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History,人物,阿蒂亚,AtiyahSinger指标定理,拓扑K理论,拓扑量子场论,MHuiG, @MHuiG, Blog, 博客, Magicland, 魔法世界"><meta desc="" name="description" content="本文全面介绍了英国数学家迈克尔·阿蒂亚的生平与学术贡献，其标志性成果包括指标定理和K理论。他晚年转向理论物理，在规范场论和拓扑量子场论公理化方面成就卓著，深刻影响了现代几何与拓扑学的发展。 - MHuiG - Magicland"><meta property="og:type" content="website"><meta property="og:title" content="Magicland"><meta property="og:url" content="https://blog.mhuig.top/notes/person/26"><meta property="og:site_name" content="Magicland"><meta property="og:description" content="本文全面介绍了英国数学家迈克尔·阿蒂亚的生平与学术贡献，其标志性成果包括指标定理和K理论。他晚年转向理论物理，在规范场论和拓扑量子场论公理化方面成就卓著，深刻影响了现代几何与拓扑学的发展。"><meta property="og:locale"><meta property="og:image" content="https://blog.mhuig.top/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"><meta property="article:published_time" content="2026-05-18T05:07:00.000Z"><meta property="article:modified_time" content="2026-05-18T05:10:00.000Z"><meta property="article:author" content="MHuiG"><meta property="article:tag" content="AtiyahSinger指标定理"><meta property="article:tag" 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Magicland","logo":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}},"url":"https://blog.mhuig.top/notes/person/26","wordCount":0,"datePublished":"2026-05-18T05:07:00.000Z","dateModified":"2026-05-18T05:10:00.000Z","articleSection":"历史","keywords":"History,人物,阿蒂亚,AtiyahSinger指标定理,拓扑K理论,拓扑量子场论","image":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}}]</script></head><body itemscope="" itemtype="http://schema.org/WebPage"><pjax></pjax><header itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPHeader" id="l_header" class="l_header auto shadow floatable blur show" style="opacity:0"><div class="container"><div id="wrapper"><div class="nav-sub"><p class="title"></p><ul class="switcher nav-list-h m-phone" id="pjax-header-nav-list"><li><a id="s-comment" class="fa-solid fa-comments fa-fw" target="_self" title="comment"></a></li><li><a id="s-toc" class="s-toc fa-solid fa-list fa-fw" target="_self" 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="Atiyah阿蒂亚：跨越数学与物理边界的巨匠"><meta itemprop="description" content="本文全面介绍了英国数学家迈克尔·阿蒂亚的生平与学术贡献，其标志性成果包括指标定理和K理论。他晚年转向理论物理，在规范场论和拓扑量子场论公理化方面成就卓著，深刻影响了现代几何与拓扑学的发展。"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">Atiyah</span></p><br><h1 hidden="">Atiyah</h1><div class="story post-story"><h2 id="生平"><a href="#生平" class="headerlink" title="生平"></a>生平</h2><p>迈克尔・弗朗西斯・阿蒂亚（Michael Francis Atiyah，1929–2019）是一位英国数学家，主要任职于 Oxford 大学和 Cambridge 大学，其研究工作深刻地重塑了二十世纪的几何学与拓扑学。</p><p>他最著名的成就是与 Isadore Singer 合作证明了 Atiyah‑Singer 指标定理，并与 Friedrich Hirzebruch 共同创立了拓扑<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 889 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 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of a twisted cubic）。</p><p>Atiyah 的博士生导师是威廉・瓦兰斯・道格拉斯・霍奇（William Vallance Douglas Hodge，1903‑1975），这一选择对他未来的学术道路产生了决定性影响。Hodge 的研究融合了微分几何与拓扑学，并积极采用新兴的层论（sheaf theory）工具。1954 年他因以层论方法研究直纹面（ruled surface）而获 Smith 奖，从而坚定继续从事数学而不是转向他另外感兴趣的建筑与考古。</p><p>Atiyah 于 1955 年完成博士论文《拓扑方法在代数几何中的一些应用》（Some applications of topological methods in algebraic geometry），核心内容是运用层论方法研究代数簇上的第二类积分理论，这项工作最终促成了他与导师 Hodge 的合作论文。这项早期研究不仅锻炼了他驾驭抽象理论的强大技术能力，也确立了他职业生涯的核心模式：运用一种全新的、更强大的数学语言来统一并解决经典问题。因为这项研究，他受邀前往普林斯顿高等研究院（IAS）访学一年。</p><p>在 IAS 期间，他完成了椭圆曲线上向量丛的分类：证明椭圆曲线上任意向量丛可分解为（本质唯一的）不可分解向量丛的直和，并进一步将给定度数且维数为正的不可分解向量丛的模空间与该椭圆曲线本身等同起来（Vector bundles over an elliptic curve，PLMS 1957）。</p><p>随后他研究复曲面的 double points，给出了三维代数簇中首个 flop 例子；flop 技巧后来在 Mori 的三维极小模型纲领（MMP）中发挥关键作用。</p><p>1955 年至 1956 年，Atiyah 在 IAS 的访问经历是他学术生涯的一个关键转折点。正是在这里，他遇到了三位将与他共同定义二十世纪几何学面貌的合作者：来自德国的赫策布鲁赫（Friedrich Ernst Peter Hirzebruch，1927‑2012）、美国的辛格（Isadore Manuel Singer，1924‑2021）和博特（Raoul Bott，1923‑2005）。</p><p>当时的 IAS 是世界数学的中心，充满了来自让‑皮埃尔・阿尔伯特・阿奇耶・塞尔（Jean‑Pierre Albert Achille Serre，1926‑）和亚历山大・格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928‑2014）等欧洲数学大师的最新思想。这种顶尖的学术氛围成为催化剂，促使 Atiyah 的研究超越了其博士论文的范畴，迈向了全新的、革命性的方向。</p><p>Atiyah 与 Hirzebruch 的合作始于 1959 年，他们系统地发展了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 889 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 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Shimura，1930-2019）猜想在复几何中有关于全纯（holomorphic）映射的 Lefschetz 不动点定理，当时在场的听众都很兴奋。