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Magicland","logo":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}},"url":"https://blog.mhuig.top/notes/person/31","wordCount":0,"datePublished":"2026-05-23T02:07:00.000Z","dateModified":"2026-05-23T02:10:00.000Z","articleSection":"历史","keywords":"History,人物,戴森,随机矩阵,分拆理论","image":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}}]</script></head><body itemscope="" itemtype="http://schema.org/WebPage"><pjax></pjax><header itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPHeader" id="l_header" class="l_header auto shadow floatable blur show" style="opacity:0"><div class="container"><div id="wrapper"><div class="nav-sub"><p class="title"></p><ul class="switcher nav-list-h m-phone" id="pjax-header-nav-list"><li><a id="s-comment" class="fa-solid fa-comments fa-fw" target="_self" title="comment"></a></li><li><a id="s-toc" class="s-toc fa-solid fa-list fa-fw" target="_self" 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="Dyson戴森的数学贡献与物理成就"><meta itemprop="description" content="弗里曼·戴森是20世纪杰出的数学家和物理学家，他在分拆理论中引入秩和crank以解释拉马努金同余，开创随机矩阵理论并建立Dyson布朗运动模型，同时在量子电动力学和量子自旋模型相变研究中取得关键突破"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">Dyson</span></p><br><h1 hidden="">Dyson</h1><div class="story post-story"><h2 id="生平"><a href="#生平" class="headerlink" title="生平"></a>生平</h2><p>弗里曼・约翰・戴森（Freeman John Dyson，1923-2020）的父母是米尔德里德・露西・阿特基（Mildred Lucy Atkey）和乔治・戴森（George Dyson，1883-1964）。George 既是一位极有才华的英国音乐教师，也是一位音乐写作者。Dyson 出生时，George 正在 Berkshire 的 Wellington College 教授音乐。更早些时候，他曾在 Marlborough College 任教，在那里与 Mildred 的兄长 Freeman Atkey 是同事兼挚友。</p><p>Freeman Atkey 在第一次世界大战中阵亡后，George 和 Mildred 都深受打击。这件事使两人关系更为密切，他们于 1916 年结婚。长女 Alice 出生于 1919 年，第二个孩子便是 Freeman Dyson；他被取名为 Freeman，正是为了纪念 Dyson 的舅舅 Freeman Atkey。</p><p>Dyson 出生后不久，他的父亲接受了 Winchester College 音乐主任的职位，因此 Dyson 的幼年是在 Winchester 度过的。与父亲相比，他和母亲更亲近，因为母亲性格更为严肃，而且才华出众、读书极多。家境相当宽裕，家里雇有厨师、园丁、女仆和保姆。</p><p>Dyson 从五岁起就在 Miss Scott 开办的一所走读学校上学。那时他已表现出在阅读、写作和计算方面的异常天赋。</p><p>九岁起，他成为 Twyford College 的寄宿生；这所学校离他家只有三英里。尽管学校离家如此之近，Dyson 也只有在学校假期才回家，而他的父母从不去学校看望他。</p><p>1936 年，Dyson 在 Winchester College 的奖学金考试中名列第一；那时他才十二岁。这个第一名显示出极大的潜力，也使他第一次真正意识到自己有多么出色。他在各门课程中都是杰出学生，而在数学方面尤其卓越。</p><p>在那以前，他一直显得是个非常不同寻常的学生，与同学们大不一样；但现在，他赢得了同学们的尊重，而他的父母也对儿子的成功惊叹不已。</p><p>Winchester College 对 Dyson 非常重要，因为它给了他极其优秀的数学教育。他不仅遇到了全英国最优秀的数学教师之一杜雷尔（Clement Vavasor Durell , 1882-1968），而且还与莱特希尔（Michael James Lighthill , 1924-1998，英国应用数学家）同班，两人一起学习高等数学，例如约当（Marie Ennemond Camille Jordan , 1838-1922）的《分析教程》（Cours d'Analyse）。外语对 Dyson 来说学得很容易。</p><p>1938 年，当他开始对数论感兴趣时，他决定去读维诺格拉多夫（Ivan Matveevich Vinogradov , 1891-1983）的《数论导论》（An introduction to the theory of numbers）。这本书当时只有俄文版，但这似乎并没有造成什么困难；他自己学会了俄语，并把这本书译成英文。</p><p>第二年，他又读了爱丁顿（Arthur Stanley Eddington , 1882-1944）的《相对论的数学理论》（The mathematical theory of relativity）。</p><p>1941 年，Dyson 获得 Cambridge 大学 Trinity College 的奖学金。第一年里，他随狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）学习物理，随哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）和贝西科维奇（Abram Samoilovitch Besicovitch，1891-1970）学习纯数学。在 Cambridge 期间，他写了几篇论文，但都直到 1944 年才发表。</p><p>第一篇写于 1941 年、发表于 1944 年，题为《每个方程都有一个根的证明》（A proof that every equation has a root）。Dyson 写道：…… 关于 “每个方程都有一个根” 这一命题，已经有那么多种证明了，以致于再给出一个证明几乎像是一种罪过。不过，我可以为自己辩护两点：第一，我将给出的证明很可能并不是新的；第二，如果它确实是新的，那么它相对于其他证明有一个优点，那就是它只使用最基本的论证。</p><p>Dyson 在 1943 年发表了 3 篇论文：</p><p>《组合分析里的三个恒等式》（Three identities in combinatory analysis）</p><p>《关于连分数部分商的数量级》（On the order of magnitude of the partial quotients of a continued fraction）</p><p>《关于峰度的一个注记》（A note on kurtosis）</p><p>当然，Dyson 在 Cambridge 的这些年，正值第二次世界大战期间，因此许多学者都已离校从事战争工作。虽然这段时期对 Dyson 来说并不特别愉快，但他也有一两位好友。</p><p>为了调剂生活，他和朋友们会在夜里去攀爬 Cambridge 城里各处建筑物。1943 年，尽管 Dyson 先前曾持和平主义信念，他还是开始在英国轰炸机司令部担任科学家，从事提高作战任务效率的工作。他在这项工作上投入了大量时间，但仍设法继续自己的数学研究，并读了一些物理学书籍。</p><p>战争结束后，Dyson 在帝国理工学院担任 demonstrator。就在这一时期，他写出了有影响力的论文《论连分数中的同时 Diophantine 逼近》（On simultaneous Diophantine approximations on continued fractions）。</p><p>1946 年，他以 Trinity College 研究员身份回到 Cambridge，此前他已写成一篇学位论文（但是并未正式取得博士学位），并由此发表了三篇论文：</p><p>《关于整数集密度的一个定理》（A theorem on the densities of sets of integers , 1945）</p><p>《代数拓扑中的一个定理》（A theorem in algebraic topology , 1948）</p><p>《四个非齐次线性形式之积》（On the product of four non-homogeneous linear forms , 1948）</p><p>然而回到 Cambridge 以后，他开始从事理论物理研究，并且此后理论物理成为他的主要研究方向；不过，正如下面会提到的，他仍然继续发表纯数学论文。这一时期，有人建议他考虑去美国发展。在佩尔斯（Rudolf Ernst Peierls，1907-1995）等人的建议下，他决定申请去 Cornell 跟随贝特（Hans Albrecht Eduard Bethe，1906-2005）工作。</p><p>泰勒（Geoffrey Ingram Taylor，1886-1975）在给 Bethe 的推荐信中写道：你应当已经收到了 Freeman Dyson 先生申请去你那里做研究生的请求。我希望你会接受他。虽然他只有 23 岁，但在我看来，他是英国最好的数学家。</p><p>Dyson 与 Bethe 密切合作，并且像 Bethe 的其他学生一样，对他深为敬佩。</p><p>1948 年，Dyson 在《Physical Review》上发表了《能级的电磁位移》（The electromagnetic shift of energy levels），这是他发表的第一篇物理论文。