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History,人物,斯潘尼尔,代数拓扑,公平分配,Alexander-Spanier上同调,MHuiG, @MHuiG, Blog, 博客, Magicland, 魔法世界"><meta desc="" name="description" content="埃德温·斯潘尼尔是二十世纪杰出的数学家，在代数拓扑领域创立了Alexander-Spanier上同调等重要理论，并与陈省身等合作研究纤维丛。他的贡献延伸至形式语言理论，并提出了著名的公平切蛋糕定理 - MHuiG - Magicland"><meta property="og:type" content="website"><meta property="og:title" content="Magicland"><meta property="og:url" content="https://blog.mhuig.top/notes/person/22"><meta property="og:site_name" content="Magicland"><meta property="og:description" content="埃德温·斯潘尼尔是二十世纪杰出的数学家，在代数拓扑领域创立了Alexander-Spanier上同调等重要理论，并与陈省身等合作研究纤维丛。他的贡献延伸至形式语言理论，并提出了著名的公平切蛋糕定理"><meta property="og:locale"><meta property="og:image" content="https://blog.mhuig.top/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"><meta property="article:published_time" content="2026-05-16T05:07:00.000Z"><meta property="article:modified_time" content="2026-05-16T05:10:00.000Z"><meta property="article:author" content="MHuiG"><meta property="article:tag" content="Alexander-Spanier上同调"><meta 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Magicland","logo":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}},"url":"https://blog.mhuig.top/notes/person/22","wordCount":0,"datePublished":"2026-05-16T05:07:00.000Z","dateModified":"2026-05-16T05:10:00.000Z","articleSection":"历史","keywords":"History,人物,斯潘尼尔,代数拓扑,公平分配,Alexander-Spanier上同调","image":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}}]</script></head><body itemscope="" itemtype="http://schema.org/WebPage"><pjax></pjax><header itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPHeader" id="l_header" class="l_header auto shadow floatable blur show" style="opacity:0"><div class="container"><div id="wrapper"><div class="nav-sub"><p class="title"></p><ul class="switcher nav-list-h m-phone" id="pjax-header-nav-list"><li><a id="s-comment" class="fa-solid fa-comments fa-fw" target="_self" title="comment"></a></li><li><a id="s-toc" class="s-toc fa-solid fa-list fa-fw" target="_self" 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="Spanier埃德温·斯潘尼尔的数学人生与多领域贡献"><meta itemprop="description" content="埃德温·斯潘尼尔是二十世纪杰出的数学家，在代数拓扑领域创立了Alexander-Spanier上同调等重要理论，并与陈省身等合作研究纤维丛。他的贡献延伸至形式语言理论，并提出了著名的公平切蛋糕定理"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">Spanier</span></p><br><h1 hidden="">Spanier</h1><div class="story post-story"><h2 id="生平"><a href="#生平" class="headerlink" title="生平"></a>生平</h2><p>埃德温・亨利・斯潘尼尔（Edwin Henry Spanier，1921-1996）出生于美国首都华盛顿特区（Washington, D.C.）。他的童年和青少年时代在 Minnesota 州度过。</p><p>他的弟弟杰罗姆・斯潘尼尔（Jerome Spanier，后来成为了一位应用数学家）于 1930 年出生在 Minnesota 州的圣保罗（Saint Paul）。</p><p>Jerome 从小热衷于棒球并梦想成为一名投手，而 Spanier 则喜爱国际象棋。</p><p>为了互帮互助，兄弟俩达成了一项有趣的交易，Jerome 陪 Spanier 下两盘国际象棋，作为交换，Spanier 则陪弟弟 Jerome 练习一段时间的棒球传接球。</p><p>Spanier 在 Minnesota 大学完成了他的本科教育，于 1941 年获得学士学位。然而，第二次世界大战的爆发打断了他的学术生涯。</p><p>他应征入伍，在美国陆军通信兵团（U.S. Army Signal Corps）服役了三年。这段军旅生涯不仅磨练了他的意志，也让他接触到了早期通信技术中的实际问题。</p><p>退役后，Spanier 进入 Michigan 大学攻读博士学位，师从著名的拓扑学家斯廷罗德（Norman Earl Steenrod，1910-1971）。Steenrod 当时正与艾伦伯格（Samuel Eilenberg，1913-1998）致力于建立同调论的公理化体系（即著名的 Eilenberg-Steenrod axioms），这一宏大的代数拓扑纲领极大地启发了 Spanier。</p><p>1947 年，Spanier 凭借博士论文《一般空间的上同调理论》（Cohomology theory for general spaces）获得博士学位。</p><p>在这篇论文中，他构建了一种全新的上同调理论，旨在克服奇异上同调在处理局部病态空间时的缺陷，这项工作后来演变为了代数拓扑中的 Alexander-Spanier 上同调理论（Alexander-Spanier cohomology theory）。</p><p>由于博士论文的卓越贡献，Spanier 受邀前往普林斯顿高等研究院（IAS）担任为期一年的研究员（1947-1948）。1948 年，他被聘为 Chicago 大学数学系助理教授。</p><p>当时的 Chicago 大学数学系在系主任斯通（Marshall Harvey Stone，1903-1989）的带领下，正处于其历史上的黄金时代。</p><p>Stone 进行了一系列极具魄力的招聘，汇聚了韦伊（André Weil，1906-1998）、麦克莱恩（Saunders Mac Lane，1909-2005）、陈省身（Shiing-Shen Chern，1911-2004）、齐格蒙德（Antoni Zygmund，1900-1992）、哈尔莫斯（Paul Richard Halmos，1916-2006）等一批世界级大师。在这个充满活力的学术生态中，Spanier 迅速成长为拓扑学界的核心人物。</p><p>他于 1949 年在《Annals of Mathematics》上发表了他最重要的早期论文之一《Borsuk 上同伦群》（Borsuk's cohomotopy groups），给出了多面体到球面连续映射的代数分类。</p><p>1949 年，陈省身先生来到 Chicago 担任几何学教授，Spanier 随即与之展开了极具成效的合作。</p><p>1950 年，两人在《美国国家科学院院刊》（PNAS）上发表了奠基性论文《球面丛的同调结构》（The homology structure of sphere bundles），系统分析了纤维空间的同调群，为后来的示性类理论（characteristic classes theory）和纤维丛（fibre bundles）研究奠定了基础。同年，他受邀在 Harvard 大学举办的国际数学家大会（ICM）上作 45 分钟报告。</p><p>1952 至 1953 年，Spanier 获得了 Guggenheim Fellowship，前往巴黎访学，进一步加深了与欧洲代数拓扑学派的交流。1955 年，他与英国拓扑学家怀特海特（John Henry Constantine Whitehead，1904-1960）合作发表了《同伦理论里的对偶》（Duality in homotopy theory），正式提出了 Spanier-Whitehead 对偶（Spanier-Whitehead duality），对同伦论的发展起到了重要的作用。1958 至 1959 年，Spanier 再次前往 IAS 访问。</p><p>之后在 1959 年，他接受了 Berkeley 的正教授职位。在 Berkeley，他曾多次担任数学系副主任和代理主任，并凭借卓越的学术眼光和广泛的人脉，吸引了斯梅尔（Stephen Smale，1930-）、赫希（Morris William Hirsch，1933-）、布雷登（Glen Eugene Bredon，1932-2000）等大批顶尖拓扑学家加盟或访问，建立了一个极其强大的几何与拓扑研究团队。</p><p>1966 年，Spanier 出版了他的巨著《代数拓扑学》（Algebraic topology）。这本书被公认为代数拓扑学公理化、范畴化的杰作。它摒弃了早期教材中那种基于直觉的、手绘式的拓扑讲解，转而采用了由层论（sheaf theory）、逆极限（inverse limit）和谱序列（spectral sequence）构成的宏大代数框架。这本书在处理证明时的严谨与优美，使得几十年来，所有关于代数拓扑的进阶研究几乎都绕不开它。</p><p>在 Berkeley 求学时，我第一个学期选修了 Spanier 的代数拓扑课、劳森（Herbert Blaine Lawson, Jr, 1942- ）的微分几何课和莫雷（Charles Bradfield Morrey Jr., 1907-1984）的微分方程课，此外还旁听了代数、数论、群论、动力系统、自守形式和泛函分析等课。修读的三门课对我的影响都很大。</p><p>来 Berkeley 之前，我自以为了解拓扑学，但代数拓扑课提供了全新的角度，把拓扑问题化为代数问题处理。</p><p>开始上 Spanier 的代数拓扑学课时，我有些紧张，因为同学们比以前上课时更加投入。我没有打算说很多话，但其他同学则踊跃发言，似乎头头是道。几个星期后，我把课本（就是 Spanier 本人编写的）看了一大半，发觉大部分同学都是在胡说八道。</p><p>Spanier 一生在 Chicago 和 Berkeley 共指导了 17 位博士生，为现代拓扑学界培养了一批中流砥柱。