</p><p>Atiyah 和 Bott 的工作可以看成是 Shimura 猜想的一个推广。</p><p>Shimura 猜想的一维情形由马丁・马克西米利安・埃米尔・艾希勒（Martin Maximilian Emil Eichler，1912-1992）完成。事实上，Shimura 猜测类似的不动点定理对 correspondence（更复杂的几何对象）成立，相关的想法也在一定程度上影响了 Eichler-Shimura 后续在数论中的合作。</p><p>Atiyah 的学术生涯遍布英美顶尖学府。他曾在 Cambridge 的 Pembroke College（1958–1961）和 Oxford 的 St Catherine’s College（1961–1963）任职，之后于 1963 年至 1969 年担任 Oxford 的 Savilian 几何教授。1969 年，他再次前往 IAS 担任教授，三年后返回 Oxford 成为英国皇家学会研究员。</p><p>1970 年代末，Atiyah 的学术兴趣发生了一次重要的转向，他开始密切关注理论物理，特别是规范场论（gauge theory）的发展。这次转向不仅为物理学带来了深刻的数学洞见，更出人意料地在低维拓扑学中引发了一场革命。这次转向的驱动力主要来自两方面：</p><p>一方面，他的老合作者 Singer 向他介绍了 Yang-Mills 方程，这一理论在物理学界正变得日益重要。</p><p>另一方面，当时罗杰・彭罗斯（Roger Penrose，1931- ）及其领导的研究小组也在 Oxford，他们之间的深入交流为 Atiyah 打开了通往物理世界的大门。</p><p>Atiyah、奈杰尔・詹姆斯・希钦（Nigel James Hitchin，1946- ）和 Singer 很快就意识到，他们手中的强大武器指标定理可以直接应用于规范场论中的一个核心问题：计算瞬子（instanton）模空间的维数。他们通过一次简单的指标定理计算，就得到了这个维数的精确公式。受到初步成功的鼓舞，Atiyah 深入研究了构造瞬子解的几何方法。</p><p>他创造性地运用了 Penrose 的扭量理论（twistor theory），与合作者发展了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.145ex" height="2.084ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 5810 921"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\text{Atiyah-Ward}"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{Atiyah-Ward}"><path data-c="41" d="M583 3 717 0 717 39 695 39C670 39 653 40 646 42 631 47 621 58 615 75L401 694C397 707 390 716 375 716 362 716 353 709 348 694L143 102C129 61 92 39 32 38L32 0 137 3 254 0 254 39C205 39 180 54 180 85 180 92 181 96 182 98L227 225 465 225 516 77C518 71 519 67 519 64 519 47 492 39 437 39L437 0C479 3 528 4 583 3M345 569 451 264 240 264Z"></path><path data-c="74" d="M332 126 332 186 300 186 300 128C300 78 282 22 238 22 197 22 177 56 177 124L177 395 316 395 316 433 177 433 177 615 145 615C144 582 141 553 134 527 117 461 78 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“场论量（field-theoretic quantities）如何产生拓扑不变量（topological invariants）”，为后来提出 TQFT 的公理化提供了思想土壤。</p><p>1984–1985 年，沃恩・弗雷德里克・兰德尔・琼斯（Vaughan Frederick Randal Jones, 1952–2020）（和上面的 John David Stuart Jones 没有直接关系）发现 Jones 多项式（Jones polynomial），激发了 “量子场论是否能统一地解释结与三维流形不变量” 的追问。</p><p>在这一背景下，Atiyah 于 1988 年发表《拓扑量子场论》（Topological quantum field theories, IHÉS Publ. 68），提出了如今标准的 Atiyah–Segal 公理：</p><p>把可定向配边范畴（oriented cobordism category）到有限维向量空间范畴的对称单张量函子（symmetric monoidal functor）作为有限维 TQFT 的定义。</p><p>后续，威腾（Edward Witten, 1951-）、尼古拉・莱舍提金（Nicolai Yuryevich Reshetikhin, 1958-）–图拉耶夫（Vladimir Georgievich Turaev, 1954-）、Baez–Dolan 等进一步在此基础上对 TQFT 做出了更进一步的贡献。</p><p>除了卓越的研究，Atiyah 还在科学界担任了多个领导职务。他曾任伦敦数学会主席（1974–1976）、皇家学会主席（1990–1995）、Cambridge 的 Trinity 学院院长（1990–1997）、Leicester 大学名誉校长（1995–2005）以及爱丁堡皇家学会主席（2005–2008），并于 1997–2002 年出任帕格沃什科学和世界事务会议（Pugwash Conferences on Science and World Affairs）主席。</p><p>他最重要的行政贡献之一是创办了 Cambridge 的牛顿数学科学研究所（Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences）并担任其首任所长（1990–1996）。</p><p>Atiyah 一生荣誉等身，其中包括 1966 年的 Fields 奖、1988 年的 Copley 奖、1983 年被册封为爵士、1992 年获颁功绩勋章（Order of Merit），并于 2004 年与 Isadore Singer 共同获得 Abel 奖。</p><p>他的治学风格高度依赖合作与对话。他曾说自己的许多想法都产生于 “交谈的过程之中”。他不仅与同时代最顶尖的数学家进行平等合作，也以极大的热情和慷慨培养后辈。他以卓越的指导著称，门生遍布几何与拓扑诸领域。其中</p><p>唐纳森（Simon Kirwan Donaldson, 1957-）（与 Nigel Hitchin 共同培养）因四维流形拓扑的突破获 1986 年 Fields 奖、2020 年 Wolf 数学奖；</p><p>Hitchin 因几何与物理的深刻贡献获 2016 年邵逸夫数学科学奖；</p><p>乔治・卢斯蒂格（George Lusztig，1946- ）因代数表示论的奠基性工作获 2014 年邵逸夫数学科学奖、2022 年 Wolf 数学奖、2025 年北京基础科学大会终身成就奖；</p><p>彼得・本尼迪克特・克朗海默（Peter Benedict Kronheimer，1963- ）因规范场论与低维拓扑的贡献获 2007 年 Veblen 奖。</p><p>Atiyah 对数学的统一性抱有深刻信念，他曾说：“代数学是魔鬼向数学家开出的条件。魔鬼说：‘我给你这台强大的机器，它会回答你感兴趣的任何问题。你所要做的就是给我你的灵魂：放弃几何学，你就会拥有这台奇妙的机器。’”</p><p>他也认为：“过去那些因物理而得到解决的数学问题，或由物理催生的技术，一直是数学的命脉。”</p><p>费曼（Richard Feynman，1918-1988）说：“若数学在一夜之间全部消失，物理大概会倒退一周左右。” 而 Atiyah 机智地回应说：“那一周就是上帝创造宇宙的那一周。”</p><p>1955 年 7 月 30 日，Atiyah 与莉莉（Lily Brown）结婚，育有三子 John、David 与 Robin。Lily 于 2018 年去世，享年 90 岁；Atiyah 于 2019 年 1 月 11 日逝世于 Edinburgh，享年 89 岁。他长期倡导理性与公共科学精神，亦为英国人文主义协会成员。