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Magicland","logo":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}},"url":"https://blog.mhuig.top/notes/person/25","wordCount":0,"datePublished":"2026-05-18T01:07:00.000Z","dateModified":"2026-05-18T01:10:00.000Z","articleSection":"历史","keywords":"History,人物,波利亚,启发式教学法,组合数学","image":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}}]</script></head><body itemscope="" itemtype="http://schema.org/WebPage"><pjax></pjax><header itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPHeader" id="l_header" class="l_header auto shadow floatable blur show" style="opacity:0"><div class="container"><div id="wrapper"><div class="nav-sub"><p class="title"></p><ul class="switcher nav-list-h m-phone" id="pjax-header-nav-list"><li><a id="s-comment" class="fa-solid fa-comments fa-fw" target="_self" title="comment"></a></li><li><a id="s-toc" class="s-toc fa-solid fa-list fa-fw" target="_self" 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="Pólya波利亚：横跨数学与教育的通才大师"><meta itemprop="description" content="乔治·波利亚是20世纪杰出的数学家与教育家，在概率论、组合数学和数论等多个领域有开创性贡献，其著作《怎样解题》提出的启发式解题方法深刻影响了数学教学"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">Pólya</span></p><br><h1 hidden="">Pólya</h1><div class="story post-story"><h2 id="生平"><a href="#生平" class="headerlink" title="生平"></a>生平</h2><p>乔治・波利亚（George Pólya，1887-1985）出生于匈牙利布达佩斯一个犹太家庭。他是 Jakab Pólya 和 Anna Deutsch 五个孩子中的第四个。Pólya 的父亲 Jakab 早年是一名律师，但一直想成为一名大学教师。为此，他不惜在 Pólya 出生的五年前将犹太化的姓氏 Pollák 改成了更加匈牙利化的 Pólya，并全家改信主流的罗马天主教，以迎合当时学界的排犹风气。</p><p>Jakab 最终如愿以偿，成为布达佩斯（Budapest）大学的一名讲师（Privatdozent）。Pólya 的长兄耶诺・山多尔・波利亚（Jenő Sándor Pólya, 1876-1944）后来成为了有名的外科医生。尽管 Jenő 一直后悔没有投身数学，但是他开发出的胃切除术（后来被医学界称为 “Pólya 术（Pólya operation）”）一直流传至今。</p><p>Pólya 中学时期最喜欢的学科是生物和文学，而数学成绩则不是特别突出。他的几何作业成绩平平，不过他在算术方面的成绩要好得多。</p><p>他在数学上没有成功的原因很可能是由于教学不佳：他后来将中学时期三位数学老师中的两位都描述为 “可鄙的”（despicable）。</p><p>1905 年，Pólya 入读 Budapest 大学，期间由他已经参加工作的长兄 Jenő 提供经济支持。他开始学习法律，但因为觉得太无聊，所以一个学期后便放弃了。此后，Pólya 花了两年时间学习了他中学时期最喜欢的文学，并且取得了在中学教授拉丁语和匈牙利语的教学资格。这使 Pólya 引以为豪，尽管他从未实际参加过中学教学。</p><p>再后来，Pólya 对哲学产生了浓厚的兴趣。他的哲学教授建议他参加物理和数学课程以帮助他更深入地了解哲学。因为这一契机，Pólya 开始正式学习数学。</p><p>对这段经历，Pólya 后来调侃道：“我认为我在物理学方面不够好，在哲学方面则非常好。数学介于两者之间。”</p><p>在 Budapest 大学，Pólya 由调和分析学家费耶尔（Lipót Fejér, 1880-1959）教授数学。Pólya 后来说：“我深受 Fejér 的影响，正如我这一代的所有匈牙利数学家一样。事实上，我曾与 Fejér 在一些小事上合作过一两次。…… 但这并没有真正产生深远影响。”</p><p>1910-1911 年，Pólya 在维也纳（Vienna）大学学习，期间通过教当地一位政要的儿子赚取学费。在 Vienna，他参加了维廷格（Wilhelm Wirtinger, 1865-1945）和梅尔滕斯（Franz Carl Joseph Mertens, 1840-1927）的数学讲座，同时继续对物理学保持浓厚兴趣，参加了相对论、光学等物理讲座。</p><p>1912 年，Pólya 回到 Budapest 攻读数学博士学位，期间在基本没有指导的情况下研究了几何概率论（geometric probability）中的一个问题。他在 Göttingen 度过了 1912-1913 年的大部分时间。在那里，他与一大批数学大家来往，包括克莱因（Felix Christian Klein, 1849-1925）、卡拉西奥多里（Constantin Carathéodory, 1873-1950）、希尔伯特（David Hilbert, 1862-1943）、龙格（Carl David Tolmé Runge, 1856-1927）、兰道（Edmund Georg Hermann Landau, 1877-1938）、外尔（Hermann Klaus Hugo Weyl, 1885-1955）、赫克（Erich Hecke, 1887-1947）、库朗（Richard Courant, 1888-1972）和托普利茨（Otto Toeplitz, 1881-1940）等。</p><p>不幸地是，Pólya 因为一件偶然的事故被迫离开了 Göttingen。他在 1921 年的一封信中解释说：“1913 年圣诞节，我乘火车从 Zürich 到 Frankfurt，当时我与火车车厢里坐在我对面的一位年轻人因为我掉下来的篮子发生了口角。我一时情绪激动，向他挑衅。看到他没有回应我的挑衅时，我又打了他的耳朵。后来发现，这个年轻人是某位头面人物的儿子，同时也是 Göttingen 大学的一名学生。在一些误会之后，大学教务会让我离开了。”</p><p>1914 年初，Pólya 前往 Paris 进行短期访问，会见了皮卡（Charles Émile Picard，1856-1941）和阿达玛（Jacques Salomon Hadamard，1865-1963）等人。但主要是由于糟糕的住宿条件，他并不太享受这段访问。在 Pólya 遇到的众多数学大家中，对他影响最大的数学家是赫尔维茨（Adolf Hurwitz，1859-1919）。当时，Hurwitz 在苏黎世联邦理工学院（ETH Zurich）担任数学教授。</p><p>于是，在 Pólya 得知 Hurwitz 为他安排了在 ETH Zurich 的讲师工作时（Hurwitz 本人在 ETH 担任数学教授），便欣然接受。后来他说：“我深受 Hurwitz 的影响。事实上，我去 Zurich 就是为了接近 Hurwitz。从我 1914 年到达 Zurich 到他 1919 年去世，我们保持了大约六年的密切联系。我们有合著了一篇论文，但这并不是全部。我对他印象深刻，并编辑了他的作品集。他的手稿也给我留下了深刻的印象。”</p><p>在 Zurich 期间，除了 Hurwitz 之外，Pólya 的同事还包括盖瑟（Karl Friedrich Geiser，1843-1934）、伯内斯（Paul Isaac Bernays，1888-1977）、策梅洛（Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo，1871-1953）和 Weyl 等。</p><p>于是，在 Pólya 得知 Hurwitz 为他安排了在 ETH Zurich 的讲师工作时（Hurwitz 本人在 ETH 担任数学教授），便欣然接受。后来他说：“我深受 Hurwitz 的影响。事实上，我去 Zurich 就是为了接近 Hurwitz。从我 1914 年到达 Zurich 到他 1919 年去世，我们保持了大约六年的密切联系。我们有合著了一篇论文，但这并不是全部。我对他印象深刻，并编辑了他的作品集。他的手稿也给我留下了深刻的印象。”</p><p>他到达 Zurich 当年，第一次世界大战开始。起初，战事并没有给 Pólya 带来实际影响，因为他在学生时代因足球受到的伤病导致他的身体状况不适合在匈牙利军队服役。</p><p>这对 Pólya 来说是幸运的，因为此时他已经是一位坚定的和平主义者，不愿参加战争。</p><p>然而，随着战争的进行，匈牙利军队对士兵越来越迫切，最终要求 Pólya 返回匈牙利参军，但他拒绝了。这使得战争结束后多年 Pólya 才能返回匈牙利而不必担心因未能服兵役而被捕。</p><p>实际上，Pólya 直到 1967 年才回到匈牙利，当时距离他上一次访问祖国已经过去了 54 年。</p><p>1918 年，Pólya 与瑞士女孩斯特拉・维拉・韦伯（Stella Vera Weber，1894-1989）结婚，她是纳沙泰尔大学（University of Neuchâtel）一位物理学教授的女儿。这段时间 Pólya 获得了瑞士公民身份。</p><p>1923 年，Pólya 和塞格（Gábor Szegő，1895-1985）向出版商 Springer 提出了他们出版两卷本作品的想法，并于 1925 年出版了后来使他们名声鹊起的数学杰作《分析中的问题与定理》（Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis，1925）。</p><p>Pólya 于 1913 年前后在 Budapest 第一次见到 Szegő，当时 Szegő 是 Budapest 大学的一名学生，Pólya 与 Szegő 讨论了对 Fourier 系数所做的一个猜想。