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Magicland","logo":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}},"url":"https://blog.mhuig.top/notes/person/24","wordCount":0,"datePublished":"2026-05-18T00:07:00.000Z","dateModified":"2026-05-18T00:10:00.000Z","articleSection":"历史","keywords":"History,人物,埃尔德什,组合数学,素数定理","image":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}}]</script></head><body itemscope="" itemtype="http://schema.org/WebPage"><pjax></pjax><header itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPHeader" id="l_header" class="l_header auto shadow floatable blur show" style="opacity:0"><div class="container"><div id="wrapper"><div class="nav-sub"><p class="title"></p><ul class="switcher nav-list-h m-phone" id="pjax-header-nav-list"><li><a id="s-comment" class="fa-solid fa-comments fa-fw" target="_self" title="comment"></a></li><li><a id="s-toc" class="s-toc fa-solid fa-list fa-fw" target="_self" 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="Erdős埃尔德什：流浪数学家的非凡人生与不朽贡献"><meta itemprop="description" content="本文详述了数学家保罗·埃尔德什的传奇一生，从其早年天赋与动荡经历，到被迫流亡的学术生涯。他发表了约1500篇论文，在数论、组合数学及图论等多个领域做出奠基性贡献，并以悬赏问题和埃尔德什数激励了全球数学界"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">Erdős</span></p><br><h1 hidden="">Erdős</h1><div class="story post-story"><h2 id="生平"><a href="#生平" class="headerlink" title="生平"></a>生平</h2><p>保罗・埃尔德什（Paul Erdős, 1913-1996）出生于奥地利布达佩斯（Budapest）一个犹太家庭（原始姓氏为 Engländer），但是他的父母都不信奉犹太教。</p><p>Lajos 和母亲 Anna（1880-1971）有在 Erdős 前有两个女儿，分别在三岁和五岁因猩红热去世，而这就发生在 Erdős 出生前几天。</p><p>这自然使得 Lajos 和 Anna 对 Erdős 极为溺爱，由于母亲担心他也会染上致命的儿童疾病，所以一直把他留在家里，直到他 10 岁才送他上学。Erdős 的父母均为数学教师，然而他的父亲被关进了俄国的战俘营长达六年，而母亲又需要长时间工作，还雇了一位德国籍女家庭教师照看他。</p><p>Erdős 当时通过翻阅父母的数学书籍来消磨时间。正如他后来回忆的那样：“我在很小的时候就爱上了数字，它们是我的朋友，我可以依赖它们，它们总在那里，总是一成不变。三岁时，我就在脑中乘出三位数逗得母亲的朋友们开心；四岁时，我就发现了负数。我告诉我母亲，如果你用 100 减去 250，就会得到 '150 below zero'。”</p><p>Erdős 刚满一岁不久，第一次世界大战爆发。Erdős 的父亲 Lajos 在俄军进攻奥匈军队时被俘，随后在西伯利亚度过了六年的囚禁生活。Lajos 一被俘，为了照顾 Erdős，同时由于母亲 Anna 白天在教学，一位德国籍的女家庭教师被雇来照看 Erdős。因失去了两个女儿，Anna 对 Erdős 的保护过度，在他早年大部分时间里不让他上学，而是聘请了家庭教师在家中辅导他。</p><p>第一次世界大战结束后，匈牙利局势陷入混乱，国家先是短暂成为民主共和国，随后由贝拉・昆（Béla Kun, 1886-1938）接管。Anna 当时被任命为学校校长，但在针对 Kun 政权的罢工行动中，她继续工作，纯粹出于对孩子们教育的关切，而非政治立场。</p><p>1919 年 7 月，随着罗马尼亚军队逼近布达佩斯，Kun 逃往维也纳，米克洛斯・霍尔蒂（Miklós Horthy de Nagybánya, 1868-1957）随即掌权，Anna 因未响应罢工号召而被归入打击对象，遭到解雇，并在 Horthy 部队街头屠杀犹太人和共产主义者的行动中险些失去生命。</p><p>1920 年对 Erdős 来说并非完全不幸，因为他的父亲 Lajos 从西伯利亚归来。他在囚禁期间学会了英语，但由于没有英语教师，他的发音带有浓重的口音。Lajos 开始教 Erdős 讲英语，这种奇特的英语口音伴随 Erdős 一生，成为他的一大特色。</p><p>在高中时期，Erdős 定期解答杂志《高中数学和物理》（Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok (KöMaL)）中提出的问题。</p><p>这是一份面向中学生的数学和物理月刊，目标读者的平均年龄仅为 17 至 18 岁。该刊物被认为在 19 世纪末和 20 世纪初匈牙利学生的数学成功中占有重要作用。</p><p>多年后，Erdős 还在该期刊上发表了关于初等平面几何问题的多篇文章。1962 年，匈牙利裔美国数学家拉斯洛・洛瓦斯（László Lovász, 1948-；1999 年 Wolf 奖，2021 年 Abel 奖）据说偶然读到 Erdős 的一篇文章，“着迷得几乎读了 20 遍”。</p><p>通过 KöMaL，Erdős 首次结识了图兰（Pál Turán, 1910-1976）和加莱（Tibor Gallai, 1912-1992）。</p><p>尽管匈牙利对犹太人进入大学有所限制，Erdős、Turan 和 Gallai 仍凭借在全国数学竞赛中的优异表现，成功进入了大学。当时年仅 17 岁的 Erdős 进入布达佩斯的彼得・帕兹马尼大学（Pázmány Péter University），仅用了四年就完成了本科学业并获得了数学博士学位。</p><p>1934 年，他完成了题为《关于某些算术级数的素数》（Über die Primzahlen gewisser arithmetischer Reihen）的博士论文。</p><p>他的导师是费耶尔（Lipót Fejér, 1880-1959），他还指导过众多其他匈牙利数学家，如冯・诺伊曼（John von Neumann, 1903-1957）、波利亚（George Pólya, 1887-1985）以及 Erdős 的朋友 Turán。</p><p>当时 Erdős 对于数学的优雅已有明确的看法。他认为，上帝拥有一本超限之书（The Book），其中记载着每个可能数学问题最短、最美的证明。对他来说，给予同事工作的最高赞誉便是说：“那正是摘自 The Book。” 至于 Erdős 对 Bertrand（Joseph Louis François Bertrand, 1822-1900）Postulate 的证明，没人怀疑 Erdős 确实在 The Book 中找到了。</p><p>在大学期间，他还与其他年轻的犹太数学家组成了一个自称 “匿名小组” 的团体，他们倡导一门新兴的数学分支 —— 拉姆齐理论（Ramsey Theory），其哲学基础在于认为完全的混乱是不可能存在的。一个具体的例子是在平面（即一个平坦的表面）上随机散布的点，Ramsey 理论的学者便猜想：无论这些点看起来多么杂乱无章，总会出现某种模式和结构。</p><p>他在 1934 年获得博士学位。随后，他获得了 Manchester 的博士后奖学金，此时他也因为犹太人身份而不得不离开匈牙利。在博士后期间，Erdős 在英国各地广泛旅行。1934 年他在 Cambridge 遇见了哈代（Godfrey Harold Hardy, 1877-1947）。</p><p>1935 年又在 Cambridge 遇见了乌拉姆（Stanislaw Marcin Ulam, 1909-1984），他与 Ulam 的友谊也促进他在后来做出往美国的决定。此时，他的流浪精神早已显露。“…… 自 1934 年以来，他几乎从未连续七晚睡在同一张床上。”</p><p>在 Manchester 博士后期间，Erdős 每年仍会三次访问 Budapest。1938 年 3 月，希特勒控制了 Austria，Erdős 只好取消原定于春季前往 Budapest 的访问，但在暑假期间还是访问了 Budapest。1938 年 9 月 3 日爆发的捷克危机（Czech crisis）迫使他匆忙返回英国。几周之内，Erdős 就踏上了前往美国的旅程，并在那里获得了 Princeton 的一个奖学金职位。</p><p>他本希望奖学金能够延长，但由于 Erdős 不符合普林斯顿（Princeton）的标准，他只获得了六个月的延长而非预期的一年。Princeton 方面认为他 “粗鲁且不合常规（uncouth and unconventional）”。</p><p>最终他接受了 Ulam 的邀请，到 University of Wisconsin-Madison 访问，从此开启了他终生在世界各大学之间辗转流浪的旅程。</p><p>1941 年 8 月发生的一件颇为离奇的小插曲。Erdős 与另外两位数学家在长岛一座军事无线电发射器附近被警察拦下。由于这三位数学家太过沉浸于数学讨论，竟然没有注意到 “NO TRESPASSING” 的标志。经过与警察友好交谈后，大家意识到并无恶意。但这件事为 Erdős 留下了一份 FBI 档案记录，后来被拿来对付他。</p><p>1943 年，Ulam 离开 Madison 前往新墨西哥州 Los Alamos，与其他数学家和物理学家一起从事原子弹项目。他曾邀请 Erdős 加入该项目，但尽管 Erdős 对面试表现出一定兴趣，他给出的回答显然不是面试官所期望的。Erdős 直言不讳地表示他希望战后回到 Budapest，这种诚实令面试官失望。</p><p>1943 年，Erdős 也离开 Madison 开始在 Purdue 大学担任兼职教职，之后还辗转于 Stanford 大学、Notre Dame 大学、Johns Hopkins 大学。在此期间，匈牙利的犹太人遭受了极其惨重的苦难，许多人被杀害，另有许多人被发配到奥斯维辛（Auschwitz）。当时在美国的 Erdős 几乎没有机会知道家乡的消息。</p><p>然而，1945 年 8 月，Erdős 收到一份电报，告知了他家中的情况：他的父亲于 1942 年因心脏病发作去世；他的母亲幸存下来，他的堂妹 Magda Fredro 被送往奥斯维辛，但也奇迹般地生还。此外 Erdős 的四位叔叔和姑姨均已被杀害。</p><p>1948 年底左右，Erdős 得以回访匈牙利，与仍然健在的家人和朋友重聚。接下来的三年里，他频繁往返于英国和美国之间，直至 1952 年接受了 Notre Dame 大学的一个临时职位。</p><p>1950 年代初期，美国掀起了对共产主义的强烈反感情绪。在此期间，Erdős 开始受到当局的怀疑。1954 年，在 Amsterdam 参会后返回美国时，美国移民官询问他对马克思的看法，Erdős 回答道：“我不能完全的判断，但是无疑他是一个伟大的人。” 随后又被问及是否会重返匈牙利，Erdős 回答道：“我不确定我是否会返回匈牙利因为我不确定我还能不能出来。我只计划去英国和荷兰。”</p><p>Erdős 最终未被允许返回美国，官方并未给出理由。档案显示，官方原因并非他上述回答中所表达的，而是由于他曾与一位后来从美国返回中国的中国数学家通信，以及他的 1941 年 FBI 档案记录。</p><p>事实上，2013 年，科迪・温彻斯特（Cody Winchester）根据《信息自由法》向 FBI 提交请求，要求在该局的中央记录系统中搜索所有与 “Paul Erdős” 相关的信息。该请求最终于 2014 年 3 月 27 日获得批准。在解密的 FBI 记录中，可以看出 FBI 从 1950 年代起便对 Erdős 及其行踪进行了数十年的跟踪。调查的结论似乎是 —— 正如利普顿（Beryl Lipton）后来所写：“FBI 花了几十年追踪数学家 Paul Erdős，最终得出的结论是，这家伙只是非常热爱数学。”</p><p>接下来的十年里，他大部分时间在以色列度过。1960 年代初，他曾多次请求允许返回美国，最终于 1963 年 11 月获得签证。但此时的 Erdős 已经养成在各大学之间辗转、并且暂居于各数学家中的习惯。他的流浪足迹遍及以色列、中国、澳大利亚以及其他 22 个国家。</p><p>期间，他有一个比较长久的落脚之处，那就是他的朋友格雷厄姆（Ronald Lewis Graham，1935-2020）家中。Erdős 与 Graham 在 1963 年的一次数论会议上相识，不久便开始了数学合作。Graham 为 Erdős 提供了一个可以居住的房间，也存放了他的论文，在许多方面充当了 Erdős 的秘书。</p><p>也是在这段时间开始，Erdős 靠着一种药物维持清醒，以一种传教士般的热情进行数学研究，经常一天工作 20 小时，最终发表了约 1500 篇论文，这一数字远远超过当时的同行。他的热情极具感染力，把数学变成了一种社交活动，鼓励那些最为内向的同事们共同合作。他曾说，他们共同的目标是揭示 The Book 中的秘密篇章。</p><p>数学界也产生了 Erdős number 的概念：Erdős 本人曾与 507 位合作者共同发表论文，在数学界，这 507 人因此获得了 “Erdős 数为 1” 的 “殊荣”，意味着他们曾与 Erdős 共同署名发表论文。与 Erdős 的合作者合作发表论文的人则被称为 Erdős 数为 2；而 Erdős 数为 3 则表示某人与某位与 Erdős 有过合作的人共同发表过论文。</p><p>1951 年，John von Neumann 因其在素数理论方面的贡献，将 Cole Prize 颁发给了 Erdős。1959 年，Erdős 参加了第一届 International Conference on Graph Theory，而图论正是他参与创立的领域之一。</p><p>在接下来的三十年中，他在组合数学、划分理论、集合论、数论以及几何等多个领域持续作出重要贡献 —— 他涉猎领域的多样性实属罕见。</p><p>1984 年，他赢得了数学界最丰厚的奖项 —— Wolf Prize，并将 5 万美元奖金中除 720 美元外的全部奖金捐出，用以在以色列设立以纪念其父母的奖学金。</p><p>Erdős 通常将他从奖项和其他工作中获得的收入捐赠给有需要的人和各种有价值的事业。他依靠大学和会议的津贴以及微薄的报酬维持生活，剩余的钱则用于设立现金奖励，奖励那些为他认为有趣的问题给出证明的人。奖金从 25 美元到数千美元不等。</p><p>其中最著名的 “Erdős 问题” 可能是考拉兹猜想（Collatz conjecture）或叫<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.124ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1381 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="3N+1"><g data-mml-node="mn" data-latex="3"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 578 119 580 145 615 186 633 242 633 302 633 332 598 332 527 332 485 324 450 309 421 282 373 245 364 183 364 171 362 165 357 165 348 165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173 348 88 317 14 241 14 176 14 128 36 99 80 134 79 160 105 160 139 160 173 135 198 101 198 62 198 42 178 42 137 42 88 64 49 108 18 147-9 193-22 244-22 301-22 350-3 393 34 436 71 457 117 457 173 457 267 383 332 303 353Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="N" transform="translate(500,0)"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.394ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1500.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="3N+1"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 猜想：是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1，如果它是偶数，则对它除以 2，如此循环，最终都能够得到 1。