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="贡献"><a href="#贡献" class="headerlink" title="贡献"></a>贡献</h2><h3 id="一、拓扑-K-理论（与-Hirzebruch-合作，1959-1974）"><a href="#一、拓扑-K-理论（与-Hirzebruch-合作，1959-1974）" class="headerlink" title="一、拓扑 K-理论（与 Hirzebruch 合作，1959-1974）"></a>一、拓扑 K- 理论（与 Hirzebruch 合作，1959-1974）</h3><p>Friedrich Hirzebruch 在著作《代数几何中的拓扑方法》（Topological methods in algebraic geometry, 1956）中推广了 Riemann–Roch 定理之后，1957 年，Grothendieck 将相关的结果推广到代数簇上，同时为了描述结果，Grothendieck 对任意（交换）环<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="R"><g data-mml-node="mi" data-latex="R"><path data-c="1D445" d="M739 531C739 582 713 621 662 649 621 672 572 683 517 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style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.386ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2822.6 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K_0(R)"><g data-mml-node="msub" data-latex="K_0"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 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transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 理论的基础。</p><p>而 Atiyah 凭借其在层论（sheaf theory）和拓扑学方面的深厚背景，特别是对 Bott 周期性定理（Bott periodic theorem）的了解，在 1960 年左右，Atiyah 与 Hirzebruch 共同构建了拓扑<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 889 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>- 理论，后来系统地发展为拓扑学中的一个强大的广义上同调理论。</p><p>Grothendieck 群</p><p>Grothendieck 在 1957 年的文章中给出了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 889 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 群的抽象定义，现在也称作<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.908ex" height="1.922ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 1285.6 849.6"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K_0"><g data-mml-node="msub" data-latex="K_0 "><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(882,-150) scale(0.707)" data-latex="0"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> ：</p><p>给定一个环<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="R"><g data-mml-node="mi" data-latex="R"><path data-c="1D445" d="M739 531C739 582 713 621 662 649 621 672 572 683 517 683L235 683C212 683 202 682 202 659 202 652 205 647 211 646 221 645 229 644 234 644 264 643 281 641 286 640 291 639 294 636 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 46 128 41 121 39 103 38 72 38 50 38 41 37 41 15 41 4 47-1 59 0L183 3 309 0C325-1 333 8 333 23 333 33 322 38 301 38 261 38 241 43 241 52 241 52 242 54 244 68L308 327 423 327C492 327 527 298 527 241 527 232 522 210 513 174 502 132 497 104 497 89 497 13 556-22 632-22 660-22 687-9 714 16 741 41 755 68 755 96 755 106 750 111 739 111 732 111 726 106 723 95 712 64 698 41 682 28 666 15 651 8 636 8 613 8 601 27 601 64 601 88 604 125 611 176 614 197 615 212 615 223 615 276 587 315 531 339 625 362 739 429 739 531M609 616C629 603 639 581 639 550 639 530 635 507 626 480 599 398 531 357 422 357L316 357 379 610C384 631 392 642 403 643 408 644 428 644 463 644 528 644 566 642 609 616Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，其 Grothendieck 群<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.386ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2822.6 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K_0(R)"><g data-mml-node="msub" data-latex="K_0"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(882,-150) scale(0.707)" data-latex="0"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 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exact sequences）定义其上的加法结构。</p><p>拓扑空间的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 889 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 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上复向量丛的同构类所构成的交换幺半群（运算为直和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.21ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.769ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -591 782 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\oplus"><g data-mml-node="mo" data-latex="\oplus"><path data-c="2295" d="M48 249C48 60 201-93 390-93 579-93 732 60 732 249 732 438 579 591 390 591 201 591 48 438 48 249M684 274 413 274 413 544C557 532 672 417 684 274M94 274C106 417 221 532 365 544L365 274M94 226 365 226 365-46C221-34 105 82 94 226M684 226C673 82 557-34 413-46L413 226Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，单位为平凡零丛）的形式 Abel 群，其中加法由向量丛的正合序列（exact sequence）定义。