后来这个猜想由 Szegő 证明了，成为他发表的第一项工作。</p><p>Pólya 和 Szegő 的问题集的特别之处在于内容并非按问题的主题进行分类，而是按解决问题的方法对问题进行分类。后来 Pólya 解释了为什么采取了这种与众不同的方式：</p><p>“我接触数学的时间很晚。…… 当我开始学习数学并学到一些东西时，我想：我懂了，这证明看上去准确无误；但人们是怎么找到这种结果的呢？我理解数学的困难在于：它是如何被发现的？”</p><p>1920 年，Pólya 被提升为 ETH Zurich 的特聘教授。1924 年，他获得了洛克菲勒奖（Rockefeller Fellowship），使他能够在英国跟随哈代（Godfrey Harold Hardy, 1877-1947）学习。</p><p>1924 年，他一部分时间在 Oxford，一部分时间在 Cambridge，期间与 Hardy 和利特伍德（John Edensor Littlewood, 1885-1977）合作，开始撰写《不等式》（Inequalities, 1934）一书。在编写这本书的同时，Pólya 继续发表了一系列非凡的工作。</p><p>1926-1928 年，他一共发表了 31 篇论文。鉴于这些工作的深度和数量，他于 1928 年顺理成章地被提升为 ETH Zurich 的正式教授。</p><p>在 Zurich 期间，Pólya 的数学成果数量众多且范围广泛。例如，1918 年，他发表了关于级数、数论、组合学和投票系统的论文。次年，除了关于这些主题的论文外，他还发表了关于天文学和概率论的文章。</p><p>在从事如此广泛的工作的同时，他还证明了在积分函数（integral functions）研究方面的一些非常深刻的结果。</p><p>1933 年，Pólya 第二次获得 Rockefeller 奖，使他能够访问 Princeton。访美期间，布利希费尔特（Hans Frederick Blichfeldt, 1873-1945）邀请 Pólya 访问 Stanford 大学，他去了并且非常喜欢那里。此后，Pólya 回到 Zurich，但在 1940 年，欧洲紧张的政治局势迫使 Pólya 移居美国。在 Brown 大学和史密斯学院（Smith College）工作了一段时间后，他前往 Stanford 大学任职。</p><p>在去美国之前，Pólya 已经有一本用德语写成的《怎样解题》（How to solve it）的草稿。他不得不尝试了四家出版商，才终于找到一家愿意在美国出版该书的英文版。此后该书售出超过 100 万册，并被翻译成 17 种语言。</p><p>Pólya 在《怎样解题》中解释说，解决问题需要研究启发法（heuristics）：“启发法的目的是理解发现和发明的方法和规则……‘Heuristic’作为形容词，原意是‘用于发现’。…… 其目的是发现当前问题的解决方案。…… 什么是好的教育？系统地给学生机会，让自己去发现事物。”</p><p>他还给出了许多明智的建议，包括：“如果你不能解决一个问题，那么你可以解决一个更简单的问题：找到它。”</p><p>Pólya 在职业生涯的后期花费了大量精力去寻找解决问题的系统方法，让学生、教师和研究人员能够更好地发现和创造新的数学。他写了五本关于这个主题的书。</p><p>1953 年，Pólya 从 Stanford 大学退休，但仍积极参与数学工作，特别是数学教育。</p><p>他以名誉教授的身份继续在 Stanford 大学工作，他的教学生涯也还没有结束。一直到 1978 年，他还在 Stanford 大学计算机科学系教授了一门组合学课程。</p><p>1985 年 9 月 7 日，Pólya 在美国加利福尼亚州帕洛阿尔托（Palo Alto）因中风去世。</p><p>许多人认为教学是 Pólya 对数学的最大贡献。对此，Pólya 后来评论道：“教学不是一门科学；它是一门艺术。如果教学是一门科学，就会有一种最好的教学方式，每个人都必须这样教学。由于教学不是一门科学，因此有很大的自由度，个人差异的可能性也很大。…… 让我告诉你我对教学的看法是什么。被广泛接受的第一要义是：教学必须是主动的，或者更确切地说是主动学习（active learning）。…… 数学教学的重点是发展解决问题的策略。”</p><p>Pólya 是 20 世纪最有影响力的数学家之一。他的数学贡献涵盖数论、数学物理、概率论、几何和组合学等，同时还是一位卓越的教师，在他漫长的职业生涯中一直对教学工作保持着浓厚的兴趣。</p><p>Pólya 因其杰出贡献获得了许多荣誉。他三次受邀在 ICM 发表演讲，包括 1928 年在博洛尼亚，1936 年在奥斯陆和 1950 年在马萨诸塞州剑桥。</p><p>他被选为美国国家科学院、美国艺术与科学院、匈牙利科学院院士，伦敦数学学会、英国数学协会、瑞士数学学会和布鲁塞尔国际哲学学院的荣誉会员。</p><p>有三个奖项以 Pólya 命名，分别由工业与应用数学学会（SIAM）、美国数学协会（MAA）和伦敦数学学会（LMS）设立。Stanford 大学有一处以他的名字命名的建筑（Pólya Hall）。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="贡献"><a href="#贡献" class="headerlink" title="贡献"></a>贡献</h2><p>Pólya 的主要数学贡献包括下面几个方面：</p><h3 id="一、概率论"><a href="#一、概率论" class="headerlink" title="一、概率论"></a>一、概率论</h3><p>1921 年，Pólya 证明了整数格点（integer lattice）上著名的随机游走定理（Math. Ann., 1921），后来被称为 Pólya 常返定理（Pólya's recurrence theorem）。考虑<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.176ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 520 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="d \ge 1"><g data-mml-node="mi" data-latex="d"><path data-c="1D451" d="M429 632 370 389C349 426 320 445 281 445 216 445 159 412 109 345 63 283 40 218 40 151 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 59 311 21 345-11 392-11 461-11 483 71 498 145 498 154 493 159 483 159 474 159 468 152 465 138 445 59 421 19 394 19 377 19 368 33 368 60 368 75 370 91 374 107L516 679 516 683C513 690 507 694 499 694 476 694 434 690 374 683 363 682 357 674 357 660 357 650 366 645 384 645 403 645 429 646 429 632M341 376C351 355 356 341 356 332 355 328 354 323 353 316L304 122C301 111 294 99 285 87 248 42 212 19 177 19 138 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588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 维整数格点上的简单随机游走，其从任意点都有相等的概率移动到任何相邻点。从格点上的任意一点<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 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635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的概率是否为 1？</p><p>Pólya 给出了一个令人惊讶的回答：对于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.176ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 520 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="d=1"><g data-mml-node="mi" data-latex="d"><path data-c="1D451" d="M429 632 370 389C349 426 320 445 281 445 216 445 159 412 109 345 63 283 40 218 40 151 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 59 311 21 345-11 392-11 461-11 483 71 498 145 498 154 493 159 483 159 474 159 468 152 465 138 445 59 421 19 394 19 377 19 368 33 368 60 368 75 370 91 374 107L516 679 516 683C513 690 507 694 499 694 476 694 434 690 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transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>、<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 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403 645 429 646 429 632M341 376C351 355 356 341 356 332 355 328 354 323 353 316L304 122C301 111 294 99 285 87 248 42 212 19 177 19 138 19 118 49 118 108 118 132 124 168 136 216 157 301 187 359 224 390 244 407 263 415 282 415 309 415 329 402 341 376Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="d \ge 3"><g