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Magicland","logo":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}},"url":"https://blog.mhuig.top/notes/person/28","wordCount":0,"datePublished":"2026-05-19T01:07:00.000Z","dateModified":"2026-05-19T01:10:00.000Z","articleSection":"历史","keywords":"History,人物,Grothendieck,格罗腾迪克,概型理论,代数几何,K-理论","image":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}}]</script></head><body itemscope="" itemtype="http://schema.org/WebPage"><pjax></pjax><header itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPHeader" id="l_header" class="l_header auto shadow floatable blur show" style="opacity:0"><div class="container"><div id="wrapper"><div class="nav-sub"><p class="title"></p><ul class="switcher nav-list-h m-phone" id="pjax-header-nav-list"><li><a id="s-comment" class="fa-solid fa-comments fa-fw" target="_self" title="comment"></a></li><li><a id="s-toc" class="s-toc fa-solid fa-list fa-fw" target="_self" 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="Grothendieck格罗腾迪克：改变现代数学的概念革新者与人生探索者"><meta itemprop="description" content="格罗腾迪克在蒙彼利埃大学独立发现勒贝格积分，后在南锡大学解决泛函分析难题，于IHÉS创立概型理论与Étale上同调，推动代数几何革命，却因反军事立场离职，晚年转向政治与哲学，其工作重塑数学语言与结构。"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">Grothendieck</span></p><br><h1 hidden="">Grothendieck</h1><div class="story post-story"><h2 id="生平"><a href="#生平" class="headerlink" title="生平"></a>生平</h2><p>1945 年，Schurik（此后我们将称他为 Grothendieck）和他母亲搬到了蒙彼利埃附近的梅萨尔格村（Maisargues）。在那里，Grothendieck 一边在葡萄园工作，一边利用一笔小额奖学金进入蒙彼利埃大学（Université de Montpellier）学习数学。在学校时，他对所学数学内容感到不满。</p><p>他曾这样描述自己的感受：“让我最不满意的是高中数学教材中缺乏对某些概念的严谨定义，比如曲线长度、曲面面积和立体体积。我当时对自己承诺，如果有机会，我一定要弥补这个空白。”</p><p>这段早期的反思与探索为 Grothendieck 的数学研究奠定了坚实的基础，并展现出他对概念本质的强烈渴望，这种特质贯穿了他的一生。</p><p>在蒙彼利埃大学就读期间，Grothendieck 的教授们并未能帮助他弥补这些对于概念本质理解上的空白，他不得不独立开展研究。他的第一段真正的数学经历就发生在蒙彼利埃的本科阶段。</p><p>他对当时所接受的教学深感不满。他学会了如何计算球体的体积，但没有人向他解释过体积的定义。他认为，将 “如何做” 转变为 “为什么这样” 是数学精神的显著标志。</p><p>一位教授告诉他，有位名为 Lebesgue 的数学家解决了数学中所有剩余的难题，但其工作过于复杂，无法讲授。</p><p>这种回应并未让 Grothendieck 却步，他在几乎没有任何提示的情况下，独自重新发现了一种非常广义的勒贝格积分的版本。他的第一篇数学工作就这样在完全孤立的环境下诞生了。（我们稍后会看到关于这段故事的另一视角的叙述）</p><p>蒙彼利埃的 Soula 教授相信勒贝格（Henri Lebesgue, 1875-1941）已经解决了所有尚未解决的数学问题。这位教授曾师从埃利・嘉当（Élie Joseph Cartan, 1869-1951），并建议 Grothendieck 前往巴黎，与亨利・嘉当（Henri Paul Cartan, 1904-2008）学习。Grothendieck 接受了这一建议，他于 1948 至 1949 学年在巴黎高等师范学院（École Normale Supérieure）学习。</p><p>在巴黎期间，他参加了 Henri Cartan 的研讨班，主题涉及代数拓扑和层理论。在这里，Grothendieck 认识了当时一批顶尖的数学家，他们也参与了 Cartan 的研讨班，其中包括克洛德・谢瓦莱（Claude Chevalley, 1909-1984）、让・德尔萨特（Jean Frédéric Auguste Delsarte, 1903-1968）、迪厄多内（Jean Alexandre Eugène Dieudonné, 1906-1992）、戈德曼（Roger Godement, 1921-2016）、施瓦茨（Laurent-Moïse Schwartz, 1915-2002）以及韦伊（André Weil, 1906-2008）。</p><p>与此同时，他的一位同学正是后来的菲尔兹奖得主让 - 皮埃尔・塞尔（Jean-Pierre Albert Achille Serre, 1926- ）。尽管 Cartan 的研讨班主要关注代数拓扑，但当时 Grothendieck 对拓扑向量空间的兴趣更浓厚。Weil 和 Henri Cartan 建议他前往南锡（Nancy），因为那里有一支强大的研究团队，包括上述提到的 Dieudonné、Delsarte、Godement 和 Schwartz。</p><p>关于这段经历，Cartan 在一段采访中有所提及：“… 严格来说，Grothendieck 并不是我的学生。他十二岁时以难民身份来到法国，那是纳粹时期；他的母亲是德国人，父亲是俄罗斯人。他的学业得到了一个私人机构的资助，这个机构由一位法国数学家负责，这位数学家后来成为了总督察（教育系统中的高级官员）。这位有远见且富有奉献精神的科学家发现了这个年轻人的才华，并为他提供了奖学金，这使他不仅完成了中学学业，还得以在蒙彼利埃大学学习了一年（不过他认为在那里没有学到太多东西…）。第二年，他来到巴黎并参加了我的研讨班。在积分学方面，他有一些非常笼统且抽象的想法，而我和 Dieudonné 都对此提出了一定的质疑。随后我们决定把他送到南锡，那里的学术氛围很活跃，有一所充满活力的学校，得益于 Jean Delsarte、Jean Dieudonné、Laurent Schwartz、Roger Godement 以及其他一些人的存在。</p><p>Dieudonné 起初认为他有些自负，但还是给他提出了一些泛函分析方面的问题，这些问题是他和 Schwartz 在最近的研究中未能解决的问题。Grothendieck 起初沉默不语，但两个月后，他完全解决了这些问题，这让南锡的数学家们信服了他的能力。”</p><p>我们继续讲下他在南锡的故事。1949 年，Grothendieck 搬到了南锡大学（University of Nancy），与他的母亲同住。他的母亲因在拘留营期间感染了肺结核，偶尔需要卧床休养。此时，Grothendieck 与房东的一位女士育有一子，名为 Serge。Serge 主要由他的母亲抚养长大。</p><p>在南锡，Grothendieck 与 Jean Dieudonné 合作研究泛函分析。他当时拥有的书籍寥寥无几，但他并不通过阅读来学习，而是倾向于自己重新构建知识。他工作极为勤奋。南锡的学术氛围非常活跃，每周六都有一个研讨班，教授们和部分学生共同参与，研讨各类数学主题。这为年轻的 Grothendieck 提供了绝佳的研究环境。</p><p>Dieudonné 回忆道：“对于局部凸空间的对偶性理论需要进行全面的研究。施瓦茨和我已经开始研究 Fréchet spaces 及其 direct limit，但我们遇到了一系列无法解决的问题。于是我们将这些问题交给了 Grothendieck，而他的成果远远超出了我们的期望。在不到一年的时间里，他用极富创造性的构造方法解决了我们所有的问题；然后，他利用自己开发的技术，开始研究泛函分析中的许多其他问题。”</p><p>1953 年，Grothendieck 提交了博士论文《拓扑张量积与核空间》（Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires）。他于 1953 年 2 月 28 日在巴黎进行博士论文答辩。</p><p>当时出席答辩的一位数学家马尔格朗日（Bernard Malgrange, 1928-2024）回忆道：“在完成博士论文后，Grothendieck 表示他对拓扑向量空间不再感兴趣。他告诉 Malgrange：‘这个领域已经没有什么可做的了，这个主题已经死了。’” 当时，学生需要准备一篇 “第二论文”，这篇论文不需要原创研究，</p><p>但旨在展示学生对与博士研究主题完全不同的数学领域的深入理解。他的第二论文主题是层理论，而这项工作可能为他在代数几何领域的伟大成就播下了种子。Grothendieck 的博士论文答辩在巴黎举行。答辩结束后，Malgrange 回忆说，他与 Grothendieck 以及 Henri Cartan 一起乘出租车前往 Laurent Schwartz 家中共进午餐。当时选择乘出租车是因为 Malgrange 因滑雪摔断腿。在车上，Cartan 向 Grothendieck 解释了他在层理论中所提出的一些不正确的观点。”</p><p>1953 年至 1955 年间，Grothendieck 在巴西圣保罗大学（University of São Paulo）任教，随后一年在美国堪萨斯大学（University of Kansas）工作。然而，在此期间，他的研究兴趣发生了转变，逐渐转向拓扑学和几何学。实际上，从 1950 年起，Grothendieck 便一直受到法国国家科学研究中心（Centre National de la Recherche Scientifique, CNRS）的资助。1956 年离开堪萨斯后，他回到 CNRS。</p><p>与此同时，他成为了布尔巴基学派的一员，该学派包括 André Weil、Henri Cartan、Jean Dieudonné。然而，1959 年，Grothendieck 接受了当时新成立的法国高等科学研究所（Institut des Hautes Études Scientifiques, IHÉS）提供的研究职位。这在当时是一所完全由私人资助研究机构，Jean Dieudonné 和 Grothendieck 是最早受邀的数学家。</p><p>Grothendieck 也得以在那里举办的密集且高产的研讨活动，并引起了广泛关注。在此期间，他几乎停止了通过传统的学术期刊发表论文。然而，Grothendieck 通过举办讨论班并出版 SGA（布瓦玛丽代数几何研讨班 Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie，简称 SGA）在数学界占据了主导地位约十年，并形成了一个强大的学派。</p><p>在这段时间内，他的正式学生包括：</p><ul><li>米歇尔・德马祖尔（Michel Demazure, 1937-）：参与 SGA3 的工作，研究群概型 group scheme；</li><li>吕克・伊吕西（Luc Illusie, 1940-）：研究 cotangent complex；</li><li>米歇尔・雷诺（Michel Raynaud, 1938-2018）；</li><li>让 - 路易・维尔迪耶（Jean-Louis Verdier, 1935-1989）：导出范畴 derived category 理论的共同创立者；</li><li>皮埃尔・德利涅（Pierre Deligne, 1944-）。