Collatz 猜想由考拉兹（Lothar Collatz, 1910-1990）在 1937 年左右提出，当时他刚刚获得博士学位。</p><p>为此 Erdős 提供了 500 美元奖金。他在谈到 Collatz 猜想时说：“数学还没准备好应对这样的问题。”</p><p>目前最好的相关结果由陶哲轩在 2022 年发表，他证明对于几乎任何一个大于 0 的整数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 881 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，Collatz 猜想对于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 881 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的序列的下界一定会低于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.002ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2211 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f(N)"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705 400 705 357 665 334 586 329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411 204 400 214 395 235 395L295 395 222 8C211-49 201-91 192-119 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40 69 38 32 38L32 0 147 3 261 0 261 38C224 38 203 40 196 44 189 48 185 60 185 79L185 259C185 340 236 413 314 413Z" transform="translate(278,0)"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834,0)"><path data-c="2061" d=""></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(1000.7,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.885ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2601.3 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\ln\ln n"><g data-mml-node="mi" data-latex="\ln"><path data-c="6C" d="M144 3 255 0 255 39C219 39 197 40 190 44 183 48 180 60 180 79L180 694 33 683 33 645C68 645 90 642 97 636 104 630 108 616 108 593L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path><path data-c="6E" d="M314 413C359 413 382 378 382 307L382 79C382 60 379 48 372 44 365 40 343 38 306 38L306 0 421 3 535 0 535 38C503 38 482 39 472 42 462 45 458 52 458 64L458 251C458 298 457 331 454 350 444 411 399 442 320 442 257 442 210 412 179 352L179 442 32 431 32 393C68 393 90 390 98 384 106 378 109 365 109 342L109 79C109 60 105 48 98 44 91 40 69 38 32 38L32 0 147 3 261 0 261 38C224 38 203 40 196 44 189 48 185 60 185 79L185 259C185 340 236 413 314 413Z" transform="translate(278,0)"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834,0)"><path data-c="2061" d=""></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\ln" transform="translate(1000.7,0)"><path data-c="6C" d="M144 3 255 0 255 39C219 39 197 40 190 44 183 48 180 60 180 79L180 694 33 683 33 645C68 645 90 642 97 636 104 630 108 616 108 593L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path><path data-c="6E" d="M314 413C359 413 382 378 382 307L382 79C382 60 379 48 372 44 365 40 343 38 306 38L306 0 421 3 535 0 535 38C503 38 482 39 472 42 462 45 458 52 458 64L458 251C458 298 457 331 454 350 444 411 399 442 320 442 257 442 210 412 179 352L179 442 32 431 32 393C68 393 90 390 98 384 106 378 109 365 109 342L109 79C109 60 105 48 98 44 91 40 69 38 32 38L32 0 147 3 261 0 261 38C224 38 203 40 196 44 189 48 185 60 185 79L185 259C185 340 236 413 314 413Z" transform="translate(278,0)"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1834.7,0)"><path data-c="2061" d=""></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(2001.3,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 等等。</p><p>5000 美元奖金的问题则是：Erdős conjecture on arithmetic progressions—— 如果一个整数序列的倒数之和发散，那么该序列中必包含任意长度的等差数列（If the sum of the reciprocals of a sequence of integers diverges, then the sequence contains arithmetic progressions of arbitrary length.）。</p><p>这个问题和目前最高悬赏（10000 美元）的未解决问题密切相关：</p><p>对于任何<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 881 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，令<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.795ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2561.4 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="r_k(N)"><g data-mml-node="msub" data-latex="r_k"><g data-mml-node="mi" data-latex="r"><path data-c="1D45F" d="M436 374C436 416 395 442 351 442 302 442 261 419 227 372 217 411 183 442 136 442 95 442 65 410 44 345 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 150 413 159 399 159 371 159 358 154 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 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279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2172.4,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的渐进公式。这个问题只对<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.179ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 521 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k \ge 2"><g data-mml-node="mi" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 104-11 117-3 124 12 129 21 147 92 179 226 231 221 286 196 286 146 286 131 279 101 279 91 279 34 316-11 373-11 431-11 470 41 490 145 490 154 485 159 475 159 466 159 460 152 457 138 435 59 408 19 375 19 357 19 348 33 348 61 348 77 360 131 360 147 360 204 314 239 221 253 244 269 270 292 298 322 326 352 346 371 359 382 386 404 412 415 435 415 445 415 453 413 459 409 432 404 409 379 409 353Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k \ge 2"><g data-mml-node="mo" data-latex="\ge"><path data-c="2265" d="M684 310C694 315 699 322 699 333 699 344 694 352 684 357L110 629C107 630 103 631 99 631 83 631 75 623 75 606 75 597 80 590 89 586L623 333 89 80C80 76 75 69 75 60 75 43 83 35 99 35 103 35 107 36 110 38M678-72 100-72C84-72 76-80 76-95 76-111 84-119 100-119L678-119C694-119 702-111 702-95 702-83 691-72 678-72Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 有意义，目前对于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.179ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 521 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k=3"><g data-mml-node="mi" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 104-11 117-3 124 12 129 21 147 92 179 226 231 221 286 196 286 146 286 131 279 101 279 91 279 34 316-11 373-11 431-11 470 41 490 145 490 154 485 159 475 159 466 159 460 152 457 138 435 59 408 19 375 19 357 19 348 33 348 61 348 77 360 131 360 147 360 204 314 239 221 253 244 269 270 292 298 322 326 352 346 371 359 382 386 404 412 415 435 415 445 415 453 413 459 409 432 404 409 379 409 353Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k=3"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="3" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 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r_k(N) \ll \frac{N}{\ln n (\ln\ln n)^2}
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1413.5) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="4986.8 -1413.5 1 2326.9"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,54.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub" data-latex="r_k"><g data-mml-node="mi" data-latex="r"><path data-c="1D45F" d="M436 374C436 416 395 442 351 442 302 442 261 419 227 372 217 411 183 442 136 442 95 442 65 410 44 345 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 150 413 159 399 159 371 159 358 154 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 110-11 130-11 143-1 150 19L169 91C180 134 187 162 190 175L221 303C223 311 231 324 244 343 271 381 302 413 351 413 363 413 373 411 382 406 352 397 337 378 337 351 337 325 351 312 378 312 411 312 436 341 436 374Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(484,-150) 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width="1.179ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 521 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k"><g data-mml-node="mi" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 104-11 117-3 124 12 129 21 147 92 179 226 231 221 286 196 286 146 286 131 279 101 279 91 279 34 316-11 373-11 431-11 470 41 490 145 490 154 485 159 475 159 466 159 460 152 457 138 435 59 408 19 375 19 357 19 348 33 348 61 348 77 360 131 360 147 360 204 314 239 221 253 244 269 270 292 298 322 326 352 346 371 359 382 386 404 412 415 435 415 445 415 453 413 459 409 432 404 409 379 409 353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 