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Magicland","logo":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}},"url":"https://blog.mhuig.top/notes/person/30","wordCount":0,"datePublished":"2026-05-23T01:07:00.000Z","dateModified":"2026-05-23T01:10:00.000Z","articleSection":"历史","keywords":"History,人物,泊松,数学物理,概率论","image":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}}]</script></head><body itemscope="" itemtype="http://schema.org/WebPage"><pjax></pjax><header itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPHeader" id="l_header" class="l_header auto shadow floatable blur show" style="opacity:0"><div class="container"><div id="wrapper"><div class="nav-sub"><p class="title"></p><ul class="switcher nav-list-h m-phone" id="pjax-header-nav-list"><li><a id="s-comment" class="fa-solid fa-comments fa-fw" target="_self" title="comment"></a></li><li><a id="s-toc" class="s-toc fa-solid fa-list fa-fw" target="_self" 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="Poisson法国数学家泊松：生平与科学贡献概览"><meta itemprop="description" content="本文介绍了法国数学家西蒙·丹尼斯·泊松的生平及其在数学物理、概率论等多个领域的开创性工作，包括泊松方程、泊松分布和泊松括号等重要概念"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">Poisson</span></p><br><h1 hidden="">Poisson</h1><div class="story post-story"><h2 id="生平"><a href="#生平" class="headerlink" title="生平"></a>生平</h2><p>西蒙・丹尼斯・泊松（Siméon-Denis Poisson，1781-1840）于 1781 年出生在法国 Paris 以南约 80 公里的小城皮蒂维耶（Pithiviers）。法国大革命爆发时，Poisson 只有八岁。Poisson 的家庭并不属于传统学术精英阶层；他的父亲是一名退役军人，后来担任基层行政职务。</p><p>法国大革命之后，法国教育制度发生变化，像 Poisson 这样出身的学生获得了进入新式高等教育体系的机会。</p><p>Poisson 幼年时身体较弱。他的父亲对他的早期教育有很大影响，曾花费不少时间教他读书写字。起初，Poisson 的父亲希望他从事医学，因为医学职业相对稳定。Poisson 的一位叔父是 Fontainebleau（枫丹白露地区）的外科医生，于是 Poisson 曾被送到那里做外科学徒。</p><p>但他很快发现自己并不适合外科工作：一方面，他的手部协调能力较差，难以完成外科所需的精细操作；另一方面，他本人也对医学缺乏兴趣。</p><p>1796 年，Poisson 再次被送到 Fontainebleau，这一次进入当地的 École Centrale（中央学校）学习。在这里，他很快表现出突出的数学才能。1794 年，École Polytechnique（巴黎综合理工学院）的前身 École centrale des travaux publics（公共工程中央学校）成立，其目标是培养具有扎实科学基础的工程人才。</p><p>入学需要通过竞争性考试。在老师的鼓励下，Poisson 参加了 1798 年的入学考试，并取得第一名。</p><p>Poisson 进入 École Polytechnique 时，学校的教师和考官包括拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736-1813）、蒙日（Gaspard Monge，1746-1818）、拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749-1827），毕奥（Jean Baptiste Biot，1774-1862）和德・富克鲁瓦（Antoine-François de Fourcroy，1755-1809）等当时法国最重要的科学人物。这样的环境为 Poisson 早期进入数学研究提供了重要条件。</p><p>Laplace 和 Lagrange 很快注意到他的数学才能，后来也长期支持他的学术发展。</p><p>Poisson 在学生时期已经开始发表论文。他 18 岁时写了一篇关于有限差分（finite differences）的论文，引起了勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752-1833）的注意。</p><p>他还写过关于代数方程消元（elimination in algebraic equations）和 Bézout 定理（Bézout's theorem）的文章。</p><p>Bézout 定理（《Théorie générale des équations algébriques》，1779 年）大致说明，在适当条件下，两条代数曲线交点的数目可以用它们的次数相乘来计算。</p><p>Poisson 对这一问题给出了新的证明，这显示出他在代数计算和分析推理方面的能力。</p><p>不过，Poisson 也有明显的弱点。他几乎无法熟练画图，因此很难在 descriptive geometry（画法几何）这门课程中取得好成绩。由于 Gaspard Monge 的影响，descriptive geometry 在 École Polytechnique 中占有重要地位。如果 Poisson 准备进入工程或公共服务系统，这本来会成为严重障碍。</p><p>但对一个准备从事纯科学研究的人来说，绘图要求可以被豁免（也有说法是因为他的毕业论文太过出色）。因此，这一缺陷并没有阻止他的学术发展。</p><p>完成学业后，Poisson 留在 École Polytechnique 任职。1802 年，他开始临时代替傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier，1768-1830）承担教学任务。</p><p>1806 年，Poisson 年仅 25 岁时被任命为 École Polytechnique 的数学教授，正式接替 Fourier 的职位。</p><p>1808 年，他成为经度管理局（Bureau des Longitudes）的天文学家。1809 年，Napoleon 改组 Université Impériale（帝国大学），Poisson 被任命为第一位力学教授。</p><p>在 1808 及 1809 年他在科学院发表了三篇重要文章，其中《关于行星平均运动的长期不均等》（Mémoire sur les inégalités séculaires des moyens mouvements des planètes）是 Laplace 和 Lagrange 想要完成的关于行星扰动的问题。Poisson 的方法是用级数展开得到渐近解。</p><p>1809 年，Poisson 用 Lagrange 的任意常数变分法写了两篇文章《关于地球的自转运动》（Sur le mouvement de rotation de la terre）和《论力学问题中任意常数的变分》（Sur la variation des constantes arbitraires dans les questions de mécanique）。</p><p>1811 年，Poisson 将他在巴黎综合理工学院的讲义写成两本书《力学专论》（Traité de mécanique）。</p><p>1812 年，他进入 Académie des Sciences（法国科学院）的物理组。在 Académie des Sciences，Poisson 不只是研究者，也长期参与论文审查、报告撰写和成员遴选。他在法国科学共同体中有较大影响，但这种影响有时也引发争议。</p><p>较有代表性的事件是他与 Fourier 关于热传导理论优先权的争论。Poisson 曾较早读到 Fourier 提交给 Académie des Sciences 的热传导手稿，并在 1808 年发表了对其理论的详细介绍。</p><p>此后，Poisson 自己也发表了多篇关于三角级数（trigonometric series）和热理论的文章，而 Fourier 的正式著作《热的解析理论》（Théorie analytique de la chaleur）到 1822 年才出版。</p><p>两人的争论反映出 19 世纪初学术发表、评审与优先权之间的关系尚未形成今天这样明确的规范。</p><p>从 1820 年起直到去世，Poisson 还参与法国公共教育的组织工作。1822 年后，他担任皇家公共教育委员会（Conseil royal de l’instruction publique）的司库。</p><p>他主张在中学和大学层面维持数学教育的地位，同时也希望数学与物理能够并行发展。这一立场与他的研究风格一致：他经常从物理问题出发，使用分析方法建立方程和计算公式。</p><p>伽罗瓦（Évariste Galois，1811-1832）在被巴黎高等师范学校开除后重返数学研究，随后 Poisson 请他提交关于方程论（theory of equations）的研究成果；Galois 于 1831 年 1 月 17 日提交了这份手稿。</p><p>同年 7 月初，Poisson 认为 Galois 的工作 “令人费解” 且 “论证既不够清晰，也未得到充分展开，致使我们无法对其严谨性做出评判”，但也鼓励他 “因此，我们建议作者将其全部研究成果公之于众，以便学界形成最终定论”。</p><p>尽管 Poisson 的评审报告早在 Galois 于 7 月 14 日被捕之前便已完成，但直到 10 月才辗转送达狱中的 Galois 手中。鉴于 Galois 当时的性格与处境，他当即决定放弃通过科学院发表论文的途径，转而委托友人谢瓦利埃（Auguste Chevalier）以私人名义出版。</p><p>然而，Galois 并未对 Poisson 的建议置之不理。身陷囹圄之际，他便着手整理所有的数学手稿，并持续对其中的思想进行打磨与完善，直至 1832 年 4 月 29 日获释。</p><p>Poisson 于 1840 年去世，享年 58 岁。他成年后主要在 Paris 活动，几乎不旅行。但他的论文和著作在德国、英国和俄国等地广泛传播，一些著作被翻译，文章也被海外期刊摘录或介绍。</p><p>他在国外的名气比他在法国还要大。他喜欢说：“人生只有两样美好的事情：发现数学和教数学（La vie n'est bonne qu'à deux choses: découvrir les mathématiques et enseigner les mathématiques）。”</p><p>Poisson 一生发表了三百多篇文章。整体来看，Poisson 的学术活动集中在数学物理、力学、概率论、势论和分析等方向。</p><p>他的一些物理解释后来被修正或否定，但他建立的方程、公式和计算方法在数学中留下了持续影响。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="贡献"><a href="#贡献" class="headerlink" title="贡献"></a>贡献</h2><h3 id="一、Poisson-方程（Poisson-equation）与势论（potential-theory）"><a href="#一、Poisson-方程（Poisson-equation）与势论（potential-theory）" class="headerlink" title="一、Poisson 方程（Poisson equation）与势论（potential theory）"></a>一、Poisson 方程（Poisson equation）与势论（potential theory）</h3><p>1811 年，法国科学院物理学部的马吕斯（Étienne Louis Malus，1775-1812）身体很不好，数学教授们希望 Poisson 代替这个职位。于是提出一个关于电的大奖，希望他得到奖金从而坐上这个位置。</p><p>他们出的题目是：“通过计算确定并通过实验确认电在孤立或者处于彼此电场的带电体表面上的分布方式 —— 例如在彼此存在的两个带电球体的表面上。为了简化问题，评审委员会只要求检查每个表面上传播的电始终保持相同类型的情况。”</p><p>1812 年 2 月 24 日 Malus 去世，Poisson<br>在 3 月 9 日向法国科学院递交了他的解决方<br>案的第一部分，论文题目是《关于导电体表<br>面的电分布》（Mémoire sur la distribution de<br>l'électricité à la surface des corps conducteurs）<br>。他因此得到了 Malus 留下的教授职位，科<br>学院的物理方向从此也从实验走向理论，这<br>个方向正是 Laplace 所希望的。</p><p>Poisson 在 1811-1813 年间研究静电学（electrostatics），尝试用分析方法确定带电体上的电荷分布。</p><p>1823 年在《关于运动磁性的理论》（Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement）中，他写出了势函数在带电体内部、外部以及表面附近满足的方程。这里的 “势函数（potential function）” 可以理解为一个标量函数：知道它之后，可以通过求导得到相应的力场或电场。</p><p>在三维空间中，若势函数记为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.974ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 3966.3 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="V(x,y,z)"><g data-mml-node="mi" data-latex="V"><path data-c="1D449" d="M671 680C652 680 592 683 573 683 558 683 550 675 550 660 550 650 557 645 570 644 598 643 612 633 612 616 612 607 607 595 598 580L300 107 234 619C234 636 255 644 298 644 318 644 327 651 327 668 327 678 321 683 309 683 287 683 209 680 187 680 167 680 99 683 79 683 64 683 56 675 56 660 56 649 66 644 85 644 102 644 114 642 122 640 138 635 137 633 140 614L218 4C221-13 229-22 242-22 255-22 265-15 273-2L629 564C652 600 674 623 696 632 711 639 730 643 752 644 763 645 768 652 769 667 770 678 764 683 752 683 737 683 686 680 671 680Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(770,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 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data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1731,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="y" transform="translate(2175.7,0)"><path data-c="1D466" d="M163 442C118 442 83 417 58 367 39 328 29 301 29 286 29 277 34 272 45 272 59 272 60 278 64 293 87 372 119 412 160 412 173 412 180 403 180 385 180 369 175 346 164 317 126 214 107 145 107 108 107 32 154-13 231-13 264-13 295-1 323 23 288-109 233-175 158-175 124-175 101-164 89-142 129-140 149-121 149-85 149-60 136-47 109-47 72-47 50-78 50-115 