data-mml-node="mo" data-latex="\ge"><path data-c="2265" d="M684 310C694 315 699 322 699 333 699 344 694 352 684 357L110 629C107 630 103 631 99 631 83 631 75 623 75 606 75 597 80 590 89 586L623 333 89 80C80 76 75 69 75 60 75 43 83 35 99 35 103 35 107 36 110 38M678-72 100-72C84-72 76-80 76-95 76-111 84-119 100-119L678-119C694-119 702-111 702-95 702-83 691-72 678-72Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="3" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 578 119 580 145 615 186 633 242 633 302 633 332 598 332 527 332 485 324 450 309 421 282 373 245 364 183 364 171 362 165 357 165 348 165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173 348 88 317 14 241 14 176 14 128 36 99 80 134 79 160 105 160 139 160 173 135 198 101 198 62 198 42 178 42 137 42 88 64 49 108 18 147-9 193-22 244-22 301-22 350-3 393 34 436 71 457 117 457 173 457 267 383 332 303 353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 则是否定的。</p><p>在证明过程中，Pólya 运用生成函数（generating function）方法，通过构造适当的生成函数来描述随机游走从原点出发经过<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 步后返回原点的概率。生成函数后来成为了概率论中的一种重要工具。</p><p>Pólya 常返定理直观地说明了低维空间中，随机游走的轨迹会因为受到维数制约而不断回到起点，而在三维及更高维空间中，则存在正概率使得随机游走永远离开原点。</p><p>这一结果揭示了空间维数对随机过程行为具有根本影响，说明随着维数增加，随机游走轨迹扩散的趋势更明显。该成果不仅在理论概率论中占据重要位置，而且对后续研究随机过程、扩散现象等问题都产生了深远影响。</p><p>此外，Pólya 还做了许多关于正态分布的工作。特别地，他在 1920 年一篇论文《关于概率计算的中心极限定理与矩问题》（Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem, 1920）的题目中首次使用了 “中心极限定理（central limit theorem）” 一词，现在已成为标准术语。</p><h3 id="二、组合数学"><a href="#二、组合数学" class="headerlink" title="二、组合数学"></a>二、组合数学</h3><p>1937 年，Pólya 证明了组合数学中的一个重要结论，后来被称为 Pólya 计数定理（Pólya enumeration theorem）（Acta Math., 1937）。这项工作旨在解决具有对称性的离散结构的计数问题，例如图形着色、化学异构体分类、排列组合等。</p><p>考虑作用在有限集合<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.925ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 851 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上的置换群<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。对于任意<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.079ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 477 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="g \in G"><g data-mml-node="mi" data-latex="g"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205 197-205 241-193 280-170 324-144 351-109 362-66L471 373C473 383 474 389 474 392 474 412 463 422 442 422 420 422 406 410 399 387 377 424 347 442 310 442 246 442 189 410 140 346 95 286 72 223 72 158 72 71 123-3 207-3 246-3 282 14 315 47L285-71C256-140 211-175 148-175 122-175 100-173 82-169 103-158 113-141 113-118 113-93 99-80 72-80 40-80 15-109 15-141M356 392C376 371 386 351 386 331 386 330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60 259 38 233 27 210 27 170 27 150 56 150 114 150 169 184 291 204 327 235 384 270 412 311 412 329 412 344 405 356 392Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.916ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1730.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="g \in G"><g data-mml-node="mo" data-latex="\in"><path data-c="2208" d="M563 4 373 4C310 4 254 25 208 68 162 111 136 163 130 226L563 226C579 226 587 234 587 250 587 266 579 274 563 274L130 274C136 337 162 389 208 432 254 475 310 496 373 496L563 496C579 496 587 504 587 519 587 535 579 543 563 543L373 543C292 543 223 515 166 458 109 401 81 332 81 250 81 168 109 99 166 42 223-15 292-43 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Burnside 引理，为处理具有对称结构的计数问题提供了一种系统而强大的工具，其核心思想是将由群作用表示的对称性引入计数过程，通过生成函数和群不变量简化计算。</p><p>具体来说，令<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.002ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.724ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 762 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="Y"><g data-mml-node="mi" data-latex="Y"><path data-c="1D44C" d="M664 680C646 680 584 683 565 683 550 683 542 675 542 660 542 649 548 644 561 644 582 644 593 638 593 626 593 615 584 600 567 581L342 322 236 609C233 617 231 622 230 625 230 638 248 644 284 644 303 644 312 652 312 668 312 678 306 683 293 683L168 680C146 680 76 683 58 683 43 683 35 675 35 659 35 649 44 644 62 644 80 644 95 642 104 640 123 635 124 632 130 613L252 288C255 281 256 276 256 273L235 190C223 139 215 107 211 94 204 67 197 51 190 46 183 41 160 39 122 39 100 38 91 37 91 15 91 5 97 0 109 0L234 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683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的不同着色方案。</p><p>Pólya 计数定理（Pólya enumeration theorem）断言：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:32.921ex"><svg style="vertical-align:-2.491ex;min-width:32.921ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.114ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1601.2)"><g data-mml-node="math" data-latex="
|Y^X/G| = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} m^{c(g)}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