在这些学生中，最著名的是 Hirsch 和利马（Elon Lages Lima，1929-2017）（两人均于 1958 年获得博士学位，Hirsch 的一个博士生是瑟斯顿（William Paul Thurston，1946-2012））。</p><p>Hirsch 因在微分拓扑、叶状结构和动力系统方面的开创性工作而闻名，后当选为美国数学会会士。Lima 则在返回巴西后，成为了巴西数学界的领军人物和教育家。</p><p>Hirsch 曾回忆道：“Spanier 的出版物像他的讲座一样，以一种非同寻常的清晰和准确为特征，甚至具有一种更为罕见的自然和简洁的品质。无论主题多么复杂，读者在最后都会觉得这些定理是合理的，假设是自然的，而方法是尽可能简单的。”</p><p>在 Spanier 职业生涯的中后期，他的研究视野进一步拓宽到了应用领域。1961 年起，他开始与金斯伯格（Seymour Ginsburg，1927-2004）合作研究形式语言理论（formal language theory），这在当时是一个新兴的交叉学科，对现代计算机科学的发展至关重要。他们发表了诸如《有界的类 ALGOL 语言》（Bounded ALGOL-like languages）等一系列具有先驱意义的论文。</p><p>此外，他与杜宾斯（Lester Dubins，1920-2010）合作研究的 “分蛋糕定理（Dubins-Spanier theorems）”，将测度论中的李亚普诺夫（Alexey Andreyevich Lyapunov，1911-1973）- 凸性定理引入到公平分配问题中，这一工作至今仍是经济学和博弈论模型中的基础性成果。</p><p>Spanier 一生都保持着对数学的热爱，即便在 1991 年从 Berkeley 退休成为名誉教授后，他依然活跃在学术研讨的前沿。1996 年 10 月 11 日，Spanier 因癌症在 Arizona 州的 Scottsdale 与世长辞，享年 75 岁。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="贡献"><a href="#贡献" class="headerlink" title="贡献"></a>贡献</h2><h3 id="一、Alexander-Spanier-上同调"><a href="#一、Alexander-Spanier-上同调" class="headerlink" title="一、Alexander-Spanier 上同调"></a>一、Alexander-Spanier 上同调</h3><p>在 20 世纪 40 年代初期，拓扑空间的上同调理论主要由奇异上同调和 Čech 上同调构成。然而，对于局部高度病态的空间，奇异单纯形往往无法捕捉到足够准确的拓扑信息，而 Čech 同调的正向极限构造又显得十分繁琐。</p><p>基于 J. W. Alexander 的早期思想和 A. N. Kolmogorov 的工作，Spanier 在其博士论文中系统地发展了后来被称为 Alexander-Spanier 上同调的理论。</p><p>设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.925ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 851 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 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685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(4108.5,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(4497.5,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\delta" transform="translate(4942.1,0)"><path data-c="1D6FF" d="M452 664C452 679 444 689 428 693 377 706 339 712 315 712 244 712 201 672 201 606 201 567 220 511 259 438 156 412 76 321 51 220 46 199 43 178 43 159 43 121 52 87 71 58 101 12 145-11 202-11 244-11 282 8 317 47 372 110 400 190 400 285 400 346 380 402 339 453L332 462C267 546 235 602 235 630 235 636 236 641 239 645 249 663 265 672 288 671 305 671 326 663 351 648 382 629 401 620 408 620 430 620 452 638 452 664M111 131C111 188 125 243 154 297 185 357 225 395 274 410 296 372 311 333 320 294 323 279 324 262 324 245 324 217 321 191 315 166 290 68 252 19 203 19 146 19 111 66 111 131Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(5394.1,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 构成了一个上链复形（cochain complex）。</p><p>然而，如果直接对该复形取上同调，其结果是平凡的（即零次群为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，其余高次群全为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="0"><g data-mml-node="mn" data-latex="0"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ）。</p><p>Spanier 的深刻洞见在于，空间真正的拓扑属性，实际上隐藏在那些在对角线附近局部非零的函数中。令<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.885ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 833 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Delta \subset X^{p+1}"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Delta"><path data-c="394" d="M759 0C776 0 785 4 785 13L445 696C438 709 429 716 416 716 403 716 394 709 387 696L52 25C49 18 47 14 47 12 47 4 56 0 73 0M384 604 644 83 124 83Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" 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126 424 84 377 39 325 17 269 17 195 17 152 67 152 141L153 150C153 169 156 191 163 217L259 602C264 623 273 636 286 641 292 643 309 644 338 644 364 644 375 644 375 668 375 678 369 683 358 683L231 680 104 683C88 683 81 674 81 659 81 652 84 647 89 646 99 645 107 644 112 644 143 643 161 641 166 640 171 639 173 636 173 631 173 629 172 622 169 611L74 230C69 211 67 192 67 172 67 57 150-22 265-22 330-22 390 3 445 54 498 102 532 158 548 223L636 574C649 625 677 643 739 644 753 645 760 653 760 668L760 672C757 679 752 683 743 683 724 683 661 680 642 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上恒为零，则称<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.249ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 552 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f \in C_0^p(X;G)"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705 400 705 357 665 334 586 329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411 204 400 214 395 235 395L295 395 222 8C211-49 201-91 192-119 180-156 163-175 141-175 126-175 114-171 103-164 135-159 151-140 151-108 151-82 138-69 111-69 77-69 53-99 53-133 53-177 94-205 141-205 166-205 189-195 208-174 240-141 265-94 283-31 294 8 304 46 311 84L369 395 451 395C474 395 484 396 484 419 484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644 430 665 444 675 462 675 477 675 490 671 501 664 470 657 454 639 454 608 454 582 467 569 494 569 528 569 552 599 552 633Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.708ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.437ex" height="2.525ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -803.3 5055.4 1116.2"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f \in C_0^p(X;G)"><g data-mml-node="mo" data-latex="\in"><path data-c="2208" d="M563 4 373 4C310 4 254 25 208 68 162 111 136 163 130 226L563 226C579 226 587 234 587 250 587 266 579 274 563 274L130 274C136 337 162 389 208 432 254 475 310 496 373 496L563 496C579 496 587 504 587 519 587 535 579 543 563 543L373 543C292 543 223 515 166 458 109 401 81 332 81 250 81 168 109 99 166 42 223-15 292-43 373-43L563-43C579-43 587-35 587-19 587-7 576 4 563 4Z"></path></g><g data-mml-node="msubsup" data-latex="C_0^p" transform="translate(944.8,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 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526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的上同调群。