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Magicland","logo":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}},"url":"https://blog.mhuig.top/notes/person/2","wordCount":0,"datePublished":"2026-03-31T01:07:00.000Z","dateModified":"2026-05-03T01:10:00.000Z","articleSection":"历史","keywords":"History,人物,约翰格里格斯汤普森,有限群论,菲尔兹奖","image":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}}]</script></head><body itemscope="" itemtype="http://schema.org/WebPage"><pjax></pjax><header itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPHeader" id="l_header" class="l_header auto shadow floatable blur show" style="opacity:0"><div class="container"><div id="wrapper"><div class="nav-sub"><p class="title"></p><ul class="switcher nav-list-h m-phone" id="pjax-header-nav-list"><li><a id="s-comment" class="fa-solid fa-comments fa-fw" target="_self" title="comment"></a></li><li><a id="s-toc" class="s-toc fa-solid fa-list fa-fw" target="_self" 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="Thompson约翰·格里格斯·汤普森：有限群论大师的学术生涯与贡献"><meta itemprop="description" content="美国数学家约翰·格里格斯·汤普森，在有限群论领域取得革命性突破，包括证明奇数阶群可解及推动单群分类。其工作延伸至数论与数学物理，荣获菲尔兹奖、沃尔夫奖等最高荣誉。"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">Thompson</span></p><br><h1 hidden="">Thompson</h1><div class="story post-story"><h2 id="生平"><a href="#生平" class="headerlink" title="生平"></a>生平</h2><p>约翰・格里格斯・汤普森（John Griggs Thompson，1932-）出生于美国堪萨斯州的渥太华（Ottawa）。他的童年正值美国大萧条时期，出生在一个普通家庭，并没有显赫的学术渊源或优越的教育条件。</p><p>他在早年便展现出异于常人的耐心与对事物的好奇心。年轻的 Thompson 喜欢长时间静静地坐在一个问题面前，在脑海中反复推敲，直到完全看透其复杂的底层逻辑。</p><p>Thompson 对数学的兴趣在一定程度上得益于大他三岁的哥哥。</p><p>他哥哥进入大学后曾试图向他解释微积分的概念，尽管年轻的 Thompson 觉得那些关于极限和无穷的理论 “完全无法理解”，但这激发了他的求知欲，促使他主动前往当地图书馆寻找更高级的数学书籍进行自学。</p><p>此外，他也痴迷于国际象棋以及纸牌游戏中所蕴含的复杂组合学。</p><p>Thompson 最初的学术志向并非纯粹的数学研究。1951 年，当他作为本科生进入 Yale 大学时，他的最初目标是主修神学，并希望未来能成为一名长老会牧师（Presbyterian minister）。然而，在 Yale 的求学过程中，他选修了数学课程，立刻被数学的深邃所折服。</p><p>他后来回忆道：“能够接触到如此深刻的数学，并回应它的召唤，是一件非常令人兴奋的事情。”</p><p>1955 年，Thompson 从 Yale 大学获得学士学位。</p><p>随后，Thompson 前往 Chicago 大学攻读博士学位，师从著名的代数学家、范畴论的奠基人之一麦克莱恩（Saunders Mac Lane，1909-2005）。</p><p>Mac Lane 以其深厚的学术造诣和严谨的治学风格著称，他赋予了 Thompson 极大的自由，让他能够挑战那些被认为几乎不可能攻克的经典难题。</p><p>1959 年，Thompson 完成了他的博士论文《证明具有素数阶无不动点自同构的有限群是幂零群》（A proof that a finite group with a fixed-point-free automorphism of prime order is nilpotent），一举解决了弗罗贝尼乌斯（Ferdinand Georg Frobenius，1849-1917）在六十年前提出的一个著名猜想。</p><p>Thompson 并没有仅仅将现有的群论技术向前推进，而是引入了高度原创的局部推导与子群结构分析方法。</p><p>这一成就震动了当时的数学界，甚至被《纽约时报》（The New York Times）报道，标志着一个群论新时代的黎明。</p><p>1959 年获得博士学位后，Thompson 短暂地在 Harvard 大学担任助理教授（1961–1962），随后回到 Chicago 大学担任正教授（1962–1968）。正是在这一时期，Thompson 迎来了他学术生涯中最辉煌的篇章。</p><p>1963 年，他与费特（Walter Feit，1930–2004）合作，在《Pacific Journal of Mathematics》上发表了长达 255 页的旷世巨作《奇数阶群的可解性》（Solvability of groups of odd order）。</p><p>这篇论文解决了困扰数学界半个多世纪的 <strong>Burnside 问题</strong>（Burnside problem）—— 由 <strong>伯恩赛德</strong>（William Burnside，1852-1927）在 20 世纪早期提出，证明了 <strong>奇数阶有限群都是可解的</strong>（every finite group of odd order is solvable）。</p><p>这篇论文的长度在当时的数学界是史无前例的，占据了该期刊整整一期的篇幅。正如数学家布劳尔（Richard Dagobert Brauer，1901-1977）所言，这项工作为整个有限单群分类纲领注入了决定性的信心。</p><p>紧接着，Thompson 独自承担了另一项极其庞大且艰巨的工程：对单<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 881 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 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S. McKay，1939-2022）的初步观察，并将其扩展为 McKay-Thompson 级数（McKay-Thompson series），将群论、代数几何与理论物理不可思议地联系在了一起。</p><p>1993 年，他返回美国，担任 Florida 大学的 Graduate Research Professor，同时保留了 Cambridge 的荣休教授头衔。</p><p>Thompson 的治学风格以极高的强度和对他人的慷慨而闻名。