</li></ul><p>SGA 项目的合作者还包括：</p><ul><li>迈克尔・阿廷（Michael Artin, 1934- ）：研究 étale 上同调；</li><li>尼克・卡茨（Nick Michael Katz, 1943- ）：研究单值理论 monodromy 和 Lefschetz pencil；</li><li>让・吉罗（Jean Henri Gaston Giraud, 1938-2012）：扩展了非交换上同调理论。</li></ul><p>其他许多人也参与其中，如：</p><ul><li>大卫・芒福德（David Bryant Mumford, 1937- ）；</li><li>罗宾・哈茨霍恩（Robin Cope Hartshorne, 1938- ）；</li><li>巴里・马祖尔（Barry Charles Mazur, 1937- ）；</li><li>拉马努詹（Chakravarthi Padmanabhan Ramanujam, 1938-1974）。</li></ul><p>正如文献《Grothendieck 的遗产》中描述的那样：“不夸张地说，Grothendieck 在 IHÉS 的 1959 年至 1970 年是他的‘黄金时代’。在他的个人魅力和领导下，一个全新的数学流派蓬勃发展。Grothendieck 的《代数几何研讨班》（Séminaire de Géométrie Algébrique）将 IHÉS 建立为代数几何的世界中心，而他是这一领域的核心推动力量。”</p><p>在这一时期，Grothendieck 的工作为几何学、数论、拓扑学和复分析提供了统一的主题。他在 20 世纪 60 年代引入了概型理论（theory of schemes），这一理论为解决 Weil 猜想提供了工具。他还研究了拓扑斯理论（topos），这一理论与数学逻辑密切相关。他为 Riemann-Roch theorem 给出了代数证明，并提出了曲线基本群的代数定义。Grothendieck 的这一系列成果不仅彻底改变了代数几何领域，也为现代数学奠定了重要基础。</p><p>20 世纪 50 年代后期，Grothendieck 与米雷耶（Mireille）生活在一起，两人育有三个孩子：约翰娜（Johanna）、马修（Mathieu）和亚历山大（Alexandre）。几年后，他与米雷耶结婚。</p><p>1964 年，Luc Illusie 开始参加 Grothendieck 在法国高等科学研究所（IHÉS）主持的研讨班。他在回忆录中写道：“他在黑板前讲解时充满激情，同时也非常注意回顾所有必要的背景知识。他的讲解极为精准，条理清晰，即便像我这样对该主题一无所知的人，也能够理解其形式结构。虽然讲解速度很快，但清晰程度足以让我记笔记。”</p><p>他于 1966 年获得菲尔兹奖。回顾这一时期，人们无不惊叹于 Grothendieck 与同事及学生分享自己思想的慷慨精神，他与合作者对精确编撰工作的投入，以及他们探索数学新领域时所展现的激情与兴奋。</p><p>菲尔兹奖授予 Grothendieck 的颁奖词：“Grothendieck 在 Weil 和 Zariski 工作的基础上，推动了代数拓扑和代数几何的根本性进步。他引入了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 889 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 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points d'algèbre homologique），涉及阿贝尔范畴、模层、消解、导出函子和 Grothendieck 谱序列。然而，1966 年国际数学家大会于当年 8 月在莫斯科召开，而菲尔兹奖的颁发却遇到了一些困难。Grothendieck 拒绝前往莫斯科领取菲尔兹奖。</p><p>在大会上，由 IHÉS 的负责人莱昂・莫特尚（Léon Motchane, 1900-1990）代为接受奖项。Grothendieck 并未公开声明他拒绝赴莫斯科的具体原因，但他宣称自己是 “世界公民”，并申请了联合国公民身份。</p><p>1967 年 11 月至 12 月，Grothendieck 访问了当时正遭受美军轰炸的北越。他的第一批讲座 —— 他称之为 “总览性讲座”—— 在河内举行。然而，由于首都轰炸加剧，高层决定将所有人撤离到河内大学数学系的秘密地点。Grothendieck 写道：“随后我在河内大学的撤离地（距首都约 100 公里）度过了一周半的时间；这段时间主要用于一个更专业的专题讲座，内容涵盖范畴和同调代数，听众约有 30 到 40 人，大多数是在听了我在河内的总览性讲座后追随而来的。”</p><p>Grothendieck 回忆这一事件成为数学史上的一个重要时刻：20 世纪最伟大的数学家之一，在一个被美军轰炸得 “回到石器时代”（美国空军将领柯蒂斯・勒梅（Curtis Emerson LeMay, 1906-1990）的说法），必须在极端贫困的丛林隐蔽所中，开设一个关于同调代数的短期课程。</p><p>1970 年，Grothendieck 离开了法国高等科学研究所（IHÉS）。这是由于他在 1969 年发现该研究所的一部分资金来自军事机构。他与其他教授共同劝说所长 Léon Motchane 不再接受来自法国军方的资助。然而，几个月后，由于研究所预算紧张，所长违背了承诺。</p><p>Grothendieck 试图说服所有教授以辞职抗议，但其他人并未支持他的行动。他辞职信日期为 1970 年 5 月 25 日。</p><p>1970 年至 1972 年，他在法兰西学院担任访问教授，随后于 1972 年至 1973 年在奥赛（Orsay）大学任类似职务。然而，Grothendieck 在这段时间还面临着其他问题。他写道，自己正经历一种 “精神停滞”（spiritual stagnation）。他将主要精力从数学转向了政治抗议，尤其是反对核扩散。然而，与他在数学领域的卓越贡献相比，他的政治活动并未取得显著成效。</p><p>1970 年，Grothendieck 与另外两位数学家 Claude Chevalley 和皮埃尔・萨缪尔（Pierre Samuel, 1921-2009）共同创建一个政治团体，名为 “生存（Survivre）”，后来改名为 “生存与生活（Survivre et vivre）”。该团体出版了一份简报，致力于反军事和生态问题，同时对科学技术的滥用提出了尖锐批评。在接下来三年里，Grothendieck 全身心投入到这一团体的工作中，并担任该简报的主要编辑。这一时期，他的活动主要集中在社会和环境问题上，而非数学研究。</p><p>1973 年，他接受了蒙彼利埃大学的教授职位，教授研究生课程，并指导学生。他于 1973 年至 1980 年间住在靠近洛德夫（Lodeve）的维勒昆（Villecun），然后搬到靠近卡庞特拉（Carpentras）的莫尔穆瓦隆（Mormoiron）。1984 年至 1988 年间，他休假并在法国国家科学研究中心（CNRS）主持研究。他于 1988 年满 60 岁时退休。与他接受 1966 年菲尔兹奖不同，Grothendieck 在 1988 年拒绝接受克拉福德奖（Crafoord Prize）。</p><p>在 1980 年至 1990 年间，Grothendieck 写下了数千页手稿，其中部分包含他的数学思想，部分则是非数学的沉思。他的数学手稿包括《穿越伽罗瓦理论的漫长行程》（La longue marche à travers la théorie de Galois, 1981）、《stack 理论的追寻》（A la poursuite des champs, 1983）《一个计划的草图》（Esquisse d'un programme, 1983，他提出了 Anabelian geometry 的基础性想法，也是他写给 CNRS 的一个职位申请，并遭到拒绝，有人称之为 The best rejected proposal ever，proposal 里面提到了 Dessins d'enfants (Children's drawings) 的概念）以及《导子》（Les dérivateurs, 1987，致力于同伦论的基础研究，dérivateur 的概念最初在 poursuite des champs 中提出）。</p><p>他的非数学著作则包括《颂歌》（Eloge, 1981，但后来似乎遗失）、《收获与播种》（Récoltes et Semailles, 1983-1985）和《梦的钥匙》（La clef des songes, 1986）。</p><p>1991 年 8 月，Grothendieck 突然离家，未通知任何人，隐居至未知地点。在那里，他专注于撰写一部关于物理学的大型作品，以及关于自由意志、决定论和邪恶存在等主题的哲学沉思。他几乎断绝了所有人际交往。</p><p>此后，极少有人拜访他。据报道，当地村民在得知他试图以蒲公英汤为主食维生后，帮助他改善了饮食。有一段时间，莱拉・施内普斯（Leila Schneps，1961- ）和皮埃尔・洛沙克（Pierre Lochak，1957- ）找到了他的住处，并与他进行了短暂的通信，成为 “最后几位与他联系的数学界人士之一”。他去世后，人们得知他独居在阿列日省（Ariège）的小村庄拉塞尔（Lasserre）的一栋房子里。</p><p>2010 年 1 月，Grothendieck 致信 Luc Illusie，发表了一封题为《不再出版声明》（Déclaration d’intention de non-publication）的公开信。他声称所有未经他许可发表的作品均属擅自出版，并要求这些作品的复印件从图书馆中移除。他还将一个致力于研究他作品的网站称为 “一种可憎之物”。</p><p>2014 年 9 月，Grothendieck 几乎完全失聪且失明。他曾请求邻居为他购买一把左轮手枪，以便自我了断。同年 11 月 13 日，86 岁的 Grothendieck 在阿列日（Ariège）的医院中去世。</p><p>他以其超凡的创造力和深入的概念理解，彻底改变了 20 世纪数学的面貌。他不仅通过极高的抽象层次重塑了数学的研究方法，还提供了统一的框架，将代数几何、逻辑学和范畴论等不同领域联系起来，成为现代数学许多分支的基础。</p><p>他的贡献，不仅解决了许多长期未解的问题，还开辟了新的研究领域，塑造了当代数学的语言与结构。</p><p>他曾写道：“数学不仅是关于做困难的事情，更是关于提供框架，使困难的事情变得简单（从而为解决新的困难任务创造机会）。” 在他看来，数学不仅是一门科学，更是一种精神追求。他的名言 “（解决问题的途径在于）从黑暗中带出新的概念”，不仅激励着数学家，也为所有探索未知的人们指明了方向。</p><p>《Grothendieck 纪念文集》（The Grothendieck Festschrif）是为了庆祝 Gorthendieck 六十岁生日而出版的，首次出版于 1990 年。该文集中总结到：他改变了我们对许多数学分支的思考方式。他的许多创新思想在当时看似革命性，而今天看来却显得如此自然，仿佛是不可避免的。实际上，他对现代数学的巨大贡献对后来的数学家们产生深远的影响，难以完全衡量。Gorthendieck 的研究包括泛函分析、代数几何、代数拓扑、数论、表示论、K- 理论、范畴论和同调代数等。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="贡献"><a href="#贡献" class="headerlink" title="贡献"></a>贡献</h2><h3 id="1、泛函分析"><a href="#1、泛函分析" class="headerlink" title="1、泛函分析"></a>1、泛函分析</h3><p>1953 年，Grothendieck 发表了他在泛函分析方面的杰出成果：“Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires.” 即拓扑空间张量积和核（nuclear）空间。