</p><p>Alexander-Spanier 上同调不仅满足 Eilenberg-Steenrod 的所有上同调公理，还满足强切除定理（strong excision theorem）。</p><p>在现代几何与应用拓扑学中，Alexander-Spanier 上同调展现出了重要的价值。例如，在动力系统理论中，为了刻画高度复杂且可能是分形的孤立不变集，Conley-index 理论正是采用 Alexander-Spanier 上同调来提取能够抵抗连续扰动的拓扑不变量。</p><h3 id="二、上同伦群"><a href="#二、上同伦群" class="headerlink" title="二、上同伦群"></a>二、上同伦群</h3><p>在 1949 年发表于《Annals of Mathematics》的论文《Borsuk 上同伦群》（Borsuk’s cohomotopy groups）中，他系统地确立了上同伦群的代数性质。</p><p>对于带基点的拓扑空间<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.925ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 851 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，其第<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 阶同伦群被定义为所有从球面<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.027ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.403ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -704 1062.3 716"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{S}^n"><g data-mml-node="msup" data-latex="\mathbb{S}^n"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{S}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D54A" d="M258 661C296 661 334 644 371 612 408 580 431 545 440 507 444 489 451 480 462 480 476 480 483 492 483 517L483 667C483 692 476 704 462 704 458 704 452 701 444 695 431 682 416 676 399 676 384 676 362 681 332 690 302 699 276 704 256 704 120 704 29 635 29 502 29 464 42 429 67 396 85 373 114 350 155 329 162 326 196 310 259 281 270 276 285 267 305 256 338 236 361 212 376 185 384 170 388 154 388 137 388 58 346 31 264 31 218 31 176 52 137 93 98 134 79 178 79 224 79 238 72 245 59 245 41 245 37 231 37 209L37 25C37 0 44-12 59-12 62-12 70-7 81 2 92 11 106 16 121 16 138 16 156 12 177 3 202-7 231-12 263-12 334-12 395 4 444 36 501 74 530 127 530 194 530 297 466 374 337 425 286 444 219 474 192 498 167 519 154 542 154 565 154 624 199 661 258 661M440 640 440 600C433 609 423 620 410 634 423 635 433 637 440 640M125 626C116 607 112 587 112 565 112 521 135 484 180 454 211 434 255 413 311 390 370 365 412 341 435 317 470 279 488 238 488 194 488 140 465 99 420 71 427 90 431 112 431 137 431 188 410 231 367 264 334 289 295 312 249 332 194 355 153 377 126 397 89 424 71 459 71 502 71 559 89 601 125 626M79 96C86 85 97 73 112 58 99 57 88 55 79 51Z"></path></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(588,363) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 到<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.925ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 851 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的保基点连续映射的同伦类集合，记为</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:25.135ex"><svg style="vertical-align:-.566ex;min-width:25.135ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\pi_n(X) = [\mathbb{S}^n, X]
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\pi_n(X) = [\mathbb{S}^n, X]
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\pi^n(X) = [X, \mathbb{S}^n]
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\pi^n(X) = [X, \mathbb{S}^n]
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149 537 137Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.394ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1500.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\dim(X) < 2n-1"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>），严格证明了可以通过将映射正规化到球面的单点并集<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.403ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1062.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{S}^n\vee\mathbb{S}^n"><g data-mml-node="msup" data-latex="\mathbb{S}^n"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{S}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D54A" d="M258 661C296 661 334 644 371 612 408 580 431 545 440 507 444 489 451 480 462 480 476 480 483 492 483 517L483 667C483 692 476 704 462 704 458 704 452 701 444 695 431 682 416 676 399 676 384 676 362 681 332 690 302 699 276 704 256 704 120 704 29 635 29 502 29 464 42 429 67 396 85 373 114 350 155 329 162 326 196 310 259 281 270 276 285 267 305 256 338 236 361 212 376 185 384 170 388 154 388 137 388 58 346 31 264 31 218 31 176 52 137 93 98 134 79 178 79 224 79 238 72 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278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.415ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1951.5 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{S}^n\vee\mathbb{S}^n"><g data-mml-node="mo" data-latex="\vee"><path data-c="2228" d="M357-5 597 568C598 571 599 575 599 578 599 593 591 601 574 601 564 601 557 596 553 587L334 62 114 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219 474 192 498 167 519 154 542 154 565 154 624 199 661 258 661M440 640 440 600C433 609 423 620 410 634 423 635 433 637 440 640M125 626C116 607 112 587 112 565 112 521 135 484 180 454 211 434 255 413 311 390 370 365 412 341 435 317 470 279 488 238 488 194 488 140 465 99 420 71 427 90 431 112 431 137 431 188 410 231 367 264 334 289 295 312 249 332 194 355 153 377 126 397 89 424 71 459 71 502 71 559 89 601 125 626M79 96C86 85 97 73 112 58 99 57 88 55 79 51Z"></path></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(588,363) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 中，来为其赋予一个自然的 Abel 群结构。