这篇论文既显示出他惊人的计算能力，也显示出深刻的物理理解。</p><p>很明显，在这一时期，Dyson 已被视为一位异常有天赋、能力极强的青年学者。</p><p>Bethe 说服奥本海默（Julius Robert Oppenheimer，1904-1967）接收 Dyson 到普林斯顿高等研究院（IAS）工作。</p><p>他在推荐信中写道：Dyson 先生在能力和成就上都极不寻常。我可以毫无保留地说，他是我所见过、也是我所带过的学生中最优秀的一个。</p><p>从那时起，Dyson 的工作集中在量子电动力学上。也正是在这一时期，发生了一件使 Dyson 十分高兴的事：日本的朝永振一郎（Shinichiro Tomonaga，1906-1979）在相对论性量子场论方面发展出了重要工作。</p><p>让 Dyson 感到高兴的不只是这项工作本身的重要性，还因为它来自一个出乎意料的地方，并表明在这一领域中产出重要研究的并不只有美国。Tomonaga 的工作与施温格（Julian Seymour Schwinger，1918-1994）的相比，更为清楚、也更为简洁。</p><p>大约在 1948 年春天，Dyson 与费恩曼（Richard Phillips Feynman，1918-1988）成为朋友，Dyson 也开始熟悉 Feynman 的方法。两人的共同特点是惊人的计算能力。</p><p>在一次前往 Princeton 的长途汽车旅途中，Dyson 想通了一个困扰了他整整一年的重大问题。</p><p>他终于看出，如何证明 Schwinger 与 Feynman 的理论实际上是等价的。这些想法最终成为他那篇极为重要的论文《Tomonaga、Schwinger 与 Feynman 的辐射理论》（The radiation theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman）的基础，该文发表于 1949 年的《Physical Review》。</p><p>Corben 在一篇书评中写道：文中对 Tomonaga—Schwinger 量子电动力学作了讨论，并恰当地强调了其中所涉及的物理思想，同时确立了它与 Feynman 那套当时大多尚未发表的理论之间的等价性。</p><p>Dyson 于 1948 年秋到达 Princeton。他始终没能真正对 Oppenheimer 感到自在。他觉得 Oppenheimer 浮于表面，而且与 Bethe 相比，并不善于给学生提供指导和支持。</p><p>Bethe 则继续成为 Dyson 的真正支柱；在一次极有影响力的研讨会上，Bethe 帮助 Dyson 说服听众 —— 其中包括 Oppenheimer—— 相信 Feynman 的方法是最有希望继续推进的方向。</p><p>Dyson 1949 年关于量子电动力学中 S- 矩阵重整化的著名论文《量子电动力学中的 S- 矩阵》（The S matrix in quantum electrodynamics），很快成为该领域极受重视、影响深远的工作。</p><p>Harvard 大学物理系教授弗瑞（Wendell Hinkle Furry，1907-1984）对这篇重要论文的内容和方法作了如下概括：文中讨论了量子电动力学在散射问题中的应用，所用语言是 S- 矩阵的计算；S- 矩阵是一种把初态的入射波转化为末态的出射波的算符。……</p><p>S- 矩阵的计算被表示为一组图，其中有向线代表电子，无向虚线代表光子或与某个给定电磁场的相互作用。</p><p>图中的内部线代表粒子的虚态：它们要么在可观测粒子之间提供相互作用，要么表示场的涨落，从而产生自能等效应；延伸到图边界的线则代表可观测粒子，或与给定场的相互作用。对于任何给定过程，当然都会有许多图；对每一个图，都有一个对应的 S- 矩阵贡献，而根据 Feynman 在 Dyson 前一篇论文中制定并给出的规则，这些贡献只需从图上便可直接写出。</p><p>Dyson 开始在科学界成名。他知道这种名声的风险，也很有意思地说：我想我至少有足够的清醒，能够享受这种成功，而不至于被它迷惑；如果我做不到，费曼就是一个足以让我引以为戒的榜样。</p><p>1949 年初，他计划回英国，并向 Oppenheimer 请教应当去哪个机构。Oppenheimer 说：嗯，Birmingham 有最好的理论物理学家 Peierls；Bristol 有最好的实验物理学家 Powell；Cambridge 则有一些极好的建筑……。</p><p>在 Bethe 为 Dyson 申请去 Peierls 那里工作的推荐信中，他把 Dyson 描述为：…… 自 Dirac 以来英国最优秀的理论家。1949 年夏天，Dyson 在高等研究院遇见了维雷娜（Verena Esther Haefeli-Huber，1923-2016）。她是一位瑞士数学家，前一年刚刚发表自己的博士论文《抽象群论中作为分类原则的一种对偶性》（Ein Dualismus als Klassifikationsprinzip in der abstrakten Gruppentheorie）；这篇论文推广了 P. Hall 的两篇文章。</p><p>Dyson 于 1950 年夏与 Verena 订婚，并于同年 8 月结婚。他们婚后育有两个孩子：Esther Dyson 和 George Dyson。<br>Esther 16 岁进入 Harvard，主修经济学，后来成为作家兼记者，也是计算机世界中的重要人物。</p><p>Dyson 与 Verena 于 1958 年离婚；同年 11 月，他与 Imme Jung 结婚，两人育有四个女儿：Dorothy、Emily、Mia 和 Rebecca。</p><p>完成 S- 矩阵论文后，Dyson 转向介子理论（meson theory），在这一领域中他提出了一种把高频相互作用与低频相互作用的计算分离开来的方法。</p><p>在发表了更多重要论文并参与国际会议之后，1950 年 5 月，Dyson 接替 Feynman，出任 Cornell 的教授职位。到这时，Bethe 对 Dyson 的赞赏之情已与日俱增。Bethe 曾表示，Dyson 是 “世界上唯一能够在 Cornell 接替 Feynman 的人”。</p><p>有趣的是，在 Dyson 令人印象深刻的整个职业生涯中，他并未正式取得博士学位，也从未获得 Nobel 奖。</p><p>1979 年 Nobel 物理学奖得主温伯格（Steven Weinberg，1933-2021）曾公开表示，Nobel 委员会亏待了 Dyson；而 Dyson 本人也曾开玩笑说，自己正是因为没有获得 Nobel 奖而变得著名（Dyson prefers the infamy of never having won the Nobel Prize）。</p><p>1953 年，Dyson 接受了普林斯顿高等研究院物理学教授的职位。前面提到过，尽管这时他已经是一位物理学家，Dyson 仍继续发表纯数学研究论文。例如，他在</p><p>1951 年于《Annals of Mathematics》上发表了巧妙的论文《定义在球面上的连续函数》（Continuous functions defined on spheres）；</p><p>1961 年发表《分拆的一种新对称性》（A new symmetry of partitions）；</p><p>1989 年发表《分拆的映射与对称性》（Mappings and symmetries of partitions）；</p><p>1994 年发表《与整数表示为两个平方和相关的指数和的均方值》（Mean square value of exponential sums related to representation of integers as sum of two squares，和 Pavel Bleher 合作）；</p><p>2001 年发表《第 6 个 Fermat 数与回文连分数》（The sixth Fermat number and palindromic continued fractions）等。</p><p>还应特别提到 Dyson 于 1988 年发表的论文《漫步 Ramanujan 的花园》（A walk through Ramanujan’s garden）。</p><p>拉杜（Christian Radoux）在评论中写道：…… 四十八年来，作者一直在研究 Ramanujan 的工作，最初通过 Hardy 和 Wright 的著作，接着通过《论文集》、“失落的笔记本” 以及其他几位数学家的工作。借此，我们得以追随他自己关于分拆同余性质、特殊级数与无穷乘积、生成函数以及模函数等方面的研究……。</p><p>Dyson 还出版过若干关于科学与哲学的书，包括</p><ul><li>《扰乱宇宙》（<em>Disturbing the Universe</em>, 1979），</li><li>《武器与希望》（<em>Weapons and Hope</em>, 1984），</li><li>《生命的起源》（<em>Origins of Life</em>, 1986），</li><li>《向各个方向无限延伸》（<em>Infinite in all Directions</em>, 1988），</li><li>《从爱神厄洛斯到盖亚》（<em>From Eros to Gaia</em>, 1992）</li><li>《想象的世界》（<em>Imagined Worlds</em>, 1997）和</li><li>《太阳、基因组和互联网》（<em>The Sun, the Genome and the Internet</em>, 1999）。</li></ul><p>他也写过不少说明性文章，例如发表于《Scientific American》的《物理科学中的数学》（<em>Mathematics in the physical sciences</em>, 1964），讨论数学 —— 特别是群论 —— 在物理科学中的作用。</p><p>发表于《American Mathematical Monthly》的《错失的机会》（Missed opportunities, 1972）则是：……[Dyson] 于 1972 年 1 月发表的 Josiah Willard Gibbs 讲座的文字稿。这次讲座精彩、大胆而且富于争议。它引发了大量讨论，也招来了某些批评，但确实激发了听众…… 其中对数学家与物理学家之间交流破裂，以及对 Maxwell 方程缺乏兴趣的那段历史叙述，构成了对数学共同体的一种控诉。</p><p>在《不合时宜的追求》（<em>Unfashionable pursuits</em>, 1983）中，Dyson 写道：…… 强烈呼吁那些掌握科研资助的 “权威委员会”—— 例如高等研究院和 Humboldt 基金会中的相关委员会 —— 更多关注那些希望在 “不时髦” 领域中工作的科学家。