通过研究纽结群的外自同构群，证明左手三叶纽结与右手三叶纽结不环境同痕（not ambient isotopic），也就是三叶纽结（trefoil knot）不是 amphicheiral。</p><p>Birman 还指出，在 Jones 多项式出现之前的近七十年里，这篇论文始终是该问题的核心文献之一。</p><h3 id="六、曲面、扭转与映射类群"><a href="#六、曲面、扭转与映射类群" class="headerlink" title="六、曲面、扭转与映射类群"></a>六、曲面、扭转与映射类群</h3><p>Dehn 在曲面拓扑上的工作同样持久。1912 年的《双侧曲面上曲线的变换》（Transformation der Kurven auf zweiseitigen Flächen）以及 1922 年《双边曲面上的曲线系统及其在映射问题上的应用》（On curve systems on two-sided surfaces, with application to the mapping problem）的讲义，构成了后来映射类群理论的早期核心文献；这些工作后来收入到 Stillwell 编的《Papers on group theory and topology》。</p><p>Stillwell 为附录《The Dehn–Nielsen theorem》写的摘要还指出，有一个重要定理虽归于 Dehn，却并未出现在他的正式发表作品中：闭可定向曲面<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.459ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 645 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>的每个基本群自同构，实际上都可由<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.459ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 645 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>的某个同胚诱导；最早已知的完整证明出现在尼尔森（Jakob Nielsen，1890-1959）1927 年的论文里。</p><p>今天这条结果通常被称为 <strong>Dehn–Nielsen 定理</strong> ，后来又经 Baer 的工作得到现代形式。</p><p>与这一方向联系最紧的，是 <strong>Dehn twist</strong> （德恩扭转）。在曲面上一条简单闭曲线附近取一个环带，沿该曲线切开，把一侧旋转<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.421ex" height="1.532ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1070 677"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2\pi"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi" transform="translate(500,0)"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 再粘回，就得到一个新的自同胚。形式上它非常简单，但后来整个映射类群理论都以此为基本操作。</p><p>后来的文献进一步表明，曲面的映射类群可由有限多个 Dehn twists 生成；因此，Dehn 在 1910 年代到 1930 年代这些关于曲线系统、曲面自同胚和基本群自同构的工作，实际上为后来曲面理论奠定了基础。</p></div></div><div class="footer"></div><div class="article-meta" id="bottom"><div class="new-meta-box"></div></div><div class="prev-next"><a class="prev" href="/notes/person/6"><p class="title"><i class="fa-solid fa-chevron-left" aria-hidden="true"></i>Waldhausen瓦尔德豪森的数学人生：从三维流形解剖到美丽新代数的开创</p><p class="content">本文记述了德国数学家瓦尔德豪森的生涯与成就。他早期在三维流形理论中建立了拓扑刚性定理并提出了著名的virtual Haken猜想；后期开创了用于研究拓扑空间的代数K理论框架，包括Waldhausen范畴和S_*构造，其思想深刻影响了稳定同伦论等前沿领域</p></a><a class="next" href="/notes/person/8"><p class="title">Whitehead数学家怀特海德生平与拓扑学贡献概述<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">本文记述了数学家怀特海德的生平，重点阐释了他在微分几何与拓扑学领域的奠基性工作，特别是其提出的CW复形概念及在同伦论中的核心贡献，其影响延续至今</p></a></div><div class="recommended-article"><div 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itemprop="discussionUrl" content="/notes/person/7#comments"></span><p ct=""><i class="fa-duotone fa-comments"></i> 留言区</p><div id="layoutHelper-comments"></div></article></div><aside id="l_side" itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPSideBar"><section class="widget text desktop mobile pjax"><header><a href="/notes/"><i class="fa-duotone fa-book fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">Notes</span></a></header><div class="content"></div></section><section class="widget list group desktop mobile pjax"><header><i class="fa-duotone fa-p fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">History of mathematics</span></header><div class="content"><ul class="list entry navigation"><li><a class="flat-box" title="/notes/person/" href="/notes/person/" active-action="action-notesperson"><div class="name"> Welcome</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/1" href="/notes/person/1" active-action="action-notesperson1"><div class="name"> Hilbert</div></a></li><li><a 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Veblen</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/22" href="/notes/person/22" active-action="action-notesperson22"><div class="name"> Spanier</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/23" href="/notes/person/23" active-action="action-notesperson23"><div class="name"> Hochschild</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/24" href="/notes/person/24" active-action="action-notesperson24"><div class="name"> Erdős</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/25" href="/notes/person/25" active-action="action-notesperson25"><div class="name"> Pólya</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/26" href="/notes/person/26" active-action="action-notesperson26"><div class="name"> Atiyah</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/27" href="/notes/person/27" active-action="action-notesperson27"><div class="name"> Singer</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/28" href="/notes/person/28" 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href="https://icp.gov.moe" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer">萌ICP备</a> <a href="https://icp.gov.moe/?keyword=2020012138" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer">2020012138号</a><br><a target="_blank" rel="noopener" href="https://mhuig.top/">Copyright © Since 2018 MHuiG</a></p></div></footer><a id="s-top" class="fa-solid fa-arrow-up fa-fw" title="top"></a></div></div><div><script>volantis.dom.bodyAnchor=volantis.dom.$(document.getElementById("safearea")),volantis.dom.topBtn=volantis.dom.$(document.getElementById("s-top")),volantis.dom.wrapper=volantis.dom.$(document.getElementById("wrapper")),volantis.dom.coverAnchor=volantis.dom.$(document.querySelector("#l_cover .cover-wrapper")),volantis.dom.switcher=volantis.dom.$(document.querySelector("#l_header .switcher .s-search")),volantis.dom.header=volantis.dom.$(document.getElementById("l_header")),volantis.dom.search=volantis.dom.$(document.querySelector("#l_header 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