</p><p>Schwartz 建议 Grothendieck 在其博士论文中研究如下的问题：在两个局部凸空间<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.733ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 766 680"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="E"><g data-mml-node="mi" data-latex="E"><path data-c="1D438" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 49 0 70 0L583 0C607 0 609 2 617 19L657 109C684 171 703 217 714 248 712 257 709 263 698 263 691 263 685 258 681 249 656 190 632 145 608 113 568 59 509 39 415 39L270 39C260 39 253 39 249 40 243 40 240 42 240 45 240 47 242 54 245 67L311 334 406 334C453 334 478 328 483 315 485 310 486 303 486 293 486 280 484 264 479 245 477 240 476 236 476 233 476 223 482 218 493 218 502 218 508 226 512 241L568 473C568 483 563 488 552 488 544 488 538 481 535 467 525 428 512 403 495 391 478 379 450 373 409 373L321 373 379 606C387 640 387 641 429 641L568 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overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.873ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 828 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="D"><g data-mml-node="mi" data-latex="D"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上有诱导极限拓扑（inductive limit topology），这是一个<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.24ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 1432 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="LF"><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 15 39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248 643 258 638 263 627 263 617 263 612 254 607 240 588 191 570 154 555 131 518 75 455 39 363 39L270 39C259 39 252 39 249 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L377 601C383 624 396 637 415 642 421 643 442 644 478 644 506 644 520 644 520 667Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="F" transform="translate(681,0)"><path data-c="1D439" d="M199 656C199 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viewBox="0 -680 751 680"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="F"><g data-mml-node="mi" data-latex="F"><path data-c="1D439" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C150 60 140 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L187 3 335 0C351 0 359 8 359 23 359 40 348 39 322 39 278 39 253 41 247 46 244 47 243 51 243 56L307 321 400 321C446 321 478 319 478 281 478 268 476 252 471 233 470 230 469 226 468 222 468 211 473 206 484 206 489 207 496 214 503 229L557 444C559 452 560 458 560 461 557 470 551 475 544 475 536 475 530 467 526 452 516 414 502 390 486 378 470 366 442 360 402 360L317 360 379 606C387 640 387 641 429 641L559 641C656 641 700 626 700 537 700 517 699 499 697 484 696 473 695 467 695 466 695 455 700 450 710 450 720 450 726 459 728 478L748 649C751 677 744 680 717 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是任意一个局部凸空间。对于这个空间<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.171ex" height="2.261ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -751.2 2727.8 999.2"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="D'(F)"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi" data-latex="D"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g><g data-mml-node="mo" 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知道其上有一个 “良好” 的拓扑，特别的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.873ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 828 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="D \otimes F"><g data-mml-node="mi" data-latex="D"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.971ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1755.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="D \otimes F"><g data-mml-node="mo" data-latex="\otimes"><path data-c="2297" d="M48 249C48 60 201-93 390-93 579-93 732 60 732 249 732 438 579 591 390 591 201 591 48 438 48 249M615 58 423 250 614 441C658 389 685 322 685 249 685 176 659 110 615 58M198 475C250 519 316 545 389 545 462 545 528 519 580 475L389 284M581 24C529-20 462-47 389-47 316-47 249-20 197 24L389 216M164 441 355 250 163 58C119 110 93 176 93 249 93 322 120 389 164 441Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="F" transform="translate(1004.2,0)"><path data-c="1D439" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C150 60 140 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L187 3 335 0C351 0 359 8 359 23 359 40 348 39 322 39 278 39 253 41 247 46 244 47 243 51 243 56L307 321 400 321C446 321 478 319 478 281 478 268 476 252 471 233 470 230 469 226 468 222 468 211 473 206 484 206 489 207 496 214 503 229L557 444C559 452 560 458 560 461 557 470 551 475 544 475 536 475 530 467 526 452 516 414 502 390 486 378 470 366 442 360 402 360L317 360 379 606C387 640 387 641 429 641L559 641C656 641 700 626 700 537 700 517 699 499 697 484 696 473 695 467 695 466 695 455 700 450 710 450 720 450 726 459 728 478L748 649C751 677 744 680 717 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 可以看做这其中的稠密子空间，因此也诱导了一个相应的良好拓扑。但对于一般情况，Schwartz 并不知道是否有类似结论。</p><p>1953 年夏天，Grothendieck 在巴西度过，在 7 月底，他给 Schwartz 写了一封某种意义上令人失望的信：在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.733ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 766 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="E \otimes F"><g data-mml-node="mi" data-latex="E"><path data-c="1D438" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 49 0 70 0L583 0C607 0 609 2 617 19L657 109C684 171 703 217 714 248 712 257 709 263 698 263 691 263 685 258 681 249 656 190 632 145 608 113 568 59 509 39 415 39L270 39C260 39 253 39 249 40 243 40 240 42 240 45 240 47 242 54 245 67L311 334 406 334C453 334 478 328 483 315 485 310 486 303 486 293 486 280 484 264 479 245 477 240 476 236 476 233 476 223 482 218 493 218 502 218 508 226 512 241L568 473C568 483 563 488 552 488 544 488 538 481 535 467 525 428 512 403 495 391 478 379 450 373 409 373L321 373 379 606C387 640 387 641 429 641L568 641C619 641 654 636 673 626 701 611 715 581 715 536 715 519 714 501 711 484 711 482 711 479 710 475L710 466C710 455 715 450 725 450 735 450 741 459 743 478L763 649C766 677 759 680 732 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.971ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1755.