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Magicland","logo":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}},"url":"https://blog.mhuig.top/notes/person/27","wordCount":0,"datePublished":"2026-05-18T08:07:00.000Z","dateModified":"2026-05-18T08:10:00.000Z","articleSection":"历史","keywords":"History,人物,辛格,AtiyahSinger指标定理,RaySinger解析挠率,数学与物理交叉","image":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}}]</script></head><body itemscope="" itemtype="http://schema.org/WebPage"><pjax></pjax><header itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPHeader" id="l_header" class="l_header auto shadow floatable blur show" style="opacity:0"><div class="container"><div id="wrapper"><div class="nav-sub"><p class="title"></p><ul class="switcher nav-list-h m-phone" id="pjax-header-nav-list"><li><a id="s-comment" class="fa-solid fa-comments fa-fw" target="_self" title="comment"></a></li><li><a id="s-toc" class="s-toc fa-solid fa-list fa-fw" target="_self" 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="Singer辛格：指标定理与数学物理融合的巨人"><meta itemprop="description" content="艾萨多·曼纽尔·辛格是二十世纪杰出的数学家，以其与阿蒂亚合作的指标定理闻名。他的工作连接了拓扑、几何与分析，并推动了数学与理论物理的深刻互动。他还提出了Kadison-Singer问题并引入解析挠率，影响深远"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">Singer</span></p><br><h1 hidden="">Singer</h1><div class="story post-story"><h2 id="生平"><a href="#生平" class="headerlink" title="生平"></a>生平</h2><p>艾萨多・曼纽尔・辛格（Isadore Manuel Singer，1924-2021）出生于美国 Michigan 州的底特律（Detroit）。他的父母西蒙・辛格（Simon Singer）与弗雷达・罗斯（Freda Rose）均为波兰人，于 1917 年移民加拿大多伦多，在那里结婚后迁居 Detroit。在学生时代，Singer 的兴趣广泛，既喜欢科学，也热爱阅读。1941 年 9 月，他进入 Michigan 大学就读，最终选择了物理学作为自己的专业方向。</p><p>由于第二次世界大战的爆发，大学课程被压缩，Singer 以惊人的速度在两年半内完成了学业，于 1944 年 1 月获得理学学士学位。</p><p>他早期对物理学的热情，特别是对相对论和量子力学的浓厚兴趣，成为了他未来学术道路的最初驱动力，并将他引向了纯粹数学的领域。</p><p>毕业后，Singer 立即加入了美国陆军通信兵团（U.S. Army Signal Corps）。他被派往菲律宾，在那里担任雷达军官，并为菲律宾军队开办了一所通信学校。Singer 负责通信兵学校的教学工作。</p><p>这三年的军旅生涯的业余时间他为日后在 Chicago 大学攻读物理作准备，自学研习了群论与微分几何，他意识到扎实的数学背景对于物理研究的重要性。</p><p>战争结束后，Singer 于 1947 年 1 月进入 Chicago 大学攻读研究生，最初的目标依然是物理学。他认为要想在相对论和量子力学领域取得突破，必须掌握更坚实的数学基础，于是改攻数学硕士。然而，当他沉浸在 Chicago 大学浓厚的数学氛围中时，他被现代数学的优雅与严谨深深吸引。</p><p>他后来回忆道：“我发现数学比量子力学更优雅、更现代。” 这种吸引力，使他最初 “将数学作为工具” 的想法，逐渐转变为 “将数学作为事业” 的决心。</p><p>Singer 在 1950 年获博士学位。其博士导师为欧文・埃兹拉・西格尔（Irving Ezra Segal，1918-1998），论文题为《无界算子的李代数》（Lie algebras of unbounded operators）。</p><p>多兰（Doran）写道：当时 Chicago 大学数学系由富有远见的斯通（Marshall Harvey Stone，1903-1989）领导，汇聚了世界上最杰出的数学家。</p><p>资深教授包括陈省身先生（Shiing-shen Chern，1911-2004）、麦克莱恩（Leslie Saunders MacLane，1909-2005）、韦伊（André Abraham Weil，1906-1998）和齐格蒙德（Antoni Szczepan Zygmund，1900-1992），卡普兰斯基（Irving Kaplansky，1917-2006）、Irving Segal 和哈尔莫斯（Paul Richard Halmos，1916-2006）等年轻学者活跃于算子理论与算子代数的研究。此外，大批知名访问学者与优秀研究生慕名前来，这正是辛格早期研究所处的充满活力的环境。</p><p>这一课题的选择极具深意，因为算子代数正是 John von Neumann 为量子力学建立的严谨数学框架。因此，Singer 的 “转向” 并非远离物理，而是直击其数学核心。</p><p>获得博士学位后，Singer 于 1950 年获 MIT C. L. E. Moore 讲师职位。两年后转任 UCLA（1952-1954）数学助理教授。1954 年，他赴 Columbia 大学任访问助理教授一年，次年又以访问身份在 Princeton 的 IAS 工作。</p><p>在那里，他结识了三位将对他学术生涯产生巨大影响的数学家：Michael Atiyah、Friedrich Hirzebruch 和 Raoul Bott。这次相遇为他日后的合作奠定了基础。</p><p>1956 年，Singer 回到 MIT，并在此度过了他职业生涯的大部分时光。他于 1959 年晋升为正教授。1961 年 Singer 与希拉・拉夫（Sheila Ruff）结婚，育有一女娜塔莎・辛格（Natascha Singer，现为《纽约时报》记者）。婚姻于 70 年代中期结束。后来他与罗丝玛丽（Rosemarie）结婚，并在 Berkeley 育有两女艾米莉（Emily）和安娜贝尔（Annabelle）。1970 年，他被任命为 MIT Norbert Wiener 讲座教授。</p><p>1977 年赴加州大学伯克利分校（University of California, Berkeley）任访问教授两年，1979 年受聘为 Berkeley 正教授。1982 年获 Berkeley Miller 教授头衔，但次年返回 MIT，任 John D MacArthur 讲座教授，1987 年获聘为 MIT 学院教授（Institute Professor）。