成立，（这里<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.106ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.262ex" height="1.36ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -554 1000 601"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\ll"><g data-mml-node="mo" data-latex="\ll"><path data-c="226A" d="M885-44C894-47 901-47 908-44 924-35 924-13 908-3L475 250 908 503C916 508 920 515 920 524 920 540 903 554 884 543L421 273C412 268 408 261 408 250 408 239 412 232 421 227M556-44C565-47 572-47 579-44 595-35 595-13 579-3L147 250 579 503C587 508 591 515 591 524 591 540 574 554 555 543L93 273C84 268 79 260 79 250 79 240 84 232 93 227Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 可以依赖于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.179ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 521 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k"><g data-mml-node="mi" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 104-11 117-3 124 12 129 21 147 92 179 226 231 221 286 196 286 146 286 131 279 101 279 91 279 34 316-11 373-11 431-11 470 41 490 145 490 154 485 159 475 159 466 159 460 152 457 138 435 59 408 19 375 19 357 19 348 33 348 61 348 77 360 131 360 147 360 204 314 239 221 253 244 269 270 292 298 322 326 352 346 371 359 382 386 404 412 415 435 415 445 415 453 413 459 409 432 404 409 379 409 353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的选取）则足够证明猜想。</p><p>对<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.179ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 521 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k=3"><g data-mml-node="mi" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 104-11 117-3 124 12 129 21 147 92 179 226 231 221 286 196 286 146 286 131 279 101 279 91 279 34 316-11 373-11 431-11 470 41 490 145 490 154 485 159 475 159 466 159 460 152 457 138 435 59 408 19 375 19 357 19 348 33 348 61 348 77 360 131 360 147 360 204 314 239 221 253 244 269 270 292 298 322 326 352 346 371 359 382 386 404 412 415 435 415 445 415 453 413 459 409 432 404 409 379 409 353Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k=3"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="3" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 578 119 580 145 615 186 633 242 633 302 633 332 598 332 527 332 485 324 450 309 421 282 373 245 364 183 364 171 362 165 357 165 348 165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173 348 88 317 14 241 14 176 14 128 36 99 80 134 79 160 105 160 139 160 173 135 198 101 198 62 198 42 178 42 137 42 88 64 49 108 18 147-9 193-22 244-22 301-22 350-3 393 34 436 71 457 117 457 173 457 267 383 332 303 353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>（Kelley-Meka, 2023）和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.179ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 521 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k=4"><g data-mml-node="mi" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 104-11 117-3 124 12 129 21 147 92 179 226 231 221 286 196 286 146 286 131 279 101 279 91 279 34 316-11 373-11 431-11 470 41 490 145 490 154 485 159 475 159 466 159 460 152 457 138 435 59 408 19 375 19 357 19 348 33 348 61 348 77 360 131 360 147 360 204 314 239 221 253 244 269 270 292 298 322 326 352 346 371 359 382 386 404 412 415 435 415 445 415 453 413 459 409 432 404 409 379 409 353Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k=4"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="4" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199 28 163 289 163 289 81C289 63 285 51 278 46 271 41 252 39 219 39L194 39 194 0C223 2 269 3 331 3 393 3 439 2 468 0L468 39 443 39C410 39 391 41 384 46 377 51 373 63 373 81L373 163 471 163 471 202 373 202 373 660C373 670 366 677 353 677M295 553 295 202 67 202Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>（Green-Tao, 2017）有一些好的估计。对于一般的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.179ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 521 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k"><g data-mml-node="mi" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 104-11 117-3 124 12 129 21 147 92 179 226 231 221 286 196 286 146 286 131 279 101 279 91 279 34 316-11 373-11 431-11 470 41 490 145 490 154 485 159 475 159 466 159 460 152 457 138 435 59 408 19 375 19 357 19 348 33 348 61 348 77 360 131 360 147 360 204 314 239 221 253 244 269 270 292 298 322 326 352 346 371 359 382 386 404 412 415 435 415 445 415 453 413 459 409 432 404 409 379 409 353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>，James Leng、Ashwin Sah、Mehtaab Sawhney 在 2024 年有一个结果，但还不足以证明 Erdős 上述猜想。</p><p>Erdős conjecture on arithmetic progressions 的一个重要推论是 Green-Tao 定理：素数中包含任意长的等差数列。</p><p>在纪录片《N is a Number: A Portrait of Paul Erdős》中，讲述了一位年轻数学家的故事：该数学家被 Harvard 录取，但他的父母尽管有能力支付学费，却拒绝付款。Erdős 仅与这位学生偶遇一次，就给了他 1000 美元，并说道：“如果你能还给我就还给我；如果还不了，请帮别人还。”</p><p>他还当选为世界上众多最负盛名的科学学会的成员，包括 Hungarian Academy of Sciences（1956 年）、National Academy of Sciences（1979 年）和 Royal Society（1989 年）。</p><p>Erdős 一直证明和提出猜想直到 83 岁，最终于 1996 年在华沙参与一场几何学会议数小时后，因心脏病发作而逝世。</p><p>当被问及如何最好地描述他的朋友 Erdős 时，斯宾塞（Joel Spencer, 1946-）曾写道：“数学真理是永恒不变的；它存在于物理现实之外…… 这是我们的信仰，是我们最核心的动力源泉。然而，当我们试图向非数学界的朋友描述这种信念时，就如同向无神论者描述上帝的存在。Erdős 用他的一生践行了对数学真理的信仰。他将自己非凡的天赋与精力全部奉献给了数学的圣殿。对于这项探索的重要性与绝对性，他从未有过丝毫怀疑。”</p><p>Erdős 对数学的贡献既众多又广泛。但基本上，Erdős 是一个问题解决者，而非理论构建者。他最感兴趣的问题主要集中在组合数学、图论和数论等领域。然而，他不仅仅满足于解决问题，而是要求以一种优雅且初等的方式来解决。Erdős 不喜欢通过提供一系列复杂的步骤来构成形式证明。</p><p>他在 1984 年获得沃尔夫奖，颁奖词为：<br>“在数论、组合数学、概率论、集合论等领域做出开创性贡献，并通过个人魅力激励全球数学家。”</p></div><div class="story post-story"><h2 id="贡献"><a href="#贡献" class="headerlink" title="贡献"></a>贡献</h2><h3 id="一、Bertrand-s-Postulate"><a href="#一、Bertrand-s-Postulate" class="headerlink" title="一、Bertrand's Postulate"></a>一、Bertrand's Postulate</h3><p>1845 年，Bertrand 猜测，对于所有<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 600 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n \ge 2"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n \ge 2"><g data-mml-node="mo" data-latex="\ge"><path data-c="2265" d="M684 310C694 315 699 322 699 333 699 344 694 352 684 357L110 629C107 630 103 631 99 631 83 631 75 623 75 606 75 597 80 590 89 586L623 333 89 80C80 76 75 69 75 60 75 43 83 35 99 35 103 35 107 36 110 38M678-72 100-72C84-72 76-80 76-95 76-111 84-119 100-119L678-119C694-119 702-111 702-95 702-83 691-72 678-72Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，总存在至少一个素数位于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.489ex" height="1.532ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1100 677"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2n"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(500,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 之间。Bertrand 自己验证了在区间<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 500 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2 < n < 3,000,000"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.746ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1655.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2 < n < 3,000,000"><g data-mml-node="mo" data-latex="<"><path data-c="3C" d="M666-45C683-52 701-39 701-23 701-13 696-6 687-2L153 250 687 502C696 506 701 513 701 522 701 539 693 547 677 547 673 547 669 546 666 545L92 273C82 268 77 261 77 250 77 239 82 232 92 227Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.319ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5445.1 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2 < n < 3,000,000"><g data-mml-node="mo" data-latex="<"><path data-c="3C" d="M666-45C683-52 701-39 701-23 701-13 696-6 687-2L153 250 687 502C696 506 701 513 701 522 701 539 693 547 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d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z" transform="translate(1000,0)"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(3500.4,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="00" transform="translate(3945.1,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z" transform="translate(500,0)"></path><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z" transform="translate(1000,0)"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 内的所有数均满足这一命题。