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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="Conway英国数学家约翰·康威的多领域开创性贡献：从生命游戏、超现实数到有限单群"><meta itemprop="description" content="约翰·霍顿·康威是一位极具创造力的英国数学家。他的贡献横跨多个领域，其发明的生命游戏普及了元胞自动机概念，创建的超现实数统一了数系与博弈论，并在有限单群领域发现了以他命名的Conway群"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">Conway</span></p><br><h1 hidden="">Conway</h1><div class="story post-story"><h2 id="生平"><a href="#生平" class="headerlink" title="生平"></a>生平</h2><p>约翰・霍顿・康威（John Horton Conway, 1937-2020）于 1937 年出生于英国的利物浦（Liverpool）。父亲西里尔・霍顿・康威（Cyril Horton Conway）在化学实验室工作，母亲艾格尼丝・博伊斯（Agnes Boyce）很早就注意到他对数字的兴趣：他四岁时已经能背出 2 的幂，稍大一些又喜欢心算日期对应的星期。家里还有两个姐姐，Sylvia 和 Joan。</p><p>Conway 的童年并不轻松，因为他成长于战时物资短缺的英国。在小学里，Conway 表现非常突出，几乎门门功课都名列前茅。尽管在小学时期他其实并不真正明白 “数学” 究竟是什么，Conway 却似乎已经坚定地认定自己将来会成为数学家。</p><p>十一岁参加中学入学面试时，有人问他长大后想做什么，他回答说，希望将来在 Cambridge 当一名数学家。</p><p>在中学阶段，他的成绩非常出色；虽然并非所有科目都同样拔尖，但在数学方面，他无疑比其他学生都强得多。</p><p>不过，数学并不是唯一吸引他的学科，他也曾一度深深迷上天文学，而在别的时候又对化石产生浓厚兴趣。他对天文学的兴趣一直保留到了后来，直到今天他仍把它列为自己的兴趣之一。</p><p>中学毕业后，Conway 进入 Cambridge 大学冈维尔和凯斯学院（Gonville and Caius College）学习数学。</p><p>1959 年他获得学士学位，随后在达文波特（Harold Davenport，1907-1969）指导下开始研究数论。</p><p>解决了 Davenport 提出的 “将数表示为五次幂之和” 的公开问题后（陈景润也独立解决），Conway 开始对无限序数（infinite ordinals）产生兴趣。</p><p>他对游戏的兴趣也是在 Cambridge 求学期间开始发展起来的 —— 那时他成了一位热衷于双陆棋（backgammon）的玩家，常常在公共休息室里一玩就是好几个小时。</p><p>1964 年，他获得博士学位，并被任命为 Cambridge 大学纯数学讲师。至此，他实现了自己十一岁时立下的志向。</p><p>同样在 1964 年，Conway 当选为 Cambridge 的悉尼・苏塞克斯学院（Sidney Sussex College）的研究员。</p><p>那时他正在从事数理逻辑研究，但进展并不顺利。他写道：“…… 我变得非常沮丧。我觉得自己并没有在做真正的数学；我没有发表论文，因此对此感到十分内疚。”</p><p>然而情况很快就突然改变了。大约在 1965 年前后，利奇（John Leech，1926-1992）发现了 24 维空间中的一种稠密球堆积，其对应的格后来被称为 <strong>Leech 晶格（Leech lattice）</strong>。</p><p>Leech 知道这个晶格的对称群会很有意思，于是研究了一段时间，并给出了这个群阶的一个下界（后来证明这恰好就是该群的实际阶）。他知道自己并不具备足够的群论技巧来证明自己的猜想，于是试图引起他人的兴趣。</p><p>Thompson 的回忆中所说：“我把这个问题拿到许多人面前试探过，包括 Coxeter、Todd 和 Graham Higman，但 Conway 是第一个真正上钩的人……”</p><p>Conway 在这一问题上的工作彻底改变了他的数学事业。他证明，Leech 晶格的对称群<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 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stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 还有更为非凡的性质：它拥有大量极其有趣的子群，其中包括另外两个此前未知的单群，以及一些以当时几乎所有已知有限散在单群（finite sporadic group）为同态像的群。所谓 finite sporadic group，是指不属于标准无限族中的有限单群。</p><p>Conway 于 1968 年宣布了这一发现，并于 1969 年在《Bulletin of the London Mathematical Society》创刊卷中发表了完整细节。</p><p>可以说，正是在这一成果为他的发表生涯打开局面之后，Conway 才真正 “开始做真正的数学”；这个发现属于当时数学中最受瞩目的领域之一，也极大增强了他的自信。</p><p>有人曾回忆道：“对于 Conway 这种‘信心上的变化’，我无法亲自作证，因为在他发现新单群之前我并未听过 Conway 讲课。不过，在这之后我听过他许多次讲演；那些讲演都极为精彩、令人难忘，而且出自一位极具舞台魅力的讲者之手。”</p><p>不久之后，Conway 因发明 <strong>生命游戏（game of life）</strong> 而在数学界之外也广为人知。</p><p>冯・诺伊曼（John von Neumann，1903-1957）在 20 世纪 40 年代曾寻找一种 “通用构造器（universal constructor）”。他试图找到一种能够复制自身的假想机器，并最终通过在笛卡尔网格上制定复杂规则的数学模型实现了这一目标。</p><p>Conway 试图简化 von Neumann 的思想，最终获得成功。正如 Conway 的采访中所说：“…… 他在否定了大量方案之后才成功，包括三角格、六角格以及方格，也否定了许多其他‘生与死’的规则，甚至还试过引入两种乃至三种性别。成片的方格纸都被画满了，他和那群崇拜他的研究生们摆弄着扑克牌筹码、外国硬币、海贝、围棋子，或者手边能找到的任何东西，直到终于找到一种在生与死之间可行的平衡。”</p><p>Conway 把这个游戏展示给朋友加德纳（Martin Gardner，1914-2010），后者在 1970 年 10 月《科学美国人》（Scientific American）的专栏中介绍了它。</p><p>这个游戏立刻获得巨大成功，Conway 也因此家喻户晓。</p><p>人们常说，自 1970 年以来，全世界投入在生命游戏上的计算机时间，比投入于任何其他单项活动的都要多。</p><p>Gardner 写道：“这个游戏使 Conway 一举成名，但它也开辟了数学研究的一个全新领域，即元胞自动机（cellular automata）领域。”</p><p>同样在 1970 年，Conway 当选为 Cambridge 的 Gonville and Caius College 的研究员；三年后，他由讲师升任 Cambridge 大学纯数学与数理统计 reader（相当于副教授）。</p><p>Conway 另一个著名成就是 <strong>超现实数（surreal numbers）</strong> 的发现，这也大致发生在 1970 年前后。许多人听到这里都会感到惊讶：人们往往以为数系的发展到复数就已经结束了，而 Conway 的发现恰恰完美说明，即便是数系本身，也仍然属于持续演进中的数学主题。</p><p>更令人惊讶的是，Conway 起初并不是想发展新的数系，而是在分析围棋（Go）。在 Cambridge，他研究两位达到国际水平的围棋选手所下的棋局。他注意到，在一盘棋的后半段，局面常常看起来像许多较小棋局的和。</p><p>在分析这一情况时，Conway 发现某些棋局的行为就像数字一样，于是超现实数由此诞生。</p><p>不过，“surreal numbers” 这个名字并不是 Conway 取的，而是克努斯（Donald Ervin Knuth，1938-）所起。</p><p>Knuth 对 Conway 的发现印象极深，以至于他写了一本小型小说体著作《超现实数：两位前学生如何爱上纯数学并找到完全的幸福》（ <em>Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness</em> , 1974），旨在向学生介绍数学研究中的思想。</p><p>除了前面说到的群论创新成果与超现实数之外，他还在结理论、数论、博弈论、二次型、编码理论与铺砌理论等方面做出了第一流的研究。Conway 于 1971 年获得伦敦数学学会的 Berwick Prize。</p><p><strong>Berwick Prize 部分获奖者</strong></p><table><thead><tr><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th></tr></thead><tbody><tr><td>1947</td><td>A.G. Walker</td><td>1949</td><td>L. Cooper</td><td>1959</td><td>I.M. James</td></tr><tr><td>1961</td><td>M. Atiyah</td><td>1963</td><td>F. Adams</td><td>1971</td><td>J.H. Conway</td></tr><tr><td>1977</td><td>G. Lusztig</td><td>1979</td><td>B. Vaughan</td><td>1981</td><td>R. Heath-Brown</td></tr><tr><td>1993</td><td>T. Wooley</td><td>2003</td><td>T. Bridgeland</td><td>2005</td><td>I. Gordon</td></tr><tr><td>2017</td><td>K. Costello</td><td>2023</td><td>T. Bridgeland, E. Gwynne</td><td>2025</td><td>A. Brochier, D. Jordan</td></tr></tbody></table><p>1981 年 3 月，他当选为英国皇家学会会士。