|Y^X/G| = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} m^{c(g)}
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1601.2) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="5197.6 -1601.2 1 2702.5"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,259.2)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo" data-latex="|"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="Y^X" transform="translate(278,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="Y"><path data-c="1D44C" d="M664 680C646 680 584 683 565 683 550 683 542 675 542 660 542 649 548 644 561 644 582 644 593 638 593 626 593 615 584 600 567 581L342 322 236 609C233 617 231 622 230 625 230 638 248 644 284 644 303 644 312 652 312 668 312 678 306 683 293 683L168 680C146 680 76 683 58 683 43 683 35 675 35 659 35 649 44 644 62 644 80 644 95 642 104 640 123 635 124 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330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60 259 38 233 27 210 27 170 27 150 56 150 114 150 169 184 291 204 327 235 384 270 412 311 412 329 412 344 405 356 392Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的循环指标（cycle index）。</p><p>Pólya 的这一结论在实际应用中产生了深远影响。例如，在给正多边形或化合物分子着色时，传统计数方法容易陷入重复计算，而 Pólya 计数定理考虑到对象集合上群作用所产生的对称性，避免了枚举所有可能图像后再剔除同构方案的繁琐步骤。这一工作启发了很多数学家在相关领域寻找类似的对称性和不变量，其结论既简化了实际计算，也为后续在组合数学、统计物理和计算机科学等领域的相关研究提供了坚实基础。</p><h3 id="三、数论中的-Polya-猜想"><a href="#三、数论中的-Polya-猜想" class="headerlink" title="三、数论中的 Pólya 猜想"></a>三、数论中的 Pólya 猜想</h3><p>1919 年，Pólya 在论文《数论的各种评论》（Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie, 1919）提出了下列命题：小于任意足够大的正整数的自然数 “大多”（即 50% 或更多）具有奇数个质因数（“most” (i.e., 50% or more) of the natural numbers less than any given number have an odd number of prime factors）。</p><p>具体来说，设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为正整数，考虑 Liouville 函数</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:26.796ex"><svg style="vertical-align:-1.97ex;min-width:26.796ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.072ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1370.9)"><g data-mml-node="math" data-latex="
L(n) = \sum_{1 \leq k \leq n} \lambda(k)
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
L(n) = \sum_{1 \leq k \leq n} \lambda(k)
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用数值方法验证了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 600 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n \leq 1500"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 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590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数非平凡零点的正虚部之间存在线性依赖关系。因为学界普遍认为后者不成立，所以 Ingham 的工作使得人们对 Pólya 猜想是否成立产生了严重的怀疑。</p><p>最终，1958 年，Ingham 的学生哈泽尔格罗夫（Colin Brian Haselgrove, 1926-1964）在电子计算机的辅助下，证明了该命题是错误的。</p><p>雷曼（Russell Sherman Lehman, 1930-2023）在 1960 年的论文《关于 Liouville 函数》（On Liouville's function）发现了第一个显式反例，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.482ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5959 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="L(906180359) = 0"><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 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title="四、Hilbert-Pólya 猜想"></a>四、Hilbert-Pólya 猜想</h3><p>1912 至 1914 年间，Pólya 在 Göttingen 与 Edmund Landau 讨论黎曼猜想可能的证明方法时提出，如果能够找到一个自伴算子（self-adjoint operator），使其特征值恰为黎曼<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数非平凡零点的虚部，则可以推导出黎曼猜想成立。</p><p>这一思路给数学界试图证明黎曼猜想提供了一种新思路，即通过谱理论的方法揭示黎曼<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数非平凡零点的深层结构。</p><p>设黎曼<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数的所有非平凡零点为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.795ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 793.6 1209.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\frac{1}{2} + \sqrt{-1}t"><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{1}{2}"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.901ex" height="2.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -919 3492.2 1169"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\frac{1}{2} + \sqrt{-1}t"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="msqrt" data-latex="\sqrt{-1}" transform="translate(1000.2,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,819)"><path data-c="221A" d="M847-2C851 7 853 13 853 16 853 32 845 40 829 40 820 40 813 36 809 27 666-259 595-403 595-405L595-406C595-413 527-558 390-843L217-461C212-450 207-445 201-445 198-445 192-448 184-454L86-528C77-535 73-540 73-545 73-555 78-560 87-560 90-560 95-557 103-551L151-516 345-943C350-954 357-960 367-960 379-960 387-955 392-946Z"></path></g><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(778,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g><rect width="1278" height="60" x="853" y="799"></rect></g><g data-mml-node="mi" data-latex="t" transform="translate(3131.2,0)"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。