</p><p>该猜想在 1852 年由切比雪夫（Pafnuty Lvovich Chebyshev，1821-1894）证明；1919 年，拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887-1920）利用<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.414ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 625 680"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Gamma"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Gamma"><path data-c="393" d="M274 641 376 641C443 641 487 626 509 596 538 555 541 520 550 450L583 450 554 680 33 680 33 641 61 641C96 641 117 639 124 634 131 629 135 617 135 599L135 81C135 63 131 51 124 46 117 41 96 39 61 39L33 39 33 0C59 2 110 3 187 3 274 3 330 2 356 0L356 39 320 39C267 39 238 44 233 55 231 60 230 69 230 82L230 606C230 641 236 641 274 641Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数的性质给出了一个更简单的证明。</p><p>1932 年，19 岁的 Erdős 发表了他的第一篇论文，利用二项式系数和 Chebyshev 函数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.391ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1941 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\vartheta(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\vartheta"><path data-c="1D717" d="M136 445C95 445 65 412 44 347 34 314 29 295 29 289 29 280 34 275 45 275 50 275 53 276 56 278 61 287 64 294 65 301 83 377 106 415 133 415 151 415 160 401 160 374 160 361 152 324 137 263L120 191C111 153 106 125 106 107 106 28 152-11 243-11 374-11 470 201 506 331L547 322C556 322 561 327 561 338 561 345 553 351 537 354L513 359C525 413 531 461 531 504 531 537 526 575 516 616 501 675 469 705 418 705 377 705 342 684 311 642 282 603 268 563 268 520 268 444 322 388 429 351 408 264 385 194 360 142 321 60 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Chebyshev 一个定理的证明》（Beweis eines Satzes von Tschebyschef），刊登于 Acta Scientifica Mathematica，这也是他博士论文的主要成果。</p><p>Erdős 的证明依赖于如下的一个初等结果：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:25.29ex"><svg style="vertical-align:-1.865ex;min-width:25.29ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="4.862ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1324.5)"><g data-mml-node="math" data-latex="
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" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1324.5) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="3511 -1324.5 1 2149"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-28.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mrow" data-latex="\binom{2n}{n}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\biggl (" data-mjx-texclass="OPEN"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M588-796C601-796 608-789 608-776 608-770 606-765 601-760 500-684 420-552 361-365 310-206 285-51 285 101L285 399C285 551 310 706 361 865 420 1052 500 1184 601 1260 606 1265 608 1270 608 1276 608 1289 601 1296 588 1296 583 1296 579 1295 576 1292 464 1207 372 1071 300 886 234 717 201 554 201 399L201 101C201-54 234-217 300-386 372-571 464-707 576-792 579-795 583-796 588-796Z"></path></g></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(663,0)"><g data-mml-node="mrow" data-latex="2n" 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style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.779ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2996.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="4^n/(2n+1)"><g data-mml-node="msup" data-latex="4^n"><g data-mml-node="mn" data-latex="4"><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199 28 163 289 163 289 81C289 63 285 51 278 46 271 41 252 39 219 39L194 39 194 0C223 2 269 3 331 3 393 3 439 2 468 0L468 39 443 39C410 39 391 41 384 46 377 51 373 63 373 81L373 163 471 163 471 202 373 202 373 660C373 670 366 677 353 677M295 553 295 202 67 202Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(533,363) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 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356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 属于 “较小” 的情况，从而证明了 Bertrand’s Postulate 对于所有充分大的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 成立；第二部分则处理<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 较小时的情况，这部分内容通过人工验证完成。</p><h3 id="二、素数定理（The-Prime-Number-Theorem）"><a href="#二、素数定理（The-Prime-Number-Theorem）" class="headerlink" title="二、素数定理（The Prime Number Theorem）"></a>二、素数定理（The Prime Number Theorem）</h3><p>1948 年 7 月，Erdős 在 IAS 遇到了挪威数学家塞尔伯格（Atle Selberg，1917-2007）。经过简短的交流，一份初等证明版本的素数定理问世。</p><p>最初，该定理的猜想源自于勒让德（Adrien‑Marie Legendre，1752‑1833）、高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777‑1855）和狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet，1805‑1859）各自独立的工作。</p><p>其内容为：</p><p>当<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="x"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 趋向无穷大时，素数计数函数，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.344ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1920 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\pi(x):="><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(570,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(959,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1531,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.389ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1056 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\pi(x):="><g data-mml-node="mo" data-latex=":="><g data-mml-node="text"><path data-c="3A" d="M192 375C192 405 169 431 139 431 109 431 86 405 86 375 86 345 109 319 139 319 169 319 192 345 192 375M192 56C192 86 169 112 139 112 109 112 86 86 86 56 86 26 109 0 139 0 169 0 192 26 192 56Z"></path></g><g data-mml-node="text" transform="translate(278,0)"><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 不超过<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" 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\vartheta(x)\log x+\sum_{p\ge x}\log p\,\vartheta\left(\frac{x}{p}\right)=2x\log x+O(x)
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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.391ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1941 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\vartheta(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\vartheta"><path data-c="1D717" d="M136 445C95 445 65 412 44 347 34 314 29 295 29 289 29 280 34 275 45 275 50 275 53 276 56 278 61 287 64 294 65 301 83 377 106 415 133 415 151 415 160 401 160 374 160 361 152 324 137 263L120 191C111 153 106 125 106 107 106 28 152-11 243-11 374-11 470 201 506 331L547 322C556 322 561 327 561 338 561 345 553 351 537 354L513 359C525 413 531 461 531 504 531 537 526 575 516 616 501 675 469 705 418 705 377 705 342 684 311 642 282 603 268 563 268 520 268 444 322 388 429 351 408 264 385 194 360 142 321 60 283 19 246 19 200 19 177 44 177 94 177 112 181 138 189 173L220 297C227 324 230 341 230 350 230 405 191 445 136 445M417 675C448 675 464 637 464 562 464 523 455 462 437 381 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focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="x"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的素数的对数之和。</p><p>到 7 月时，Selberg 与 Erdős 均利用该公式证明了素数定理。两人究竟谁先证明这一结果曾引发一定的优先权争议，此后他们便再未合作。</p><p>1949 年 Selberg 发表了他的证明。次年，Selberg 因这一工作为主要原因获得了 Fields 奖。Erdős 也在《美国国家科学院院刊》（Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America）上发表的论文《关于初等数论中的一种新方法，可得到素数定理的初等证明》（On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem）论文也发表于 1949 年。</p><h3 id="三、Ramsey-理论"><a href="#三、Ramsey-理论" class="headerlink" title="三、Ramsey 理论"></a>三、Ramsey 理论</h3><p>在 Erdős 最重要的成果中，他对 Ramsey 理论发展的贡献尤为突出。Ramsey 理论是数学的一个分支，专门研究 “在何种条件下必然出现秩序”。