1983 年，他被任命为 Cambridge 大学数学教授。</p><p>大约在这一时期，盖因（Richard Kenneth Guy，1916-2020）对 Conway 有过这样一段描写：“Conway 极其邋遢。他在 Cambridge 大学纯数学与数理统计系的房间里，桌子上堆满了纸张、书籍、未回的信件、笔记、模型、图表、表格、示意图、喝剩的咖啡杯，以及各种各样的杂物。几乎占满了整个房间，椅子也都被占满了，以至于进屋都很难走动，更别说坐下了。如果你够得着黑板，会发现上面摆着各种颜色的粉笔，但却没有地方可以写字。他在学院的房间也差不多是这副模样。尽管他记忆力惊人，却常常找不到几天前他发现的重要成果 —— 那张纸，而这个成果却没有被记录在其他任何地方。”</p><p>1986 年，Conway 离开 Cambridge，接受美国 Princeton 大学 John von Neumann Chair of Mathematics 的任命；在那里，他的大量工作集中于几何，尤其是晶格对称性的研究。</p><p>1987 年，Conway 获得伦敦数学学会 Pólya Prize。</p><p><strong>Pólya Prize 部分获奖者</strong></p><table><thead><tr><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th></tr></thead><tbody><tr><td>1987</td><td>J.H. Conway</td><td>1988</td><td>C.T.C. Wall</td><td>1991</td><td>I.G. Macdonald</td></tr><tr><td>1999</td><td>S. Donaldson</td><td>2002</td><td>N. Hitchin</td><td>2006</td><td>R. Swinnerton-Dyer</td></tr><tr><td>2009</td><td>R. Heath-Brown</td><td>2023</td><td>F. Kirwan</td><td>2024</td><td>陈贵强</td></tr></tbody></table><p>此后，他又获得 Northwestern 大学颁发的 1997-98 年 <strong>Frederic Esser Nemmers Prize in Mathematics</strong> 。该奖授予那些通过重大新知识贡献、在本学科取得杰出成就的数学家。</p><p>他还获得了美国数学学会 2000 年 <strong>Leroy P. Steele Prize for Mathematical Exposition</strong> 、Dickinson College 2001 年 <strong>Joseph Priestley Award</strong> ，以及 Liverpool 大学 2001 年授予的荣誉理学博士学位。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="贡献"><a href="#贡献" class="headerlink" title="贡献"></a>贡献</h2><h3 id="一、Leech-晶格（Leech-Lattice）与-Conway-群"><a href="#一、Leech-晶格（Leech-Lattice）与-Conway-群" class="headerlink" title="一、Leech 晶格（Leech Lattice）与 Conway 群"></a>一、Leech 晶格（Leech Lattice）与 Conway 群</h3><p>Conway 在纯研究意义上最早的重大成就，来自 Leech 晶格。</p><p>Leech 晶格<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.358ex" height="1.959ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 1484.1 866"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Lambda_{24}"><g data-mml-node="msub" data-latex="\Lambda_{24}"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Lambda"><path data-c="39B" d="M535 3 661 0 661 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137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199 28 163 289 163 289 81C289 63 285 51 278 46 271 41 252 39 219 39L194 39 194 0C223 2 269 3 331 3 393 3 439 2 468 0L468 39 443 39C410 39 391 41 384 46 377 51 373 63 373 81L373 163 471 163 471 202 373 202 373 660C373 670 366 677 353 677M295 553 295 202 67 202Z" transform="translate(500,0)"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 中一个极特殊的偶自对偶格，与最佳球堆积、Golay 码以及 24 维欧氏几何的极端对称性密切相关。</p><p>1968 年，他发表短文《阶为 8,315,553,613,086,720,000 的完美群和散在单群》（A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups）。</p><p>次年又发表更完整的《阶为 8,315,553,613,086,720,000 的群》（A group of order 8,315,553,613,086,720,000 ）与《Leech 晶格的刻画》（ <em>A characterisation of Leech's lattice</em> ）。</p><p>这些论文的核心贡献，是从<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.953ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 3957.1 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\text{Aut}(\Lambda_{24})"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{Aut}"><path data-c="41" d="M583 3 717 0 717 39 695 39C670 39 653 40 646 42 631 47 621 58 615 75L401 694C397 707 390 716 375 716 362 716 353 709 348 694L143 102C129 61 92 39 32 38L32 0 137 3 254 0 254 39C205 39 180 54 180 85 180 92 181 96 182 98L227 225 465 225 516 77C518 71 519 67 519 64 519 47 492 39 437 39L437 0C479 3 528 4 583 3M345 569 451 264 240 264Z"></path><path data-c="75" d="M267 18C198 18 185 47 185 112L185 442 32 431 32 393C71 393 94 389 100 382 106 375 109 350 109 306L109 159C109 120 112 90 119 67 134 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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="495,766,656,000 = 2^{10} \cdot 3^7 \cdot 5^3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 23"><g data-mml-node="mo" data-latex="\cdot"><path data-c="22C5" d="M192 250C192 279 168 303 139 303 110 303 86 279 86 250 86 221 110 197 139 197 168 197 192 221 192 250Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="5^3" transform="translate(500.2,0)"><g data-mml-node="mn" data-latex="5"><path data-c="35" d="M118 315C123 315 129 319 134 326 164 371 205 393 257 393 292 393 319 373 337 332 348 305 354 264 354 209 354 146 346 102 331 76 306 35 272 14 229 14 162 14 109 62 91 114 94 113 96 114 100 114 130 114 155 137 155 167 155 198 130 219 100 219 65 219 50 200 50 163 50 63 131-22 231-22 292-22 344 0 386 44 428 88 449 141 449 202 449 260 432 310 398 353 361 400 315 423 259 423 212 423 171 408 138 378L138 556C165 548 191 544 218 544 264 544 304 555 338 578 369 597 390 616 402 634 408 642 411 648 411 651 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等人合作，编成《有限群图谱》（ <em>Atlas of finite groups</em> ，1985），把大量有限单群的角色表、局部结构与表示信息整理成标准参考书。