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="E \otimes F"><g data-mml-node="mo" data-latex="\otimes"><path data-c="2297" d="M48 249C48 60 201-93 390-93 579-93 732 60 732 249 732 438 579 591 390 591 201 591 48 438 48 249M615 58 423 250 614 441C658 389 685 322 685 249 685 176 659 110 615 58M198 475C250 519 316 545 389 545 462 545 528 519 580 475L389 284M581 24C529-20 462-47 389-47 316-47 249-20 197 24L389 216M164 441 355 250 163 58C119 110 93 176 93 249 93 322 120 389 164 441Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="F" transform="translate(1004.2,0)"><path data-c="1D439" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 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transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="D \otimes F"><g data-mml-node="mo" data-latex="\otimes"><path data-c="2297" d="M48 249C48 60 201-93 390-93 579-93 732 60 732 249 732 438 579 591 390 591 201 591 48 438 48 249M615 58 423 250 614 441C658 389 685 322 685 249 685 176 659 110 615 58M198 475C250 519 316 545 389 545 462 545 528 519 580 475L389 284M581 24C529-20 462-47 389-47 316-47 249-20 197 24L389 216M164 441 355 250 163 58C119 110 93 176 93 249 93 322 120 389 164 441Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="F" transform="translate(1004.2,0)"><path data-c="1D439" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C150 60 140 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L187 3 335 0C351 0 359 8 359 23 359 40 348 39 322 39 278 39 253 41 247 46 244 47 243 51 243 56L307 321 400 321C446 321 478 319 478 281 478 268 476 252 471 233 470 230 469 226 468 222 468 211 473 206 484 206 489 207 496 214 503 229L557 444C559 452 560 458 560 461 557 470 551 475 544 475 536 475 530 467 526 452 516 414 502 390 486 378 470 366 442 360 402 360L317 360 379 606C387 640 387 641 429 641L559 641C656 641 700 626 700 537 700 517 699 499 697 484 696 473 695 467 695 466 695 455 700 450 710 450 720 450 726 459 728 478L748 649C751 677 744 680 717 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上，这两种自然的拓扑竟然是一致的（并且与 Schwartz 所想的拓扑一致）！</p><p>Grothendieck 所发现的这两种自然拓扑，现如今被称为 projective topology 或者<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.29ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 570 442"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\pi"><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 拓扑和 injective topology 或<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.919ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 406 442"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\epsilon"><g data-mml-node="mi" data-latex="\epsilon"><path data-c="1D716" d="M228-11C268-11 305 0 339 22 352 31 358 38 358 43 358 55 353 61 344 61L330 54C293 30 260 18 230 18 163 18 128 72 128 142 128 168 131 195 138 222L296 222C321 222 333 229 333 242 333 254 322 260 301 260L148 260C175 349 229 393 310 393L340 393C364 393 376 400 376 413 376 425 365 431 343 431L309 431C238 431 176 407 124 358 72 309 47 250 47 179 47 71 120-11 228-11Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 拓扑。<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.29ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 570 442"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\pi"><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 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jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.733ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 766 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="E \times F"><g data-mml-node="mi" data-latex="E"><path data-c="1D438" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 49 0 70 0L583 0C607 0 609 2 617 19L657 109C684 171 703 217 714 248 712 257 709 263 698 263 691 263 685 258 681 249 656 190 632 145 608 113 568 59 509 39 415 39L270 39C260 39 253 39 249 40 243 40 240 42 240 45 240 47 242 54 245 67L311 334 406 334C453 334 478 328 483 315 485 310 486 303 486 293 486 280 484 264 479 245 477 240 476 236 476 233 476 223 482 218 493 218 502 218 508 226 512 241L568 473C568 483 563 488 552 488 544 488 538 481 535 467 525 428 512 403 495 391 478 379 450 373 409 373L321 373 379 606C387 640 387 641 429 641L568 641C619 641 654 636 673 626 701 611 715 581 715 536 715 519 714 501 711 484 711 482 711 479 710 475L710 466C710 455 715 450 725 450 735 450 741 459 743 478L763 649C766 677 759 680 732 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.962ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1751.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="E \times F"><g data-mml-node="mo" data-latex="\times"><path data-c="D7" d="M630 32C630 39 628 44 623 49L422 250 623 451C628 456 630 461 630 468 630 481 620 491 607 491 600 491 595 489 590 484L389 283 188 484C183 489 178 491 171 491 158 491 148 481 148 468 148 461 150 456 155 451L356 250 155 49C150 44 148 39 148 32 148 19 158 9 171 9 178 9 183 11 188 16L389 217 590 16C595 11 600 9 607 9 620 9 630 19 630 32Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="F" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="1D439" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C150 60 140 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L187 3 335 0C351 0 359 8 359 23 359 40 348 39 322 39 278 39 253 41 247 46 244 47 243 51 243 56L307 321 400 321C446 321 478 319 478 281 478 268 476 252 471 233 470 230 469 226 468 222 468 211 473 206 484 206 489 207 496 214 503 229L557 444C559 452 560 458 560 461 557 470 551 475 544 475 536 475 530 467 526 452 516 414 502 390 486 378 470 366 442 360 402 360L317 360 379 606C387 640 387 641 429 641L559 641C656 641 700 626 700 537 700 517 699 499 697 484 696 473 695 467 695 466 695 455 700 450 710 450 720 450 726 459 728 478L748 649C751 677 744 680 717 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 到<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的所有连续双线性映射。