Pólya 指出，可以试图构造一类形如<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.795ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 793.6 1209.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\frac{1}{2} + \sqrt{-1}H"><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{1}{2}"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><rect width="553.6" height="60" x="120" 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604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的算子，其中<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 881 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="H"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为适当的无界算子，其特征值恰巧对应虚部<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.817ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 361 637"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="t"><g data-mml-node="mi" data-latex="t"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。此时，若<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 881 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="H"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是自伴的，由于自伴算子的特征值必为实数，且其特征值与黎曼<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数非平凡零点的虚部相对应，则说明这些零点必位于复平面上实部为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.394ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1500 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="1/2"><g data-mml-node="mn" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(500,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex="/"><path data-c="2F" d="M444 718C445 720 445 723 445 726 445 742 437 750 421 750 410 750 403 745 399 734L57-218C56-220 56-223 56-226 56-242 64-250 80-250 91-250 98-245 102-234Z"></path></g></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(1000,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的临界线上。</p><p>后来，上述问题被学界称为 Hilbert-Pólya 猜想。</p><p>这一猜想首次将数论中的黎曼猜想与量子力学中的谱理论关联，暗示黎曼猜想可能存在某种物理解释。</p><p>虽然 Pólya 在 20 世纪初就提出了这一设想，但当时缺乏实质性的技术支撑，导致很长一段时间没有实质性突破。</p><p>1950 年代，塞尔伯格（Atle Selberg, 1917-2007）证明了黎曼曲面上测地线长度与拉普拉斯算子特征值存在特定关系，即 Selberg 迹公式（Selberg's trace formula）。该结论表明<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数零点确可通过某种迹公式与算子谱关联，为 Hilbert-Pólya 猜想提供了初步数学支持。</p><p>1970 年代，蒙哥马利（Hugh Lowell Montgomery, 1944 - ）发现黎曼<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数零点的统计学规律与随机厄米矩阵（random Hermitian matrix）特征值分布一致。这一发现将数论问题与统计物理中的随机矩阵理论结合，进一步支持了 Pólya 的猜想。</p><p>1990 年代，贝里（Michael Victor Berry, 1941-）与基廷（Jonathan Peter Keating, 1963-）提出，黎曼<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数的零点可能对应经典哈密顿量<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.432ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1075 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="xp"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="p" transform="translate(572,0)"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 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猜想提供了更具体的物理模型。</p><p>1990 年代，贝里（Michael Victor Berry, 1941-）与基廷（Jonathan Peter Keating, 1963-）提出，黎曼<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 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134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的乘积）的某种特定量子化算子的特征值，并且可以通过引入适当的边值条件控制零点分布的渐进行为。这为研究 Hilbert-Pólya 猜想提供了更具体的物理模型。</p><h3 id="五、几何中的-Polya-猜想"><a href="#五、几何中的-Polya-猜想" class="headerlink" title="五、几何中的 Pólya 猜想"></a>五、几何中的 Pólya 猜想</h3><p>Pólya 猜想关于特征值的猜想涉及有界区域<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 722 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Omega \subset \mathbb{R}^n"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Omega"><path data-c="3A9" d="M267 25C267 73 249 147 214 246 181 335 165 404 165 454 165 576 241 675 360 675 479 675 556 576 556 454 556 405 537 328 500 225 469 137 454 70 454 25 454 1 458 0 483 0L644 0 678 168 645 168C639 136 633 111 627 93 623 82 614 76 601 73 598 72 586 72 565 72L491 72C501 110 530 164 578 234 636 321 665 394 665 453 665 528 632 590 567 639 508 683 439 705 361 705 282 705 213 683 154 639 89 591 56 529 56 453 56 395 85 322 143 234 181 178 214 129 230 72L156 72C122 72 102 77 97 86 87 118 80 145 76 168L43 168 77 0 239 0C262 0 267 2 267 25Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.17ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2285 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Omega \subset \mathbb{R}^n"><g data-mml-node="mo" data-latex="\subset"><path data-c="2282" d="M669 4 378 4C309 4 251 28 204 76 156 123 132 181 132 250 132 319 156 377 204 424 251 472 309 496 378 496L669 496C685 496 693 504 693 519 693 535 685 543 669 543L378 543C296 543 227 515 170 458 113 401 85 332 85 250 85 168 113 99 170 42 227-15 296-43 378-43L669-43C685-43 693-35 693-19 693-7 682 4 669 4Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="\mathbb{R}^n" transform="translate(1055.8,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{R}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="R"><path data-c="211D" d="M104 590 104 95C104 45 99 43 47 43 26 43 16 36 16 22 16 4 31 0 54 0L324 0C349 0 361 7 361 22 361 36 350 43 329 43 277 43 273 45 273 95L273 310 302 310 450 83C475 43 490 20 494 14 500 5 512 0 530 0L666 0C691 0 703 7 703 22 703 33 697 40 685 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45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 上 Dirichlet 特征值问题：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:42.517ex"><svg style="vertical-align:-.566ex;min-width:42.517ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math" data-latex="