</p><p>这部书耗时 "the better part of fifteen years”，已成为有限单群分类理论中的一个基本组成部分。</p><h3 id="二、魔群月光猜想（monstrous-moonshine-conjecture）"><a href="#二、魔群月光猜想（monstrous-moonshine-conjecture）" class="headerlink" title="二、魔群月光猜想（monstrous moonshine conjecture）"></a>二、魔群月光猜想（monstrous moonshine conjecture）</h3><p>1978 年，John McKay 发现，归一化的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.432ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 633 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="J"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="1D43D" d="M633 667C633 678 627 683 615 683 596 683 525 680 506 680L361 683C344 683 336 675 336 659 336 649 349 644 374 644 419 644 446 642 453 637 456 635 457 632 457 627 457 624 456 617 454 607L340 153C324 89 273 8 202 8 157 8 128 25 114 60L120 60C156 60 188 91 188 127 188 158 172 173 141 173 97 173 71 134 71 90 71 20 132-22 205-22 255-22 301-6 344 26 387 58 415 97 427 144L542 606C551 642 555 644 602 644 623 644 633 646 633 667Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 不变量的 Fourier 展开前几项，可表示成魔群（monster group）<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1044 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的不可约表示维数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.168ex" height="1.357ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 958.3 599.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="r_n"><g data-mml-node="msub" data-latex="r_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="r"><path data-c="1D45F" d="M436 374C436 416 395 442 351 442 302 442 261 419 227 372 217 411 183 442 136 442 95 442 65 410 44 345 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 150 413 159 399 159 371 159 358 154 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 110-11 130-11 143-1 150 19L169 91C180 134 187 162 190 175L221 303C223 311 231 324 244 343 271 381 302 413 351 413 363 413 373 411 382 406 352 397 337 378 337 351 337 325 351 312 378 312 411 312 436 341 436 374Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(484,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 的线性组合，并且系数是较小的非负整数。</p><p>1979 年，Conway 与 Simon Norton 发表长文《魔群月光》（Monstrous moonshine）。这篇文章提出的，不是一个单一定理，而是一整组看似不可思议的对应：魔群的不可约表示维数，似乎与模函数的 Fourier 系数发生系统联系。</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.023ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 452 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="q"><g data-mml-node="mi" data-latex="q"><path data-c="1D45E" d="M372 377C352 420 321 442 280 442 215 442 158 409 109 342 63 280 40 216 40 149 40 62 90-13 173-13 209-13 245 4 282 38L241-126C238-141 229-150 215-153 210-154 197-155 174-155 168-156 164-156 162-156 153-157 148-165 148-179L148-183C151-190 157-194 165-194 184-194 244-191 263-191 282-191 345-194 364-194 378-194 385-186 385-170 385-160 375-155 356-155 338-155 313-156 313-144 313-140 314-133 317-123L452 427C452 436 447 441 438 441 420 441 382 391 372 377M340 373C349 352 354 338 354 329 354 328 353 322 351 313L327 216C308 144 299 107 298 105 279 70 224 16 176 16 137 16 117 46 117 105 117 151 148 263 162 300 181 347 225 412 280 412 307 412 327 399 340 373Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 级数展开为（<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.023ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 452 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="q = e^{2\pi\sqrt{-1}\tau}"><g data-mml-node="mi" data-latex="q"><path data-c="1D45E" d="M372 377C352 420 321 442 280 442 215 442 158 409 109 342 63 280 40 216 40 149 40 62 90-13 173-13 209-13 245 4 282 38L241-126C238-141 229-150 215-153 210-154 197-155 174-155 168-156 164-156 162-156 153-157 148-165 148-179L148-183C151-190 157-194 165-194 184-194 244-191 263-191 282-191 345-194 364-194 378-194 385-186 385-170 385-160 375-155 356-155 338-155 313-156 313-144 313-140 314-133 317-123L452 427C452 436 447 441 438 441 420 441 382 391 372 377M340 373C349 352 354 338 354 329 354 328 353 322 351 313L327 216C308 144 299 107 298 105 279 70 224 16 176 16 137 16 117 46 117 105 117 151 148 263 162 300 181 347 225 412 280 412 307 412 327 399 340 373Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.569ex" height="2.857ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1012.8 4229.6 1262.