</p><p>在此基础上，Spanier 给出了一套用于计算多面体到球面映射的代数分类工具，并证明了上同伦群同样满足类似于上同调的正合序列（exact sequence）性质。</p><p>这不仅完善了代数拓扑的理论基石，也直接启发了后来同伦论学者（如亚当斯（John Frank Adams，1930-1989））对稳定同伦群（stable homotopy groups）的系统性计算。</p><h3 id="三、球面丛的同调结构"><a href="#三、球面丛的同调结构" class="headerlink" title="三、球面丛的同调结构"></a>三、球面丛的同调结构</h3><p>Spanier 与陈省身先生于 1950 年发表在《美国国家科学院院刊》（PNAS）上的论文《球面丛的同调结构》（The homology structure of sphere bundles）解决了纤维丛理论中的核心计算问题。</p><p>对于一个纤维为球面的纤维丛<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.275ex" height="2.497ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -853.7 1005.7 1103.7"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{S}^d \to X \to B"><g data-mml-node="msup" data-latex="\mathbb{S}^d"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{S}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D54A" d="M258 661C296 661 334 644 371 612 408 580 431 545 440 507 444 489 451 480 462 480 476 480 483 492 483 517L483 667C483 692 476 704 462 704 458 704 452 701 444 695 431 682 416 676 399 676 384 676 362 681 332 690 302 699 276 704 256 704 120 704 29 635 29 502 29 464 42 429 67 396 85 373 114 350 155 329 162 326 196 310 259 281 270 276 285 267 305 256 338 236 361 212 376 185 384 170 388 154 388 137 388 58 346 31 264 31 218 31 176 52 137 93 98 134 79 178 79 224 79 238 72 245 59 245 41 245 37 231 37 209L37 25C37 0 44-12 59-12 62-12 70-7 81 2 92 11 106 16 121 16 138 16 156 12 177 3 202-7 231-12 263-12 334-12 395 4 444 36 501 74 530 127 530 194 530 297 466 374 337 425 286 444 219 474 192 498 167 519 154 542 154 565 154 624 199 661 258 661M440 640 440 600C433 609 423 620 410 634 423 635 433 637 440 640M125 626C116 607 112 587 112 565 112 521 135 484 180 454 211 434 255 413 311 390 370 365 412 341 435 317 470 279 488 238 488 194 488 140 465 99 420 71 427 90 431 112 431 137 431 188 410 231 367 264 334 289 295 312 249 332 194 355 153 377 126 397 89 424 71 459 71 502 71 559 89 601 125 626M79 96C86 85 97 73 112 58 99 57 88 55 79 51Z"></path></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(588,363) scale(0.707)" data-latex="d"><path data-c="1D451" d="M429 632 370 389C349 426 320 445 281 445 216 445 159 412 109 345 63 283 40 218 40 151 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 59 311 21 345-11 392-11 461-11 483 71 498 145 498 154 493 159 483 159 474 159 468 152 465 138 445 59 421 19 394 19 377 19 368 33 368 60 368 75 370 91 374 107L516 679 516 683C513 690 507 694 499 694 476 694 434 690 374 683 363 682 357 674 357 660 357 650 366 645 384 645 403 645 429 646 429 632M341 376C351 355 356 341 356 332 355 328 354 323 353 316L304 122C301 111 294 99 285 87 248 42 212 19 177 19 138 19 118 49 118 108 118 132 124 168 136 216 157 301 187 359 224 390 244 407 263 415 282 415 309 415 329 402 341 376Z"></path></g></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.816ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2128.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{S}^d \to X \to B"><g data-mml-node="mo" data-latex="\to"><path data-c="2192" d="M932 234C939 237 943 243 943 250 943 257 939 263 932 266 884 282 839 316 797 368 769 403 750 444 741 491 738 504 730 510 717 510 701 510 693 502 693 485L694 483 694 482C711 395 755 326 828 274L82 274C66 274 58 266 58 250 58 234 66 226 82 226L828 226C755 174 711 105 694 18L694 17 693 15C693-2 701-10 717-10 730-10 738-4 741 9 750 56 769 97 797 132 839 184 884 218 932 234Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="X" transform="translate(1277.8,0)"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.608ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2036.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{S}^d \to X \to B"><g data-mml-node="mo" data-latex="\to"><path data-c="2192" d="M932 234C939 237 943 243 943 250 943 257 939 263 932 266 884 282 839 316 797 368 769 403 750 444 741 491 738 504 730 510 717 510 701 510 693 502 693 485L694 483 694 482C711 395 755 326 828 274L82 274C66 274 58 266 58 250 58 234 66 226 82 226L828 226C755 174 711 105 694 18L694 17 693 15C693-2 701-10 717-10 730-10 738-4 741 9 750 56 769 97 797 132 839 184 884 218 932 234Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="B" transform="translate(1277.8,0)"><path data-c="1D435" d="M756 543C756 634 666 683 568 683L236 683C213 683 203 682 203 659 203 643 223 644 235 644 265 643 283 641 288 640 293 639 295 636 295 631 295 629 294 623 291 613L159 82C154 60 144 47 129 42 122 40 104 39 73 39 52 39 42 31 42 15 42 5 52 0 73 0L426 0C491 0 551 20 608 59 671 102 703 155 703 217 703 296 638 344 567 358 655 379 756 446 756 543M554 644C623 644 658 612 658 547 658 496 638 454 596 420 554 386 507 370 456 370L317 370 377 610C385 644 385 644 427 644M582 299C596 276 603 253 603 228 603 176 583 131 542 94 501 57 455 39 402 39L267 39C257 39 250 39 246 40 240 40 237 42 237 45 237 46 237 49 238 53 269 180 293 276 309 340L493 340C536 340 565 326 582 299Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，拓扑学界早前已有 Gysin 序列来联系各空间的同调群，但最初它仅限于底空间<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="B"><g