<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.614ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 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288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z" transform="translate(889,0)"></path></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>拓扑 K- 理论的精妙之处在于，它将复杂的几何对象（向量丛）转化为了更易于计算和处理的代数对象（环）。由于 Bott 周期性定理的存在，它拥有了一个关键的优良性质：它是一个可计算的、具有周期性的广义上同调理论。这使得 K- 理论不仅是一种抽象的分类工具，更成为解决拓扑学中具体问题的强大武器。例如，Adams 通过实 K- 理论（ KO 群）给出了球面上线性无关向量场个数的最优上界，这是传统上同调方法难以企及的成就。</p><h3 id="二、Atiyah-Singer-指标定理（与-Singer-合作，1963–1984）"><a href="#二、Atiyah-Singer-指标定理（与-Singer-合作，1963–1984）" class="headerlink" title="二、Atiyah-Singer 指标定理（与 Singer 合作，1963–1984）"></a>二、Atiyah-Singer 指标定理（与 Singer 合作，1963–1984）</h3><p>该定理被公认为二十世纪最伟大的数学成就之一，它在分析、几何与拓扑之间建立了一座深刻的桥梁。</p><p><strong>定理陈述</strong></p><p>设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1044 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 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指标定理的意义远不止其本身，它统一并推广了数学中许多看似孤立的经典定理。著名的 Chern-Gauss-Bonnet 定理、Hirzebruch-Riemann-Roch 定理以及 Hirzebruch 符号差定理等，都可以被看作是指标定理在特定算子和特定流形下的特例。</p><p>指标定理的原始证明综合使用了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 889 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 理论与配边理论（cobordism theory）等拓扑技巧与伪微分算子等分析技巧；随后出现热核（heat kernel）等方法。该理论后有许多推广，如族指标定理（families index theorem，1969–1971，Atiyah-Singer）、等变指标定理（equivariant index theorem，1968–1970，Atiyah–Segal、Berline–Vergne），以及带边流形的推广（1975–1976，Atiyah–Patodi–Singer）。指标定理由此成为分析、几何与拓扑之间的 “通用翻译器”。</p><h3 id="三、Atiyah-Bott-不动点定理（与-Bott-合作，1967-1968）"><a href="#三、Atiyah-Bott-不动点定理（与-Bott-合作，1967-1968）" class="headerlink" title="三、Atiyah-Bott 不动点定理（与 Bott 合作，1967-1968）"></a>三、Atiyah-Bott 不动点定理（与 Bott 合作，1967-1968）</h3><p>该定理是经典的 Lefschetz 不动点定理的一个深刻推广，适用于椭圆复形。设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1044 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为紧致光滑流形，给定一个椭圆复形</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:57.071ex"><svg style="vertical-align:-1.079ex;min-width:57.071ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="3.289ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -977)"><g data-mml-node="math" data-latex="0 \to \Gamma(E^0) \xrightarrow{D_0} \Gamma(E^1) \xrightarrow{D_1} \cdots \xrightarrow{D_{m-1} } \Gamma(E^m) \to 0"><g data-mml-node="mtable" data-latex="0 \to \Gamma(E^0 ) \xrightarrow{D_0} \Gamma(E^1 ) \xrightarrow{D_1} \cdots \xrightarrow{D_{m-1} } \Gamma(E^m) \to 0" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 977) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="10034.8 -977 1 1454"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-227)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn" data-latex="0"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\to" transform="translate(777.8,0)"><path data-c="2192" d="M932 234C939 237 943 243 943 250 943 257 939 263 932 266 884 282 839 316 797 368 769 403 750 444 741 491 738 504 730 510 717 510 701 510 693 502 693 485L694 483 694 482C711 395 755 326 828 274L82 274C66 274 58 266 58 250 58 234 66 226 82 226L828 226C755 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data-mml-node="mi" data-latex="T"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g><g data-mml-node="mi" data-latex="M" transform="translate(1022.7,0)"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上的行列式，按所选取的定向计算。</p><p>这一定理在取<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.039ex" height="1.768ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -781.6 1343 781.6"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="E^\blacktriangledown"><g data-mml-node="msup" data-latex="E^\blacktriangledown"><g data-mml-node="mi" data-latex="E"><path data-c="1D438" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 49 0 70 0L583 0C607 0 609 2 617 19L657 109C684 171 703 217 714 248 712 257 709 263 698 263 691 263 685 258 681 249 656 190 632 145 608 113 568 59 509 39 415 39L270 39C260 39 253 39 249 40 243 40 240 42 240 45 240 47 242 54 245 67L311 334 406 334C453 334 478 328 483 315 485 310 486 303 486 293 486 280 484 264 479 245 477 240 476 236 476 233 476 223 482 218 493 218 502 218 508 226 512 241L568 473C568 483 563 488 552 488 544 488 538 481 535 467 525 428 512 403 495 391 478 379 450 373 409 373L321 373 379 606C387 640 387 641 429 641L568 641C619 641 654 636 673 626 