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="q = e^{2\pi\sqrt{-1}\tau}"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="e^{2\pi\sqrt{-1}\tau}" transform="translate(1055.8,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="e"><path data-c="1D452" d="M124 129C124 153 129 186 139 227L188 227C253 227 303 235 339 250 372 264 394 284 405 309 412 326 415 342 415 355 415 410 363 442 307 442 268 442 229 432 190 412 113 372 46 281 46 171 46 69 105-11 204-11 257-11 304 2 345 27 379 48 404 69 420 90 427 99 430 106 430 109 430 120 425 126 414 126 409 126 404 122 398 114 365 70 324 42 277 30 246 22 223 18 206 18 149 18 124 72 124 129M375 355C375 289 311 256 182 256L147 256C166 322 194 366 232 387 262 404 287 413 307 413 343 413 375 391 375 355Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,363) scale(0.707)" data-latex="{2\pi\sqrt{-1}\tau}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi" transform="translate(500,0)"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 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data-latex="3"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 578 119 580 145 615 186 633 242 633 302 633 332 598 332 527 332 485 324 450 309 421 282 373 245 364 183 364 171 362 165 357 165 348 165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173 348 88 317 14 241 14 176 14 128 36 99 80 134 79 160 105 160 139 160 173 135 198 101 198 62 198 42 178 42 137 42 88 64 49 108 18 147-9 193-22 244-22 301-22 350-3 393 34 436 71 457 117 457 173 457 267 383 332 303 353Z"></path></g></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -750 1 1000"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:6"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(6)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="36" d="M383 504C416 504 432 521 432 555 432 627 378 666 304 666 221 666 155 627 106 548 63 480 42 403 42 316 42 189 65 100 112 47 152 1 198-22 251-22 312-22 362 1 401 47 438 91 457 144 457 205 457 266 439 318 403 361 365 407 316 431 257 431 205 431 165 402 138 346L138 352C138 465 166 561 226 605 252 624 279 633 306 633 342 633 368 623 385 602 351 602 334 583 334 553 334 525 355 504 383 504M344 340C355 317 361 272 361 206 361 141 356 98 345 76 325 35 294 14 251 14 222 14 200 24 184 44 171 60 162 74 158 85 146 116 140 163 140 227 140 255 144 282 151 308 164 355 201 399 256 399 295 399 325 379 344 340Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 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49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-latex="g"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205 197-205 241-193 280-170 324-144 351-109 362-66L471 373C473 383 474 389 474 392 474 412 463 422 442 422 420 422 406 410 399 387 377 424 347 442 310 442 246 442 189 410 140 346 95 286 72 223 72 158 72 71 123-3 207-3 246-3 282 14 315 47L285-71C256-140 211-175 148-175 122-175 100-173 82-169 103-158 113-141 113-118 113-93 99-80 72-80 40-80 15-109 15-141M356 392C376 371 386 351 386 331 386 330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60 259 38 233 27 210 27 170 27 150 56 150 114 150 169 184 291 204 327 235 384 270 412 311 412 329 412 344 405 356 392Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 。基于这些计算，Conway 和 Norton 列出了一张 Hauptmodul 的表，并猜想存在一个无限维分次表示，其上魔群<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1044 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的分次迹<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.272ex" height="2.199ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 1004.3 972"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="T_g"><g data-mml-node="msub" data-latex="T_g"><g data-mml-node="mi" data-latex="T"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-latex="g"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205 197-205 241-193 280-170 324-144 351-109 362-66L471 373C473 383 474 389 474 392 474 412 463 422 442 422 420 422 406 410 399 387 377 424 347 442 310 442 246 442 189 410 140 346 95 286 72 223 72 158 72 71 123-3 207-3 246-3 282 14 315 47L285-71C256-140 211-175 148-175 122-175 100-173 82-169 103-158 113-141 113-118 113-93 99-80 72-80 40-80 15-109 15-141M356 392C376 371 386 351 386 331 386 330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60 259 38 233 27 210 27 170 27 150 56 150 114 150 169 184 291 204 327 235 384 270 412 311 412 329 412 344 405 356 392Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 恰好就是他们表中那些函数的展开。