-\Delta u = \lambda u,\ \Omega \text{ 内；}\ u = 0,\ \partial\Omega \text{ 上}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
-\Delta u = \lambda u,\ \Omega \text{ 内；}\ u = 0,\ \partial\Omega \text{ 上}
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="7318.2 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\Delta" transform="translate(778,0)"><path data-c="394" d="M759 0C776 0 785 4 785 13L445 696C438 709 429 716 416 716 403 716 394 709 387 696L52 25C49 18 47 14 47 12 47 4 56 0 73 0M384 604 644 83 124 83Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="u" transform="translate(1611,0)"><path data-c="1D462" d="M543 144C543 153 538 158 527 158 518 158 513 151 510 137 505 118 500 99 493 80 480 39 462 18 440 18 422 18 413 32 413 60 413 77 420 111 433 161L460 267C469 303 477 328 483 359L489 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\lambda_k \ge C_n \left( \frac{k}{|\Omega|} \right)^{2/n},\quad C_n = \frac{4\pi^2}{\omega_n^{2/n} }
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\lambda_k \ge C_n \left( \frac{k}{|\Omega|} \right)^{2/n},\quad C_n = \frac{4\pi^2}{\omega_n^{2/n} }
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1685.4) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="7135.7 -1685.4 1 2870.8"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-18)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub" data-latex="\lambda_k"><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(616,-150) scale(0.707)" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 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data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="R"><path data-c="211D" d="M104 590 104 95C104 45 99 43 47 43 26 43 16 36 16 22 16 4 31 0 54 0L324 0C349 0 361 7 361 22 361 36 350 43 329 43 277 43 273 45 273 95L273 310 302 310 450 83C475 43 490 20 494 14 500 5 512 0 530 0L666 0C691 0 703 7 703 22 703 33 697 40 685 42 660 47 625 82 579 146 534 208 494 267 459 322 573 344 630 402 630 496 630 563 600 613 540 644 488 671 429 685 364 685L54 685C29 685 16 678 16 663 16 649 26 642 47 642 99 642 104 640 104 590M535 597C570 576 587 542 587 496 587 427 547 385 468 368 485 396 494 438 494 495 494 552 483 596 462 629 487 622 512 612 535 597M452 495C452 433 441 394 419 378 397 362 348 353 273 353L273 593C273 630 287 642 330 642 425 642 452 595 452 495M413 316C496 184 561 93 610 43L525 43 352 311C357 312 361 312 364 312 378 312 394 313 413 316M140 642 240 642C234 631 231 616 231 596L231 93C231 72 233 55 237 43L140 43C144 55 146 72 146 93L146 592C146 613 144 630 140 642Z"></path></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(755,363) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 中的体积，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.891ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1278 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="|\Omega|"><g data-mml-node="mo" data-latex="|"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\Omega" transform="translate(278,0)"><path data-c="3A9" d="M267 25C267 73 249 147 214 246 181 335 165 404 165 454 165 576 241 675 360 675 479 675 556 576 556 454 556 405 537 328 500 225 469 137 454 70 454 25 454 1 458 0 483 0L644 0 678 168 645 168C639 136 633 111 627 93 623 82 614 76 601 73 598 72 586 72 565 72L491 72C501 110 530 164 578 234 636 321 665 394 665 453 665 528 632 590 567 639 508 683 439 705 361 705 282 705 213 683 154 639 89 591 56 529 56 453 56 395 85 322 143 234 181 178 214 129 230 72L156 72C122 72 102 77 97 86 87 118 80 145 76 168L43 168 77 0 239 0C262 0 267 2 267 25Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="|" transform="translate(1000,0)"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 表示<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 722 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Omega"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Omega"><path data-c="3A9" d="M267 25C267 73 249 147 214 246 181 335 165 404 165 454 165 576 241 675 360 675 479 675 556 576 556 454 556 405 537 328 500 225 469 137 454 70 454 25 454 1 458 0 483 0L644 0 678 168 645 168C639 136 633 111 627 93 623 82 614 76 601 73 598 72 586 72 565 72L491 72C501 110 530 164 578 234 636 321 665 394 665 453 665 528 632 590 567 639 508 683 439 705 361 705 282 705 213 683 154 639 89 591 56 529 56 453 56 395 85 322 143 234 181 178 214 129 230 72L156 72C122 72 102 77 97 86 87 118 80 145 76 168L43 168 77 0 239 0C262 0 267 2 267 25Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的体积。