他强调，许多最初看来 “不时髦” 的思想，若干年后却被证明极其重要；他举出的例子包括 Grassmann 和 Lie 的工作……。</p><p>Dyson 因其卓越贡献获得了许多荣誉，包括 1952 年当选英国皇家学会会士。他还当选为美国国家科学院院士（1964）和巴黎科学院院士（1989）。1994 年，Dyson 从普林斯顿高等研究院教授职位上退休，并被任命为名誉教授。</p><p>1996 年，美国数学学会出版了《Freeman Dyson 论文选集附评注》。恩特（Aernout C. D. van Enter）在对这本书的评论中，对 Dyson 的贡献作了很好的概括：</p><p>对这样一本书发表意见，几乎让人觉得有些僭越。它的主题范围极广，包含许多深刻的、往往已经成为经典的结果，而且文风无可挑剔。每一类读者都能在这本书中找到贴近自己兴趣的内容，也会碰到超出自己掌握范围的内容。它涵盖了极其丰富的主题与奠基性贡献：著名的量子电动力学论文、物质稳定性、层级 Ising 模型的发明、无序线性链、随机矩阵、自旋波理论等等；Dyson 在这些差异极大的题目上都留下了自己的印记。</p><p>这还没有包括纯数学方面的内容，而我对此更没有资格评论。Dyson 的多面性、数学功力与深度是众所周知的，他的评论和有时带挑衅性的观点既发人深省，又令人读来愉快。对这本书，我无法给出比一句老话更好的推荐：去研究大师吧！（study the masters!）</p></div><div class="story post-story"><h2 id="贡献"><a href="#贡献" class="headerlink" title="贡献"></a>贡献</h2><h3 id="一、分拆（partition）理论"><a href="#一、分拆（partition）理论" class="headerlink" title="一、分拆（partition）理论"></a>一、分拆（partition）理论</h3><p>Dyson 在纯数学中最有持久影响的工作，首先属于整数分拆（partition）。所谓一个正整数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的分拆，就是把<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 写成若干正整数之和，并且不计顺序。例如</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:58.554ex"><svg style="vertical-align:-.566ex;min-width:58.554ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math" data-latex="
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data-mml-node="mn" data-latex="4" transform="translate(1833.6,0)"><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199 28 163 289 163 289 81C289 63 285 51 278 46 271 41 252 39 219 39L194 39 194 0C223 2 269 3 331 3 393 3 439 2 468 0L468 39 443 39C410 39 391 41 384 46 377 51 373 63 373 81L373 163 471 163 471 202 373 202 373 660C373 670 366 677 353 677M295 553 295 202 67 202Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="=" transform="translate(2611.3,0)"><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="3" transform="translate(3667.1,0)"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 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定义</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:26.254ex"><svg style="vertical-align:-.566ex;min-width:26.254ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\operatorname{rank}(\lambda) = \lambda_k - k
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
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data-latex="\kern 6mu" transform="translate(3600,0)"></g><g data-mml-node="mi" data-latex="t" transform="translate(4099.7,0)"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(4460.7,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 同余（congruent）的个数，Dyson 猜想：对 Ramanujan 的前两个同余，分拆可以按 rank 模 5 和模 7 平均分布。</p><p>这正给出了前两个 Ramanujan 同余的直接组合解释。Atkin 和 Swinnerton-Dyer 后来（1954 年）证明了这些猜想；这条线以后发展得很深，直到 21 世纪仍是分拆理论的重要部分。</p><p>Dyson 同时还指出，rank 并不能同样自然地解释模 11 的同余，因此他猜想还应存在另一种统计量，后来被他命名为 crank。四十多年以后（1988 年），Andrews 和 Garvan 才真正给出这样一个统计量。其一个标准定义是：令<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.443ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1964 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mu(\lambda)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\mu"><path data-c="1D707" d="M572 142C572 151 567 156 556 156 548 156 542 149 539 136 519 56 495 16 468 16 451 16 442 30 442 58 442 75 448 109 461 159L489 266C498 302 506 327 512 358L518 386C520 393 521 398 521 400 521 421 510 431 488 431 466 431 452 419 446 394L374 108C374 97 358 77 326 47 304 26 279 16 250 16 204 16 181 43 181 98 181 117 185 144 194 181L236 347C244 378 249 400 251 411 251 432 240 442 218 442 196 442 182 429 175 403L33-169C31-177 30-182 30-185 30-206 41-216 62-216 77-216 89-208 100-193 103-186 120-117 153 14 177-4 208-13 246-13 305-13 344 18 375 54 386 17 419-13 466-13 535-13 556 68 572 142Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(603,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda" transform="translate(992,0)"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 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关于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.836ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.784ex" height="2.533ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3440.5 1119.5"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\prod_{m\ge1} (1-q^m)^{-1}"><g data-mml-node="munder" data-latex="\prod_{m\ge1}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\prod"><path data-c="220F" d="M579-250 887-250 887-202C838-202 808-193 797-175 789-162 785-146 785-128L785 628C785 646 789 662 797 675 808 693 838 702 887 702L887 750 56 750 56 702C105 702 135 693 146 675 154 662 158 646 158 628L158-128C158-146 154-162 146-175 135-193 105-202 56-202L56-250 364-250 364-202C315-202 285-193 274-175 266-162 262-146 262-128L262 702 681 702 681-128C681-146 677-162 669-175 658-193 628-202 