</p><p>从后见之明看，这篇文章的重要性在于它把原本几乎互不相干的三个方向 —— 散在群（sporadic groups）、模形式、以及后来发展出来的顶点算子代数 —— 接到了一起。</p><p>博赫兹（Richard Ewen Borcherds，1959- ）在 1992 年证明魔群月光猜想时，正是沿着 Conway 与 Norton 开出的路线前进，并因此获得 1998 年的 Fields 奖。</p><p>Conway 在这里再次表现出一种少见的判断：他很容易从数字模式里看到真正的大结构，而不是把它们当作偶然巧合。</p><h3 id="三、组合博弈论与超现实数"><a href="#三、组合博弈论与超现实数" class="headerlink" title="三、组合博弈论与超现实数"></a>三、组合博弈论与超现实数</h3><p>Conway 对数学思想影响最深的工作之一，是把组合博弈当作代数对象来处理。在《论数字与游戏》（On numbers and games，1976）中，他把一个局面记为</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:23.325ex"><svg style="vertical-align:-.732ex;min-width:23.325ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.594ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -823.3)"><g data-mml-node="math" data-latex="
G = \{G^L | G^R\}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
G = \{G^L | G^R\}
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 823.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="3076.9 -823.3 1 1146.7"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-73.3)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="=" transform="translate(1063.8,0)"><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\{" transform="translate(2119.6,0)"><path data-c="7B" d="M286-122 286 126C286 183 251 225 182 250 251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718 420 718 425 723 425 734 425 745 420 750 409 750 363 750 321 740 284 721 237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266 80 266 75 261 75 250 75 239 80 234 91 234 155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221 321-240 363-250 409-250 420-250 425-245 425-234 425-223 420-218 409-218 348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="G^L" transform="translate(2619.6,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(819,413) scale(0.707)" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 15 39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248 643 258 638 263 627 263 617 263 612 254 607 240 588 191 570 154 555 131 518 75 455 39 363 39L270 39C259 39 252 39 249 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L377 601C383 624 396 637 415 642 421 643 442 644 478 644 506 644 520 644 520 667Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="|" transform="translate(3970.1,0)"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="G^R" transform="translate(4248.1,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" 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focusable="false" viewBox="0 -846 1405.7 868"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G^R"><g data-mml-node="msup" data-latex="G^R"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 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408 644 428 644 463 644 528 644 566 642 609 616Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 是 Right 可以走到的所有局面。</p><p>这样写的意义，不在于形式漂亮，而在于它允许对局面做加法、取负、比较大小，并逐步看出某些局面 “就是数”。</p><p>最初的例子很简单：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:54.648ex"><svg style="vertical-align:-1.729ex;min-width:54.648ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="4.588ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1264)"><g data-mml-node="math" data-latex="
0 = \{|\},\quad 1 = \{0|\},\quad -1 = \{|0\},\quad \frac{1}{2} = \{0|1\}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
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“构造出一种奇特的新数”。更重要的是，它把博弈和数系放进了同一个递归框架里：某些局面之所以是数，不是因为人先规定它们是数，而是因为它们在所有运算关系中都表现得像数。</p><p>随后与伯勒坎普（Elwyn Ralph Berlekamp，1940-2019）、盖因（Richard Kenneth Guy，1916-2020）著的《数学博弈的制胜之道》（Winning ways for your mathematical plays）这一观点扩展成了广义的组合博弈论（combinatorial game theory）。<br>今天所谓组合博弈论的现代面貌，基本就是从 Conway 这里开始的。</p><h3 id="四、生命游戏（Game-of-life）"><a href="#四、生命游戏（Game-of-life）" class="headerlink" title="四、生命游戏（Game of life）"></a>四、生命游戏（Game of life）</h3><p>如果说超现实数（surreal numbers）代表 Conway 最深的一条想法，那么生命游戏（game of life）则代表他最广泛传播的一项创造。</p><p>Gardner 在 1970 年 10 月《科学美国人》（Scientific American）的专栏中介绍它以后，这个二维元胞自动机迅速流行开来。</p><p>它的规则极简单：格点只有生、死两种状态，下一步状态完全由附近少数邻居决定；但正是这种极简单的局部规则，产生了滑翔机、振荡子、稳定图形、复制构型以及极其复杂的长期行为。</p><p>Gardner 评价说：“Conway 开辟了一个全新的数学研究领域”。</p><p>如果把这句话压低一点来说，那么至少可以确认：Life 使大量人第一次直观看到，复杂行为可以由极其简单的离散规则生成，而这种想法后来在计算理论、复杂系统和大众程序设计文化里都留下了痕迹。</p><p>需要补充的是，Conway 自己一直不愿意被 Life 完全代表。