</p><p>1977 年至 1984 年，Singer 在 Berkeley 任教的这段时期，对于数学与物理学的关系而言，是一个变革的时代。当时，物理学家在规范场论（gauge theory）方面取得了巨大进展，而 Singer 敏锐地意识到其背后深刻的几何结构。</p><p>为了深入理解这些新发展，他在 Berkeley 创办了一个数学 - 物理研讨会。这个研讨会打破了学科壁垒，成为数学家和物理学家交流思想、激发合作的重要平台。</p><p>Singer 的远见卓识并不仅限于促进学术交流，他更致力于为科学研究构建稳固的制度基础。他深知，他个人通过合作取得的成功经验，可以惠及整个学术界。基于这一理念，他与几何学大师陈省身以及卡尔文・C・摩尔（Calvin C. Moore，1936-2023）一道，积极倡导并推动了数学科学研究所（Mathematical Sciences Research Institute, MSRI）的建立。</p><p>在他们的努力下，该提案获得了美国自然科学基金（National Science Foundation）的批准，MSRI 于 1982 年正式成立。它迅速发展成为世界顶级的数学研究中心，并为全球其他类似机构的建立提供了典范。</p><p>Singer 的影响力超出了学术研究的范畴。他积极投身于科学政策的制定与公共服务。1982 年至 1988 年，他在罗纳德・威尔逊・里根（Ronald Wilson Reagan，1911-2004）总统任内担任白宫科学委员会（White House Science Council）的成员。这段经历让他对政府部门中科学家的才智深感敬佩，并认为在许多情况下，科学政策专家的选择比学术界的终身教职评定更能体现出卓越的判断力。</p><p>此外，他还是美国国家科学院、美国艺术与科学院的院士，并曾服务于美国国家科学院理事会和国家研究委员会理事会。</p><p>1970 年至 1972 年，他还担任了美国数学会的副主席。这些职务体现了他对整个科学事业健康发展的深切责任感。</p><p>1984 年，Singer 回到 MIT，并于 2010 年正式退休。然而，他对数学和教育的热情从未消减。在他七十多岁时，他做了一件令许多人惊讶的事：自愿担任大一新生物理微积分课程的助教，而非教授。他对此的解释很简单：“我想更好地了解 MIT”。这体现了他谦逊的品格和对教育最本真的热爱。他曾说道：对我而言，课堂是科研的重要补充。我喜欢教授各个层次的本科生，也拥有众多研究生，其中不少学生教会了我比我教他们更多的东西。</p><p>在 Killian 奖颁奖词中也强调：他可能是唯一一位经常教授普通微积分入门课程的美国大学特聘数学教授。</p><p>在个人生活中，Singer 是一位爵士乐迷，年轻时曾去听过埃拉・简・菲茨杰拉德（Ella Jane Fitzgerald，1917-1996）的演唱会。他还是一位狂热的网球爱好者，球技高超，直到八十多岁高龄依然坚持运动。</p><p>2001 年美国数学会授予他 Steele 终身成就奖，其颁奖词称：Singer 与 Michael Atiyah 合作的五篇关于椭圆算子指标定理的论文（1968-1971）以及与 M. Atiyah、维杰・库马尔・帕托迪（Vijay Kumar Patodi，1945-1976）合作的三篇关于带边流形指标定理的论文（1975-1976）是全球分析学的经典之作，激发了微分几何、微分拓扑及分析中的众多发展。</p><p>在获奖致辞中，Singer 回忆道：我与 Atiyah 爵士的合作持续二十余年，令人兴奋，我们的工作至今仍在产生深远影响。Atiyah 爵士是一位杰出的人，不仅在数学上卓有成就，还为全球科学事业投入了大量心力。我很幸运拥有众多数学与物理领域的合作伙伴，他们中许多人已成为我亲密的朋友，人数超过三十，难以一一列举。</p><p>颁奖词还指出：指标定理只是 Singer 贡献的一小部分。他与丹尼尔・伯里尔・雷（Daniel Burrill Ray, 1928-1979）合作研究的解析挠量（analytic torsion），开创了几何中 “行列式不变量” 的研究。此外，Singer 二十年来致力于联结数学家与理论物理学家，不仅通过讲座交流，更通过深入理解、改写并使数学家能够接触现代理论物理的核心成果。他在促成 20 世纪 70 年代中期以来数学与物理重新密切互动的 “复兴” 中发挥了关键作用。</p><p>2004 年，他与 Michael Atiyah 共同获得了 Abel 奖，以表彰他们 “发现并证明了指标定理，将拓扑、几何与分析融为一体，并在建立数学与理论物理之间的新桥梁中发挥了卓越作用”。</p><p>2021 年 2 月 11 日，Isadore Singer 在 Massachusetts 州的 Boxborough 去世，享年 96 岁。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="贡献"><a href="#贡献" class="headerlink" title="贡献"></a>贡献</h2><h3 id="一、Atiyah-Singer-指标定理"><a href="#一、Atiyah-Singer-指标定理" class="headerlink" title="一、Atiyah-Singer 指标定理"></a>一、Atiyah-Singer 指标定理</h3><p>Atiyah-Singer 指数定理是二十世纪最伟大的数学成就之一，它完美地体现了 Singer 的数学哲学。这部分内容在 Atiyah 的工作介绍中已经提及，这里仅仅简单介绍一些历史。该定理的思想渊源可以追溯到 19 世纪的经典结果，例如 Gauss-Bonnet 定理。到了 20 世纪中叶，Hirzebruch-Riemann-Roch 定理和 Hirzebruch 符号差定理在代数几何与拓扑学中进一步发展了这一思想。</p><p>Israel Gelfand 在 20 世纪 60 年代初提出的一个问题。他注意到椭圆算子的指标在算子连续形变下保持不变，因此他想要用空间的拓扑不变量来计算这个指标。一个关键的突破口源于 Atiyah 的一个洞察：一个被称为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="2.489ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1100 750 1100"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{A}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{A}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,306) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> - 亏格（<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="2.489ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1100 750 1100"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{A}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{A}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,306) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>-genus）的拓扑不变量总是整数，这或许可以用某个微分算子的指标来解释。然而，这个算子是什么并不清楚。此时，Singer 深厚的分析学功底发挥了决定性作用。</p><p>他与 Atiyah 一道，在黎曼流形的框架下重新发现并推广了源自相对论量子力学的 Dirac 算子。