data-mml-node="mi" data-latex="B"><path data-c="1D435" d="M756 543C756 634 666 683 568 683L236 683C213 683 203 682 203 659 203 643 223 644 235 644 265 643 283 641 288 640 293 639 295 636 295 631 295 629 294 623 291 613L159 82C154 60 144 47 129 42 122 40 104 39 73 39 52 39 42 31 42 15 42 5 52 0 73 0L426 0C491 0 551 20 608 59 671 102 703 155 703 217 703 296 638 344 567 358 655 379 756 446 756 543M554 644C623 644 658 612 658 547 658 496 638 454 596 420 554 386 507 370 456 370L317 370 377 610C385 644 385 644 427 644M582 299C596 276 603 253 603 228 603 176 583 131 542 94 501 57 455 39 402 39L267 39C257 39 250 39 246 40 240 40 237 42 237 45 237 46 237 49 238 53 269 180 293 276 309 340L493 340C536 340 565 326 582 299Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为可定向流形的情况。</p><p>Spanier 和陈省身先生摒弃对流形结构的依赖，通过考察底空间单纯复形骨架的逆象以及应用 Eilenberg‑Steenrod 公理化同调理论，在一个统一的代数框架下重新推导并推广了这一长正合序列，证明其对底空间为一般的单纯复形依然成立。这些序列在计算各空间的 Betti 数及同调结构时极为有效。</p><p>Spanier 与陈省身先生利用障碍理论（obstruction theory），剖析球面丛截面的存在性问题。他们展示了每个球面丛都会自然诱导出一个特征类<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 722 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Omega"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Omega"><path data-c="3A9" d="M267 25C267 73 249 147 214 246 181 335 165 404 165 454 165 576 241 675 360 675 479 675 556 576 556 454 556 405 537 328 500 225 469 137 454 70 454 25 454 1 458 0 483 0L644 0 678 168 645 168C639 136 633 111 627 93 623 82 614 76 601 73 598 72 586 72 565 72L491 72C501 110 530 164 578 234 636 321 665 394 665 453 665 528 632 590 567 639 508 683 439 705 361 705 282 705 213 683 154 639 89 591 56 529 56 453 56 395 85 322 143 234 181 178 214 129 230 72L156 72C122 72 102 77 97 86 87 118 80 145 76 168L43 168 77 0 239 0C262 0 267 2 267 25Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>（即 Euler 类），它是构造底空间<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.176ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 520 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="d+1"><g data-mml-node="mi" data-latex="d"><path data-c="1D451" d="M429 632 370 389C349 426 320 445 281 445 216 445 159 412 109 345 63 283 40 218 40 151 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 59 311 21 345-11 392-11 461-11 483 71 498 145 498 154 493 159 483 159 474 159 468 152 465 138 445 59 421 19 394 19 377 19 368 33 368 60 368 75 370 91 374 107L516 679 516 683C513 690 507 694 499 694 476 694 434 690 374 683 363 682 357 674 357 660 357 650 366 645 384 645 403 645 429 646 429 632M341 376C351 355 356 341 356 332 355 328 354 323 353 316L304 122C301 111 294 99 285 87 248 42 212 19 177 19 138 19 118 49 118 108 118 132 124 168 136 216 157 301 187 359 224 390 244 407 263 415 282 415 309 415 329 402 341 376Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.394ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1500.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="d+1"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 维骨架上截面的确切拓扑阻碍。</p><p>更重要的是，他们证明了上同调序列中的维度提升同态，恰好等价于与该特征类的杯积（cup product）运算。他们的代数推导实际上已经触及了后来 René Thom 形式化的核心本质。</p><h3 id="四、Spanier‑Whitehead-对偶"><a href="#四、Spanier‑Whitehead-对偶" class="headerlink" title="四、Spanier‑Whitehead 对偶"></a>四、Spanier‑Whitehead 对偶</h3><p>Spanier 与 J. H. C. Whitehead 在 1955 年左右的系列论文中系统地建立了 Spanier‑Whitehead 对偶理论。这一理论的初衷是为了在更抽象和本质的层面上理解经典的 Alexander 对偶：对于嵌入在球面<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.027ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.403ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -704 1062.3 716"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{S}^n"><g data-mml-node="msup" data-latex="\mathbb{S}^n"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{S}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D54A" d="M258 661C296 661 334 644 371 612 408 580 431 545 440 507 444 489 451 480 462 480 476 480 483 492 483 517L483 667C483 692 476 704 462 704 458 704 452 701 444 695 431 682 416 676 399 676 384 676 362 681 332 690 302 699 276 704 256 704 120 704 29 635 29 502 29 464 42 429 67 396 85 373 114 350 155 329 162 326 196 310 259 281 270 276 285 267 305 256 338 236 361 212 376 185 384 170 388 154 388 137 388 58 346 31 264 31 218 31 176 52 137 93 98 134 79 178 79 224 79 238 72 245 59 245 41 245 37 231 37 209L37 25C37 0 44-12 59-12 62-12 70-7 81 2 92 11 106 16 121 16 138 16 156 12 177 3 202-7 231-12 263-12 334-12 395 4 444 36 501 74 530 127 530 194 530 297 466 374 337 425 286 444 219 474 192 498 167 519 154 542 154 565 154 624 199 661 258 661M440 640 440 600C433 609 423 620 410 634 423 635 433 637 440 640M125 626C116 607 112 587 112 565 112 521 135 484 180 454 211 434 255 413 311 390 370 365 412 341 435 317 470 279 488 238 488 194 488 140 465 99 420 71 427 90 431 112 431 137 431 188 410 231 367 264 334 289 295 312 249 332 194 355 153 377 126 397 89 424 71 459 71 502 71 559 89 601 125 626M79 96C86 85 97 73 112 58 99 57 88 55 79 51Z"></path></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(588,363) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 中的紧子空间<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 889 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，有</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:34.873ex"><svg