</p><h3 id="五、纽结理论：Conway-notation-与-Conway-polynomial"><a href="#五、纽结理论：Conway-notation-与-Conway-polynomial" class="headerlink" title="五、纽结理论：Conway notation 与 Conway polynomial"></a>五、纽结理论：Conway notation 与 Conway polynomial</h3><p>Conway 在纽结理论（knot theory）中的工作，主要集中在 1970 年的论文《纽结和链环的枚举及其一些代数性质》（An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties）。这篇文章最重要的贡献之一，是引入后来称为 Conway notation 的记号体系，并系统使用 tangle 分解来组织纽结与链环（link）。它的优点很实际：复杂图形不再只能靠画图逐一辨认，而可以被较紧凑地编码、比较和枚举。</p><p>这一点与 Conway 的整体风格完全一致 —— 先找一个正确的语言，再让对象在这个语言里变得可计算。</p><p>与此相关的还有 Conway 多项式（Conway polynomial）。它可以用线团关系（skein relation）定义：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:50.429ex"><svg style="vertical-align:-.619ex;min-width:50.429ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.37ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -773.8)"><g data-mml-node="math" data-latex=" \nabla_{L_+}(z) - \nabla_{L_-}(z) = z \nabla_{L_0}(z), \quad \nabla_O(z) = 1 "><g data-mml-node="mtable" data-latex=" \nabla_{L_+}(z) - \nabla_{L_-}(z) = z \nabla_{L_0 }(z), \quad \nabla_O(z) = 1 " transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 773.8) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="9066.7 -773.8 1 1047.6"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,23.8)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub" data-latex="\nabla_{L_+}"><g data-mml-node="mi" data-latex="\nabla"><path data-c="2207" d="M780 657C783 664 785 669 785 671 785 679 776 683 759 683L73 683C56 683 47 679 47 670L387-13C394-26 403-33 416-33 429-33 438-26 445-13M445 72 179 605 710 605Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(866,-150) scale(0.707)" data-latex="{L_+}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub" data-latex="L_+"><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 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width="2.973ex" height="2.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 1314.1 892.7"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="L_+"><g data-mml-node="msub" data-latex="L_+"><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 15 39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248 643 258 638 263 627 263 617 263 612 254 607 240 588 191 570 154 555 131 518 75 455 39 363 39L270 39C259 39 252 39 249 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L377 601C383 624 396 637 415 642 421 643 442 644 478 644 506 644 520 644 520 667Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(714,-150) scale(0.707)" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 、<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.472ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.973ex" height="2.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 1314.1 892.7"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="L_-"><g data-mml-node="msub" data-latex="L_-"><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 15 39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248 643 258 638 263 627 263 617 263 612 254 607 240 588 191 570 154 555 131 518 75 455 39 363 39L270 39C259 39 252 39 249 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L377 601C383 624 396 637 415 642 421 643 442 644 478 644 506 644 520 644 520 667Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(714,-150) scale(0.707)" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 、<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.528ex" height="1.922ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 1117.6 849.6"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="L_0"><g data-mml-node="msub" data-latex="L_0 "><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 15 39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248 643 258 638 263 627 263 617 263 612 254 607 240 588 191 570 154 555 131 518 75 455 39 363 39L270 39C259 39 252 39 249 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L377 601C383 624 396 637 415 642 421 643 442 644 478 644 506 644 520 644 520 667Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(714,-150) scale(0.707)" data-latex="0"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 表示只在一个局部交叉处不同的三条链环，而<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.726ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 763 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="O"><g data-mml-node="mi" data-latex="O"><path data-c="1D442" d="M702 263C727 320 740 377 740 435 740 513 717 577 670 628 623 679 561 705 484 705 431 705 378 692 325 666 217 613 138 529 87 415 62 359 49 303 49 246 49 167 72 103 119 53 166 3 228-22 306-22 358-22 410-9 463 16 572 69 651 152 702 263M644 474C644 341 584 208 520 129 476 74 400 12 312 12 205 12 149 105 149 218 149 253 156 300 169 357 196 475 264 579 353 633 396 659 438 672 478 672 586 672 644 586 644 474Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 表示任意的无扭结（unknot）。