579-202Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(977,-285.4) scale(0.707)" data-latex="{m\ge1}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="m"><path data-c="1D45A" d="M657 442C596 442 543 412 498 353 489 412 451 442 383 442 324 442 273 416 231 363 223 407 188 442 137 442 96 442 66 409 45 344 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 66 299 84 375 107 413 134 413 152 413 161 399 161 371 161 358 156 331 145 290L88 63C84 51 79 25 79 19 79-1 90-11 111-11 131-11 145-1 152 19 153 24 160 49 171 92L192 181 222 295C233 318 250 341 272 365 301 397 337 413 380 413 413 413 429 391 429 348 429 335 424 308 414 267L387 153C380 124 364 64 356 32 355 25 354 21 354 19 354-1 365-11 387-11 398-11 406-8 413-1 428 14 429 21 435 48L494 285C497 298 511 321 535 353 565 393 605 413 654 413 687 413 703 391 703 348 703 309 683 236 642 129 633 106 629 87 629 74 629 25 666-11 714-11 759-11 793 14 818 64 838 104 848 131 848 144 848 153 843 158 832 158 825 157 818 148 813 137 791 58 759 18 716 18 703 18 696 28 696 47 696 62 702 84 714 115 755 222 775 295 775 333 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292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(2940.5,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.104ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 3582 1083.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\prod_{m\ge1} (1-q^m)^{-1}"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="q^m" transform="translate(1000.2,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="q"><path data-c="1D45E" d="M372 377C352 420 321 442 280 442 215 442 158 409 109 342 63 280 40 216 40 149 40 62 90-13 173-13 209-13 245 4 282 38L241-126C238-141 229-150 215-153 210-154 197-155 174-155 168-156 164-156 162-156 153-157 148-165 148-179L148-183C151-190 157-194 165-194 184-194 244-191 263-191 282-191 345-194 364-194 378-194 385-186 385-170 385-160 375-155 356-155 338-155 313-156 313-144 313-140 314-133 317-123L452 427C452 436 447 441 438 441 420 441 382 391 372 377M340 373C349 352 354 338 354 329 354 328 353 322 351 313L327 216C308 144 299 107 298 105 279 70 224 16 176 16 137 16 117 46 117 105 117 151 148 263 162 300 181 347 225 412 280 412 307 412 327 399 340 373Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(535.3,363) scale(0.707)" data-latex="m"><path data-c="1D45A" d="M657 442C596 442 543 412 498 353 489 412 451 442 383 442 324 442 273 416 231 363 223 407 188 442 137 442 96 442 66 409 45 344 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 66 299 84 375 107 413 134 413 152 413 161 399 161 371 161 358 156 331 145 290L88 63C84 51 79 25 79 19 79-1 90-11 111-11 131-11 145-1 152 19 153 24 160 49 171 92L192 181 222 295C233 318 250 341 272 365 301 397 337 413 380 413 413 413 429 391 429 348 429 335 424 308 414 267L387 153C380 124 364 64 356 32 355 25 354 21 354 19 354-1 365-11 387-11 398-11 406-8 413-1 428 14 429 21 435 48L494 285C497 298 511 321 535 353 565 393 605 413 654 413 687 413 703 391 703 348 703 309 683 236 642 129 633 106 629 87 629 74 629 25 666-11 714-11 759-11 793 14 818 64 838 104 848 131 848 144 848 153 843 158 832 158 825 157 818 148 813 137 791 58 759 18 716 18 703 18 696 28 696 47 696 62 702 84 714 115 755 222 775 295 775 333 775 404 728 442 657 442Z"></path></g></g><g data-mml-node="msup" data-latex=")^{-1}" transform="translate(2206.4,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex=")"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,363) scale(0.707)" data-latex="{-1}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(778,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 的经典恒等式重新放进一个组合框架中。</p><p>1989 年的《分拆的映射与对称性》（Mappings and symmetries of partitions）又进一步用组合映射构造新的分拆恒等式，并把普通分拆与 Garvan 引入的向量分拆联系起来。</p><h3 id="二、加法数论与-Dyson-变换（Dyson-transform）"><a href="#二、加法数论与-Dyson-变换（Dyson-transform）" class="headerlink" title="二、加法数论与 Dyson 变换（Dyson transform）"></a>二、加法数论与 Dyson 变换（Dyson transform）</h3><p>Dyson 1945 年的《关于整数集密度的一个定理》（A theorem on the densities of sets of integers）属于加法数论。这一方向研究的是：若<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.42ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1953.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A,B \subseteq \mathbb{N}"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(750,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="B" transform="translate(1194.7,0)"><path data-c="1D435" d="M756 543C756 634 666 683 568 683L236 683C213 683 203 682 203 659 203 643 223 644 235 644 265 643 283 641 288 640 293 639 295 636 295 631 295 629 294 623 291 613L159 82C154 60 144 47 129 42 122 40 104 39 73 39 52 39 42 31 42 15 42 5 52 0 73 0L426 0C491 0 551 20 608 59 671 102 703 155 703 217 703 296 638 344 567 358 655 379 756 446 756 543M554 644C623 644 658 612 658 547 658 496 638 454 596 420 554 386 507 370 456 370L317 370 377 610C385 644 385 644 427 644M582 299C596 276 603 253 603 228 603 176 583 131 542 94 501 57 455 39 402 39L267 39C257 39 250 39 246 40 240 40 237 42 237 45 237 46 237 49 238 53 269 180 293 276 309 340L493 340C536 340 565 326 582 299Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.022ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1777.