</p><p>如果<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 722 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Omega"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Omega"><path data-c="3A9" d="M267 25C267 73 249 147 214 246 181 335 165 404 165 454 165 576 241 675 360 675 479 675 556 576 556 454 556 405 537 328 500 225 469 137 454 70 454 25 454 1 458 0 483 0L644 0 678 168 645 168C639 136 633 111 627 93 623 82 614 76 601 73 598 72 586 72 565 72L491 72C501 110 530 164 578 234 636 321 665 394 665 453 665 528 632 590 567 639 508 683 439 705 361 705 282 705 213 683 154 639 89 591 56 529 56 453 56 395 85 322 143 234 181 178 214 129 230 72L156 72C122 72 102 77 97 86 87 118 80 145 76 168L43 168 77 0 239 0C262 0 267 2 267 25Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 可以平铺<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.781ex" height="1.55ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -685 1229.3 685"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{R}^n"><g data-mml-node="msup" data-latex="\mathbb{R}^n"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{R}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="R"><path data-c="211D" d="M104 590 104 95C104 45 99 43 47 43 26 43 16 36 16 22 16 4 31 0 54 0L324 0C349 0 361 7 361 22 361 36 350 43 329 43 277 43 273 45 273 95L273 310 302 310 450 83C475 43 490 20 494 14 500 5 512 0 530 0L666 0C691 0 703 7 703 22 703 33 697 40 685 42 660 47 625 82 579 146 534 208 494 267 459 322 573 344 630 402 630 496 630 563 600 613 540 644 488 671 429 685 364 685L54 685C29 685 16 678 16 663 16 649 26 642 47 642 99 642 104 640 104 590M535 597C570 576 587 542 587 496 587 427 547 385 468 368 485 396 494 438 494 495 494 552 483 596 462 629 487 622 512 612 535 597M452 495C452 433 441 394 419 378 397 362 348 353 273 353L273 593C273 630 287 642 330 642 425 642 452 595 452 495M413 316C496 184 561 93 610 43L525 43 352 311C357 312 361 312 364 312 378 312 394 313 413 316M140 642 240 642C234 631 231 616 231 596L231 93C231 72 233 55 237 43L140 43C144 55 146 72 146 93L146 592C146 613 144 630 140 642Z"></path></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(755,363) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 空间，Pólya 在 1961 年证明了这个猜想是成立的。</p><p>在丘和李伟光（Peter Li）于 1983 年发表在 Commun. Math. Phys. 的论文《On the Schrödinger equation and the eigenvalue problems》中，证明了如下的估计：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:47.941ex"><svg style="vertical-align:-2.682ex;min-width:47.941ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.495ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1685.4)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\lambda_k \ge \frac{n}{n+2} C_n \left( \frac{k}{|\Omega|} \right)^{2/n},\quad C_n = \frac{4\pi^2}{\omega_n^{2/n} }
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\lambda_k \ge \frac{n}{n+2} C_n \left( \frac{k}{|\Omega|} \right)^{2/n},\quad C_n = \frac{4\pi^2}{\omega_n^{2/n} }
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\frac{1}{k}\sum_{1\le i\le k} \lambda_i \ge \frac{n}{n+2} C_n \left( \frac{k}{|\Omega|} \right)^{2/n},\quad C_n = \frac{4\pi^2}{\omega_n^{2/n} }
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\frac{1}{k}\sum_{1\le i\le k} \lambda_i \ge \frac{n}{n+2} C_n \left( \frac{k}{|\Omega|} \right)^{2/n},\quad C_n = \frac{4\pi^2}{\omega_n^{2/n} }
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1747.6) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="10135 -1747.6 1 2995.3"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,44.2)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{1}{k}"><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(230.5,676)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="k" transform="translate(220,-686)"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 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data-latex="\text{(7)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="37" d="M475 604C482 613 485 626 485 644L243 644C174 644 135 648 128 657 125 660 122 667 120 676L89 676 55 464 88 464C98 520 106 550 112 555 115 558 146 560 205 560L401 560 295 410C214 295 174 171 174 36 174-3 190-22 223-22 256-22 272-3 272 36L272 87C272 239 296 349 343 416Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z" transform="translate(889,0)"></path></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>尽管这一结果未能完全证明 Pólya 猜想，但平均下界估计是渐近最优的。