</p><p>这个关系的重要性在于，它把纽结不变量的计算变成了局部递推，而不是全局图形比较。</p><p>Conway polynomial 与 Alexander polynomial 在适当代换下等价；但 Conway 的表述方式更便于计算，也更适合与 skein 理论结合。后来许多纽结多项式理论都沿着这条局部关系的思路展开。</p><h3 id="六、二次型与fifteen-theorem"><a href="#六、二次型与fifteen-theorem" class="headerlink" title="六、二次型与fifteen theorem"></a>六、二次型与 fifteen theorem</h3><p>Conway 的数论工作中最著名的是后来所谓 Conway–Schneeberger 15 theorem。设</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:25.125ex"><svg style="vertical-align:-.726ex;min-width:25.125ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.583ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -820.9)"><g data-mml-node="math" data-latex="Q(x) = x^T A x"><g data-mml-node="mtable" data-latex="Q(x) = x^T A x" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g 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43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是整系数对称矩阵。15 theorem 说：如果<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.79ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 791 899"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="Q"><g data-mml-node="mi" data-latex="Q"><path data-c="1D444" d="M306-24C335-24 366-19 399-10 396-48 395-72 395-81 395-156 424-194 481-194 542-194 589-145 612-100 637-48 650-14 650 2 650 11 645 16 635 16 628 16 623 12 620 3 605-43 564-90 508-90 457-90 450-49 442 6 526 39 597 96 654 178 711 260 740 345 740 434 740 513 717 577 670 628 623 679 561 705 484 705 431 705 378 692 325 665 217 612 138 528 87 415 62 358 49 302 49 245 49 88 151-24 306-24M645 466C645 405 630 335 600 254 565 161 511 92 436 48 432 70 426 90 418 108 405 138 381 153 346 153 291 153 241 103 241 48 241 39 242 30 244 23 177 54 144 117 144 213 144 255 152 306 169 366 204 493 267 583 358 636 401 660 441 672 478 672 588 672 645 581 645 466M346 123C383 123 402 96 402 43 402 34 399 29 393 27 365 15 338 9 312 9 284 9 270 22 270 48 270 86 308 123 346 123Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 能表示所有不超过 15 的正整数，那么<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.79ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 791 899"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="Q"><g data-mml-node="mi" data-latex="Q"><path data-c="1D444" d="M306-24C335-24 366-19 399-10 396-48 395-72 395-81 395-156 424-194 481-194 542-194 589-145 612-100 637-48 650-14 650 2 650 11 645 16 635 16 628 16 623 12 620 3 605-43 564-90 508-90 457-90 450-49 442 6 526 39 597 96 654 178 711 260 740 345 740 434 740 513 717 577 670 628 623 679 561 705 484 705 431 705 378 692 325 665 217 612 138 528 87 415 62 358 49 302 49 245 49 88 151-24 306-24M645 466C645 405 630 335 600 254 565 161 511 92 436 48 432 70 426 90 418 108 405 138 381 153 346 153 291 153 241 103 241 48 241 39 242 30 244 23 177 54 144 117 144 213 144 255 152 306 169 366 204 493 267 583 358 636 401 660 441 672 478 672 588 672 645 581 645 466M346 123C383 123 402 96 402 43 402 34 399 29 393 27 365 15 338 9 312 9 284 9 270 22 270 48 270 86 308 123 346 123Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 就能表示所有正整数。</p><p>换言之，“普遍表示” 这样一个表面上无限的性质，竟可以通过有限、而且很小的一组测试数来判断。</p><p>Conway 和 Will Schneeberger 选择不发表他们的证明，因为巴尔加瓦（Manul Bhargava，1974- ）找到了一个更简单的证明，并于 2000 年发表。</p><p>Conway 对整二次型（integral quadratic form）提出了一个类似的猜想，其中常数 15 被 290 取代。</p><p>Bhargava 和 Jonathan Hanke 在 2011 年发表了一篇预印本（泛二次型和 290 定理）《Universal quadratic forms and the 290-theorem》，其中包含了这个 “290 猜想” 的证明。</p><h3 id="七、几何、格与量子基础"><a href="#七、几何、格与量子基础" class="headerlink" title="七、几何、格与量子基础"></a>七、几何、格与量子基础</h3><p>Conway 晚年的另一条主线，是几何与离散结构的结合。与斯隆（James Alexander Sloane，1939- ）合著的《球堆积、格和群》（Sphere Packings, Lattices and Groups）长期是这一领域的标准参考书之一，它把球堆积、Leech 格、<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.657ex" height="1.913ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 1174.6 845.6"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="E_8"><g data-mml-node="msub" data-latex="E_8 "><g data-mml-node="mi" data-latex="E"><path data-c="1D438" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 49 0 70 0L583 0C607 0 609 2 617 19L657 109C684 171 703 217 714 248 712 257 709 263 698 263 691 263 685 258 681 249 656 190 632 145 608 113 568 59 509 39 415 39L270 39C260 39 253 39 249 40 243 40 240 42 240 45 240 47 242 54 245 67L311 334 406 334C453 334 478 328 483 315 485 310 486 303 486 293 486 280 484 264 