</p><p>事实证明，Dirac 算子正是解开这个谜题的钥匙，它成为了指数定理最核心、最典型的例子。</p><p>Atiyah 和 Singer 为该定理提供了多种证明，每一种都揭示了其不同层面的内涵。1963 年最初的证明思路使用了配边理论（cobordism theory）。而他们首次发表的完整证明则采用了 K- 理论（K-theory），这是一个更强大、更灵活的代数拓扑工具。</p><p>后来，由 Atiyah、Bott 和 Patodi 发展的热方程证明（heat equation proof），则与物理学中的路径积分思想产生了深刻的共鸣。</p><p>原始的指标定理只适用无边的紧流形。然而，许多物理和几何问题都涉及带边空间。在与 Patodi 的合作中，Atiyah 和 Singer 将该定理推广到这种更复杂的情形 (1975-1976)。他们发现，对于许多重要的算子（如符号差算子），简单的局部边界条件是不够的。为此，他们引入了一种全局边界条件，并在指标公式中加入了一个边界修正项，即著名的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.489ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.124ex" height="1.489ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 497 658"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\eta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\eta"><path data-c="1D702" d="M379 442C318 442 268 415 229 362 222 407 187 442 136 442 95 442 65 409 44 344 34 311 29 292 29 286 29 277 34 272 45 272 50 272 53 273 56 275 61 284 64 291 65 298 83 374 106 412 133 412 151 412 160 398 160 371 160 358 155 330 144 289L87 61C84 48 78 22 78 17 78-3 89-13 111-13 130-13 144-3 151 17 152 22 158 47 169 90L191 179C203 228 212 265 219 290 222 297 230 311 243 331 279 385 323 412 376 412 409 412 425 390 425 347 425 332 422 312 415 286L303-169C301-177 300-182 300-185 300-206 311-216 332-216 354-216 369-202 376-173L488 274C493 295 496 315 496 332 496 404 451 442 379 442Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 不变量（<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.489ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.124ex" height="1.489ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 497 658"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\eta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\eta"><path data-c="1D702" d="M379 442C318 442 268 415 229 362 222 407 187 442 136 442 95 442 65 409 44 344 34 311 29 292 29 286 29 277 34 272 45 272 50 272 53 273 56 275 61 284 64 291 65 298 83 374 106 412 133 412 151 412 160 398 160 371 160 358 155 330 144 289L87 61C84 48 78 22 78 17 78-3 89-13 111-13 130-13 144-3 151 17 152 22 158 47 169 90L191 179C203 228 212 265 219 290 222 297 230 311 243 331 279 385 323 412 376 412 409 412 425 390 425 347 425 332 422 312 415 286L303-169C301-177 300-182 300-185 300-206 311-216 332-216 354-216 369-202 376-173L488 274C493 295 496 315 496 332 496 404 451 442 379 442Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> -invariant）。这是由边界上算子的谱定义的不变量，它后来在拓扑学和量子场论中也发现了深刻的应用。</p><h3 id="二、规范场论"><a href="#二、规范场论" class="headerlink" title="二、规范场论"></a>二、规范场论</h3><p>Singer 是最早认识到现代物理学与微分几何之间深刻联系的数学家之一。1975 年，物理学家杨振宁（Chen-Ning Yang，1922-2025）与 Singer 的学生西蒙斯（James Harris Simons，1938-2024）发表论文，揭示物理学中的规范场（gauge field）与数学中的纤维丛上的联络（connection on a fiber bundle）在数学上是同一个概念。</p><p>Singer 立刻意识到这一发现的意义，并迅速投身于促进两个学科的交流，他在 Berkeley 的研讨会正是在这一背景下应运而生。</p><p>这一交流并非单向的 “数学应用”，而是一场真正的对话。</p><p>物理学为数学家们提出了全新的、深刻的研究对象和问题，而数学则为物理学家提供了严谨的框架和强大的计算工具。指标定理在这一过程中扮演了核心角色。</p><p>例如，物理学家发现的瞬子（instantons）—— 规范场方程的特殊解 —— 其解空间的维数，可以通过 Atiyah-Singer 指标定理精确计算出来。</p><p>此外，物理学中的手征反常现象，也通过算子族指标定理得到了完美的数学解释，这对于验证粒子物理标准模型的一致性至关重要。</p><h3 id="三、Ray-Singer-解析挠率"><a href="#三、Ray-Singer-解析挠率" class="headerlink" title="三、Ray-Singer 解析挠率"></a>三、Ray-Singer 解析挠率</h3><p>在 Singer 与雷（Daniel Burrill Ray , 1928-1979）的合作中，Singer 引入了解析挠率（analytic torsion）的概念。这是组合拓扑学中雷德迈斯特（Kurt Werner Friedrich Reidemeister , 1893-1971）挠率的一个解析的版本。Reidemeister 挠率是代数拓扑中第一个能够区分同伦等价但不同胚（not homeomorphic）的不变量。