在学术合作中，他被描述为一位极具同情心的导师，愿意将自己尚未发表的、具有突破性潜力的原始想法毫无保留地分享给他的研究生们。</p><p>他的学生群体中诞生了多位在有限单群分类中起到核心作用的数学家，包括</p><ul><li>成功构造了最大零星单群（sporadic simple groups）“魔群” 的格里斯（Robert Louis Griess Jr.，1945-）；</li><li>共同完成有限单群分类第二代证明（GLS 纲领，“G” 指的是 Daniel E. Gorenstein（1923-1992），“L” 指的是 Richard Neil Lyons，“S” 指的是 Ronald Mark Solomon（1948-））的莱昂斯（Richard Neil Lyons，1945-）；</li><li>在计算群论中做出奠基性贡献的西姆斯（Charles Coffin Sims，1937-2017）。</li></ul><p>这种慷慨的协作精神极大地加速了二十世纪下半叶群论的发展进程。</p><p>他的长期合作者 Walter Feit 曾这样评价他：“他是一位研究重大问题的数学家，从不让困难使自己气馁。他经常通过引入全新的思想来克服这些困难，而这些新思想对未来的发展产生了巨大的影响。”</p><p>Thompson 的妻子奥宁（Diane Ella Oenning）是一位研究陀思妥耶夫斯基（Fyodor Mikhailovich Dostoevsky，1821-1881）和托尔斯泰（Lev Nikolayevich Tolstoy，1828-1910）的杰出学者。</p><p>两人育有一女 Dr. Kari Sigrid Carstairs，并有两个外孙 Benjamin 和 Daniel。Thompson 本人也是一位阅读爱好者，喜欢传记和历史著作。此外，他还喜欢音乐，现在仍会偶尔弹钢琴。</p><p>Thompson 获得了数学界几乎所有的最高奖项。</p><ul><li>1965 年他获颁 <strong>Cole Prize in Algebra</strong>；</li></ul><p>Cole Prize in Algebra 部分获奖者</p><table><thead><tr><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th></tr></thead><tbody><tr><td>1928</td><td>L.E. Dickson</td><td>1944</td><td>O. Zariski</td><td>1949</td><td>R. Brauer</td></tr><tr><td>1954</td><td>Harish-Chandra</td><td>1960</td><td>S. Lang<br>M.A. Rosenlicht</td><td>1965</td><td>W. Feit<br>J.G. Thompson</td></tr><tr><td>1975</td><td>H. Bass<br>D.G. Quillen</td><td>1985</td><td>G. Lusztig</td><td>1990</td><td>S. Mori</td></tr><tr><td>2000</td><td>A. Suslin<br>A.J. de Jong</td><td>2003</td><td>H. Nakajima</td><td>2006</td><td>J. Kollár</td></tr><tr><td>2015</td><td>P. Scholze</td><td>2021</td><td>许晨阳</td><td>2024</td><td>J. Fintzen</td></tr></tbody></table><ul><li><p>1970 年在法国 Nice 举行的国际数学家大会上，他因对有限群论及单群分类的革命性贡献获得了 Fields 奖（与广中平祐（Heisuke Hironaka，1931-2026）、诺维科夫（Sergei Petrovich Novikov，1938-2024）一起分享）；</p></li><li><p>1982 年获得伦敦数学会的 <strong>Senior Berwick Prize</strong>；</p></li></ul><p>Senior Berwick Prize 部分获奖者</p><table><thead><tr><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th></tr></thead><tbody><tr><td>1946</td><td>L. Mordell</td><td>1948</td><td>J.H.C. Whitehead</td><td>1952</td><td>W.V.D. Hodge</td></tr><tr><td>1954</td><td>H. Davenport</td><td>1956</td><td>E.C. Titchmarsh</td><td>1960</td><td>J.E. Littlewood</td></tr><tr><td><strong>1982</strong></td><td><strong>J.G. Thompson</strong></td><td>1990</td><td>N. Hitchin</td><td>1992</td><td>J. Eells</td></tr><tr><td>2010</td><td>D. MacDuff</td><td>2012</td><td>I. Agol</td><td>2014</td><td>D. Freed<br>M. Hopkins<br>C. Teleman</td></tr><tr><td>2018</td><td>M. Levine</td><td>2020</td><td>T. Hales</td><td>2024</td><td>C.J. Bishop</td></tr></tbody></table><ul><li>1985 年获得皇家学会的 <strong>Sylvester Medal</strong>；</li></ul><p>Sylvester Medal 部分获奖者</p><table><thead><tr><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th></tr></thead><tbody><tr><td>1901</td><td>H. Poincaré</td><td>1904</td><td>G. Cantor</td><td>1916</td><td>J.G. Darboux</td></tr><tr><td>1922</td><td>T. Levi-Civita</td><td>1925</td><td>A.N. Whitehead</td><td>1928</td><td>W.H. Young</td></tr><tr><td>1934</td><td>B. Russell</td><td>1940</td><td>G.H. Hardy</td><td>1943</td><td>J.E. Littlewood</td></tr><tr><td>1949</td><td>L.J. Mordell</td><td>1952</td><td>A.S. Besicovitch</td><td>1955</td><td>E.C. Titchmarsh</td></tr><tr><td>1967</td><td>H. Davenport</td><td>1982</td><td>J.F. Adams</td><td><strong>1985</strong></td><td><strong>J.G. Thompson</strong></td></tr><tr><td>2000</td><td>N.J. Hitchin</td><td>2003</td><td>L. Carleson</td><td>2006</td><td>P. Swinnerton-Dyer</td></tr><tr><td>2014</td><td>B. Green</td><td>2016</td><td>T. Gowers</td><td>2018</td><td>D. McDuff</td></tr><tr><td>2019</td><td>P. Sarnak</td><td>2020</td><td>B.J. Birch</td><td>2025</td><td>M. Hairer</td></tr></tbody></table><ul><li>1992 