479 245 477 240 476 236 476 233 476 223 482 218 493 218 502 218 508 226 512 241L568 473C568 483 563 488 552 488 544 488 538 481 535 467 525 428 512 403 495 391 478 379 450 373 409 373L321 373 379 606C387 640 387 641 429 641L568 641C619 641 654 636 673 626 701 611 715 581 715 536 715 519 714 501 711 484 711 482 711 479 710 475L710 466C710 455 715 450 725 450 735 450 741 459 743 478L763 649C766 677 759 680 732 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(771,-150) scale(0.707)" data-latex="8"><path data-c="38" d="M250 666C201 666 158 650 122 618 86 586 68 546 68 497 68 456 83 419 113 386 120 378 142 361 179 335 88 288 42 227 42 153 42 100 64 57 107 24 147-7 194-22 249-22 305-22 354-4 395 32 436 68 457 115 457 170 457 216 441 257 408 294 396 307 365 330 316 361 393 402 431 454 431 515 431 606 344 666 250 666M379 515C379 463 348 418 286 381L167 459C136 479 120 505 120 536 120 596 185 633 249 633 318 633 379 584 379 515M250 14C168 14 99 73 99 153 99 220 136 274 210 315L328 240C376 209 400 174 400 134 400 62 325 14 250 14Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 格以及相关群论放进同一部书里处理。</p><p>对 Conway 而言，这不是 “把旧工作汇编成书”，而是再次表明他始终把几何、格与有限对称性看成一个连续体。</p><p>2006 年，他与科亨（Simon Bernhard Kochen，1934- ）发表《自由意志定理》（The Free Will Theorem）。这篇论文的表述方式很像 Conway 本人：标题半带挑衅，但内容是严肃的。其摘要说得很明确：如果实验者的选择不是可得信息的函数，那么在若干自然物理假设下，粒子的响应同样不能是先前信息的函数。无论人是否接受其哲学命名，</p></div></div><div class="footer"></div><div class="article-meta" id="bottom"><div class="new-meta-box"></div></div><div class="prev-next"><a class="prev" href="/notes/person/2"><p class="title"><i class="fa-solid fa-chevron-left" aria-hidden="true"></i>Thompson约翰·格里格斯·汤普森：有限群论大师的学术生涯与贡献</p><p class="content">美国数学家约翰·格里格斯·汤普森，在有限群论领域取得革命性突破，包括证明奇数阶群可解及推动单群分类。其工作延伸至数论与数学物理，荣获菲尔兹奖、沃尔夫奖等最高荣誉。</p></a><a class="next" href="/notes/person/4"><p class="title">Borcherds理查德·尤恩·博赫兹的生平、学术贡献与思想历程<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">本文记述了菲尔兹奖得主、数学家理查德·博赫兹的生平与主要成就。他证明了著名的魔群月光猜想，并为此创立了顶点代数与广义Kac-Moody代数等核心理论。文章也涵盖其早年经历、学术生涯的挑战与个人特质，以及近期致力于量子场论数学基础研究的工作</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/2.html" title="Thompson约翰·格里格斯·汤普森：有限群论大师的学术生涯与贡献" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/26.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/26.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Thompson约翰·格里格斯·汤普森：有限群论大师的学术生涯与贡献"> <span class="title">Thompson约翰·格里格斯·汤普森：有限群论大师的学术生涯与贡献</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/4.html" 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srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Littlewood英国数学家李特尔伍德生平与数学贡献"> <span class="title">Littlewood英国数学家李特尔伍德生平与数学贡献</span></a></div></div></article><article class="post white-box shadow floatable blur" id="comments"><span hidden=""><meta itemprop="discussionUrl" content="/notes/person/3#comments"></span><p ct=""><i class="fa-duotone fa-comments"></i> 留言区</p><div id="layoutHelper-comments"></div></article></div><aside id="l_side" itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPSideBar"><section class="widget text desktop mobile pjax"><header><a href="/notes/"><i class="fa-duotone fa-book fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">Notes</span></a></header><div class="content"></div></section><section class="widget list group desktop mobile pjax"><header><i class="fa-duotone fa-p fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">History of mathematics</span></header><div class="content"><ul class="list entry navigation"><li><a class="flat-box" title="/notes/person/" href="/notes/person/" active-action="action-notesperson"><div class="name"> Welcome</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/1" href="/notes/person/1" active-action="action-notesperson1"><div class="name"> Hilbert</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/2" href="/notes/person/2" active-action="action-notesperson2"><div class="name"> Thompson</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/3" href="/notes/person/3" active-action="action-notesperson3"><div class="name"> Conway</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/4" href="/notes/person/4" active-action="action-notesperson4"><div class="name"> Borcherds</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/5" href="/notes/person/5" active-action="action-notesperson5"><div class="name"> Wall</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/6" href="/notes/person/6" active-action="action-notesperson6"><div 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