</p><p>拉姆齐（Frank Plumpton Ramsey，1903-1930）的原始问题是从一个完全图开始，总存在有限数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.336ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2800.7 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="R(k,l)"><g data-mml-node="mi" data-latex="R"><path data-c="1D445" d="M739 531C739 582 713 621 662 649 621 672 572 683 517 683L235 683C212 683 202 682 202 659 202 652 205 647 211 646 221 645 229 644 234 644 264 643 281 641 286 640 291 639 294 636 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 46 128 41 121 39 103 38 72 38 50 38 41 37 41 15 41 4 47-1 59 0L183 3 309 0C325-1 333 8 333 23 333 33 322 38 301 38 261 38 241 43 241 52 241 52 242 54 244 68L308 327 423 327C492 327 527 298 527 241 527 232 522 210 513 174 502 132 497 104 497 89 497 13 556-22 632-22 660-22 687-9 714 16 741 41 755 68 755 96 755 106 750 111 739 111 732 111 726 106 723 95 712 64 698 41 682 28 666 15 651 8 636 8 613 8 601 27 601 64 601 88 604 125 611 176 614 197 615 212 615 223 615 276 587 315 531 339 625 362 739 429 739 531M609 616C629 603 639 581 639 550 639 530 635 507 626 480 599 398 531 357 422 357L316 357 379 610C384 631 392 642 403 643 408 644 428 644 463 644 528 644 566 642 609 616Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" 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228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>）的完全图各边染红蓝两色，则不论如何染，必定有红色的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.179ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 521 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k"><g data-mml-node="mi" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 104-11 117-3 124 12 129 21 147 92 179 226 231 221 286 196 286 146 286 131 279 101 279 91 279 34 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684 109 682 102 674 102 659 102 650 111 645 130 645 147 645 173 645 173 632Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 阶完全图。</p><p>如<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.746ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2981.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="R(3,3)=6"><g data-mml-node="mi" data-latex="R"><path data-c="1D445" d="M739 531C739 582 713 621 662 649 621 672 572 683 517 683L235 683C212 683 202 682 202 659 202 652 205 647 211 646 221 645 229 644 234 644 264 643 281 641 286 640 291 639 294 636 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 46 128 41 121 39 103 38 72 38 50 38 41 37 41 15 41 4 47-1 59 0L183 3 309 0C325-1 333 8 333 23 333 33 322 38 301 38 261 38 241 43 241 52 241 52 242 54 244 68L308 327 423 327C492 327 527 298 527 241 527 232 522 210 513 174 502 132 497 104 497 89 497 13 556-22 632-22 660-22 687-9 714 16 741 41 755 68 755 96 755 106 750 111 739 111 732 111 726 106 723 95 712 64 698 41 682 28 666 15 651 8 636 8 613 8 601 27 601 64 601 88 604 125 611 176 614 197 615 212 615 223 615 276 587 315 531 339 625 362 739 429 739 531M609 616C629 603 639 581 639 550 639 530 635 507 626 480 599 398 531 357 422 357L316 357 379 610C384 631 392 642 403 643 408 644 428 644 463 644 528 644 566 642 609 616Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(759,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="3" transform="translate(1148,0)"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 578 119 580 145 615 186 633 242 633 302 633 332 598 332 527 332 485 324 450 309 421 282 373 245 364 183 364 171 362 165 357 165 348 165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173 348 88 317 14 241 14 176 14 128 36 99 80 134 79 160 105 160 139 160 173 135 198 101 198 62 198 42 178 42 137 42 88 64 49 108 18 147-9 193-22 244-22 301-22 350-3 393 34 436 71 457 117 457 173 457 267 383 332 303 353Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1648,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="3" transform="translate(2092.7,0)"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 578 119 580 145 615 186 633 242 633 302 633 332 598 332 527 332 485 324 450 309 421 282 373 245 364 183 364 171 362 165 357 165 348 165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173 348 88 317 14 241 14 176 14 128 36 99 80 134 79 160 105 160 139 160 173 135 198 101 198 62 198 42 178 42 137 42 88 64 49 108 18 147-9 193-22 244-22 301-22 350-3 393 34 436 71 457 117 457 173 457 267 383 332 303 353Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2592.7,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="R(3,3)=6"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="6" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="36" d="M383 504C416 504 432 521 432 555 432 627 378 666 304 666 221 666 155 627 106 548 63 480 42 403 42 316 42 189 65 100 112 47 152 1 198-22 251-22 312-22 362 1 401 47 438 91 457 144 457 205 457 266 439 318 403 361 365 407 316 431 257 431 205 431 165 402 138 346L138 352C138 465 166 561 226 605 252 624 279 633 306 633 342 633 368 623 385 602 351 602 334 583 334 553 334 525 355 504 383 504M344 340C355 317 361 272 361 206 361 141 356 98 345 76 325 35 294 14 251 14 222 14 200 24 184 44 171 60 162 74 158 85 146 116 140 163 140 227 140 255 144 282 151 308 164 355 201 399 256 399 295 399 325 379 344 340Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>。</p><p>Ramsey 理论则引申这一现象：一个典型的问题是，从一个数学结构开始，将其分割成若干部分。典型的问题为：“原始结构必须有多大，才能保证至少有一部分具备某种特定而有趣的性质？”</p><p>其中一个例子是 Erdős - Szekeres 定理（1935）：该定理叙述为对于任给<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="r"><g data-mml-node="mi" data-latex="r"><path data-c="1D45F" d="M436 374C436 416 395 442 351 442 302 442 261 419 227 372 217 411 183 442 136 442 95 442 65 410 44 345 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 150 413 159 399 159 371 159 358 154 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 110-11 130-11 143-1 150 19L169 91C180 134 187 162 190 175L221 303C223 311 231 324 244 343 271 381 302 413 351 413 363 413 373 411 382 406 352 397 337 378 337 351 337 325 351 312 378 312 411 312 436 341 436 374Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="s"><g data-mml-node="mi" data-latex="s"><path data-c="1D460" d="M420 354C420 411 362 442 300 442 237 442 192 423 165 385 142 352 130 322 130 295 130 242 165 208 234 193 263 188 285 181 302 173 323 164 333 147 333 123 333 105 325 85 308 62 287 33 250 18 197 18 143 18 108 33 92 62 124 61 151 87 151 119 151 144 138 157 111 157 75 157 52 124 52 88 52 22 124-11 196-11 271-11 325 11 357 56 384 93 397 126 397 156 397 199 376 231 335 252 304 263 280 270 265 273 230 282 194 285 194 328 194 381 244 413 300 413 342 413 369 400 382 375 360 371 337 352 337 327 337 306 348 295 371 295 402 295 420 323 420 354Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，任何长度至少为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.9ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 840 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="(r-1)(s-1)+1"><g data-mml-node="mo" data-latex="("><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 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92 62 124 61 151 87 151 119 151 144 138 157 111 157 75 157 52 124 52 88 52 22 124-11 196-11 271-11 325 11 357 56 384 93 397 126 397 156 397 199 376 231 335 252 304 263 280 270 265 273 230 282 194 285 194 328 194 381 244 413 300 413 342 413 369 400 382 375 360 371 337 352 337 327 337 306 348 295 371 295 402 295 420 323 420 354Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.274ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1889.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="(r-1)(s-1)+1"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1500.2,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.394ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1500.