</p><p>而 Ray-Singer 的解析挠率是通过 Hodge Laplace 算子作用在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.179ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 521 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k"><g data-mml-node="mi" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 104-11 117-3 124 12 129 21 147 92 179 226 231 221 286 196 286 146 286 131 279 101 279 91 279 34 316-11 373-11 431-11 470 41 490 145 490 154 485 159 475 159 466 159 460 152 457 138 435 59 408 19 375 19 357 19 348 33 348 61 348 77 360 131 360 147 360 204 314 239 221 253 244 269 270 292 298 322 326 352 346 371 359 382 386 404 412 415 435 415 445 415 453 413 459 409 432 404 409 379 409 353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 形式上的谱来定义的。如果其特征值为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.166ex" height="2.237ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 957.3 989"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lambda_j"><g data-mml-node="msub" data-latex="\lambda_j"><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(616,-150) scale(0.707)" data-latex="j"><path data-c="1D457" d="M397 621C397 648 383 661 356 661 328 661 300 633 300 605 300 578 313 565 340 565 368 565 397 593 397 621M267 444C214 444 169 404 147 369 120 326 107 299 107 287 107 278 112 274 122 274 127 274 130 275 133 276 138 284 141 291 144 296 176 375 216 414 264 414 282 414 291 400 291 373 291 358 289 341 284 323L192-46C178-104 138-175 75-175 66-175 57-174 48-171 73-161 85-143 85-118 85-92 71-79 44-79 12-79-13-108-13-140-13-184 30-205 77-205 120-205 160-190 197-160 232-131 254-94 265-51L356 311C359 324 361 337 361 349 361 404 322 444 267 444Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> ，考虑<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数（zeta function）</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:25.088ex"><svg style="vertical-align:-2.555ex;min-width:25.088ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.24ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1629.1)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\zeta_k(s):=\sum_{\lambda_j>0}\frac{1}{\lambda_j^s}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\zeta_k(s):=\sum_{\lambda_j>0}\frac{1}{\lambda_j^s}
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"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\Delta_k = e^{-\zeta'_k(0)}
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 847.1) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="2627.4 -847.1 1 1194.2"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-97.1)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub" data-latex="\Delta_k"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Delta"><path data-c="394" d="M759 0C776 0 785 4 785 13L445 696C438 709 429 716 416 716 403 716 394 709 387 696L52 25C49 18 47 14 47 12 47 4 56 0 73 0M384 604 644 83 124 83Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(866,-150) scale(0.707)" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 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width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数的正则化行列式是一个关键，该方法被用来定义一个无穷维算子的行列式。这一技术后来成为量子场论中的标准工具。此外，1973 年 Ray–Singer 发表《复流形的解析挠率》（Analytic torsion for complex manifolds），把挠率（torsion）的定义转到复流形上，建立了后被称为全纯挠率（holomorphic torsion）的理论。这些工具后面被 Bershadsky–Cecotti–Ooguri–Vafa（1993 / 94）用在三维 Calabi–Yau 上计算拓扑弦振幅，并给出了对椭圆曲线计数的具体预测。</p><p>如今，Ray-Singer 解析挠率在拓扑学、弦论和量子引力等前沿领域中扮演着重要角色。1977 至 1979 年，齐格（Jeff Cheeger，1943-）和穆勒（Werner Müller，1949-）证明了 Ray-Singer 的猜想：对于紧黎曼流形，解析挠率与 Reidemeister 挠率相同。