50-170 100-205 158-205 273-205 367-99 392-1L486 377C489 388 490 396 490 401 490 421 479 431 458 431 442 431 429 423 420 408 414 387 409 369 406 354L342 97C332 61 279 16 234 16 196 16 177 41 177 92 177 134 194 198 227 284 240 319 247 343 247 357 247 406 212 442 163 442Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(2665.7,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="z" transform="translate(3110.3,0)"><path data-c="1D467" d="M162 92 145 90C193 137 230 171 255 194L351 283C374 304 398 330 421 359 452 397 467 420 467 428 467 437 462 442 452 442 445 442 439 438 434 429 409 388 386 368 364 368 342 368 326 386 317 398 293 427 269 442 246 442 220 442 193 430 165 404 137 378 123 352 123 326 123 316 128 311 139 311 146 311 152 316 156 325 167 354 194 368 235 368 249 368 269 363 296 354 320 345 343 340 364 339 308 284 265 244 234 217L145 134C130 119 111 99 90 74 59 35 43 12 43 3 43-6 48-11 59-11 65-11 71-6 78 4 103 43 130 63 158 63 174 63 192 51 212 26 232 1 255-11 278-11 312-11 346 7 382 42 418 77 436 111 436 144 436 153 431 158 420 158 413 158 407 153 402 143 387 100 344 63 288 63 264 63 186 92 162 92Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(3577.3,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，常用的 Laplace 算子定义为</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:36.947ex"><svg style="vertical-align:-2.189ex;min-width:36.947ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.509ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1467.4)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\Delta V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\Delta V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1467.4) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="6087.2 -1467.4 1 2434.9"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-42.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Delta"><path data-c="394" d="M759 0C776 0 785 4 785 13L445 696C438 709 429 716 416 716 403 716 394 709 387 696L52 25C49 18 47 14 47 12 47 4 56 0 73 0M384 604 644 83 124 83Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="V" transform="translate(833,0)"><path data-c="1D449" d="M671 680C652 680 592 683 573 683 558 683 550 675 550 660 550 650 557 645 570 644 598 643 612 633 612 616 612 607 607 595 598 580L300 107 234 619C234 636 255 644 298 644 318 644 327 651 327 668 327 678 321 683 309 683 287 683 209 680 187 680 167 680 99 683 79 683 64 683 56 675 56 660 56 649 66 644 85 644 102 644 114 642 122 640 138 635 137 633 140 614L218 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表示由电荷密度或其他源项决定的函数。在静电学的某些单位制中，常写作</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:21.397ex"><svg style="vertical-align:-.566ex;min-width:21.397ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math" data-latex="
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\Delta V = -4\pi\rho
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="2650.8 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Delta"><path data-c="394" d="M759 0C776 0 785 4 785 13L445 696C438 709 429 716 416 716 403 716 394 709 387 696L52 25C49 18 47 14 47 12 47 4 56 0 73 0M384 604 644 83 124 83Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="V" transform="translate(833,0)"><path data-c="1D449" d="M671 680C652 680 592 683 573 683 558 683 550 675 550 660 550 650 557 645 570 644 598 643 612 633 612 616 612 607 607 595 598 580L300 107 234 619C234 636 255 644 298 644 318 644 327 651 327 668 327 678 321 683 309 683 287 683 209 680 187 680 167 680 99 683 79 683 64 683 56 675 56 660 56 649 66 644 85 644 102 644 114 642 122 640 138 635 137 633 140 614L218 4C221-13 229-22 242-22 255-22 265-15 273-2L629 564C652 600 674 623 696 632 711 639 730 643 752 644 763 645 768 652 769 667 770 678 764 683 752 683 737 683 686 680 671 680Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="=" transform="translate(1880.8,0)"><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="-" transform="translate(2936.6,0)"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="4" transform="translate(3714.6,0)"><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199 28 163 289 163 289 81C289 63 285 51 278 46 271 41 252 39 219 39L194 39 194 0C223 2 269 3 331 3 393 3 439 2 468 0L468 39 443 39C410 39 391 41 384 46 377 51 373 63 373 81L373 163 471 163 471 202 373 202 373 660C373 670 366 677 353 677M295 553 295 202 67 202Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi" transform="translate(4214.6,0)"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\rho" transform="translate(4784.6,0)"><path data-c="1D70C" d="M361 442C248 442 154 320 129 220L33-169C31-177 30-182 30-185 30-206 40-216 61-216 76-216 89-208 99-193L160 46C183 7 215-13 256-13 322-13 380 19 431 84 478 145 502 210 502 277 502 368 449 442 361 442M359 412C402 412 423 381 423 319 423 292 417 257 406 212 384 127 353 70 314 40 293 24 274 16 255 16 236 16 219 23 206 36 185 57 175 79 175 100 176 107 178 119 182 136 205 231 225 292 241 320 276 381 315 412 359 412Z"></path></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -750 1 1000"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:4"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(4)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199 28 163 289 163 289 81C289 63 285 51 278 46 271 41 252 39 219 39L194 39 194 0C223 2 269 3 331 3 393 3 439 2 468 0L468 39 443 39C410 39 391 41 384 46 377 51 373 63 373 81L373 163 471 163 471 202 373 202 373 660C373 670 366 677 353 677M295 553 295 202 67 202Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z" transform="translate(889,0)"></path></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>其中<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.489ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.17ex" height="1.489ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 517 658"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\rho"><g data-mml-node="mi" data-latex="\rho"><path data-c="1D70C" d="M361 442C248 442 154 320 129 220L33-169C31-177 30-182 30-185 30-206 40-216 61-216 76-216 89-208 99-193L160 46C183 7 215-13 256-13 322-13 380 19 431 84 478 145 502 210 502 277 502 368 449 442 361 442M359 412C402 412 423 381 423 319 423 292 417 257 406 212 384 127 353 70 314 40 293 24 274 16 255 16 236 16 219 23 206 36 185 57 175 79 175 100 176 107 178 119 182 136 205 231 225 292 241 320 276 381 315 412 359 412Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是电荷密度。常数和符号会随单位制与势函数定义而变化，但关键思想是：场的分布可以转化为一个偏微分方程（partial differential equation）。</p><p>这个工作在当时重要，是因为它把静电和磁性的物理问题转化成可以计算和分析的方程问题。可以把 Poisson 方程理解为 “已知源项<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.249ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 552 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705 400 705 357 665 334 586 329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411 204 400 214 395 235 395L295 395 222 8C211-49 201-91 192-119 180-156 163-175 141-175 126-175 114-171 103-164 135-159 151-140 151-108 151-82 138-69 111-69 77-69 53-99 53-133 53-177 94-205 141-205 166-205 189-195 208-174 240-141 265-94 283-31 294 8 304 46 311 84L369 395 451 395C474 395 484 396 484 419 484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644 430 665 444 675 462 675 477 675 490 671 501 664 470 657 454 639 454 608 454 582 467 569 494 569 528 569 552 599 552 633Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，求一个函数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.742ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 770 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="V"><g data-mml-node="mi" data-latex="V"><path data-c="1D449" d="M671 680C652 680 592 683 573 683 558 683 550 675 550 660 550 650 557 645 570 644 598 643 612 633 612 616 612 607 607 595 598 580L300 107 234 619C234 636 255 644 298 644 318 644 327 651 327 668 327 678 321 683 309 683 287 683 209 680 187 680 167 680 99 683 79 683 64 683 56 675 56 660 56 649 66 644 85 644 102 644 114 642 122 640 138 635 137 633 140 614L218 4C221-13 229-22 242-22 255-22 265-15 273-2L629 564C652 600 674 623 696 632 711 639 730 643 752 644 763 645 768 652 769 667 770 678 764 683 752 683 737 683 686 680 671 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，使它的二阶导数组合等于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.249ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 552 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705 400 705 357 665 334 586 329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411 204 400 214 395 235 395L295 395 222 8C211-49 201-91 192-119 180-156 163-175 141-175 126-175 114-171 103-164 135-159 151-140 151-108 151-82 138-69 111-69 77-69 53-99 53-133 53-177 94-205 141-205 166-205 189-195 208-174 240-141 265-94 283-31 294 8 304 46 311 84L369 395 451 395C474 395 484 396 484 419 484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644 430 665 444 675 462 675 477 675 490 671 501 664 470 657 454 639 454 608 454 582 467 569 494 569 528 569 552 599 552 633Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ”。