</p><p>而<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.919ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 406 442"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\epsilon"><g data-mml-node="mi" data-latex="\epsilon"><path data-c="1D716" d="M228-11C268-11 305 0 339 22 352 31 358 38 358 43 358 55 353 61 344 61L330 54C293 30 260 18 230 18 163 18 128 72 128 142 128 168 131 195 138 222L296 222C321 222 333 229 333 242 333 254 322 260 301 260L148 260C175 349 229 393 310 393L340 393C364 393 376 400 376 413 376 425 365 431 343 431L309 431C238 431 176 407 124 358 72 309 47 250 47 179 47 71 120-11 228-11Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 拓扑是 “合理” 拓扑中最弱的一种，在一些重要的算子类（classes of operators）的研究中具有重要意义。</p><p>Grothendieck 在他 300 多页的博士论文中进一步研究了这两种拓扑的性质，并且由此引出了 “Nuclear、integral and related operators” 的定义，解决了 Schwartz 和 Dieudonné 给他的问题。</p><h3 id="2、代数几何"><a href="#2、代数几何" class="headerlink" title="2、代数几何"></a>2、代数几何</h3><p>Grothendieck 在被称为法国高等科学研究所（IHÉS）“黄金时代” 期间的工作，奠定了代数几何、数论、拓扑学、范畴论和复分析等多个领域的统一主题。</p><p>在加入 IHÉS 之前，他在代数几何中的第一个重要成果是 Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch theorem，它是 Riemann-Roch theorem 的一个代数化推广；在此背景下，他还引入了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 889 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 理论。</p><p>随后，根据他在 1958 年国际数学家大会上提出的研究计划，他引入概形（schemes）理论，并在他著作《代数几何基础》（Éléments de géométrie algébrique, 简称 EGA）中详细发展这一理论，为代数几何提供更加灵活且普遍的基础，自那时起，这一体系便被该领域广泛采用。</p><p>Grothendieck 继续推进，他引入了概形的 étale 上同调理论，这是证明 Weil 猜想的重要工具。此外，他还提出了晶体上同调理论和代数化的 de Rham 上同调理论，与之形成互补关系。与这些上同调理论紧密相关，他创造了拓扑斯理论（topos theory），作为拓扑学的推广，并与范畴逻辑密切相关。他还通过范畴化的伽罗瓦理论给出了概形基本群的代数定义，开创了现在著名的 étale 基本群理论。</p><p>为了发展他的对偶理论，他引入了导出范畴（derived categories），这一理论后由他的学生维迪耶（Jean-Louis Verdier，1935-1989）进一步发展。</p><p>这些以及其他主题的研究成果发表在《代数几何基础》（EGA）中，以及他在 IHÉS 主持的代数几何研讨班笔记（Séminaire de géométrie algébrique，简称 SGA）中。这些工作不仅彻底革新了代数几何的理论体系，也为现代数学奠定了深远的基础。</p><h3 id="3、K-理论与-Grothendieck–Riemann–Roch-定理"><a href="#3、K-理论与-Grothendieck–Riemann–Roch-定理" class="headerlink" title="3、K-理论与 Grothendieck–Riemann–Roch 定理"></a>3、K- 理论与 Grothendieck–Riemann–Roch 定理</h3><p>交错和（alternative sum）在 Riemann-Roch theorem 中自然的出现，为了进一步推广这一理论，Grothendieck 对一个代数簇<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.002ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.724ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 762 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="Y"><g data-mml-node="mi" data-latex="Y"><path data-c="1D44C" d="M664 680C646 680 584 683 565 683 550 683 542 675 542 660 542 649 548 644 561 644 582 644 593 638 593 626 593 615 584 600 567 581L342 322 236 609C233 617 231 622 230 625 230 638 248 644 284 644 303 644 312 652 312 668 312 678 306 683 293 683L168 680C146 680 76 683 58 683 43 683 35 675 35 659 35 649 44 644 62 644 80 644 95 642 104 640 123 635 124 632 130 613L252 288C255 281 256 276 256 273L235 190C223 139 215 107 211 94 204 67 197 51 190 46 183 41 160 39 122 39 100 38 91 37 91 15 91 5 97 0 109 0L234 3 360 0C375-1 383 7 383 24 383 31 380 36 375 37 365 38 357 39 352 39 319 40 299 42 294 45 292 46 291 48 291 52 291 56 296 77 305 114L340 253C343 266 347 276 353 282L598 564 611 577C637 603 661 621 682 630 699 638 718 643 739 644 757 646 762 651 762 667 762 678 756 683 745 683 730 683 679 680 664 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 定义了以下群<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.495ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2429 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K(Y)"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(889,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="Y" transform="translate(1278,0)"><path data-c="1D44C" d="M664 680C646 680 584 683 565 683 550 683 542 675 542 660 542 649 548 644 561 644 582 644 593 638 593 626 593 615 584 600 567 581L342 322 236 609C233 617 231 622 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stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\varphi"><g data-mml-node="mi" data-latex="\varphi"><path data-c="1D711" d="M503 442C486 442 471 439 456 434 393 413 349 351 324 294 282 201 270 163 239 58 136 79 84 126 84 200 84 267 131 364 164 402 170 409 173 414 173 417 173 426 168 431 157 431 140 431 118 402 91 344 64 286 50 234 50 189 50 85 129 19 220-3L169-165C165-176 163-183 163-186 163-207 174-218 196-218 215-218 228-208 236-189L270-12C281-13 290-13 299-13 381-13 454 19 520 83 586 147 619 220 619 302 619 380 578 442 503 442M583 280C583 217 553 162 492 115 435 73 374 52 308 52 302 52 296 52 291 53 285 53 282 53 282 52 297 131 306 178 310 192 333 271 401 377 493 377 549 377 583 337 583 280Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，如果对于上述出现在正合列中的元素都满足</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:37.505ex"><svg style="vertical-align:-.624ex;min-width:37.505ex" 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\varphi([\mathcal{F}] ) = \varphi([\mathcal{F}'] ) + \varphi([\mathcal{F}''] ),
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\varphi([\mathcal{F}] ) = \varphi([\mathcal{F}'] ) + \varphi([\mathcal{F}''] ),