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A,B \subseteq \mathbb{N}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\subseteq"><path data-c="2286" d="M669 87 378 87C309 87 252 110 204 158 156 206 132 264 132 333 132 402 156 460 204 508 252 556 309 579 378 579L669 579C685 579 693 587 693 603 693 619 685 627 669 627L378 627C296 627 227 599 170 542 113 485 85 415 85 333 85 251 113 181 170 124 227 67 296 39 378 39L669 39C685 39 693 47 693 63 693 76 682 87 669 87M669-80 130-80C115-80 107-88 107-103 107-119 115-127 130-127L669-127C685-127 693-119 693-103 693-91 682-80 669-80Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{N}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1055.8,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="2115" d="M665 685 521 685C496 685 484 678 484 663 484 651 495 644 517 642 543 640 559 635 564 628 571 618 575 600 575 573L575 276 284 670C277 680 264 685 245 685L73 685C49 685 37 678 37 663 37 650 45 643 61 642 81 640 98 631 113 615 112 609 111 601 111 592L111 110C111 55 106 47 56 42 35 41 25 34 25 22 25 4 40 0 63 0L216 0C240 0 252 7 252 22 252 34 241 41 219 42 167 47 160 56 160 112L160 553 580-3C589-14 597-19 604-19 618-19 625-7 625 18L625 576C625 626 629 642 675 642 693 643 702 650 702 663 702 682 689 685 665 685M582 195 582 66 160 625C155 632 150 637 145 642L251 642Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> ，它们的和集</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:39.8ex"><svg style="vertical-align:-.566ex;min-width:39.8ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math" data-latex="
A + B = \{a + b: a \in A, b \in B\}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
A + B = \{a + b: a \in A, b \in B\}
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="6717.9 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="+" transform="translate(972.2,0)"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 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transform="translate(889,0)"></path></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>有多大？若一个集合足够 “稠密”，反复与自己相加以后，是否能覆盖全部足够大的整数？这类问题在 Schnirelmann、Landau、Mann 等人的工作中已相当重要。</p><p>这里最基本的量之一是 Schnirelmann 密度：若<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.814ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2128 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A(n)"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 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137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的元素个数，则</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:26.36ex"><svg style="vertical-align:-2.011ex;min-width:26.36ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.154ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1389)"><g data-mml-node="math" data-latex="
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\sigma(A) = \inf_{n \ge 1} \frac{A(n)}{n}
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A_1 + \cdots + A_h = \{a_1 + \cdots + a_h: a_i \in A_i \cup \{0\}\}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
A_1 + \cdots + A_h = \{a_1 + \cdots + a_h: a_i \in A_i \cup \{0\}\}
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="9893.7 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub" data-latex="A_1"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(783,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="+" transform="translate(1408.8,0)"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\cdots" transform="translate(2409,0)"><path data-c="22EF" d="M720 250C720 280 694 303 664 303 633 303 607 280 607 250 607 220 633 197 664 197 694 197 720 220 720 250M444 250C444 280 418 303 388 303 357 303 332 280 332 250 332 220 357 197 388 197 418 197 444 220 444 250M169 250C169 280 143 303 112 303 82 303 56 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id="三、拓扑：球面上的连续函数"><a href="#三、拓扑：球面上的连续函数" class="headerlink" title="三、拓扑：球面上的连续函数"></a>三、拓扑：球面上的连续函数</h3><p>Dyson 在 1951 年发表著名的短文《球面上的连续函数》（Continuous functions defined on spheres）。