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="(r-1)(s-1)+1"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的由互不相同的实数组成的序列，必包含一个长度为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="r"><g data-mml-node="mi" data-latex="r"><path data-c="1D45F" d="M436 374C436 416 395 442 351 442 302 442 261 419 227 372 217 411 183 442 136 442 95 442 65 410 44 345 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 150 413 159 399 159 371 159 358 154 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 110-11 130-11 143-1 150 19L169 91C180 134 187 162 190 175L221 303C223 311 231 324 244 343 271 381 302 413 351 413 363 413 373 411 382 406 352 397 337 378 337 351 337 325 351 312 378 312 411 312 436 341 436 374Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的单调递增子序列或一个长度为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="s"><g data-mml-node="mi" data-latex="s"><path data-c="1D460" d="M420 354C420 411 362 442 300 442 237 442 192 423 165 385 142 352 130 322 130 295 130 242 165 208 234 193 263 188 285 181 302 173 323 164 333 147 333 123 333 105 325 85 308 62 287 33 250 18 197 18 143 18 108 33 92 62 124 61 151 87 151 119 151 144 138 157 111 157 75 157 52 124 52 88 52 22 124-11 196-11 271-11 325 11 357 56 384 93 397 126 397 156 397 199 376 231 335 252 304 263 280 270 265 273 230 282 194 285 194 328 194 381 244 413 300 413 342 413 369 400 382 375 360 371 337 352 337 327 337 306 348 295 371 295 402 295 420 323 420 354Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的单调递减子序列。该结果最早发表于 Erdős 和塞凯雷斯（George Szekeres, 1911-2005）1935 年那篇具有影响力的论文《几何里的组合问题》（A Combinatorial Problem in Geometry）中。</p><p>子序列是指从原序列中删除部分元素而不改变原有顺序所得的序列。</p><p>例如，给定序列<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.007ex" height="1.67ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 3097 738"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="ABCD"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="B" transform="translate(750,0)"><path data-c="1D435" d="M756 543C756 634 666 683 568 683L236 683C213 683 203 682 203 659 203 643 223 644 235 644 265 643 283 641 288 640 293 639 295 636 295 631 295 629 294 623 291 613L159 82C154 60 144 47 129 42 122 40 104 39 73 39 52 39 42 31 42 15 42 5 52 0 73 0L426 0C491 0 551 20 608 59 671 102 703 155 703 217 703 296 638 344 567 358 655 379 756 446 756 543M554 644C623 644 658 612 658 547 658 496 638 454 596 420 554 386 507 370 456 370L317 370 377 610C385 644 385 644 427 644M582 299C596 276 603 253 603 228 603 176 583 131 542 94 501 57 455 39 402 39L267 39C257 39 250 39 246 40 240 40 237 42 237 45 237 46 237 49 238 53 269 180 293 276 309 340L493 340C536 340 565 326 582 299Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="C" transform="translate(1509,0)"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="D" transform="translate(2269,0)"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，其子序列包括<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.133ex" height="1.67ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2269 738"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="ABC"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="B" transform="translate(750,0)"><path data-c="1D435" d="M756 543C756 634 666 683 568 683L236 683C213 683 203 682 203 659 203 643 223 644 235 644 265 643 283 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transform="translate(759,0)"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><p>例：对于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 451 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="r=2"><g data-mml-node="mi" data-latex="r"><path data-c="1D45F" d="M436 374C436 416 395 442 351 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80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 469 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="s=2"><g data-mml-node="mi" data-latex="s"><path data-c="1D460" d="M420 354C420 411 362 442 300 442 237 442 192 423 165 385 142 352 130 322 130 295 130 242 165 208 234 193 263 188 285 181 302 173 323 164 333 147 333 123 333 105 325 85 308 62 287 33 250 18 197 18 143 18 108 33 92 62 124 61 151 87 151 119 151 144 138 157 111 157 75 157 52 124 52 88 52 22 124-11 196-11 271-11 325 11 357 56 384 93 397 126 397 156 397 199 376 231 335 252 304 263 280 270 265 273 230 282 194 285 194 328 194 381 244 413 300 413 342 413 369 400 382 375 360 371 337 352 337 327 337 306 348 295 371 295 402 295 420 323 420 354Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="s=2"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" 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-666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的递增子序列或一个长度为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2"><g 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style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的单调子序列的最小整数。</p><h3 id="四、The-Happy-Ending-Theorem"><a href="#四、The-Happy-Ending-Theorem" class="headerlink" title="四、The Happy Ending Theorem"></a>四、The Happy Ending Theorem</h3><p>同样是在 Ramsey 理论，1932 年，Erdős 与 Szekeres 的共同朋友艾丝特・克莱恩（Esther Klein, 1910-2005）观察到：（The Happy Ending Theorem）平面上任意一组处于一般位置的五个点，总存在其中的四个点构成一个凸四边形。</p><p>这一问题及其定理是推动 Ramsey 理论进一步发展的首批有影响力的成果之一。Erdős 称这一结果为 “Happy Ending Problem”，因为它最终促成了 Szekeres 与 Klein 的婚姻。</p><p>该定理是 Erdős 与 Szekeres 在 1935 年同篇论文中证明的更一般定理的一个特例，该定理表述为：对于任一正整数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，平面上任意足够大的处于一般位置的有限点集，都包含一个由<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 个点构成的凸多边形的顶点子集。</p><p>同时，在该论文中，Erdős 与 Szekeres 还提出了猜想：</p><p>（The Erdős-Szekeres Conjecture, 1935）<br>在任一处于一般位置的点集内，包含<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 个点构成凸多边形所需的最小点数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.986ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 878 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="m"><g data-mml-node="mi" data-latex="m"><path data-c="1D45A" d="M657 442C596 442 543 412 498 353 489 412 451 442 383 442 324 442 273 416 231 363 223 407 188 442 137 442 96 442 66 409 45 344 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 66 299 84 375 107 413 134 413 152 413 161 399 161 371 161 358 156 331 145 290L88 63C84 51 79 25 79 19 79-1 90-11 111-11 131-11 145-1 152 19 153 24 160 49 171 92L192 181 222 295C233 318 250 341 272 365 301 397 337 413 380 413 413 413 429 391 429 348 429 335 424 308 414 267L387 153C380 124 364 64 356 32 355 25 354 21 354 19 354-1 365-11 387-11 398-11 406-8 413-1 428 14 429 21 435 48L494 285C497 298 511 321 535 353 565 393 605 413 654 413 687 413 703 391 703 348 703 309 683 236 642 129 633 106 629 87 629 74 629 25 666-11 714-11 759-11 793 14 818 64 838 104 848 131 848 144 848 153 843 158 832 158 825 157 818 148 813 137 791 58 759 18 716 18 703 18 696 28 696 47 696 62 702 84 714 115 755 222 775 295 775 333 775 404 728 442 657 442Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.323ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 1910.9 1083.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2^{n-2}+1"><g data-mml-node="msup" data-latex="2^{n-2}"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(533,363) scale(0.707)" data-latex="{n-2}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="-" transform="translate(600,0)"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(1378,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.394ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1500.