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 775.6) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="6210.6 -775.6 1 1051.2"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-25.6)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="\varphi"><path data-c="1D711" d="M503 442C486 442 471 439 456 434 393 413 349 351 324 294 282 201 270 163 239 58 136 79 84 126 84 200 84 267 131 364 164 402 170 409 173 414 173 417 173 426 168 431 157 431 140 431 118 402 91 344 64 286 50 234 50 189 50 85 129 19 220-3L169-165C165-176 163-183 163-186 163-207 174-218 196-218 215-218 228-208 236-189L270-12C281-13 290-13 299-13 381-13 454 19 520 83 586 147 619 220 619 302 619 380 578 442 503 442M583 280C583 217 553 162 492 115 435 73 374 52 308 52 302 52 296 52 291 53 285 53 282 53 282 52 297 131 306 178 310 192 333 271 401 377 493 377 549 377 583 337 583 280Z"></path></g><g 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overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:30.21ex"><svg style="vertical-align:-6.02ex;min-width:30.21ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="13.171ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -3160.9)"><g data-mml-node="math" data-latex="
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589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是上同调群。该定理已被广泛应用于特征类的具体计算中。</p><p>Grothendieck 的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 889 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 群推动了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 889 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 理论的发展，这一理论由奎伦（Daniel Gray Quillen, 1940-2011）和许多其他数学家的工作进一步深化。值得注意的是，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 889 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 理论在数学的多个领域中扮演了重要角色，从微分算子的理论（如 Atiyah-Singer 定理）到模表示理论（如 Brauer 定理）。</p><h3 id="4、Weil-猜想与-etale-上同调"><a href="#4、Weil-猜想与-etale-上同调" class="headerlink" title="4、Weil 猜想与 étale 上同调"></a>4、Weil 猜想与 étale 上同调</h3><p>在 GRR 的成果之后，Grothendieck 被誉为 “代数几何的超级明星”，并受邀参加 1958 年爱丁堡的国际数学家大会。会上，他提出了研究计划，旨在定义正特征下的上同调理论以证明 Weil conjecture。这成为他在他的代数几何领域工作的主要动机，尤其是 1959 年加入 IHÉS 后。他在 IHÉS 发起了 “代数几何研讨班”（Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie），使其成为代数几何的世界中心。</p><p>证明 Weil 猜想的关键是为正特征代数簇构造类似复数域上同调理论的工具。为此，Grothendieck 开发了 étale 上同调理论，并在此基础上定义了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.027ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.943ex" height="1.622ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 417 717"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\ell"><g data-mml-node="mi" data-latex="\ell"><path data-c="2113" d="M317 392C371 473 398 551 398 624 398 678 377 705 336 705 297 705 260 676 223 617 200 580 182 547 169 517 117 398 91 284 91 176L17 104C13 99 11 95 11 92 11 81 16 75 27 75 31 75 53 95 94 135 108 37 146-12 207-12 244-12 289 11 341 58 357 72 365 82 365 88 365 99 360 104 349 104 346 104 341 101 334 94 282 43 240 18 209 18 172 18 153 59 153 142 153 202 152 195 178 221 227 270 274 327 317 392M337 675C357 675 367 659 367 628 367 521 300 396 165 252 179 331 229 515 262 585 291 645 316 675 337 675Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> -adic 上同调。该理论成为证明 Weil 猜想的核心工具。</p><p>Grothendieck 的 étale 上同调革命性地推广了拓扑概念。他通过非分歧覆盖构造 étale 拓扑，以范畴化的方式定义了拓扑斯（topos）。这一方法克服了经典拓扑在代数几何中的局限性，为证明 Weil 猜想奠定了基础。</p><p>在 Grothendieck 的框架下，他的学生（如 Deligne、Verdier 等）完善了理论细节。最终，Deligne 在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.027ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.943ex" height="1.622ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 417 717"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\ell"><g data-mml-node="mi" data-latex="\ell"><path data-c="2113" d="M317 392C371 473 398 551 398 624 398 678 377 705 336 705 297 705 260 676 223 617 200 580 182 547 169 517 117 398 91 284 91 176L17 104C13 99 11 95 11 92 11 81 16 75 27 75 31 75 53 95 94 135 108 37 146-12 207-12 244-12 289 11 341 58 357 72 365 82 365 88 365 99 360 104 349 104 346 104 341 101 334 94 282 43 240 18 209 18 172 18 153 59 153 142 153 202 152 195 178 221 227 270 274 327 317 392M337 675C357 675 367 659 367 628 367 521 300 396 165 252 179 331 229 515 262 585 291 645 316 675 337 675Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> -adic 上同调的框架下完成了 Weil 猜想中函数域的黎曼猜想部分的证明，达成了 Grothendieck 的目标。</p><h3 id="5、概型理论与可表函子"><a href="#5、概型理论与可表函子" class="headerlink" title="5、概型理论与可表函子"></a>5、概型理论与可表函子</h3><p>概型是几何、交换代数和数论统一的对象。设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.925ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 851 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 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F^X = \{函数\ f: X \to F\}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
F^X = \{函数\ f: X \to F\}
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 823) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="5349.9 -823 1 1146"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-73)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msup" data-latex="F^X"><g data-mml-node="mi" data-latex="F"><path data-c="1D439" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C150 60 140 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L187 3 335 0C351 0 359 8 359 23 359 40 348 39 322 39 278 39 253 41 247 46 244 47 243 51 243 56L307 321 400 321C446 321 478 319 478 281 478 268 476 252 471 233 470 230 469 226 468 222 468 211 473 206 484 206 489 207 496 214 503 229L557 444C559 452 560 458 560 461 557 470 551 475 544 475 536 475 530 467 526 452 516 414 502 390 486 378 470 366 442 360 402 360L317 360 379 606C387 640 387 641 429 641L559 641C656 641 700 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style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.925ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 851 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 替换为一个更复杂的对象，即<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.374ex" height="1.914ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -846 1491.1 846"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="F^X"><g