后来的文献通常把这篇文章的结论概括为 Dyson's theorem：若<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.249ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 552 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f: \mathbb{S}^2 \to \mathbb{R}"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705 400 705 357 665 334 586 329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411 204 400 214 395 235 395L295 395 222 8C211-49 201-91 192-119 180-156 163-175 141-175 126-175 114-171 103-164 135-159 151-140 151-108 151-82 138-69 111-69 77-69 53-99 53-133 53-177 94-205 141-205 166-205 189-195 208-174 240-141 265-94 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644 387 644 429 644Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(675,-150) scale(0.707)" data-latex="4"><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199 28 163 289 163 289 81C289 63 285 51 278 46 271 41 252 39 219 39L194 39 194 0C223 2 269 3 331 3 393 3 439 2 468 0L468 39 443 39C410 39 391 41 384 46 377 51 373 63 373 81L373 163 471 163 471 202 373 202 373 660C373 670 366 677 353 677M295 553 295 202 67 202Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(3075.3,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><p>后来的论文和相关文献都把这个结果视为球面上的一个 “等值内接图形” 定理，并指出它与 Kakutani 关于外接立方体的问题有关。</p><p>这个结果在今天看来很像 Borsuk–Ulam 型现象的一个具体几何实例。</p><h3 id="四、随机矩阵"><a href="#四、随机矩阵" class="headerlink" title="四、随机矩阵"></a>四、随机矩阵</h3><p>Dyson 最重要的数学工作大概是 1962 年围绕随机矩阵的一组论文，特别是《复杂系统能级的统计理论 I–III》（Statistical theory of the energy levels of complex systems I–III）和《三重道路》（The threefold way）。这组工作把谱统计和对称分类统一起来。</p><p>Dyson 证明，在量子体系的对称约束下，真正基本的矩阵系综（ensemble）只有三类：实对称型、复 Hermitian 型和四元数自对偶型；这三类后来被称为 GOE、GUE 和 GSE。</p><p>Dyson 在《三重道路》（The threefold way）中把这一分类与三种实系数除代数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.55ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -685 722 685"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{R}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{R}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="R"><path data-c="211D" d="M104 590 104 95C104 45 99 43 47 43 26 43 16 36 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -704 722 723"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{C}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{C}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="2102" d="M653 87C674 108 685 123 685 131 685 147 677 155 660 155 653 155 646 150 637 140 576 71 499 36 406 36 334 36 284 68 256 131 231 188 219 258 219 341 219 416 230 483 252 540 282 621 329 661 392 661 437 661 481 643 526 607 571 571 600 531 614 487 619 473 626 466 637 466 650 466 657 478 657 502L657 667C657 692 650 704 637 704 626 704 618 696 614 681 610 666 601 658 586 658 566 658 536 666 494 681 452 696 417 704 389 704 298 704 219 676 151 620 75 558 37 466 37 343 37 220 75 127 150 66 219 9 300-19 391-19 492-19 580 16 653 87M615 620 615 577C607 586 595 599 579 616L587 616C598 616 608 617 615 620M256 635C247 625 239 613 231 600 200 549 176 429 176 341 176 203 206 105 266 46 141 94 79 193 79 342 79 490 138 588 256 635Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 、<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.758ex" height="1.55ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -685 777 685"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{H}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{H}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="210D" d="M674 95 674 590C674 641 678 642 731 642 751 642 761 649 761 663 761 682 748 685 724 685L455 685C430 685 418 678 418 663 418 649 428 642 448 642 500 642 505 640 505 590L505 374 273 374 273 590C273 641 278 642 331 642 350 642 360 649 360 663 360 682 348 685 324 685L55 685C30 685 17 678 17 663 17 649 27 642 48 642 100 642 104 640 104 590L104 95C104 48 100 43 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-1339)"><g data-mml-node="math" data-latex="
d\mu_\beta(H) \propto \exp\left(-\frac{\beta}{4}\mathrm{Tr}(H^2)\right)dH,\quad \beta=1,2,4
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
d\mu_\beta(H) \propto \exp\left(-\frac{\beta}{4}\mathrm{Tr}(H^2 )\right)dH,\quad \beta=1,2,4
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647 211 646 221 645 229 644 234 644 264 643 281 641 286 640 291 639 294 636 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 46 128 41 121 39 103 38 72 38 50 38 41 37 41 15 41 4 47-1 59 0L183 3 309 0C325-1 333 8 333 23 333 33 322 38 301 38 261 38 241 43 241 52 241 52 242 54 244 68L308 327 423 327C492 327 527 298 527 241 527 232 522 210 513 174 502 132 497 104 497 89 497 13 556-22 632-22 660-22 687-9 714 16 741 41 755 68 755 96 755 106 750 111 739 111 732 111 726 106 723 95 712 64 698 41 682 28 666 15 651 8 636 8 613 8 601 27 601 64 601 88 604 125 611 176 614 197 615 212 615 223 615 276 587 315 531 339 625 362 739 429 739 531M609 616C629 603 639 581 639 550 639 530 635 507 626 480 599 398 531 357 422 357L316 357 379 610C384 631 392 642 403 643 408 644 428 644 463 644 528 644 566 642 609 616Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(792,-150) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 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style="vertical-align:-2.104ex;min-width:56.813ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.34ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1430.1)"><g data-mml-node="math" data-latex="