style="vertical-align:-.964ex;min-width:34.873ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="3.059ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -926)"><g data-mml-node="math" data-latex="\widetilde H_*(K) = \widetilde H^{n-*-1}(\mathbb{S}^n \setminus K)"><g data-mml-node="mtable" data-latex="\widetilde H_*(K) = \widetilde H^{n-*-1}(\mathbb{S}^n \setminus K)" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 926) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="5629 -926 1 1352"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-176)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub" data-latex="\widetilde H_*"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\widetilde H" 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overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.403ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1062.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{S}^n \setminus K"><g data-mml-node="msup" data-latex="\mathbb{S}^n"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{S}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D54A" d="M258 661C296 661 334 644 371 612 408 580 431 545 440 507 444 489 451 480 462 480 476 480 483 492 483 517L483 667C483 692 476 704 462 704 458 704 452 701 444 695 431 682 416 676 399 676 384 676 362 681 332 690 302 699 276 704 256 704 120 704 29 635 29 502 29 464 42 429 67 396 85 373 114 350 155 329 162 326 196 310 259 281 270 276 285 267 305 256 338 236 361 212 376 185 384 170 388 154 388 137 388 58 346 31 264 31 218 31 176 52 137 93 98 134 79 178 79 224 79 238 72 245 59 245 41 245 37 231 37 209L37 25C37 0 44-12 59-12 62-12 70-7 81 2 92 11 106 16 121 16 138 16 156 12 177 3 202-7 231-12 263-12 334-12 395 4 444 36 501 74 530 127 530 194 530 297 466 374 337 425 286 444 219 474 192 498 167 519 154 542 154 565 154 624 199 661 258 661M440 640 440 600C433 609 423 620 410 634 423 635 433 637 440 640M125 626C116 607 112 587 112 565 112 521 135 484 180 454 211 434 255 413 311 390 370 365 412 341 435 317 470 279 488 238 488 194 488 140 465 99 420 71 427 90 431 112 431 137 431 188 410 231 367 264 334 289 295 312 249 332 194 355 153 377 126 397 89 424 71 459 71 502 71 559 89 601 125 626M79 96C86 85 97 73 112 58 99 57 88 55 79 51Z"></path></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(588,363) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.799ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1679.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{S}^n \setminus K"><g data-mml-node="mo" data-latex="\setminus"><path data-c="2216" d="M488-103C504-103 512-95 512-79 512-74 511-70 508-66L100 592C94 599 87 603 80 603 64 603 56 595 56 579 56 574 57 570 60 566L468-92C474-99 481-103 488-103Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="K" transform="translate(790.2,0)"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 通常具有不同的同伦型。</p><p>Spanier 和 Whitehead 发现，如果为空间添加基点并进行足够多次悬挂（suspension），这种对偶就成为了一种范畴意义下的对偶。</p><p>这直接促成了现代代数拓扑中谱（spectra）以及稳定同伦范畴（stable homotopy category）的诞生。</p><p>稳定同伦范畴<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.172ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 2286 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="SHC"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="H" transform="translate(645,0)"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 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255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是一个对称半幺范畴（symmetric monoidal category），对象是谱（spectra），态射是谱之间的映射的同伦等价类。一个谱<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.733ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 766 680"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="E"><g data-mml-node="mi" data-latex="E"><path data-c="1D438" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 49 0 70 0L583 0C607 0 609 2 617 19L657 109C684 171 703 217 714 248 712 257 709 263 698 263 691 263 685 258 681 249 656 190 632 145 608 113 568 59 509 39 415 39L270 39C260 39 253 39 249 40 243 40 240 42 240 45 240 47 242 54 245 67L311 334 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data-mml-node="mi" data-latex="\Sigma"><path data-c="3A3" d="M56 655 301 299 68 33C61 25 57 19 57 15 57 5 67 0 86 0L637 0 665 241 633 241C624 159 601 107 566 84 531 61 474 49 397 49L133 49 375 324C382 331 385 337 385 342 385 345 382 351 377 358L179 644 399 644C482 644 539 632 570 607 601 582 622 531 633 453L666 453 637 683 86 683C62 683 56 681 56 655Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.472ex" height="1.7ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -751.2 1092.8 751.2"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Sigma'"><g data-mml-node="msup" data-latex="\Sigma'"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Sigma"><path data-c="3A3" d="M56 655 301 299 68 33C61 25 57 19 57 15 57 5 67 0 86 0L637 0 665 241 633 241C624 159 601 107 566 84 531 61 474 49 397 49L133 49 375 324C382 331 385 337 385 342 385 345 382 351 377 358L179 644 399 644C482 644 539 632 570 607 601 582 622 531 633 453L666 453 637 683 86 683C62 683 56 681 56 655Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(755,363) scale(0.707)" data-latex="'"><path data-c="2032" d="M284 549C259 549 242 539 233 518L65 96 110 96 332 463C337 472 340 482 340 493 340 523 314 549 284 549Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 分别是约化悬挂与非约化悬挂。