</p><p>这类问题后来成为边值问题（boundary value problem）和位势论（potential theory）的核心内容，也影响了格林（George Green，1793-1841）等人的研究。</p><h3 id="二、Poisson-比（Poisson-s-ratio）与弹性理论"><a href="#二、Poisson-比（Poisson-s-ratio）与弹性理论" class="headerlink" title="二、Poisson 比（Poisson's ratio）与弹性理论"></a>二、Poisson 比（Poisson's ratio）与弹性理论</h3><p>Poisson 在弹性理论中引入了后来被称为 Poisson 比（Poisson's ratio） 的无量纲量。考虑一根材料棒沿长度方向被拉伸。若长度从<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.541ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 681 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="L"><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 15 39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248 643 258 638 263 627 263 617 263 612 254 607 240 588 191 570 154 555 131 518 75 455 39 363 39L270 39C259 39 252 39 249 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L377 601C383 624 396 637 415 642 421 643 442 644 478 644 506 644 520 644 520 667Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 变为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.541ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 681 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="L+\Delta L"><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 15 39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248 643 258 638 263 627 263 617 263 612 254 607 240 588 191 570 154 555 131 518 75 455 39 363 39L270 39C259 39 252 39 249 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L377 601C383 624 396 637 415 642 421 643 442 644 478 644 506 644 520 644 520 667Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.688ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2514.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="L+\Delta L"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\Delta" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="394" d="M759 0C776 0 785 4 785 13L445 696C438 709 429 716 416 716 403 716 394 709 387 696L52 25C49 18 47 14 47 12 47 4 56 0 73 0M384 604 644 83 124 83Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="L" transform="translate(1833.2,0)"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 15 39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248 643 258 638 263 627 263 617 263 612 254 607 240 588 191 570 154 555 131 518 75 455 39 363 39L270 39C259 39 252 39 249 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L377 601C383 624 396 637 415 642 421 643 442 644 478 644 506 644 520 644 520 667Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，则纵向应变（longitudinal strain）为：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:18.883ex"><svg style="vertical-align:-1.785ex;min-width:18.883ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="4.701ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1289)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\varepsilon_{\parallel} = \frac{\Delta L}{L}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\varepsilon_{\parallel} = \frac{\Delta L}{L}
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1289) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="2095.1 -1289 1 2078"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-103)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub" data-latex="\varepsilon_{\parallel}"><g data-mml-node="mi" data-latex="\varepsilon"><path data-c="1D700" d="M429 393C429 405 416 418 388 432 360 446 330 453 299 453 250 453 202 441 157 418 103 390 76 353 76 308 76 282 88 259 112 239 71 214 26 165 26 106 26 24 104-22 190-22 239-22 280-11 313 10 356 37 378 62 378 83 378 92 373 97 363 97 358 97 354 94 350 88 325 44 286 31 199 31 176 31 154 33 134 37 97 44 59 71 59 112 59 161 105 204 143 222 165 213 193 209 227 209 282 209 310 221 310 244 310 264 285 274 235 274 201 274 171 268 144 256 120 269 108 286 108 308 108 339 132 364 179 381 214 394 251 400 289 400 322 400 352 391 377 373 387 366 394 363 399 363 414 363 429 378 429 393M235 245C246 245 256 244 266 242 256 240 243 239 227 239 214 239 202 239 193 240 206 243 220 245 235 245Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,-176.7) scale(0.707)" data-latex="{\parallel}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo" data-latex="\parallel"><path data-c="2225" d="M344-250C359-250 367-242 367-226L367 726C367 742 359 750 344 750 329 750 321 742 321 726L321-226C321-242 329-250 344-250M156-250C171-250 179-242 179-226L179 726C179 742 171 750 156 750 141 750 133 742 133 726L133-226C133-242 141-250 156-250Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="=" transform="translate(1180.3,0)"><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{\Delta L}{L}" 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，则横向应变（transverse strain）为</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:20.158ex"><svg style="vertical-align:-1.81ex;min-width:20.158ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="4.751ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1300)"><g data-mml-node="math" data-latex="
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"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
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" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1300) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="2376.8 -1300 1 2100"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-92)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub" data-latex="\varepsilon_{\perp}"><g data-mml-node="mi" data-latex="\varepsilon"><path data-c="1D700" d="M429 393C429 405 416 418 388 432 360 446 330 453 299 453 250 453 202 441 157 418 103 390 76 353 76 308 76 282 88 259 112 239 71 214 26 165 26 106 26 24 104-22 190-22 239-22 280-11 313 10 356 37 378 62 378 83 378 92 373 97 363 97 358 97 354 94 350 88 325 44 286 31 199 31 176 31 154 33 134 37 97 44 59 71 59 112 59 161 105 204 143 222 165 213 193 209 227 209 282 209 310 221 310 244 310 264 285 274 235 274 201 274 171 268 144 256 120 269 108 286 108 308 108 339 132 364 179 381 214 394 251 400 289 400 322 400 352 391 377 373 387 366 394 363 399 363 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146 560 205 560L401 560 295 410C214 295 174 171 174 36 174-3 190-22 223-22 256-22 272-3 272 36L272 87C272 239 296 349 343 416Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z" transform="translate(889,0)"></path></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>这里的负号是为了使常见材料在拉伸时<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.186ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 524 442"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\nu"><g data-mml-node="mi" data-latex="\nu"><path data-c="1D708" d="M142 380C142 378 141 370 138 357 110 243 81 130 53 16 53 5 60 0 73 0L87 0C188 17 281 66 366 145 405 182 438 222 464 266 504 333 524 382 524 412 524 432 513 442 492 442 470 442 456 430 449 407 420 300 372 216 306 153 250 100 193 63 134 42L229 427 229 431C226 438 220 442 212 442 179 442 106 433 93 432 78 430 70 423 70 409 70 398 79 393 97 393 116 