701 611 715 581 715 536 715 519 714 501 711 484 711 482 711 479 710 475L710 466C710 455 715 450 725 450 735 450 741 459 743 478L763 649C766 677 759 680 732 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(850.4,363) scale(0.707)" data-latex="blacktriangledown"><path data-c="25BE" d="M567 568C569 570 570 573 570 576 570 587 565 592 554 592L72 592C61 592 56 587 56 576 56 573 57 570 59 568L300 152C303 147 307 144 313 144 319 144 323 147 326 152Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 为 de Rham 复形、<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.48ex" height="2.213ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1096.3 978"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Phi_j"><g data-mml-node="msub" data-latex="\Phi_j"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Phi"><path data-c="3A6" d="M402 134C467 139 524 159 575 192 635 232 665 282 665 341 665 400 635 450 575 490 524 524 467 544 402 549L402 601C402 614 403 622 406 627 411 638 439 644 492 644L529 644 529 683C502 681 445 680 358 680 270 680 213 681 186 683L186 644 223 644C276 644 305 639 310 628 312 623 313 614 313 601L313 549C249 542 193 522 144 489 85 450 56 401 56 342 56 283 85 234 143 194 192 161 249 141 313 134L313 82C313 69 312 61 310 56 305 45 276 39 223 39L186 39 186 0C213 2 270 3 357 3 445 3 502 2 529 0L529 39 492 39C439 39 411 44 406 55 403 60 402 69 402 82M402 519C506 506 558 447 558 342 558 237 506 178 402 164M313 518 313 165C213 180 163 238 163 341 163 444 213 503 313 518Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(755,-150) scale(0.707)" data-latex="j"><path data-c="1D457" d="M397 621C397 648 383 661 356 661 328 661 300 633 300 605 300 578 313 565 340 565 368 565 397 593 397 621M267 444C214 444 169 404 147 369 120 326 107 299 107 287 107 278 112 274 122 274 127 274 130 275 133 276 138 284 141 291 144 296 176 375 216 414 264 414 282 414 291 400 291 373 291 358 289 341 284 323L192-46C178-104 138-175 75-175 66-175 57-174 48-171 73-161 85-143 85-118 85-92 71-79 44-79 12-79-13-108-13-140-13-184 30-205 77-205 120-205 160-190 197-160 232-131 254-94 265-51L356 311C359 324 361 337 361 349 361 404 322 444 267 444Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 为自然提升时，退化为经典的（实）Lefschetz 不动点公式。</p><p>该定理具有诸多应用和推广，如通过在旗流形 / 齐性空间上对<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.593ex" height="1.532ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 704 677"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="T"><g data-mml-node="mi" data-latex="T"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的作用取定点求和，Atiyah 和 Bott 给出 Weyl 特征标公式与 Borel–Weil–Bott 定理的简洁证明（Atiyah, M. F.; Bott, R. A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes. II. Applications, Annals of Mathematics (2) 88 (1968), 451–491）。</p><p>该定理为后续的等变局部化理论（Atiyah–Bott–Berline–Vergne 定理）与表示论、几何量子化中的固定点求和方法奠定了基础。</p><h3 id="四、Atiyah-Segal-完备化定理（与-Graeme-Segal-合作）"><a href="#四、Atiyah-Segal-完备化定理（与-Graeme-Segal-合作）" class="headerlink" title="四、Atiyah-Segal 完备化定理（与 Graeme Segal 合作）"></a>四、Atiyah-Segal 完备化定理（与 Graeme Segal 合作）</h3><p>该定理在等变<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 889 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 理论和表示论之间建立了联系。设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为紧李群，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.925ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 851 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> -CW 复形。环<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.256ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2323 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="R(G)"><g data-mml-node="mi" data-latex="R"><path data-c="1D445" d="M739 531C739 582 713 621 662 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width="1.925ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 851 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 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(B_1 , B_2 , i, j) \in \mathrm{End}(V)^2 \times \mathrm{Hom}(W, V) \times \mathrm{Hom}(V, W)
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F_A = * D_A \Phi
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
F_A = * D_A \Phi
" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="2626.6 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub" data-latex="F_A"><g data-mml-node="mi" data-latex="F"><path data-c="1D439" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C150 60 140 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L187 3 335 0C351 0 359 8 359 23 359 40 348 39 322 39 278 39 253 41 247 46 244 47 243 51 243 56L307 321 400 321C446 321 478 319 478 281 478 268 476 252 471 233 470 230 469 226 468 222 468 211 473 206 484 206 489 207 496 214 503 229L557 444C559 452 560 458 560 461 557 470 551 475 544 475 536 475 530 467 526 452 516 414 502 390 486 378 470 366 442 360 402 360L317 360 379 606C387 640 387 641 429 641L559 641C656 641 700 626 700 537 700 517 699 499 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stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="L^2"><g data-mml-node="msup" data-latex="L^2 "><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 15 39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248 643 258 638 263 627 263 617 263 612 254 607 240 588 191 570 154 555 131 518 75 455 39 363 39L270 39C259 39 252 39 249 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L377 601C383 624 396 637 415 642 421 643 442 644 478 644 506 644 520 644 520 667Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(714,363) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 度量是一个完备的超 - Kähler（hyper-Kähler）度量；该 4 维 hyper-Kähler 流形（常称 “Atiyah–Hitchin 流形”）在无穷远处渐近于 Taub–NUT 度量的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.494ex" height="1.889ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -685 1102.6 835"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{Z}_2"><g data-mml-node="msub" data-latex="\mathbb{Z}_2 "><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{Z}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="Z"><path data-c="2124" d="M569 685 117 685C103 685 93 684 88 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666Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 商。</p><h3 id="六、TQFT的公理化"><a href="#六、TQFT的公理化" class="headerlink" title="六、TQFT的公理化"></a>六、TQFT 的公理化</h3><p>1988 年，Atiyah 在《拓扑量子场论》（Topological quantum field theories, IHÉS Publ., 68）中给出了 TQFT 的范畴论公理化（常称为 Atiyah–Segal 公理）。他把 “从流形得到量子不变量” 的物理直觉形式化为 “从配边范畴（cobordism category）到有限维向量空间范畴的对称幺半函子（symmetric monoidal functor）”。</p><p>固定维数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.176ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 520 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="d"><g data-mml-node="mi" data-latex="d"><path data-c="1D451" d="M429 632 370 389C349 426 320 445 281 445 216 445 159 412 109 345 63 283 40 218 40 151 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 59 311 21 345-11 392-11 461-11 483 71 498 145 498 154 493 159 483 159 474 159 468 152 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217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 104-11 117-3 124 12 129 21 147 92 179 226 231 221 286 196 286 146 286 131 279 101 279 91 279 34 316-11 373-11 431-11 470 41 490 145 490 154 485 159 475 159 466 159 460 152 457 138 435 59 408 19 375 19 357 19 348 33 348 61 348 77 360 131 360 147 360 204 314 239 221 253 244 269 270 292 298 322 326 352 346 371 359 382 386 404 412 415 435 415 445 415 453 413 459 409 432 404 409 379 409 353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>（常取<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.043ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -704 722 723"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{C}"><g data-mml-node="TeXAtom" 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185 90 181 104 181 117L181 320C181 333 184 344 191 354 220 395 257 415 304 415 345 415 378 395 404 354 422 324 431 279 431 218 431 110 393 19 294 19Z" transform="translate(1222,0)"></path></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1811,432.1) scale(0.707)" data-latex="{\mathrm{or}}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathrm{or}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="or"><path data-c="6F" d="M249-11C311-11 363 11 406 55 449 99 471 152 471 214 471 277 450 332 408 378 366 424 313 448 250 448 187 448 135 424 92 378 49 332 28 277 28 214 28 152 49 99 92 55 135 11 188-11 249-11M250 