</p><h3 id="四、Kadison-Singer-问题"><a href="#四、Kadison-Singer-问题" class="headerlink" title="四、Kadison-Singer 问题"></a>四、Kadison-Singer 问题</h3><p>1959 年，Singer 与卡迪森（Richard Vincent Kadison , 1925-2018）提出了一个源于量子力学数学基础的深刻问题，即 Kadison-Singer 问题。考虑可分 Hilbert 空间<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.027ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.931ex" height="1.914ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 853.6 845.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\ell^2"><g data-mml-node="msup" data-latex="\ell^2 "><g data-mml-node="mi" data-latex="\ell"><path data-c="2113" d="M317 392C371 473 398 551 398 624 398 678 377 705 336 705 297 705 260 676 223 617 200 580 182 547 169 517 117 398 91 284 91 176L17 104C13 99 11 95 11 92 11 81 16 75 27 75 31 75 53 95 94 135 108 37 146-12 207-12 244-12 289 11 341 58 357 72 365 82 365 88 365 99 360 104 349 104 346 104 341 101 334 94 282 43 240 18 209 18 172 18 153 59 153 142 153 202 152 195 178 221 227 270 274 327 317 392M337 675C357 675 367 659 367 628 367 521 300 396 165 252 179 331 229 515 262 585 291 645 316 675 337 675Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(450,363) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> ，以及与之相关的两个<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 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overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="B"><g data-mml-node="mi" data-latex="B"><path data-c="1D435" d="M756 543C756 634 666 683 568 683L236 683C213 683 203 682 203 659 203 643 223 644 235 644 265 643 283 641 288 640 293 639 295 636 295 631 295 629 294 623 291 613L159 82C154 60 144 47 129 42 122 40 104 39 73 39 52 39 42 31 42 15 42 5 52 0 73 0L426 0C491 0 551 20 608 59 671 102 703 155 703 217 703 296 638 344 567 358 655 379 756 446 756 543M554 644C623 644 658 612 658 547 658 496 638 454 596 420 554 386 507 370 456 370L317 370 377 610C385 644 385 644 427 644M582 299C596 276 603 253 603 228 603 176 583 131 542 94 501 57 455 39 402 39L267 39C257 39 250 39 246 40 240 40 237 42 237 45 237 46 237 49 238 53 269 180 293 276 309 340L493 340C536 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460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 都成立。若一个态不能写成其他态的凸组合，则称该态为纯态（pure state）。</p><p>根据 Hahn–Banach 定理，在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.873ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 828 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="D"><g data-mml-node="mi" data-latex="D"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上的任意线性泛函都可以扩张到<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="B"><g data-mml-node="mi" data-latex="B"><path data-c="1D435" d="M756 543C756 634 666 683 568 683L236 683C213 683 203 682 203 659 203 643 223 644 235 644 265 643 283 641 288 640 293 639 295 636 295 631 295 629 294 623 291 613L159 82C154 60 144 47 129 42 122 40 104 39 73 39 52 39 42 31 42 15 42 5 52 0 73 0L426 0C491 0 551 20 608 59 671 102 703 155 703 217 703 296 638 344 567 358 655 379 756 446 756 543M554 644C623 644 658 612 658 547 658 496 638 454 596 420 554 386 507 370 456 370L317 370 377 610C385 644 385 644 427 644M582 299C596 276 603 253 603 228 603 176 583 131 542 94 501 57 455 39 402 39L267 39C257 39 250 39 246 40 240 40 237 42 237 45 237 46 237 49 238 53 269 180 293 276 309 340L493 340C536 340 565 326 582 299Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。Kadison 与 Singer 猜想，在纯态的情形下，这种扩张是唯一的。