R_2(x_1, x_2) = 1 - s(r)^2 - \left( \int_r^\infty s(t) \, dt \right) \frac{ds(r)}{dr},
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R_2 (x_1 , x_2 ) = 1 - s(r)^2 - \left( \int_r^\infty s(t) \, dt \right) \frac{ds(r)}{dr},
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453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 个点电荷组成的 Coulomb 气体，它们一边做 Brownian 运动，一边受到彼此的静电排斥。今天所谓 <strong>Dyson Brownian motion</strong> 正是从这里来的。</p><h3 id="六、Dyson-conjecture：常数项恒等式"><a href="#六、Dyson-conjecture：常数项恒等式" class="headerlink" title="六、Dyson conjecture：常数项恒等式"></a>六、Dyson conjecture：常数项恒等式</h3><p>Dyson 在数学中留下名字的另一件重要事情，是后来称为 <strong>Dyson conjecture</strong> 的常数项恒等式。设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.312ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1464 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="CT"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="T" transform="translate(760,0)"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 表示取 Laurent 多项式的常数项。Dyson 在 1962 年猜想：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:52.575ex"><svg style="vertical-align:-2.694ex;min-width:52.575ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.519ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1690.7)"><g data-mml-node="math" data-latex="
CT\prod_{1\le i\neq j\le n}\left(1-\frac{x_i}{x_j}\right)^{a_i}=\frac{(a_1+\cdots+a_n)!}{a_1!\cdots a_n!}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
CT\prod_{1\le i\neq j\le n}\left(1-\frac{x_i}{x_j}\right)^{a_i}=\frac{(a_1+\cdots+a_n)!}{a_1!\cdots a_n!}
" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 1690.7) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="9041.1 -1690.7 1 2881.4"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,205.1)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="T" transform="translate(760,0)"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="munder" data-latex="\prod_{1\le i\neq j\le n}" transform="translate(1630.7,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex="\prod" transform="translate(842.7,0)"><path data-c="220F" d="M735-450 1221-450 1221-388C1158-388 1115-379 1092-361 1069-343 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data-mml-node="msub" data-latex="a_n" transform="translate(2352.9,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 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2881.4"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:14" transform="translate(0,953.1)"><text data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-748)"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(14)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="34" d="M353 677C344 677 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.023ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 452 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="q"><g data-mml-node="mi" data-latex="q"><path data-c="1D45E" d="M372 377C352 420 321 442 280 442 215 442 158 409 109 342 63 280 40 216 40 149 40 62 90-13 173-13 209-13 245 4 282 38L241-126C238-141 229-150 215-153 210-154 197-155 174-155 168-156 164-156 162-156 153-157 148-165 148-179L148-183C151-190 157-194 165-194 184-194 244-191 263-191 282-191 345-194 364-194 378-194 385-186 385-170 385-160 375-155 356-155 338-155 313-156 313-144 313-140 314-133 317-123L452 427C452 436 447 441 438 441 420 441 382 391 372 377M340 373C349 352 354 338 354 329 354 328 353 322 351 313L327 216C308 144 299 107 298 105 279 70 224 16 176 16 137 16 117 46 117 105 117 151 148 263 162 300 181 347 225 412 280 412 307 412 327 399 340 373Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>- 类比，而 Zeilberger 与 Bressoud 给出了它的组合证明。</p><p>Dyson conjecture 后来被看作 Macdonald 常数项猜想等一大批恒等式的前身。</p><h3 id="七、数学物理中的严格结果"><a href="#七、数学物理中的严格结果" class="headerlink" title="七、数学物理中的严格结果"></a>七、数学物理中的严格结果</h3><p>1976 年，他与 Lieb、Simon 合写的《量子 Heisenberg 模型的相变》（<em>Phase transitions in the quantum Heisenberg model</em>）。若在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.526ex" height="1.932ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -853.7 1116.7 853.7"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{Z}^d"><g data-mml-node="msup" data-latex="\mathbb{Z}^d"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{Z}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="Z"><path data-c="2124" d="M569 685 117 685C103 685 93 684 88 681 83 670 79 661 78 653 73 604 68 554 62 506 62 491 69 483 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122C301 111 294 99 285 87 248 42 212 19 177 19 138 19 118 49 118 108 118 132 124 168 136 216 157 301 187 359 224 390 244 407 263 415 282 415 309 415 329 402 341 376Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 上考虑最近邻铁磁 Heisenberg 模型，其 Hamiltonian 量通常写成（其中<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.49ex" height="1.952ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1100.5 862.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S_x"><g data-mml-node="msub" data-latex="S_x"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 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H = -J \sum_{\langle x,y\rangle} S_x \cdot S_y,\quad J>0