data-mml-node="msup" data-latex="F^X"><g data-mml-node="mi" data-latex="F"><path data-c="1D439" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C150 60 140 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L187 3 335 0C351 0 359 8 359 23 359 40 348 39 322 39 278 39 253 41 247 46 244 47 243 51 243 56L307 321 400 321C446 321 478 319 478 281 478 268 476 252 471 233 470 230 469 226 468 222 468 211 473 206 484 206 489 207 496 214 503 229L557 444C559 452 560 458 560 461 557 470 551 475 544 475 536 475 530 467 526 452 516 414 502 390 486 378 470 366 442 360 402 360L317 360 379 606C387 640 387 641 429 641L559 641C656 641 700 626 700 537 700 517 699 499 697 484 696 473 695 467 695 466 695 455 700 450 710 450 720 450 726 459 728 478L748 649C751 677 744 680 717 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(839.4,363) scale(0.707)" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 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等）深入研究了代数闭域上代数簇概念的一般化。</p><p>Serre 展示了交换环的局部化操作在环的极大谱<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.088ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 3575 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="Spec(A)"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 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631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。这一对象被称为概型（scheme）。</p><p>Grothendieck 最初计划撰写一套 13 卷的代数几何课程《代数几何基础》（EGA），以概形理论为核心，并最终证明韦伊猜想。他和 Dieudonné 合作出版了其中 4 卷。然而，后来大部分材料出现在《代数几何研讨班》（SGA）的出版物中，SGA 是 IHÉS 举办的代数几何研讨班的成果记录。</p><p>Grothendieck 将范畴论的视角引入了几何世界：将几何对象视作函子。设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.925ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 851 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是范畴<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.034ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.611ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 654 712"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathcal{C}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal{C}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="43" d="M229-15C311-15 379 7 433 51 450 64 466 83 483 108L446 159 428 150C412 113 393 85 372 68 337 41 301 27 262 27 170 27 127 112 127 211 127 319 165 429 205 503 260 606 338 657 438 657 503 657 535 631 535 580 535 540 522 503 496 469 468 432 435 414 397 414 373 414 361 421 361 435 361 444 378 487 378 496 378 513 367 521 344 521 306 521 283 492 283 448 283 401 319 377 392 377 503 377 585 458 608 551 612 566 614 581 614 594 614 663 564 697 464 697 317 697 205 630 127 495 86 423 40 297 40 191 40 67 107-15 229-15Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 中的一个对象。我们与其关联一个从<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.034ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.611ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 654 712"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathcal{C}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal{C}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="43" d="M229-15C311-15 379 7 433 51 450 64 466 83 483 108L446 159 428 150C412 113 393 85 372 68 337 41 301 27 262 27 170 27 127 112 127 211 127 319 165 429 205 503 260 606 338 657 438 657 503 657 535 631 535 580 535 540 522 503 496 469 468 432 435 414 397 414 373 414 361 421 361 435 361 444 378 487 378 496 378 513 367 521 344 521 306 521 283 492 283 448 283 401 319 377 392 377 503 377 585 458 608 551 612 566 614 581 614 594 614 663 564 697 464 697 317 697 205 630 127 495 86 423 40 297 40 191 40 67 107-15 229-15Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 到集合范畴的逆变函子：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:31.128ex"><svg style="vertical-align:-.566ex;min-width:31.128ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math" data-latex="
h_X(Y):= \operatorname{Mor}_\mathcal{C}(Y,X)
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
h_X(Y):= \operatorname{Mor}_\mathcal{C}(Y,X)
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="4801.2 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub" data-latex="h_X"><g data-mml-node="mi" data-latex="h"><path data-c="210E" d="M512 138C489 59 457 19 415 19 402 19 395 28 395 47 395 62 401 85 413 116 453 223 473 296 473 335 473 406 427 445 356 445 303 445 257 423 218 380L291 679C289 688 287 694 274 694 241 694 168 685 155 684 140 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 180 645 203 646 205 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 107-11 121-1 128 18L168 182C180 231 189 268 196 293 199 300 207 314 220 334 256 388 300 415 353 415 386 415 402 393 402 350 402 309 382 236 342 130 333 107 329 89 329 74 329 26 365-11 413-11 457-11 492 14 517 65 536 105 546 132 546 145 546 154 541 159 530 159 527 159 512 150 512 138Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(609,-150) scale(0.707)" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.852ex" height="1.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 1260.7 844"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="h_X"><g data-mml-node="msub" data-latex="h_X"><g data-mml-node="mi" data-latex="h"><path data-c="210E" d="M512 138C489 59 457 19 415 19 402 19 395 28 395 47 395 62 401 85 413 116 453 223 473 296 473 335 473 406 427 445 356 445 303 445 257 423 218 380L291 679C289 688 287 694 274 694 241 694 168 685 155 684 140 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 180 645 203 646 205 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 107-11 121-1 128 18L168 182C180 231 189 268 196 293 199 300 207 314 220 334 256 388 300 415 353 415 386 415 402 393 402 350 402 309 382 236 342 130 333 107 329 89 329 74 329 26 365-11 413-11 457-11 492 14 517 65 536 105 546 132 546 145 546 154 541 159 530 159 527 159 512 150 512 138Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(609,-150) scale(0.707)" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container>（由某个对象<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.925ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 851 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 给出），则称其为可表的。