393 142 394 142 380Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为正：材料被拉长时，横向通常变窄，所以<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.487ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1099.1 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\varepsilon_{\perp} < 0"><g data-mml-node="msub" data-latex="\varepsilon_{\perp}"><g data-mml-node="mi" data-latex="\varepsilon"><path data-c="1D700" d="M429 393C429 405 416 418 388 432 360 446 330 453 299 453 250 453 202 441 157 418 103 390 76 353 76 308 76 282 88 259 112 239 71 214 26 165 26 106 26 24 104-22 190-22 239-22 280-11 313 10 356 37 378 62 378 83 378 92 373 97 363 97 358 97 354 94 350 88 325 44 286 31 199 31 176 31 154 33 134 37 97 44 59 71 59 112 59 161 105 204 143 222 165 213 193 209 227 209 282 209 310 221 310 244 310 264 285 274 235 274 201 274 171 268 144 256 120 269 108 286 108 308 108 339 132 364 179 381 214 394 251 400 289 400 322 400 352 391 377 373 387 366 394 363 399 363 414 363 429 378 429 393M235 245C246 245 256 244 266 242 256 240 243 239 227 239 214 239 202 239 193 240 206 243 220 245 235 245Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,-150) scale(0.707)" data-latex="{\perp}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo" data-latex="\perp"><path data-c="27C2" d="M698 47 413 47 413 660C413 676 405 684 389 684 373 684 365 676 365 660L365 47 80 47C64 47 56 39 56 24 56 8 64 0 80 0L698 0C714 0 722 8 722 24 722 36 711 47 698 47Z"></path></g></g></g></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\varepsilon_{\perp} < 0"><g data-mml-node="mo" data-latex="<"><path data-c="3C" d="M666-45C683-52 701-39 701-23 701-13 696-6 687-2L153 250 687 502C696 506 701 513 701 522 701 539 693 547 677 547 673 547 669 546 666 545L92 273C82 268 77 261 77 250 77 239 82 232 92 227Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，而<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.8ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.042ex" height="2.497ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 902.6 1103.5"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\varepsilon_{\parallel} > 0"><g data-mml-node="msub" data-latex="\varepsilon_{\parallel}"><g data-mml-node="mi" data-latex="\varepsilon"><path data-c="1D700" d="M429 393C429 405 416 418 388 432 360 446 330 453 299 453 250 453 202 441 157 418 103 390 76 353 76 308 76 282 88 259 112 239 71 214 26 165 26 106 26 24 104-22 190-22 239-22 280-11 313 10 356 37 378 62 378 83 378 92 373 97 363 97 358 97 354 94 350 88 325 44 286 31 199 31 176 31 154 33 134 37 97 44 59 71 59 112 59 161 105 204 143 222 165 213 193 209 227 209 282 209 310 221 310 244 310 264 285 274 235 274 201 274 171 268 144 256 120 269 108 286 108 308 108 339 132 364 179 381 214 394 251 400 289 400 322 400 352 391 377 373 387 366 394 363 399 363 414 363 429 378 429 393M235 245C246 245 256 244 266 242 256 240 243 239 227 239 214 239 202 239 193 240 206 243 220 245 235 245Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,-176.7) scale(0.707)" data-latex="{\parallel}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo" data-latex="\parallel"><path data-c="2225" d="M344-250C359-250 367-242 367-226L367 726C367 742 359 750 344 750 329 750 321 742 321 726L321-226C321-242 329-250 344-250M156-250C171-250 179-242 179-226L179 726C179 742 171 750 156 750 141 750 133 742 133 726L133-226C133-242 141-250 156-250Z"></path></g></g></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\varepsilon_{\parallel} > 0"><g data-mml-node="mo" data-latex=">"><path data-c="3E" d="M686 227C696 232 701 239 701 250 701 261 696 268 686 273L112 545C109 546 105 547 101 547 85 547 77 539 77 522 77 513 82 506 91 502L625 250 91-2C82-6 77-13 77-22 77-39 85-47 101-47 105-47 109-46 112-45Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><p>Poisson 最初根据分子相互作用模型认为这个比值应当是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.394ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1500 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="1/2"><g data-mml-node="mn" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(500,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex="/"><path data-c="2F" d="M444 718C445 720 445 723 445 726 445 742 437 750 421 750 410 750 403 745 399 734L57-218C56-220 56-223 56-226 56-242 64-250 80-250 91-250 98-245 102-234Z"></path></g></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(1000,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，并引用了当时若干实验结果。</p><p>后来的实验表明，不同材料的 Poisson 比并不相同。在常见的各向同性线弹性模型（isotropic linear elasticity）中，稳定性条件给出大致范围</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:21.641ex"><svg style="vertical-align:-1.729ex;min-width:21.641ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="4.588ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1264)"><g data-mml-node="math" data-latex="
-1 \le \nu \le \frac{1}{2}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
-1 \le \nu \le \frac{1}{2}
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1264) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="2704.6 -1264 1 2028"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-78)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(778,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\le" transform="translate(1555.8,0)"><path data-c="2264" d="M668 38C686 29 703 44 703 60 703 69 698 76 689 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比材料的研究使这个概念在复合材料、医学植入物和力学设计中重新受到关注。</p><h3 id="三、Poisson-光斑（Poisson’s-spot）与光学中的计算预言"><a href="#三、Poisson-光斑（Poisson’s-spot）与光学中的计算预言" class="headerlink" title="三、Poisson 光斑（Poisson’s spot）与光学中的计算预言"></a>三、Poisson 光斑（Poisson’s spot）与光学中的计算预言</h3><p>Poisson 光斑不是一个成功的 Poisson 理论，而是一个具有历史意义的计算结果。1817 年，法国科学院评审关于光的衍射（diffraction）的大奖论文，当时 Poisson 是评委之一。</p><p>工程师菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel，1788-1827）提交的工作基于波动理论（wave theory），而 Poisson 倾向于认为光学现象可以由分子相互作用或粒子式解释说明。</p><p>作为评审委员，Poisson 从 Fresnel 的公式推出一个看似反直觉的结论：如果用点光源照射一个圆盘，在圆盘阴影中心应出现亮点。Poisson 原本希望这个结论能显示 Fresnel 理论的不合理性。</p><p>评委会主席阿拉戈（Dominique-François-Jean Arago，1786-1853）精心设计了一个实验，确认了阴影中心确实出现了亮点。Arago 后来发现，早在 1720 年左右就有人（Joseph-Nicolas Delisle 和 Giacomo Filippo Maraldi）发现这一现象。</p><p>它的重要性在于：数学推导给出了一个具体、可检验的实验预言，而实验结果反过来支持了 Fresnel 的波动理论。人们为了纪念这一极具戏剧性事实，后来就把这一现象称为 Poisson 光斑。</p><h3 id="四、Poisson-分布（Poisson-distribution）与稀有事件计数"><a href="#四、Poisson-分布（Poisson-distribution）与稀有事件计数" class="headerlink" title="四、Poisson 分布（Poisson distribution）与稀有事件计数"></a>四、Poisson 分布（Poisson distribution）与稀有事件计数</h3><p>Poisson 的名字在概率论中最常见的出现，是 Poisson 分布（Poisson distribution）。若随机变量（random variable）<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.925ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 851 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 表示某一固定时间或空间范围内事件发生的次数，并且事件平均发生次数为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.319ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 583 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lambda > 0"><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lambda > 0"><g data-mml-node="mo" data-latex=">"><path data-c="3E" d="M686 227C696 232 701 239 701 250 701 261 696 268 686 273L112 545C109 546 105 547 101 547 85 547 77 539 77 522 77 513 82 506 91 502L625 250 91-2C82-6 77-13 77-22 77-39 85-47 101-47 105-47 109-46 112-45Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，则 Poisson 分布写为</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:43.706ex"><svg style="vertical-align:-1.953ex;min-width:43.706ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.038ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1363.4)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\mathbb{P}[X = k] = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!},\quad k = 0,1,2,\dots
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