年获 <strong>Wolf 数学奖</strong> 和 <strong>Poincaré Medal</strong>；</li></ul><p>Wolf 数学奖部分获奖者</p><table><thead><tr><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th></tr></thead><tbody><tr><td>1978</td><td>I. Gelfand<br>C.L. Siegel</td><td>1979</td><td>J. Leray<br>A. Weil</td><td>1980</td><td>H. Cartan<br>Kolmogorov</td></tr><tr><td>1981</td><td>L. Ahlfors<br>O. Zariski</td><td>1982</td><td>H. Whitney<br>M. Krein</td><td>1983/84</td><td>陈省身<br>Paul Erdős</td></tr><tr><td>1984/85</td><td>Kodaira<br>H. Lewy</td><td>1988</td><td>Hirzebruch<br>Hörmander</td><td>1989</td><td>A. Calderón<br>J. Milnor</td></tr><tr><td><strong>1992</strong></td><td><strong>L. Carleson<br>J.G. Thompson</strong></td><td>1993</td><td>M. Gromov<br>J. Tits</td><td>1995/96</td><td>Langlands<br>A. Wiles</td></tr><tr><td>2000</td><td>Bott<br>J.P. Serre</td><td>2005</td><td>Margulis<br>S. Novikov</td><td>2008</td><td>Deligne<br>Griffiths<br>Mumford</td></tr><tr><td>2010</td><td>丘成桐<br>Sullivan</td><td>2017</td><td>Schoen<br>Fefferman</td><td>2020</td><td>Donaldson<br>Eliashberg</td></tr><tr><td>2022</td><td>Lusztig</td><td>2023</td><td>Daubechies</td><td>2024</td><td>A. Shamir<br>N. Alon</td></tr></tbody></table><ul><li>2000 年，美国总统 Bill Clinton 授予他 <strong>National Medal of Science</strong>。</li></ul><p>美国国家奖章数学部分获得者</p><table><thead><tr><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th></tr></thead><tbody><tr><td>1963</td><td>N. Wiener</td><td>1964</td><td>S. Lefschetz / M. Morse</td><td>1965</td><td>O. Zariski</td></tr><tr><td>1966</td><td>J. Milnor</td><td>1967</td><td>P. Cohen</td><td>1970</td><td>R. Brauer</td></tr><tr><td>1974</td><td>K. Gödel</td><td>1975</td><td>陈省身 / J. Backus / G. Dantzig</td><td>1976</td><td>K.O. Friedrichs / H. Whitney</td></tr><tr><td>1983</td><td>H. Goldstein / I. Singer</td><td>1986</td><td>A. Zygmund</td><td>1987</td><td>M. Freedman</td></tr><tr><td>1995</td><td>L. Nirenberg</td><td>1996</td><td>R.M. Karp / S. Smale</td><td>1997</td><td>丘成桐</td></tr><tr><td><strong>2000</strong></td><td><strong>J.G. Thompson / K. Uhlenbeck</strong></td><td>2001</td><td>C.R. Rao / E.M. Stein</td><td>2009</td><td>D. Mumford</td></tr><tr><td>2011</td><td>S.W. Golomb / B. Mazur</td><td>2013</td><td>M. Artin</td><td>2024</td><td>I. Daubechies / C. Dwork</td></tr></tbody></table><ul><li>2008 年，获得了 <strong>Abel Prize</strong>。</li></ul><p>Abel Prize 部分获奖者</p><table><thead><tr><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th><th>获奖时间</th><th>获奖人</th></tr></thead><tbody><tr><td>2003</td><td>J. P. Serre</td><td>2004</td><td>M. Atiyah / I. Singer</td><td>2005</td><td>P. Lax</td></tr><tr><td>2006</td><td>L. Carleson</td><td>2007</td><td>Varadhan</td><td><strong>2008</strong></td><td><strong>Thompson / J. Tits</strong></td></tr><tr><td>2009</td><td>M. Gromov</td><td>2010</td><td>J. Tate</td><td>2011</td><td>J. Milnor</td></tr><tr><td>2012</td><td>Szemerédi</td><td>2013</td><td>P. Deligne</td><td>2014</td><td>Y. Sinai</td></tr><tr><td>2015</td><td>Nash / Nirenberg</td><td>2016</td><td>A. Wiles</td><td>2017</td><td>Y. Meyer</td></tr><tr><td>2018</td><td>Langlands</td><td>2019</td><td>Uhlenbeck</td><td>2020</td><td>Furstenberg / Margulis</td></tr><tr><td>2021</td><td>Lovász / Wigderson</td><td>2022</td><td>Sullivan</td><td>2023</td><td>Caffarelli</td></tr><tr><td>2024</td><td>Talagrand</td><td>2025</td><td>Kashiwara</td><td>2026</td><td>Faltings</td></tr></tbody></table><p>此外，他于：</p><ul><li><strong>1967 年</strong>：当选 <strong>美国国家科学院院士</strong></li><li><strong>1979 年</strong>：当选 <strong>英国皇家学会外籍院士</strong></li><li><strong>1998 年</strong>：当选 <strong>美国艺术与科学院院士</strong></li></ul></div><div class="story post-story"><h2 id="贡献"><a href="#贡献" class="headerlink" title="贡献"></a>贡献</h2><h3 id="一、Frobenius-猜想"><a href="#一、Frobenius-猜想" class="headerlink" title="一、Frobenius 猜想"></a>一、Frobenius 猜想</h3><p>Frobenius 群（Frobenius group）是一类作用在有限集上的传递置换群（transitive permutation group），其性质是：没有非平凡元素能够固定多于一个点，且存在某个非平凡元素能固定一个点。</p><p>假设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是由集合<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.925ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 851 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的所有置换（permutation）构成的 Frobenius 群。<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 中固定<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.925ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 851 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的某一点的子群<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 881 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="H"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 称为 <strong>Frobenius 补</strong>（Frobenius complement）。</p><p>单位元连同所有不在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 881 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="H"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的任何共轭（conjugate）中的元素构成一个正规子群（normal subgroup），称为 <strong>Frobenius 核</strong>（Frobenius kernel）<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 889 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> （这是 Frobenius 在 1901 年发表的论文《关于可解群. IV.》（Über auflösbare Gruppen. IV.）里证明的定理，利用了特征标理论（character theory））。</p><p>Frobenius 群<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 889 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 与<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 881 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="H"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的半直积（semidirect product），即</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:20.618ex"><svg style="vertical-align:-.566ex;min-width:20.618ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math" data-latex="
G = K \rtimes H
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
G = K \rtimes H
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data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:1"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(1)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z" transform="translate(889,0)"></path></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>Frobenius 进一步猜想<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 889 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="K"><g data-mml-node="mi" data-latex="K"><path data-c="1D43E" d="M804 680C783 680 715 683 694 683 679 683 671 675 671 659 671 651 678 646 692 643 706 640 714 635 714 628 714 617 703 602 680 585L302 296 379 602C384 623 393 636 406 641 412 643 429 644 458 644 484 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 684 199 676 199 660 199 649 210 644 232 644 252 644 293 647 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 324 39 303 39 262 39 242 43 242 52 242 57 245 72 251 95L290 249 433 359 546 98C553 81 557 70 557 65 557 48 541 39 510 39 492 39 484 35 484 15 484 5 490 0 502 0 524 0 600 3 622 3 641 3 701 0 720 0 734 0 741 8 741 24 741 33 733 38 718 39 677 39 667 50 653 81L512 404C511 409 509 413 508 416L708 570C757 608 799 631 833 639 857 643 889 642 889 668 889 678 884 683 874 683 860 683 818 680 804 680Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是幂零群（nilpotent group）。