也就是说：对于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.873ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 828 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="D"><g data-mml-node="mi" data-latex="D"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上的每一个纯态，存在唯一的态在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="B"><g data-mml-node="mi" data-latex="B"><path data-c="1D435" d="M756 543C756 634 666 683 568 683L236 683C213 683 203 682 203 659 203 643 223 644 235 644 265 643 283 641 288 640 293 639 295 636 295 631 295 629 294 623 291 613L159 82C154 60 144 47 129 42 122 40 104 39 73 39 52 39 42 31 42 15 42 5 52 0 73 0L426 0C491 0 551 20 608 59 671 102 703 155 703 217 703 296 638 344 567 358 655 379 756 446 756 543M554 644C623 644 658 612 658 547 658 496 638 454 596 420 554 386 507 370 456 370L317 370 377 610C385 644 385 644 427 644M582 299C596 276 603 253 603 228 603 176 583 131 542 94 501 57 455 39 402 39L267 39C257 39 250 39 246 40 240 40 237 42 237 45 237 46 237 49 238 53 269 180 293 276 309 340L493 340C536 340 565 326 582 299Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上对它进行扩张。</p><p>Kadison 和 Singer 本人倾向于认为答案是否定的，但这个问题异常困难，在长达 50 多年的时间里悬而未决，并被发现与信号处理、图论、调和分析等众多领域的未解难题等价。</p><p>2013 年，该问题最终被马库斯（Adam Wade Marcus，1979-）、斯皮尔曼（Daniel Alan Spielman，1970-）和斯里瓦斯塔瓦（Nikhil Srivastava）以肯定的方式解决，成为数学界的一大突破。</p><h3 id="五、其他工作"><a href="#五、其他工作" class="headerlink" title="五、其他工作"></a>五、其他工作</h3><p>Singer 的其他重要工作还包括：</p><p>1、与沃伦・亚瑟・安布罗斯（Warren Arthur Ambrose，1914-1995）合作的 Ambrose-Singer 定理，这是微分几何中一个联系联络的曲率与和乐群（holonomy group）的基本定理。考虑黎曼流形<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1044 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 中的由参数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="x"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 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149-121 149-85 149-60 136-47 109-47 72-47 50-78 50-115 50-170 100-205 158-205 273-205 367-99 392-1L486 377C489 388 490 396 490 401 490 421 479 431 458 431 442 431 429 423 420 408 414 387 409 369 406 354L342 97C332 61 279 16 234 16 196 16 177 41 177 92 177 134 194 198 227 284 240 319 247 343 247 357 247 406 212 442 163 442Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 给出的光滑曲面<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.292ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 571 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\sigma: [0,1] \times [0,1] \to M"><g data-mml-node="mi" data-latex="\sigma"><path data-c="1D70E" d="M525 431 300 431C252 431 207 416 166 385 102 336 38 250 38 148 38 58 100-11 190-11 257-11 317 18 368 76 417 132 441 194 441 263 441 304 432 338 414 366L515 366C550 366 567 378 567 403 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249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1460,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1904.7,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2404.7,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，让<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.742ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 770 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="V"><g data-mml-node="mi" data-latex="V"><path data-c="1D449" d="M671 680C652 680 592 683 573 683 558 683 550 675 550 660 550 650 557 645 570 644 598 643 612 633 612 616 612 607 607 595 598 580L300 107 234 619C234 636 255 644 298 644 318 644 327 651 327 668 327 678 321 683 309 683 287 683 209 680 187 680 167 680 99 683 79 683 64 683 56 675 56 660 56 649 66 644 85 644 102 644 114 642 122 640 138 635 137 633 140 614L218 4C221-13 229-22 242-22 255-22 265-15 273-2L629 564C652 600 674 623 696 632 711 639 730 643 752 644 763 645 768 652 769 667 770 678 