</p><h3 id="六、其他贡献"><a href="#六、其他贡献" class="headerlink" title="六、其他贡献"></a>六、其他贡献</h3><p>Pólya 对复分析的兴趣使他研究了幂级数的奇点、间隙定理（gap theorem）、具有积分系数的幂级数和在正整数处取积分值的幂级数、指数型整函数（entire function）的 Pólya 表示以及零点位置。</p><p>他还研究了共形映射（conformal mapping）和势能理论（potential theory），在此基础上研究了偏微分方程的边值问题以及与之相关的各种泛函理论。</p><p>他的方法特别适用于等周问题（Isoperimetric problem）。1951 年，他与 Szegő 一起撰写了数学物理领域的经典著作《数学物理中的等周不等式》（Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics, 1951）。</p></div></div><div class="footer"></div><div class="article-meta" id="bottom"><div class="new-meta-box"></div></div><div class="prev-next"><a class="prev" href="/notes/person/24"><p class="title"><i class="fa-solid fa-chevron-left" aria-hidden="true"></i>Erdős埃尔德什：流浪数学家的非凡人生与不朽贡献</p><p class="content">本文详述了数学家保罗·埃尔德什的传奇一生，从其早年天赋与动荡经历，到被迫流亡的学术生涯。他发表了约1500篇论文，在数论、组合数学及图论等多个领域做出奠基性贡献，并以悬赏问题和埃尔德什数激励了全球数学界</p></a><a class="next" href="/notes/person/26"><p class="title">Atiyah阿蒂亚：跨越数学与物理边界的巨匠<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">本文全面介绍了英国数学家迈克尔·阿蒂亚的生平与学术贡献，其标志性成果包括指标定理和K理论。他晚年转向理论物理，在规范场论和拓扑量子场论公理化方面成就卓著，深刻影响了现代几何与拓扑学的发展。</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/P-2000/5.html" title="P-2000问题的#P完全性证明与复杂性分析" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/60.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/60.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="P-2000问题的#P完全性证明与复杂性分析"> <span class="title">P-2000问题的#P完全性证明与复杂性分析</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/24.html" title="Erdős埃尔德什：流浪数学家的非凡人生与不朽贡献" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/96.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/96.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Erdős埃尔德什：流浪数学家的非凡人生与不朽贡献"> <span class="title">Erdős埃尔德什：流浪数学家的非凡人生与不朽贡献</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/13.html" title="Littlewood英国数学家李特尔伍德生平与数学贡献" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/23.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/23.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Littlewood英国数学家李特尔伍德生平与数学贡献"> <span class="title">Littlewood英国数学家李特尔伍德生平与数学贡献</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/1.html" title="希尔伯特23问题" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/109.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/109.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="希尔伯特23问题"> <span class="title">希尔伯特23问题</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/12.html" title="Hardy数学家哈代的生平、贡献与轶事" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/81.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/81.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Hardy数学家哈代的生平、贡献与轶事"> <span class="title">Hardy数学家哈代的生平、贡献与轶事</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/11.html" title="Ramanujan印度数学奇才的传奇一生：拉马努金的贡献与影响" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/98.webp" class="lazyload" 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mathematics</span></header><div class="content"><ul class="list entry navigation"><li><a class="flat-box" title="/notes/person/" href="/notes/person/" active-action="action-notesperson"><div class="name"> Welcome</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/1" href="/notes/person/1" active-action="action-notesperson1"><div class="name"> Hilbert</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/2" href="/notes/person/2" active-action="action-notesperson2"><div class="name"> Thompson</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/3" href="/notes/person/3" active-action="action-notesperson3"><div class="name"> Conway</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/4" href="/notes/person/4" active-action="action-notesperson4"><div class="name"> Borcherds</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/5" href="/notes/person/5" active-action="action-notesperson5"><div class="name"> Wall</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/6" href="/notes/person/6" active-action="action-notesperson6"><div class="name"> Waldhausen</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/7" href="/notes/person/7" active-action="action-notesperson7"><div class="name"> Dehn</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/8" href="/notes/person/8" active-action="action-notesperson8"><div class="name"> Whitehead</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/9" href="/notes/person/9" active-action="action-notesperson9"><div class="name"> Iwaniec</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/10" href="/notes/person/10" active-action="action-notesperson10"><div class="name"> Sarnak</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/11" href="/notes/person/11" active-action="action-notesperson11"><div class="name"> Ramanujan</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/12" href="/notes/person/12" active-action="action-notesperson12"><div 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