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
H = -J \sum_{\langle x,y\rangle} S_x \cdot S_y,\quad J>0
" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 1437.1) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="6116.6 -1437.1 1 2374.1"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,487.1)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 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109 62 91 114 94 113 96 114 100 114 130 114 155 137 155 167 155 198 130 219 100 219 65 219 50 200 50 163 50 63 131-22 231-22 292-22 344 0 386 44 428 88 449 141 449 202 449 260 432 310 398 353 361 400 315 423 259 423 212 423 171 408 138 378L138 556C165 548 191 544 218 544 264 544 304 555 338 578 369 597 390 616 402 634 408 642 411 648 411 651 411 661 406 666 396 666 341 645 294 634 256 634 211 634 168 643 127 662 122 664 118 665 114 665 105 665 100 656 100 637L100 345C100 324 100 315 118 315Z" transform="translate(889,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z" transform="translate(1389,0)"></path></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>Dyson–Lieb–Simon 的结论是：在维数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.176ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 520 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="d \ge 3"><g data-mml-node="mi" data-latex="d"><path data-c="1D451" d="M429 632 370 389C349 426 320 445 281 445 216 445 159 412 109 345 63 283 40 218 40 151 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 59 311 21 345-11 392-11 461-11 483 71 498 145 498 154 493 159 483 159 474 159 468 152 465 138 445 59 421 19 394 19 377 19 368 33 368 60 368 75 370 91 374 107L516 679 516 683C513 690 507 694 499 694 476 694 434 690 374 683 363 682 357 674 357 660 357 650 366 645 384 645 403 645 429 646 429 632M341 376C351 355 356 341 356 332 355 328 354 323 353 316L304 122C301 111 294 99 285 87 248 42 212 19 177 19 138 19 118 49 118 108 118 132 124 168 136 216 157 301 187 359 224 390 244 407 263 415 282 415 309 415 329 402 341 376Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="d \ge 3"><g data-mml-node="mo" data-latex="\ge"><path data-c="2265" d="M684 310C694 315 699 322 699 333 699 344 694 352 684 357L110 629C107 630 103 631 99 631 83 631 75 623 75 606 75 597 80 590 89 586L623 333 89 80C80 76 75 69 75 60 75 43 83 35 99 35 103 35 107 36 110 38M678-72 100-72C84-72 76-80 76-95 76-111 84-119 100-119L678-119C694-119 702-111 702-95 702-83 691-72 678-72Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="3" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 578 119 580 145 615 186 633 242 633 302 633 332 598 332 527 332 485 324 450 309 421 282 373 245 364 183 364 171 362 165 357 165 348 165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173 348 88 317 14 241 14 176 14 128 36 99 80 134 79 160 105 160 139 160 173 135 198 101 198 62 198 42 178 42 137 42 88 64 49 108 18 147-9 193-22 244-22 301-22 350-3 393 34 436 71 457 117 457 173 457 267 383 332 303 353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 时，这个量子模型在某个正温度下确实发生相变。</p><p>1976 年，Dyson、Lieb 和 Simon 首先发表了关于三维及更高维中最近邻铁磁量子 Heisenberg 模型存在非零温度相变的证明。随后，他们在更完整的工作中把该方法推广到了更广泛的量子自旋系统，其中也包括了若干反铁磁 Heisenberg 模型。这件事之所以重要，是因为它通过引入严格的数学结构，把 “相变确实存在” 从物理直觉变成了数学上的证明。</p></div></div><div class="footer"></div><div class="article-meta" id="bottom"><div class="new-meta-box"></div></div><div class="prev-next"><a class="prev" href="/notes/person/30"><p class="title"><i class="fa-solid fa-chevron-left" aria-hidden="true"></i>Poisson法国数学家泊松：生平与科学贡献概览</p><p class="content">本文介绍了法国数学家西蒙·丹尼斯·泊松的生平及其在数学物理、概率论等多个领域的开创性工作，包括泊松方程、泊松分布和泊松括号等重要概念</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/11.html" title="Ramanujan印度数学奇才的传奇一生：拉马努金的贡献与影响" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/98.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/98.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Ramanujan印度数学奇才的传奇一生：拉马努金的贡献与影响"> <span class="title">Ramanujan印度数学奇才的传奇一生：拉马努金的贡献与影响</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/13.html" title="Littlewood英国数学家李特尔伍德生平与数学贡献" 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