21C202 21 166 42 141 85 125 113 117 159 117 222 117 283 125 327 140 355 164 398 200 419 249 419 296 419 332 398 357 357 374 329 382 284 382 222 382 106 348 21 250 21Z"></path><path data-c="72" d="M364 378C364 417 327 442 288 442 237 442 198 412 172 351L172 442 28 431 28 393C63 393 84 390 92 384 100 378 104 365 104 342L104 79C104 60 101 48 94 44 87 40 65 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415 329 402 341 376Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 上有一个对称幺半结构（symmetric monoidal structure），由不交并给出，其中空流形<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.176ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.923ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -772 500 850"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\emptyset"><g data-mml-node="mi" data-latex="\emptyset"><path data-c="2205" d="M423 121C442 172 452 247 452 345 452 374 451 399 450 420 443 535 415 618 367 667L389 748C389 764 381 772 366 772 355 772 348 767 344 756 336 730 330 710 327 697 300 710 275 717 250 717 219 717 189 708 160 690 85 643 47 528 47 345 47 184 75 78 132 27L110-54C110-70 118-78 133-78 144-78 151-73 155-62 163-36 169-17 172-4 197-17 222-23 249-23 330-23 388 25 423 121M250 687C274 687 296 679 316 662L148 84C130 133 121 224 121 357 121 454 125 525 134 568 151 647 189 687 250 687M249 7C226 7 204 16 184 33L351 613C378 553 378 459 378 357 378 188 375 7 249 7Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为单位。</p><p>Atiyah 定义<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.176ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 520 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="d"><g data-mml-node="mi" data-latex="d"><path data-c="1D451" d="M429 632 370 389C349 426 320 445 281 445 216 445 159 412 109 345 63 283 40 218 40 151 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 59 311 21 345-11 392-11 461-11 483 71 498 145 498 154 493 159 483 159 474 159 468 152 465 138 445 59 421 19 394 19 377 19 368 33 368 60 368 75 370 91 374 107L516 679 516 683C513 690 507 694 499 694 476 694 434 690 374 683 363 682 357 674 357 660 357 650 366 645 384 645 403 645 429 646 429 632M341 376C351 355 356 341 356 332 355 328 354 323 353 316L304 122C301 111 294 99 285 87 248 42 212 19 177 19 138 19 118 49 118 108 118 132 124 168 136 216 157 301 187 359 224 390 244 407 263 415 282 415 309 415 329 402 341 376Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 维 TQFT 是对称幺半函子（symmetric monoidal functor）：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:41.801ex"><svg style="vertical-align:-.784ex;min-width:41.801ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.699ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -846.4)"><g data-mml-node="math" data-latex="
Z: \mathrm{Cob}_d^{\mathrm{or} } \to \mathrm{Vect}_k^{\mathrm{fd} } \ (\text{或}\ \mathrm{Hilb}^{\mathrm{fd} })
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
Z: \mathrm{Cob}_d^{\mathrm{or} } \to \mathrm{Vect}_k^{\mathrm{fd} } \ (\text{或}\ \mathrm{Hilb}^{\mathrm{fd} })
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transform="translate(2889.8,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex=")"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(422,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> （向量空间的对偶）。</p><p>5.（同胚（diffeomorphism）不变）与同胚（diffeomorphism）作用相容，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.636ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 723 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="Z"><g data-mml-node="mi" data-latex="Z"><path data-c="1D44D" d="M720 653C722 662 723 668 723 670 723 679 718 683 707 683L277 683C252 683 249 680 243 660L189 483C187 478 186 472 185 467 188 459 190 453 201 453 206 453 212 457 218 465 239 530 267 577 302 604 337 631 389 644 457 644L609 644 62 33 58 13C58 4 64 0 75 0L516 0C542 0 545 2 551 23L621 242C622 246 625 253 625 257 625 267 619 272 608 272 601 272 594 263 588 244 566 176 539 126 506 94 471 59 413 42 333 42L173 42Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 仅依赖拓扑型。