由 Yoneda 引理，该函子唯一决定了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.925ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 851 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 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的同构类。</p><p>Grothendieck 巧妙地利用了可表示函子的性质来构造各种代数几何中的参数空间。一个关键的例子是 Grassmannian，它参数化了给定射影空间中给定维度的线性子空间。一个很好的例子是 Grothendieck 证明希尔伯特函子<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.813ex" height="1.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2569.2 844"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="Hilb_P"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="i" transform="translate(881,0)"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 178 373 175 357 168 338 145 275 121 208 101 155 86 115 78 88 78 74 78 25 114-11 162-11 205-11 239 14 264 64 283 103 293 130 293 145 293 154 288 159 277 159 274 159 259 150 259 138Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="l" transform="translate(1226,0)"><path data-c="1D459" d="M173 632 49 119C46 105 44 93 44 84 44 31 83-11 136-11 185-11 220 41 241 145 241 154 236 159 225 159 217 159 211 152 208 138 188 59 165 19 138 19 121 19 113 33 113 60 113 75 115 91 119 107L258 679 258 683C255 690 249 694 242 694 210 694 136 685 124 684 109 682 102 674 102 659 102 650 111 645 130 645 147 645 173 645 173 632Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="b_P" transform="translate(1524,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="b"><path data-c="1D44F" d="M281 445C245 445 209 428 174 394L243 679C241 688 238 694 226 694 193 694 120 685 107 684 92 682 84 675 84 660 84 650 93 645 112 645 131 645 157 646 157 632 157 628 152 608 143 571L63 249C52 207 47 173 47 148 47 62 93-11 175-11 240-11 297 22 347 89 392 151 415 216 415 283 415 370 364 445 281 445M279 415C318 415 337 385 337 326 337 299 331 263 319 218 297 133 268 75 233 44 213 27 194 19 175 19 134 19 114 51 114 115 114 137 119 170 129 214L151 304C154 319 159 330 165 338 204 389 242 415 279 415Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(462,-150) scale(0.707)" data-latex="P"><path data-c="1D443" d="M555 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C152 60 142 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 46 0 59 0L184 3 248 2C259 2 299 0 312 0 328 0 336 8 336 24 336 34 325 39 304 39 264 39 244 43 244 52 244 52 245 55 247 68L307 312 472 312C537 312 599 332 657 371 722 414 754 467 754 530 754 629 660 683 555 683M524 644C611 644 654 614 654 554 654 498 626 423 597 397 559 363 509 346 447 346L313 346 379 610C387 644 387 644 429 644Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> （参数化特定闭子簇，由<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.706ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 754 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="P"><g data-mml-node="mi" data-latex="P"><path data-c="1D443" d="M555 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C152 60 142 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 46 0 59 0L184 3 248 2C259 2 299 0 312 0 328 0 336 8 336 24 336 34 325 39 304 39 264 39 244 43 244 52 244 52 245 55 247 68L307 312 472 312C537 312 599 332 657 371 722 414 754 467 754 530 754 629 660 683 555 683M524 644C611 644 654 614 654 554 654 498 626 423 597 397 559 363 509 346 447 346L313 346 379 610C387 644 387 644 429 644Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 给出）可由一个概型（称为希尔伯特概型）表示，并且它是射影的。希尔伯特概型在构造很多问题的模空间时十分重要。</p></div></div><div class="footer"></div><div class="article-meta" id="bottom"><div class="new-meta-box"></div></div><div class="prev-next"><a class="prev" href="/notes/person/27"><p class="title"><i class="fa-solid fa-chevron-left" aria-hidden="true"></i>Singer辛格：指标定理与数学物理融合的巨人</p><p class="content">艾萨多·曼纽尔·辛格是二十世纪杰出的数学家，以其与阿蒂亚合作的指标定理闻名。他的工作连接了拓扑、几何与分析，并推动了数学与理论物理的深刻互动。他还提出了Kadison-Singer问题并引入解析挠率，影响深远</p></a><a class="next" href="/notes/person/29"><p class="title">Loo-Keng Hua 华罗庚：从初中毕业生到国际数学大师的传奇人生<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">华罗庚出身贫寒，仅初中毕业却凭自学跻身清华，在解析数论领域提出华氏引理，后开创矩阵几何与典型域调和分析。晚年推广优选法和统筹法，将数学应用于生产实践，一生践行数学为民理念。</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/26.html" title="Atiyah阿蒂亚：跨越数学与物理边界的巨匠" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/9.webp" 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title="/notes/person/10" href="/notes/person/10" active-action="action-notesperson10"><div class="name"> Sarnak</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/11" href="/notes/person/11" active-action="action-notesperson11"><div class="name"> Ramanujan</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/12" href="/notes/person/12" active-action="action-notesperson12"><div class="name"> Hardy</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/13" href="/notes/person/13" active-action="action-notesperson13"><div class="name"> Littlewood</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/14" href="/notes/person/14" active-action="action-notesperson14"><div class="name"> von Neumann</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/15" href="/notes/person/15" active-action="action-notesperson15"><div class="name"> Irving Segal</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/16" href="/notes/person/16" 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