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transform="translate(389,0)"></path><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z" transform="translate(889,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z" transform="translate(1389,0)"></path></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>也就是说，它的期望（mean）和方差（variance）相同。</p><p>对本科生来说，一个常见理解方式是把它看作二项分布（binomial distribution）的极限：若有<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 次机会，每次事件发生概率为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.808ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1683 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lambda/n"><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(583,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex="/"><path data-c="2F" d="M444 718C445 720 445 723 445 726 445 742 437 750 421 750 410 750 403 745 399 734L57-218C56-220 56-223 56-226 56-242 64-250 80-250 91-250 98-245 102-234Z"></path></g></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(1083,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，当<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 很大而单次概率很小时，固定次数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.179ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 521 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k"><g data-mml-node="mi" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 104-11 117-3 124 12 129 21 147 92 179 226 231 221 286 196 286 146 286 131 279 101 279 91 279 34 316-11 373-11 431-11 470 41 490 145 490 154 485 159 475 159 466 159 460 152 457 138 435 59 408 19 375 19 357 19 348 33 348 61 348 77 360 131 360 147 360 204 314 239 221 253 244 269 270 292 298 322 326 352 346 371 359 382 386 404 412 415 435 415 445 415 453 413 459 409 432 404 409 379 409 353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的概率满足</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:45.147ex"><svg style="vertical-align:-2.131ex;min-width:45.147ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.393ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1441.9)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\binom{n}{k}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \to e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
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" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 1441.9) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="7399.5 -1441.9 1 2383.8"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-145.9)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mrow" data-latex="\binom{n}{k}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\biggl (" data-mjx-texclass="OPEN"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M588-796C601-796 608-789 608-776 608-770 606-765 601-760 500-684 420-552 361-365 310-206 285-51 285 101L285 399C285 551 310 706 361 865 420 1052 500 1184 601 1260 606 1265 608 1270 608 1276 608 1289 601 1296 588 1296 583 1296 579 1295 576 1292 464 1207 372 1071 300 886 234 717 201 554 201 399L201 101C201-54 234-217 300-386 372-571 464-707 576-792 579-795 583-796 588-796Z"></path></g></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(663,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="n" 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class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:54.076ex"><svg style="vertical-align:-1.953ex;min-width:54.076ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.038ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1363.4)"><g data-mml-node="math" data-latex="
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"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
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" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 1363.4) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="9372.8 -1363.4 1 2226.7"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-166.4)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 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209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 服从泊松分布，简记作<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.925ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 851 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X \sim P(\lambda)"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.162ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3165.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X \sim P(\lambda)"><g data-mml-node="mo" data-latex="\sim"><path data-c="223C" d="M597 143C674 166 714 235 717 350 717 361 712 366 701 366 691 366 686 361 685 351 684 308 675 275 657 251 637 224 592 194 548 194 518 194 486 207 453 233 434 248 418 261 406 271 335 333 274 364 222 364 207 364 192 362 177 357 92 332 59 262 56 150 56 139 61 134 72 134 82 134 87 139 88 149 89 192 98 225 116 249 135 275 182 306 225 306 255 306 287 293 320 267 339 252 355 239 367 229 438 167 499 136 551 136 566 136 582 138 597 143Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="P" transform="translate(1050.8,0)"><path data-c="1D443" d="M555 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C152 60 142 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 46 0 59 0L184 3 248 2C259 2 299 0 312 0 328 0 336 8 336 24 336 34 325 39 304 39 264 39 244 43 244 52 244 52 245 55 247 68L307 312 472 312C537 312 599 332 657 371 722 414 754 467 754 530 754 629 660 683 555 683M524 644C611 644 654 614 654 554 654 498 626 423 597 397 559 363 509 346 447 346L313 346 379 610C387 644 387 644 429 644Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(1804.8,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda" transform="translate(2193.8,0)"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2776.8,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><p>Poisson 并不是第一个研究概率问题的人；帕斯卡（Blaise Pascal，1623-1662）、惠更斯（Christiaan Huygens，1629-1695）、棣莫弗（Abraham de Moivre，1667-1754）、德・布丰（Georges-Louis Leclerc de Buffon，1707-1788）和 Laplace 等都曾推动概率论发展。</p><p>但 Poisson 分布的现代形式首次出现在 Poisson 1829 年关于新生儿性别比例的论文中，并在他 1837 年《刑事和民事案件判决中的概率研究》（Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et matière civile）中再次出现。</p><p>这个工作的重要性在于，它把概率论应用到大量事件的统计规律上，推动了概率方法进入社会统计和自然现象建模。</p><h3 id="五、Poisson-求和公式（Poisson-summation-formula）与-Fourier-分析"><a href="#五、Poisson-求和公式（Poisson-summation-formula）与-Fourier-分析" class="headerlink" title="五、Poisson 求和公式（Poisson summation formula）与 Fourier 分析"></a>五、Poisson 求和公式（Poisson summation formula）与 Fourier 分析</h3><p>Poisson 求和公式（Poisson summation formula）影响了数学达二百多年之久，Euler 大概已经知道它的雏形。</p><p>Poisson 求和公式，影响到十九世纪中叶 Eisenstein 及 Riemann 对<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数所满足的泛函方程（functional equation），也影响到二十世纪的迹公式（trace formula）的发展（著名的 Selberg 迹公式（Selberg trace formula）属于此类）。</p><p>它的现代形式是</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:30.703ex"><svg style="vertical-align:-2.06ex;min-width:30.703ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.251ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1410.4)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\sum_{n\in\mathbb{Z} } f(n) = \sum_{n\in\mathbb{Z} } \hat{f}(n)
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