764 683 752 683 737 683 686 680 671 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 沿着<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.292ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 571 442"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\sigma"><g data-mml-node="mi" data-latex="\sigma"><path data-c="1D70E" d="M525 431 300 431C252 431 207 416 166 385 102 336 38 250 38 148 38 58 100-11 190-11 257-11 317 18 368 76 417 132 441 194 441 263 441 304 432 338 414 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 550 431 525 431M107 121C107 180 121 234 150 282 184 338 228 366 283 366 341 366 370 336 370 275 370 250 365 221 355 187 335 116 302 66 256 39 233 25 211 18 191 18 136 18 107 63 107 121Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的边界平行移动一圈，这条闭曲线构成了一个回路。</p><p>沿该回路的平行移动对应于 holonomy 群的一个元素，它作用在向量上。当将这个平行四边形收缩到零时，这一过程对应于对平行移动算子的微分：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:47.52ex"><svg style="vertical-align:-2.017ex;min-width:47.52ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.165ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1391.5)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\frac{D}{dx}\frac{D}{dy}V - \frac{D}{dy}\frac{D}{dx}V = R\left(\frac{\partial \sigma}{\partial x}, \frac{\partial \sigma}{\partial y}\right)V
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\frac{D}{dx}\frac{D}{dy}V - \frac{D}{dy}\frac{D}{dx}V = R\left(\frac{\partial \sigma}{\partial x}, \frac{\partial \sigma}{\partial y}\right)V
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1391.5) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="8424 -1391.5 1 2283"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-0.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{D}{dx}"><g data-mml-node="mi" data-latex="D" transform="translate(352,676)"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" data-latex="dx" 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616Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是曲率张量。因此，曲率刻画了无穷小闭合回路的 holonomy 效应。更确切地说曲率是 holonomy 作用在群单位元处的微分：<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.133ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3594.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="R(X,Y) \in \mathrm{Lie}(Hol_p(\omega))"><g data-mml-node="mi" data-latex="R"><path data-c="1D445" d="M739 531C739 582 713 621 662 649 621 672 572 683 517 683L235 683C212 683 202 682 202 659 202 652 205 647 211 646 221 645 229 644 234 644 264 643 281 641 286 640 291 639 294 636 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 46 128 41 121 39 103 38 72 38 50 38 41 37 41 15 41 4 47-1 59 0L183 3 309 0C325-1 333 8 333 23 333 33 322 38 301 38 261 38 241 43 241 52 241 52 242 54 244 68L308 327 423 327C492 327 527 298 527 241 527 232 522 210 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338 354 329 354 328 353 322 351 313L327 216C308 144 299 107 298 105 279 70 224 16 176 16 137 16 117 46 117 105 117 151 148 263 162 300 181 347 225 412 280 412 307 412 327 399 340 373Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 处的水平切向量。<br>简而言之，Ambrose–Singer 定理说明：一个联络的 holonomy 群的 “无穷小结构（即其李代数）” 完全由曲率张量的取值所决定。</p><p>因此要分类可能出现的 holonomy，就等价于分析哪些可以由满足 Bianchi 恒等式的 “代数曲率张量” 所生成。马塞尔・伯杰（Marcel Berger，1927-2016）在 1955 年，给出了单连通、不可约且非局部对称的黎曼流形的 holonomy 群的完整分类。</p><p>西蒙斯（James Harris Simons，1938-2024）在 1962 年的论文《关于和乐系统的传递性》（On the transitivity of holonomy systems）里证明了若不可约的黎曼和乐系统（holonomy system）在单位球面上不是传递（transitive）作用，则流形必为局部对称。</p><p>换句话说只要不是局部对称空间，holonomy 在切空间单位球上就必须传递作用。