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2^{n-2}+1"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><p>目前这个问题在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.986ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 878 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="m"><g data-mml-node="mi" data-latex="m"><path data-c="1D45A" d="M657 442C596 442 543 412 498 353 489 412 451 442 383 442 324 442 273 416 231 363 223 407 188 442 137 442 96 442 66 409 45 344 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 66 299 84 375 107 413 134 413 152 413 161 399 161 371 161 358 156 331 145 290L88 63C84 51 79 25 79 19 79-1 90-11 111-11 131-11 145-1 152 19 153 24 160 49 171 92L192 181 222 295C233 318 250 341 272 365 301 397 337 413 380 413 413 413 429 391 429 348 429 335 424 308 414 267L387 153C380 124 364 64 356 32 355 25 354 21 354 19 354-1 365-11 387-11 398-11 406-8 413-1 428 14 429 21 435 48L494 285C497 298 511 321 535 353 565 393 605 413 654 413 687 413 703 391 703 348 703 309 683 236 642 129 633 106 629 87 629 74 629 25 666-11 714-11 759-11 793 14 818 64 838 104 848 131 848 144 848 153 843 158 832 158 825 157 818 148 813 137 791 58 759 18 716 18 703 18 696 28 696 47 696 62 702 84 714 115 755 222 775 295 775 333 775 404 728 442 657 442Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 小于 7 的时候被解决，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.986ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 878 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="m=6"><g data-mml-node="mi" data-latex="m"><path data-c="1D45A" d="M657 442C596 442 543 412 498 353 489 412 451 442 383 442 324 442 273 416 231 363 223 407 188 442 137 442 96 442 66 409 45 344 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 66 299 84 375 107 413 134 413 152 413 161 399 161 371 161 358 156 331 145 290L88 63C84 51 79 25 79 19 79-1 90-11 111-11 131-11 145-1 152 19 153 24 160 49 171 92L192 181 222 295C233 318 250 341 272 365 301 397 337 413 380 413 413 413 429 391 429 348 429 335 424 308 414 267L387 153C380 124 364 64 356 32 355 25 354 21 354 19 354-1 365-11 387-11 398-11 406-8 413-1 428 14 429 21 435 48L494 285C497 298 511 321 535 353 565 393 605 413 654 413 687 413 703 391 703 348 703 309 683 236 642 129 633 106 629 87 629 74 629 25 666-11 714-11 759-11 793 14 818 64 838 104 848 131 848 144 848 153 843 158 832 158 825 157 818 148 813 137 791 58 759 18 716 18 703 18 696 28 696 47 696 62 702 84 714 115 755 222 775 295 775 333 775 404 728 442 657 442Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="m=6"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="6" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="36" d="M383 504C416 504 432 521 432 555 432 627 378 666 304 666 221 666 155 627 106 548 63 480 42 403 42 316 42 189 65 100 112 47 152 1 198-22 251-22 312-22 362 1 401 47 438 91 457 144 457 205 457 266 439 318 403 361 365 407 316 431 257 431 205 431 165 402 138 346L138 352C138 465 166 561 226 605 252 624 279 633 306 633 342 633 368 623 385 602 351 602 334 583 334 553 334 525 355 504 383 504M344 340C355 317 361 272 361 206 361 141 356 98 345 76 325 35 294 14 251 14 222 14 200 24 184 44 171 60 162 74 158 85 146 116 140 163 140 227 140 255 144 282 151 308 164 355 201 399 256 399 295 399 325 379 344 340Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的情况是通过计算机证明。</p><h3 id="五、Erdos–Renyi-随机图"><a href="#五、Erdos–Renyi-随机图" class="headerlink" title="五、Erdős–Rényi 随机图"></a>五、Erdős–Rényi 随机图</h3><p>在图论这一数学领域中，Erdős–Rényi model 是生成随机图或随机网络演化的两个密切相关的模型之一。这一模型以匈牙利数学家 Paul Erdős 和雷尼（Alfréd Rényi, 1921-1970）的名字命名，由他们在 1959 年提出。此后吉尔伯特（Edgar Gilbert, 1923-2013）与 Erdős 和 Rényi 同时且独立地提出了另一种模型。</p><p>在 Erdős–Rényi model 中，对于固定的顶点集和固定的边数，所有图的出现概率均相等。具体的来讲他们定义如下：<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.264ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 3652.7 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G(n,M)"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(786,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(1175,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1775,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="M" transform="translate(2219.7,0)"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(3263.7,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 型（Erdős-Rényi model）：</p><p>在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.264ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 3652.7 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G(n, M)"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(786,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(1175,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 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fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 个不同的节点（带有表示，因此视为不同的），然后从所有可能的边中（在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 个节点中，每两个节点之间都有可能连一条边，总共可能有<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.204ex" height="3.143ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1044.3 2742.3 1389.3"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\frac{n(n-1)}{2}"><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{n(n-1)}{2}"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,515.4) scale(0.707)" data-latex="n(n-1)"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(600,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(989,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 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39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2867,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1194.4,-345) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><rect width="2502.3" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> 条边）随机均匀地挑选出<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1044 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 条边来构成图。</p><p>换句话说，每一张含有<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1044 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 条边的图都有同等的机会被生成。如当<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 600 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n=3"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n=3"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="3" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 578 119 580 145 615 186 633 242 633 302 633 332 598 332 527 332 485 324 450 309 421 282 373 245 364 183 364 171 362 165 357 165 348 165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173 348 88 317 14 241 14 176 14 128 36 99 80 134 79 160 105 160 139 160 173 135 198 101 198 62 198 42 178 42 137 42 88 64 49 108 18 147-9 193-22 244-22 301-22 350-3 393 34 436 71 457 117 457 173 457 267 383 332 303 353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1044 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M=2"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M=2"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的图共有三种可能，每种发生的可能性为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.394ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1500 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="1/3"><g data-mml-node="mn" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 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117 457 173 457 267 383 332 303 353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><p>Erdos 和 Rényi 在最初的文章中提出了四个问题，希望知道这些问题在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 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data-latex="k=0,1,2,\dots"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1555.8,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(2000.4,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(2500.4,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(2945.1,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(3445.1,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3889.8,0)"><path data-c="2026" d="M751 53C751 83 725 106 695 106 664 106 638 83 638 53 638 23 664 0 695 0 725 0 751 23 751 53M475 53C475 83 449 106 419 106 388 106 363 83 363 53 363 23 388 0 419 0 449 0 475 23 475 53M200 53C200 83 174 106 143 106 113 106 87 83 87 53 87 23 113 0 143 0 173 0 200 23 200 53Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><p>4、如果在一个有<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 个顶点的图中按以下方式依次随机增加边：每次随机添加一条边，每一步结束后，对于所有尚未被选中的边，它们都有相同的概率在下一步被选中。我们持续进行这个过程，直到图完全连通，那么图达到完全连通所需的步数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.186ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 524 442"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\nu"><g data-mml-node="mi" data-latex="\nu"><path data-c="1D708" d="M142 380C142 378 141 370 138 357 110 243 81 130 53 16 53 5 60 0 73 0L87 0C188 17 281 66 366 145 405 182 438 222 464 266 504 333 524 382 524 412 524 432 513 442 492 442 470 442 456 430 449 407 420 300 372 216 306 153 250 100 193 63 134 42L229 427 229 431C226 438 220 442 212 442 179 442 106 433 93 432 78 430 70 423 70 409 70 398 79 393 97 393 116 393 142 394 142 380Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 等于某个给定整数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.817ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 361 637"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="t"><g data-mml-node="mi" data-latex="t"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的概率是多少？