取关于 Eilenberg-MacLane 谱的同调与上同调，可以在形式上还原出 Alexander 对偶。</p><h3 id="五、Dubins-Spanier-定理"><a href="#五、Dubins-Spanier-定理" class="headerlink" title="五、Dubins-Spanier 定理"></a>五、Dubins-Spanier 定理</h3><p>1961 年，Spanier 和 Lester Dubins 在《美国数学月刊》（The American Mathematical Monthly）上发表了一篇题为《如何公平地切蛋糕》（How to cut a cake fairly）的论文。<br>他们提出并证明了关于 “切蛋糕问题（cake-cutting problem）” 的若干深刻定理，被称为 Dubins-Spanier 定理。<br>尽管最初的动机来源于公平分配，它们实际上是测度论中的一般定理。</p><p>被分配的资源（即 “蛋糕”）可以抽象为一个可测空间<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.859ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2589.7 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="(S,\Sigma)"><g data-mml-node="mo" data-latex="("><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="S" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1034,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\Sigma" transform="translate(1478.7,0)"><path data-c="3A3" d="M56 655 301 299 68 33C61 25 57 19 57 15 57 5 67 0 86 0L637 0 665 241 633 241C624 159 601 107 566 84 531 61 474 49 397 49L133 49 375 324C382 331 385 337 385 342 385 345 382 351 377 358L179 644 399 644C482 644 539 632 570 607 601 582 622 531 633 453L666 453 637 683 86 683C62 683 56 681 56 655Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2200.7,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，其中<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.459ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 645 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 代表整个资源，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 722 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Sigma"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Sigma"><path data-c="3A3" d="M56 655 301 299 68 33C61 25 57 19 57 15 57 5 67 0 86 0L637 0 665 241 633 241C624 159 601 107 566 84 531 61 474 49 397 49L133 49 375 324C382 331 385 337 385 342 385 345 382 351 377 358L179 644 399 644C482 644 539 632 570 607 601 582 622 531 633 453L666 453 637 683 86 683C62 683 56 681 56 655Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.459ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 645 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上的一个<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.292ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 571 442"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\sigma"><g data-mml-node="mi" data-latex="\sigma"><path data-c="1D70E" d="M525 431 300 431C252 431 207 416 166 385 102 336 38 250 38 148 38 58 100-11 190-11 257-11 317 18 368 76 417 132 441 194 441 263 441 304 432 338 414 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 550 431 525 431M107 121C107 180 121 234 150 282 184 338 228 366 283 366 341 366 370 336 370 275 370 250 365 221 355 187 335 116 302 66 256 39 233 25 211 18 191 18 136 18 107 63 107 121Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 代数（代表所有允许被分割出的 “块” 的集合）。</p><p>假设有<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 个参与者，他们的价值偏好由定义在该空间上的非原子（non-atomic）且可数可加的概率测度<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.489ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.147ex" height="1.489ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 4042.8 658"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mu_1,\dots,\mu_n"><g data-mml-node="msub" data-latex="\mu_1"><g data-mml-node="mi" data-latex="\mu"><path data-c="1D707" d="M572 142C572 151 567 156 556 156 548 156 542 149 539 136 519 56 495 16 468 16 451 16 442 30 442 58 442 75 448 109 461 159L489 266C498 302 506 327 512 358L518 386C520 393 521 398 521 400 521 421 510 431 488 431 466 431 452 419 446 394L374 108C374 97 358 77 326 47 304 26 279 16 250 16 204 16 181 43 181 98 181 117 185 144 194 181L236 347C244 378 249 400 251 411 251 432 240 442 218 442 196 442 182 429 175 403L33-169C31-177 30-182 30-185 30-206 41-216 62-216 77-216 89-208 100-193 103-186 120-117 153 14 177-4 208-13 246-13 305-13 344 18 375 54 386 17 419-13 466-13 535-13 556 68 572 142Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(636,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1039.6,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1484.2,0)"><path data-c="2026" d="M751 53C751 83 725 106 695 106 664 106 638 83 638 53 638 23 664 0 695 0 725 0 751 23 751 53M475 53C475 83 449 106 419 106 388 106 363 83 363 53 363 23 388 0 419 0 449 0 475 23 475 53M200 53C200 83 174 106 143 106 113 106 87 83 87 53 87 23 113 0 143 0 173 0 200 23 200 53Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(2487.9,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="\mu_n" transform="translate(2932.6,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\mu"><path data-c="1D707" d="M572 142C572 151 567 156 556 156 548 156 542 149 539 136 519 56 495 16 468 16 451 16 442 30 442 58 442 75 448 109 461 159L489 266C498 302 506 327 512 358L518 386C520 393 521 398 521 400 521 421 510 431 488 431 466 431 452 419 446 394L374 108C374 97 358 77 326 47 304 26 279 16 250 16 204 16 181 43 181 98 181 117 185 144 194 181L236 347C244 378 249 400 251 411 251 432 240 442 218 442 196 442 182 429 175 403L33-169C31-177 30-182 30-185 30-206 41-216 62-216 77-216 89-208 100-193 103-186 120-117 153 14 177-4 208-13 246-13 305-13 344 18 375 54 386 17 419-13 466-13 535-13 556 68 572 142Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(636,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 来表示。