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" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 1410.4) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="4207.4 -1410.4 1 2320.8"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,321.4)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="munder" data-latex="\sum_{n\in\mathbb{Z}}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\sum"><path data-c="2211" d="M1265-450 1389-124 1355-124C1336-174 1304-216 1258-250 1145-334 1000-356 791-356L200-356 700 232C707 239 710 246 710 251L244 894 781 894C970 894 1127 870 1230 804 1290 766 1332 719 1356 663L1389 663 1265 950 88 950C70 950 60 947 57 941 56 938 56 926 56 905L581 187 68-415C61-423 57-430 57-435 57-445 67-450 88-450Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(38.6,-1101.4) scale(0.707)" data-latex="{n\in\mathbb{Z}}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 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problems）、调和分析、信号处理和编码理论中都有应用。</p><p>2022 年获得 Fields 奖的乌克兰女数学家维亚佐夫斯卡（Maryna Sergiivna Viazovska , 1984- ），在研究球填充（sphere packing）的时候也是要用到这个公式。</p><h3 id="六、Poisson-核（Poisson-kernel）与-Dirichlet-问题"><a href="#六、Poisson-核（Poisson-kernel）与-Dirichlet-问题" class="headerlink" title="六、Poisson 核（Poisson kernel）与 Dirichlet 问题"></a>六、Poisson 核（Poisson kernel）与 Dirichlet 问题</h3><p>Poisson 核（Poisson kernel）常出现在调和函数的边值问题中。若<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.463ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2856.7 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="u(x,y)"><g data-mml-node="mi" data-latex="u"><path data-c="1D462" d="M543 144C543 153 538 158 527 158 518 158 513 151 510 137 505 118 500 99 493 80 480 39 462 18 440 18 422 18 413 32 413 60 413 77 420 111 433 161L460 267C469 303 477 328 483 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transform="translate(961,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1533,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 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data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Delta"><path data-c="394" d="M759 0C776 0 785 4 785 13L445 696C438 709 429 716 416 716 403 716 394 709 387 696L52 25C49 18 47 14 47 12 47 4 56 0 73 0M384 604 644 83 124 83Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="u" transform="translate(833,0)"><path data-c="1D462" d="M543 144C543 153 538 158 527 158 518 158 513 151 510 137 505 118 500 99 493 80 480 39 462 18 440 18 422 18 413 32 413 60 413 77 420 111 433 161L460 267C469 303 477 328 483 359L489 386C491 393 492 398 492 401 492 421 481 431 459 431 437 431 423 419 417 394L343 98C342 95 338 88 330 76 314 50 275 18 235 18 197 18 178 44 178 95 178 136 196 202 231 294 242 324 248 345 248 357 248 407 213 442 163 442 118 442 83 417 58 367 39 328 29 301 29 287 29 278 34 273 45 273 58 273 60 279 64 293 87 373 119 413 160 413 174 413 181 403 181 384 181 369 175 348 164 319 126 218 107 148 107 111 107 34 155-11 232-11 275-11 314 9 347 50 361 9 391-11 437-11 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data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:16"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(16)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="36" d="M383 504C416 504 432 521 432 555 432 627 378 666 304 666 221 666 155 627 106 548 63 480 42 403 42 316 42 189 65 100 112 47 152 1 198-22 251-22 312-22 362 1 401 47 438 91 457 144 457 205 457 266 439 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="u"><g data-mml-node="mi" data-latex="u"><path data-c="1D462" d="M543 144C543 153 538 158 527 158 518 158 513 151 510 137 505 118 500 99 493 80 480 39 462 18 440 18 422 18 413 32 413 60 413 77 420 111 433 161L460 267C469 303 477 328 483 359L489 386C491 393 492 398 492 401 492 421 481 431 459 431 437 431 423 419 417 394L343 98C342 95 338 88 330 76 314 50 275 18 235 18 197 18 178 44 178 95 178 136 196 202 231 294 242 324 248 345 248 357 248 407 213 442 163 442 118 442 83 417 58 367 39 328 29 301 29 287 29 278 34 273 45 273 58 273 60 279 64 293 87 373 119 413 160 413 174 413 181 403 181 384 181 369 175 348 164 319 126 218 107 148 107 111 107 34 155-11 232-11 275-11 314 9 347 50 361 9 391-11 437-11 506-11 527 70 543 144Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为调和函数。</p><p>Dirichlet 问题（Dirichlet problem）是指：已知区域边界上的函数值，求区域内部满足<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.179ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1405 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Delta u = 0"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Delta"><path data-c="394" d="M759 0C776 0 785 4 785 13L445 696C438 709 429 716 416 716 403 716 394 709 387 696L52 25C49 18 47 14 47 12 47 4 56 0 73 0M384 604 644 83 124 83Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="u" transform="translate(833,0)"><path data-c="1D462" d="M543 144C543 153 538 158 527 158 518 158 513 151 510 137 505 118 500 99 493 80 480 39 462 18 440 18 422 18 413 32 413 60 413 77 420 111 433 161L460 267C469 303 477 328 483 359L489 386C491 393 492 398 492 401 492 421 481 431 459 431 437 431 423 419 417 394L343 98C342 95 338 88 330 76 314 50 275 18 235 18 197 18 178 44 178 95 178 136 196 202 231 294 242 324 248 345 248 357 248 407 213 442 163 442 118 442 83 417 58 367 39 328 29 301 29 287 29 278 34 273 45 273 58 273 60 279 64 293 87 373 119 413 160 413 174 413 181 403 181 384 181 369 175 348 164 319 126 218 107 148 107 111 107 34 155-11 232-11 275-11 314 9 347 50 361 9 391-11 437-11 506-11 527 70 543 144Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Delta u = 0"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的函数。</p><p>在单位圆盘中，令<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 500 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="0 \le r < 1"><g data-mml-node="mn" data-latex="0"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.409ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1506.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="0 \le r < 1"><g data-mml-node="mo" data-latex="\le"><path data-c="2264" d="M668 38C686 29 703 44 703 60 703 69 698 76 689 80L155 333 689 586C698 590 703 597 703 606 703 623 695 631 679 631 675 631 671 630 668 629L94 357C84 352 79 344 79 333 79 322 84 315 94 310M678-72 100-72C84-72 76-80 76-95 76-111 84-119 100-119L678-119C694-119 702-111 702-95 702-83 691-72 678-72Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="r" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="1D45F" d="M436 374C436 416 395 442 351 442 302 442 261 419 227 372 217 411 183 442 136 442 95 442 65 410 44 345 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 150 413 159 399 159 371 159 358 154 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 110-11 130-11 143-1 150 19L169 91C180 134 187 162 190 175L221 303C223 311 231 324 244 343 271 381 302 413 351 413 363 413 373 411 382 406 352 397 337 378 337 351 337 325 351 312 378 312 411 312 436 341 436 374Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="0 \le r < 1"><g data-mml-node="mo" data-latex="<"><path data-c="3C" d="M666-45C683-52 701-39 701-23 701-13 696-6 687-2L153 250 687 502C696 506 701 513 701 522 701 539 693 547 677 547 673 547 669 546 666 545L92 273C82 268 77 261 77 250 77 239 82 232 92 227Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>，Poisson 核定义为</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:36.525ex"><svg style="vertical-align:-2.051ex;min-width:36.525ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.233ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1406.4)"><g data-mml-node="math" data-latex="
P_r(\theta) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
P_r(\theta) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2}
" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 1406.4) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="5494.1 -1406.4 1 2312.9"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-103.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub" data-latex="P_r"><g data-mml-node="mi" data-latex="P"><path data-c="1D443" d="M555 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C152 60 142 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 46 0 59 0L184 3 248 2C259 2 299 0 312 0 328 0 336 8 336 24 336 34 325 39 304 39 264 39 244 43 244 52 244 52 245 55 247 68L307 312 472 312C537 312 599 332 657 371 722 414 754 467 754 530 754 629 660 683 555 683M524 644C611 644 654 614 654 554 654 498 626 423 597 397 559 363 509 346 447 346L313 346 379 610C387 644 387 644 429 644Z"></path></g><g data-mml-node="mi" 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"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