</p><p>Erdos 和 Rényi 对上述四个问题当<mjx-container 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120 425 126 414 126 409 126 404 122 398 114 365 70 324 42 277 30 246 22 223 18 206 18 149 18 121 53 121 122 121 184 150 274 174 317 198 361 249 413 308 413 346 413 372 402 386 381 355 378 328 358 328 325Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(1433.2,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的整数部分（<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="c"><g data-mml-node="mi" data-latex="c"><path data-c="1D450" d="M328 325C328 300 341 287 368 287 404 287 427 318 427 354 427 410 368 442 308 442 239 442 176 412 122 353 68 294 41 229 41 159 41 61 106-11 204-11 257-11 304 2 345 27 379 48 404 69 420 90 427 99 430 106 430 109 430 120 425 126 414 126 409 126 404 122 398 114 365 70 324 42 277 30 246 22 223 18 206 18 149 18 121 53 121 122 121 184 150 274 174 317 198 361 249 413 308 413 346 413 372 402 386 381 355 378 328 358 328 325Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是一个正实数）的情形给出了完整的解答，计算出了上述问题的概率。</p><p>答案大致的形式是一些<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.054ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 466 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="e"><g data-mml-node="mi" data-latex="e"><path data-c="1D452" d="M124 129C124 153 129 186 139 227L188 227C253 227 303 235 339 250 372 264 394 284 405 309 412 326 415 342 415 355 415 410 363 442 307 442 268 442 229 432 190 412 113 372 46 281 46 171 46 69 105-11 204-11 257-11 304 2 345 27 379 48 404 69 420 90 427 99 430 106 430 109 430 120 425 126 414 126 409 126 404 122 398 114 365 70 324 42 277 30 246 22 223 18 206 18 149 18 124 72 124 129M375 355C375 289 311 256 182 256L147 256C166 322 194 366 232 387 262 404 287 413 307 413 343 413 375 391 375 355Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 关于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="c"><g data-mml-node="mi" data-latex="c"><path data-c="1D450" d="M328 325C328 300 341 287 368 287 404 287 427 318 427 354 427 410 368 442 308 442 239 442 176 412 122 353 68 294 41 229 41 159 41 61 106-11 204-11 257-11 304 2 345 27 379 48 404 69 420 90 427 99 430 106 430 109 430 120 425 126 414 126 409 126 404 122 398 114 365 70 324 42 277 30 246 22 223 18 206 18 149 18 121 53 121 122 121 184 150 274 174 317 198 361 249 413 308 413 346 413 372 402 386 381 355 378 328 358 328 325Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的函数的指数</p><p>Erdős-Rényi model 不仅为数学家们研究图的性质提供了基本工具，而且在现实中也被广泛应用于网络科学、计算机网络、社交网络、生物系统和流行病传播等领域，帮助我们理解和预测各种复杂系统中随机连接和结构演变的规律。</p></div></div><div class="footer"></div><div class="article-meta" id="bottom"><div class="new-meta-box"></div></div><div class="prev-next"><a class="prev" href="/notes/person/23"><p class="title"><i class="fa-solid fa-chevron-left" aria-hidden="true"></i>Hochschild数学家霍赫希尔德：生平、贡献与影响</p><p class="content">本文介绍了数学家格哈德·霍赫希尔德的生平及其主要贡献，包括他创立的霍赫希尔德上同调理论、HKR定理、Hochschild–Serre谱序列，以及对代数群与Hopf代数的研究，这些工作深刻影响了同调代数、非交换几何和表示论等领域</p></a><a class="next" href="/notes/person/25"><p class="title">Pólya波利亚：横跨数学与教育的通才大师<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">乔治·波利亚是20世纪杰出的数学家与教育家，在概率论、组合数学和数论等多个领域有开创性贡献，其著作《怎样解题》提出的启发式解题方法深刻影响了数学教学</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/13.html" title="Littlewood英国数学家李特尔伍德生平与数学贡献" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/23.webp" 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srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Ramanujan印度数学奇才的传奇一生：拉马努金的贡献与影响"> <span class="title">Ramanujan印度数学奇才的传奇一生：拉马努金的贡献与影响</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/1.html" title="希尔伯特23问题" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/109.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/109.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="希尔伯特23问题"> <span class="title">希尔伯特23问题</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/16.html" title="Birkhoff乔治·大卫·伯克霍夫：美国数学巨擘与美学探路者" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/116.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/116.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Birkhoff乔治·大卫·伯克霍夫：美国数学巨擘与美学探路者"> <span 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class="flat-box" title="/notes/person/11" href="/notes/person/11" active-action="action-notesperson11"><div class="name"> Ramanujan</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/12" href="/notes/person/12" active-action="action-notesperson12"><div class="name"> Hardy</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/13" href="/notes/person/13" active-action="action-notesperson13"><div class="name"> Littlewood</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/14" href="/notes/person/14" active-action="action-notesperson14"><div class="name"> von Neumann</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/15" href="/notes/person/15" active-action="action-notesperson15"><div class="name"> Irving Segal</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/16" href="/notes/person/16" active-action="action-notesperson16"><div class="name"> Birkhoff</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/17" href="/notes/person/17" 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class="flat-box" title="/notes/person/24" href="/notes/person/24" active-action="action-notesperson24"><div class="name"> Erdős</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/25" href="/notes/person/25" active-action="action-notesperson25"><div class="name"> Pólya</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/26" href="/notes/person/26" active-action="action-notesperson26"><div class="name"> Atiyah</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/27" href="/notes/person/27" active-action="action-notesperson27"><div class="name"> Singer</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/28" href="/notes/person/28" active-action="action-notesperson28"><div class="name"> Grothendieck</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/29" href="/notes/person/29" active-action="action-notesperson29"><div class="name"> Loo-Keng Hua</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/30" href="/notes/person/30" active-action="action-notesperson30"><div class="name"> Poisson</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/31" href="/notes/person/31" active-action="action-notesperson31"><div class="name"> Dyson</div></a></li></ul></div></section><div class="widget-sticky pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div 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MHuiG</a></p></div></footer><a id="s-top" class="fa-solid fa-arrow-up fa-fw" title="top"></a></div></div><div><script>volantis.dom.bodyAnchor=volantis.dom.$(document.getElementById("safearea")),volantis.dom.topBtn=volantis.dom.$(document.getElementById("s-top")),volantis.dom.wrapper=volantis.dom.$(document.getElementById("wrapper")),volantis.dom.coverAnchor=volantis.dom.$(document.querySelector("#l_cover .cover-wrapper")),volantis.dom.switcher=volantis.dom.$(document.querySelector("#l_header .switcher .s-search")),volantis.dom.header=volantis.dom.$(document.getElementById("l_header")),volantis.dom.search=volantis.dom.$(document.querySelector("#l_header .m_search")),volantis.dom.mPhoneList=volantis.dom.$(document.querySelectorAll("#l_header .m-phone .list-v"))</script><script>volantis.css("https://static.mhuig.top/npm/volantis-static@0.0.1660614606622/libs/@fortawesome/fontawesome-pro/css/all.min.css")</script><script src="/js/app.js"></script><script>const 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