</p><p>非原子（non-atomic）的直观含义是蛋糕可以被无限细分，不存在任何不可分割且具有正价值的 “原子” 颗粒。</p><p>Dubins 和 Spanier 观察到，所有可能分配方案的评估矩阵，本质上构成了一个泛函空间中的像集。</p><p>他们利用了 Lyapunov - 凸性定理（该定理断言：任何非原子有限维向量测度的值域必定是一个紧致的凸集），得出了以下重要结论：</p><p>定理（共识划分，consensus partition）</p><p>设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.859ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2589.7 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="(S,\Sigma)"><g data-mml-node="mo" data-latex="("><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="S" 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636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 维单纯形的内部点）。如果存在至少两个参与者的测度不完全相同（即存在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 345 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="i \neq j"><g data-mml-node="mi" data-latex="i"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 178 373 175 357 168 338 145 275 121 208 101 155 86 115 78 88 78 74 78 25 114-11 162-11 205-11 239 14 264 64 283 103 293 130 293 145 293 154 288 159 277 159 274 159 259 150 259 138Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.321ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1467.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="i \neq j"><g data-mml-node="mo" data-latex="\neq"><path data-c="2260" d="M698 178 388 178 440 322 698 322C714 322 722 330 722 346 722 362 714 370 698 370L458 370 576 698C578 701 579 703 579 706 579 722 571 730 555 730 542 730 535 725 532 714L407 370 80 370C64 370 56 362 56 346 56 330 64 322 80 322L390 322 338 178 80 178C64 178 56 170 56 154 56 138 64 130 80 130L320 130 201-198C200-200 200-203 200-206 200-222 208-230 224-230 236-230 243-225 246-214L371 130 698 130C714 130 722 138 722 154 722 166 711 178 698 178Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="j" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="1D457" d="M397 621C397 648 383 661 356 661 328 661 300 633 300 605 300 578 313 565 340 565 368 565 397 593 397 621M267 444C214 444 169 404 147 369 120 326 107 299 107 287 107 278 112 274 122 274 127 274 130 275 133 276 138 284 141 291 144 296 176 375 216 414 264 414 282 414 291 400 291 373 291 358 289 341 284 323L192-46C178-104 138-175 75-175 66-175 57-174 48-171 73-161 85-143 85-118 85-92 71-79 44-79 12-79-13-108-13-140-13-184 30-205 77-205 120-205 160-190 197-160 232-131 254-94 265-51L356 311C359 324 361 337 361 349 361 404 322 444 267 444Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 使得<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.104ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 930 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mu_i \neq \mu_j"><g data-mml-node="msub" data-latex="\mu_i"><g data-mml-node="mi" data-latex="\mu"><path data-c="1D707" d="M572 142C572 151 567 156 556 156 548 156 542 149 539 136 519 56 495 16 468 16 451 16 442 30 442 58 442 75 448 109 461 159L489 266C498 302 506 327 512 358L518 386C520 393 521 398 521 400 521 421 510 431 488 431 466 431 452 419 446 394L374 108C374 97 358 77 326 47 304 26 279 16 250 16 204 16 181 43 181 98 181 117 185 144 194 181L236 347C244 378 249 400 251 411 251 432 240 442 218 442 196 442 182 429 175 403L33-169C31-177 30-182 30-185 30-206 41-216 62-216 77-216 89-208 100-193 103-186 120-117 153 14 177-4 208-13 246-13 305-13 344 18 375 54 386 17 419-13 466-13 535-13 556 68 572 142Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(636,-150) scale(0.707)" data-latex="i"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 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data-mml-node="math" data-latex="A_1, \dots, A_n"><g data-mml-node="msub" data-latex="A_1"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(783,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 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class="content">本文介绍了数学家格哈德·霍赫希尔德的生平及其主要贡献，包括他创立的霍赫希尔德上同调理论、HKR定理、Hochschild–Serre谱序列，以及对代数群与Hopf代数的研究，这些工作深刻影响了同调代数、非交换几何和表示论等领域</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/8.html" title="Whitehead数学家怀特海德生平与拓扑学贡献概述" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/75.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/75.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Whitehead数学家怀特海德生平与拓扑学贡献概述"> <span class="title">Whitehead数学家怀特海德生平与拓扑学贡献概述</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/26.html" title="Atiyah阿蒂亚：跨越数学与物理边界的巨匠" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/9.webp" class="lazyload" 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Wall的学术生涯与在拓扑学及奇点理论中的奠基性贡献</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/1.html" title="希尔伯特23问题" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/109.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/109.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="希尔伯特23问题"> <span class="title">希尔伯特23问题</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/28.html" title="Grothendieck格罗腾迪克：改变现代数学的概念革新者与人生探索者" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/112.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/112.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Grothendieck格罗腾迪克：改变现代数学的概念革新者与人生探索者"> <span class="title">Grothendieck格罗腾迪克：改变现代数学的概念革新者与人生探索者</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/23.html" 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