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data-c="1D713" d="M534 393C534 384 539 374 550 363 573 341 585 314 585 282 585 253 576 222 557 187 522 120 476 72 421 43 388 26 355 18 322 17L484 663C486 672 487 677 487 679 487 689 482 694 471 694 466 694 463 693 460 691 456 683 454 676 453 671L290 19C219 28 184 64 184 126 184 153 202 214 237 309 244 329 248 346 248 359 248 409 213 444 163 444 118 444 84 419 59 369 39 329 29 302 29 288 29 279 34 274 45 274 58 274 60 280 64 294 87 374 119 414 160 414 174 414 181 405 181 387 181 371 174 343 159 303 127 218 111 162 111 134 111 47 168-1 282-10 274-45 267-74 261-96 246-153 238-185 238-192 241-200 242-205 255-205L265-201C271-185 276-170 279-157L315-13C397-12 469 24 531 95 564 132 588 172 604 215 625 270 635 322 635 371 635 420 619 444 588 444 562 444 534 419 534 393Z"></path></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1778 -1485.5 1 2470.9"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:19" transform="translate(0,674.5)"><text data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-748)"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(19)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="39" d="M116 140C83 140 67 123 67 89 67 14 128-22 207-22 287-22 351 18 398 99 437 166 457 243 457 329 457 456 434 546 388 599 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的边界值权重更大。</p><p>Poisson 引入相关核函数时，主要是在研究三角级数、Fourier 级数的收敛以及若干物理问题，并不是以现代形式系统求解一般 Dirichlet 问题。</p><p>后来，狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet , 1805-1859）、纽曼（Carl Gottfried Neumann , 1832-1925）和施瓦兹（Karl Hermann Amandus Schwarz , 1843-1921）等人的工作把这类公式与势论和边值问题更明确地联系起来。</p><h3 id="七、Poisson-括号（Poisson-bracket）与力学形式化"><a href="#七、Poisson-括号（Poisson-bracket）与力学形式化" class="headerlink" title="七、Poisson 括号（Poisson bracket）与力学形式化"></a>七、Poisson 括号（Poisson bracket）与力学形式化</h3><p>Poisson 括号（Poisson bracket）起源于天体力学和变分常数方法（variation of arbitrary constants）。</p><p>用现代 Hamilton 力学的记号，设系统有广义坐标（generalized coordinates）<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.436ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 3728.8 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="q_1,\dots,q_n"><g data-mml-node="msub" data-latex="q_1"><g data-mml-node="mi" data-latex="q"><path data-c="1D45E" d="M372 377C352 420 321 442 280 442 215 442 158 409 109 342 63 280 40 216 40 149 40 62 90-13 173-13 209-13 245 4 282 38L241-126C238-141 229-150 215-153 210-154 197-155 174-155 168-156 164-156 162-156 153-157 148-165 148-179L148-183C151-190 157-194 165-194 184-194 244-191 263-191 282-191 345-194 364-194 378-194 385-186 385-170 385-160 375-155 356-155 338-155 313-156 313-144 313-140 314-133 317-123L452 427C452 436 447 441 438 441 420 441 382 391 372 377M340 373C349 352 354 338 354 329 354 328 353 322 351 313L327 216C308 144 299 107 298 105 279 70 224 16 176 16 137 16 117 46 117 105 117 151 148 263 162 300 181 347 225 412 280 412 307 412 327 399 340 373Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(479,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(882.6,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1327.2,0)"><path data-c="2026" d="M751 53C751 83 725 106 695 106 664 106 638 83 638 53 638 23 664 0 695 0 725 0 751 23 751 53M475 53C475 83 449 106 419 106 388 106 363 83 363 53 363 23 388 0 419 0 449 0 475 23 475 53M200 53C200 83 174 106 143 106 113 106 87 83 87 53 87 23 113 0 143 0 173 0 200 23 200 53Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(2330.9,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="q_n" transform="translate(2775.6,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="q"><path data-c="1D45E" d="M372 377C352 420 321 442 280 442 215 442 158 409 109 342 63 280 40 216 40 149 40 62 90-13 173-13 209-13 245 4 282 38L241-126C238-141 229-150 215-153 210-154 197-155 174-155 168-156 164-156 162-156 153-157 148-165 148-179L148-183C151-190 157-194 165-194 184-194 244-191 263-191 282-191 345-194 364-194 378-194 385-186 385-170 385-160 375-155 356-155 338-155 313-156 313-144 313-140 314-133 317-123L452 427C452 436 447 441 438 441 420 441 382 391 372 377M340 373C349 352 354 338 354 329 354 328 353 322 351 313L327 216C308 144 299 107 298 105 279 70 224 16 176 16 137 16 117 46 117 105 117 151 148 263 162 300 181 347 225 412 280 412 307 412 327 399 340 373Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(479,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 和相应动量（momenta）<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.694ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 3842.8 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p_1,\dots,p_n"><g data-mml-node="msub" data-latex="p_1"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(536,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(939.6,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1384.2,0)"><path data-c="2026" d="M751 53C751 83 725 106 695 106 664 106 638 83 638 53 638 23 664 0 695 0 725 0 751 23 751 53M475 53C475 83 449 106 419 106 388 106 363 83 363 53 363 23 388 0 419 0 449 0 475 23 475 53M200 53C200 83 174 106 143 106 113 106 87 83 87 53 87 23 113 0 143 0 173 0 200 23 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137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 。这些变量组成相空间（phase space）。</p><p>若<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.249ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 552 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705 400 705 357 665 334 586 329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411 204 400 214 395 235 395L295 395 222 8C211-49 201-91 192-119 180-156 163-175 141-175 126-175 114-171 103-164 135-159 151-140 151-108 151-82 138-69 111-69 77-69 53-99 53-133 53-177 94-205 141-205 166-205 189-195 208-174 240-141 265-94 283-31 294 8 304 46 311 84L369 395 451 395C474 395 484 396 484 419 484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644 430 665 444 675 462 675 477 675 490 671 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38 233 27 210 27 170 27 150 56 150 114 150 169 184 291 204 327 235 384 270 412 311 412 329 412 344 405 356 392Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是相空间上的两个可微函数，它们的 Poisson 括号定义为</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:47.58ex"><svg style="vertical-align:-2.448ex;min-width:47.58ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.027ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1582)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\{f, g\} = \sum_{1 \le i \le n} \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i} \right)
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\{f, g\} = \sum_{1 \le i \le n} \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i} \right)
" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 1582) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="7937.1 -1582 1 2664.1"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,190)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo" data-latex="\{"><path data-c="7B" d="M286-122 286 126C286 183 251 225 182 250 251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718 420 718 425 723 425 734 425 745 420 750 409 750 363 750 321 740 284 721 237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266 80 266 75 261 75 250 75 239 80 234 91 234 155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221 321-240 363-250 409-250 420-250 425-245 425-234 425-223 420-218 409-218 348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="f" transform="translate(500,0)"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705 400 705 357 665 334 586 329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411 204 400 214 395 235 395L295 395 222 8C211-49 201-91 192-119 180-156 163-175 141-175 126-175 114-171 103-164 135-159 151-140 151-108 151-82 138-69 111-69 77-69 53-99 53-133 53-177 94-205 141-205 166-205 189-195 208-174 240-141 265-94 283-31 294 8 304 46 311 84L369 395 451 395C474 395 484 396 484 419 484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644 430 665 444 675 462 675 477 675 490 671 501 664 470 657 454 639 454 608 454 582 467 569 494 569 528 569 552 599 552 633Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1052,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="g" transform="translate(1496.7,0)"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205 197-205 241-193 280-170 324-144 351-109 362-66L471 373C473 383 474 389 474 392 474 412 463 422 442 422 420 422 406 410 399 387 377 424 347 442 310 442 246 442 189 410 140 346 95 286 72 223 72 158 72 71 123-3 207-3 246-3 282 14 315 47L285-71C256-140 211-175 148-175 122-175 100-173 82-169 103-158 113-141 113-118 113-93 99-80 72-80 40-80 15-109 15-141M356 392C376 371 386 351 386 331 386 330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60 259 38 233 27 210 27 170 27 150 56 150 114 150 169 184 291 204 327 235 384 270 412 311 412 329 412 344 405 356 392Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\}" transform="translate(1973.7,0)"><path data-c="7D" d="M286 374 286 622C286 664 263 697 216 721 179 740 137 750 91 750 80 750 75 745 75 734 75 723 80 718 91 718 152 718 214 680 214 622L214 374C214 317 249 275 318 250 249 225 214 183 214 126L214-122C214-180 152-218 91-218 80-218 75-223 75-234 75-245 80-250 91-250 137-250 179-240 216-221 263-197 286-164 286-122L286 126C286 188 345 234 409 234 420 234 425 239 425 250 425 261 420 266 409 266 345 266 286 312 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是 Hamiltonian，也就是系统总能量的函数形式，那么 Hamilton 方程（Hamilton's equations）为</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:33.133ex"><svg style="vertical-align:-2.005ex;min-width:33.133ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.14ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1386)"><g data-mml-node="math" data-latex="
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"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
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" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 1386) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="4744.3 -1386 1 2272"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-6)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub" data-latex="\dot{q}_i"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\dot{q}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="q"><path data-c="1D45E" d="M372 377C352 420 321 442 280 442 215 442 158 409 109 342 63 280 40 216 40 149 40 62 90-13 173-13 209-13 245 4 282 38L241-126C238-141 229-150 215-153 210-154 197-155 174-155 168-156 164-156 162-156 153-157 148-165 148-179L148-183C151-190 157-194 165-194 184-194 244-191 263-191 282-191 345-194 364-194 378-194 385-186 385-170 385-160 375-155 356-155 338-155 313-156 313-144 313-140 314-133 317-123L452 427C452 436 447 441 438 441 420 441 382 391 372 377M340 373C349 352 354 338 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622L214 374C214 317 249 275 318 250 249 225 214 183 214 126L214-122C214-180 152-218 91-218 80-218 75-223 75-234 75-245 80-250 91-250 137-250 179-240 216-221 263-197 286-164 286-122L286 126C286 188 345 234 409 234 420 234 425 239 425 250 425 261 420 266 409 266 345 266 286 312 286 374Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\{f, H\} = 0"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，那么<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.249ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 552 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705 400 705 357 665 334 586 329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411 204 400 214 395 235 395L295 395 222 8C211-49 201-91 192-119 180-156 163-175 141-175 126-175 114-171 103-164 135-159 151-140 151-108 151-82 138-69 111-69 77-69 53-99 53-133 53-177 94-205 141-205 166-205 189-195 208-174 240-141 265-94 283-31 294 8 304 46 311 84L369 395 451 395C474 395 484 396 484 419 484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644 430 665 444 675 462 675 477 675 490 671 501 664 470 657 454 639 454 608 454 582 467 569 494 569 528 569 552 599 552 633Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 在运动中保持不变，称为运动积分（integral of motion）或守恒量（conserved quantity）。</p><p>Poisson 证明过与此相关的定理：在适当条件下，两个运动积分的 Poisson 括号仍然是运动积分。后来雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi , 1804-1851）注意到这一结果的重要性，并把它与更一般的代数结构联系起来。</p><p>Poisson 括号的重要性在于，它把力学方程、守恒量和坐标变换组织到统一的计算规则中。它满足反对称性（antisymmetry）</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:27.635ex"><svg style="vertical-align:-.566ex;min-width:27.635ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\{f, g\} = -\{g, f\}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\{f, g\} = -\{g, f\}
" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="3529.4 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo" data-latex="\{"><path data-c="7B" d="M286-122 286 126C286 183 251 225 182 250 251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718 420 718 425 723 425 734 425 745 420 750 409 750 363 750 321 740 284 721 237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266 80 266 75 261 75 250 75 239 80 234 91 234 155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221 321-240 363-250 409-250 420-250 425-245 425-234 425-223 420-218 409-218 348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="f" transform="translate(500,0)"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705 400 705 357 665 334 586 329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411 204 400 214 395 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fa-comments"></i> 留言区</p><div id="layoutHelper-comments"></div></article></div><aside id="l_side" itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPSideBar"><section class="widget text desktop mobile pjax"><header><a href="/notes/"><i class="fa-duotone fa-book fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">Notes</span></a></header><div class="content"></div></section><section class="widget list group desktop mobile pjax"><header><i class="fa-duotone fa-p fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">History of mathematics</span></header><div class="content"><ul class="list entry navigation"><li><a class="flat-box" title="/notes/person/" href="/notes/person/" active-action="action-notesperson"><div class="name"> Welcome</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/1" href="/notes/person/1" active-action="action-notesperson1"><div class="name"> Hilbert</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/2" href="/notes/person/2" 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Grothendieck</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/29" href="/notes/person/29" active-action="action-notesperson29"><div class="name"> Loo-Keng Hua</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/30" href="/notes/person/30" active-action="action-notesperson30"><div class="name"> Poisson</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/31" href="/notes/person/31" active-action="action-notesperson31"><div class="name"> Dyson</div></a></li></ul></div></section><div class="widget-sticky pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div 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rel="external nofollow noopener noreferrer">萌ICP备</a> <a href="https://icp.gov.moe/?keyword=2020012138" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer">2020012138号</a><br><a target="_blank" rel="noopener" href="https://mhuig.top/">Copyright © Since 2018 MHuiG</a></p></div></footer><a id="s-top" class="fa-solid fa-arrow-up fa-fw" title="top"></a></div></div><div><script>volantis.dom.bodyAnchor=volantis.dom.$(document.getElementById("safearea")),volantis.dom.topBtn=volantis.dom.$(document.getElementById("s-top")),volantis.dom.wrapper=volantis.dom.$(document.getElementById("wrapper")),volantis.dom.coverAnchor=volantis.dom.$(document.querySelector("#l_cover .cover-wrapper")),volantis.dom.switcher=volantis.dom.$(document.querySelector("#l_header .switcher .s-search")),volantis.dom.header=volantis.dom.$(document.getElementById("l_header")),volantis.dom.search=volantis.dom.$(document.querySelector("#l_header 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