于是结合已知 “紧连通李群在球面上传递作用” 的分类，可以得到 Berger 的分类定理。</p><p>2、与小亨利・P・麦基恩（Henry P. McKean, Jr.，1930-2024）合作的 McKean-Singer 公式，该公式将算子的指标与热核（heat kernel）联系起来，为指标定理提供了另一条证明路径，并与量子场论的路径积分方法紧密相连。</p><p>设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1044 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是一个紧致的黎曼流形，考虑 Hodge–de Rham 算子<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.873ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 828 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="D = d + d^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="D"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 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\chi(M):=\sum_{k}(-1)^{k} \dim H^{k}(M)=\sum_{k}(-1)^{k} \mathrm{Tr}(e^{-t\Delta_{k} } )
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1332.8) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="11328.9 -1332.8 1 2165.5"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,382.8)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="\chi"><path data-c="1D712" d="M61 372C65 365 64 359 76 359 84 359 90 363 93 372 100 391 120 412 141 412 186 412 249 202 268 134 273 118 275 108 276 103L43-160C35-169 31-175 31-178 31-189 36-194 47-194 52-194 58-190 65-182L287 67C315-26 337-89 352-124 357-137 363-149 370-159 387-185 434-205 478-205 514-205 565-173 565-137 565-127 560-122 550-122 543-122 537-127 532-138 523-163 507-175 484-175 453-175 408-72 349 135L582 397C590 406 594 412 594 415 594 426 589 431 578 431 573 431 567 427 560 418L338 171C307 271 284 337 270 368 263 383 253 398 239 412 220 432 190 442 147 442 109 442 61 408 61 372Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(626,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="M" transform="translate(1015,0)"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 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class="content">格罗腾迪克在蒙彼利埃大学独立发现勒贝格积分，后在南锡大学解决泛函分析难题，于IHÉS创立概型理论与Étale上同调，推动代数几何革命，却因反军事立场离职，晚年转向政治与哲学，其工作重塑数学语言与结构。</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/26.html" title="Atiyah阿蒂亚：跨越数学与物理边界的巨匠" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/9.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/9.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Atiyah阿蒂亚：跨越数学与物理边界的巨匠"> <span class="title">Atiyah阿蒂亚：跨越数学与物理边界的巨匠</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/1.html" title="希尔伯特23问题" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/109.webp" class="lazyload" 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title="/notes/person/13" href="/notes/person/13" active-action="action-notesperson13"><div class="name"> Littlewood</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/14" href="/notes/person/14" active-action="action-notesperson14"><div class="name"> von Neumann</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/15" href="/notes/person/15" active-action="action-notesperson15"><div class="name"> Irving Segal</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/16" href="/notes/person/16" active-action="action-notesperson16"><div class="name"> Birkhoff</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/17" href="/notes/person/17" active-action="action-notesperson17"><div class="name"> Wiener</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/18" href="/notes/person/18" active-action="action-notesperson18"><div class="name"> Shannon</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/19" href="/notes/person/19" 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