</p><p>由此得到：闭<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.176ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 520 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="d"><g data-mml-node="mi" data-latex="d"><path data-c="1D451" d="M429 632 370 389C349 426 320 445 281 445 216 445 159 412 109 345 63 283 40 218 40 151 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 59 311 21 345-11 392-11 461-11 483 71 498 145 498 154 493 159 483 159 474 159 468 152 465 138 445 59 421 19 394 19 377 19 368 33 368 60 368 75 370 91 374 107L516 679 516 683C513 690 507 694 499 694 476 694 434 690 374 683 363 682 357 674 357 660 357 650 366 645 384 645 403 645 429 646 429 632M341 376C351 355 356 341 356 332 355 328 354 323 353 316L304 122C301 111 294 99 285 87 248 42 212 19 177 19 138 19 118 49 118 108 118 132 124 168 136 216 157 301 187 359 224 390 244 407 263 415 282 415 309 415 329 402 341 376Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 流形<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1044 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 给出分拆函数（partition function）<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.758ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2545 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="Z(M) \in k"><g data-mml-node="mi" data-latex="Z"><path data-c="1D44D" d="M720 653C722 662 723 668 723 670 723 679 718 683 707 683L277 683C252 683 249 680 243 660L189 483C187 478 186 472 185 467 188 459 190 453 201 453 206 453 212 457 218 465 239 530 267 577 302 604 337 631 389 644 457 644L609 644 62 33 58 13C58 4 64 0 75 0L516 0C542 0 545 2 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width="3.316ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1465.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="Z(M) \in k"><g data-mml-node="mo" data-latex="\in"><path data-c="2208" d="M563 4 373 4C310 4 254 25 208 68 162 111 136 163 130 226L563 226C579 226 587 234 587 250 587 266 579 274 563 274L130 274C136 337 162 389 208 432 254 475 310 496 373 496L563 496C579 496 587 504 587 519 587 535 579 543 563 543L373 543C292 543 223 515 166 458 109 401 81 332 81 250 81 168 109 99 166 42 223-15 292-43 373-43L563-43C579-43 587-35 587-19 587-7 576 4 563 4Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="k" transform="translate(944.8,0)"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 104-11 117-3 124 12 129 21 147 92 179 226 231 221 286 196 286 146 286 131 279 101 279 91 279 34 316-11 373-11 431-11 470 41 490 145 490 154 485 159 475 159 466 159 460 152 457 138 435 59 408 19 375 19 357 19 348 33 348 61 348 77 360 131 360 147 360 204 314 239 221 253 244 269 270 292 298 322 326 352 346 371 359 382 386 404 412 415 435 415 445 415 453 413 459 409 432 404 409 379 409 353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ；边界<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 722 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Sigma"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Sigma"><path data-c="3A3" d="M56 655 301 299 68 33C61 25 57 19 57 15 57 5 67 0 86 0L637 0 665 241 633 241C624 159 601 107 566 84 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transform="translate(1834,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p></div></div><div class="footer"></div><div class="article-meta" id="bottom"><div class="new-meta-box"></div></div><div class="prev-next"><a class="prev" href="/notes/person/25"><p class="title"><i class="fa-solid fa-chevron-left" aria-hidden="true"></i>Pólya波利亚：横跨数学与教育的通才大师</p><p class="content">乔治·波利亚是20世纪杰出的数学家与教育家，在概率论、组合数学和数论等多个领域有开创性贡献，其著作《怎样解题》提出的启发式解题方法深刻影响了数学教学</p></a><a class="next" href="/notes/person/27"><p class="title">Singer辛格：指标定理与数学物理融合的巨人<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">艾萨多·曼纽尔·辛格是二十世纪杰出的数学家，以其与阿蒂亚合作的指标定理闻名。他的工作连接了拓扑、几何与分析，并推动了数学与理论物理的深刻互动。他还提出了Kadison-Singer问题并引入解析挠率，影响深远</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/27.html" title="Singer辛格：指标定理与数学物理融合的巨人" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/73.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/73.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Singer辛格：指标定理与数学物理融合的巨人"> <span class="title">Singer辛格：指标定理与数学物理融合的巨人</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/1.html" title="希尔伯特23问题" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/109.webp" class="lazyload" 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