该猜想在接下来的六十年里一直悬而未决，直到 Thompson 在他的博士论文中给出了纯群论的证明 ——1960 年以《有限群的正规<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 补》（Normal<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> -complements for finite groups）为题发表。</p><p>此结果有以下等价表述：</p><p>定理（Thompson, 1959）：设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是一个有限群。如果<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 拥有一个质数阶的自同构<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.292ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 571 442"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\sigma"><g data-mml-node="mi" data-latex="\sigma"><path data-c="1D70E" d="M525 431 300 431C252 431 207 416 166 385 102 336 38 250 38 148 38 58 100-11 190-11 257-11 317 18 368 76 417 132 441 194 441 263 441 304 432 338 414 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 550 431 525 431M107 121C107 180 121 234 150 282 184 338 228 366 283 366 341 366 370 336 370 275 370 250 365 221 355 187 335 116 302 66 256 39 233 25 211 18 191 18 136 18 107 63 107 121Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，使得除单位元外的所有元素在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.292ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 571 442"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\sigma"><g data-mml-node="mi" data-latex="\sigma"><path data-c="1D70E" d="M525 431 300 431C252 431 207 416 166 385 102 336 38 250 38 148 38 58 100-11 190-11 257-11 317 18 368 76 417 132 441 194 441 263 441 304 432 338 414 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 550 431 525 431M107 121C107 180 121 234 150 282 184 338 228 366 283 366 341 366 370 336 370 275 370 250 365 221 355 187 335 116 302 66 256 39 233 25 211 18 191 18 136 18 107 63 107 121Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的作用下都没有不动点，那么<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是幂零群。</p><p>在证明中，Thompson 引入了局部分析方法，通过研究群<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的所有非平凡 Sylow<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 子群<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.706ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 754 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="P"><g data-mml-node="mi" data-latex="P"><path data-c="1D443" d="M555 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C152 60 142 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 46 0 59 0L184 3 248 2C259 2 299 0 312 0 328 0 336 8 336 24 336 34 325 39 304 39 264 39 244 43 244 52 244 52 245 55 247 68L307 312 472 312C537 312 599 332 657 371 722 414 754 467 754 530 754 629 660 683 555 683M524 644C611 644 654 614 654 554 654 498 626 423 597 397 559 363 509 346 447 346L313 346 379 610C387 644 387 644 429 644Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 中特征子群的正规化子（normalizer），来反向推导群<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的整体结构。这成为了后来有限单群分类最核心的技术手段。</p><h3 id="二、Feit-Thompson-奇数阶定理"><a href="#二、Feit-Thompson-奇数阶定理" class="headerlink" title="二、Feit-Thompson 奇数阶定理"></a>二、Feit-Thompson 奇数阶定理</h3><p>伯恩赛德（William Burnside，1852-1927）在 1911 年提出一个深刻猜想：<strong>所有非交换的有限单群必定具有偶数阶</strong>。</p><p>换言之，任何奇数阶的有限群必定是可解群。这一猜想在提出后的半个世纪内几乎无人能够触及。</p><p>布劳尔（Richard Dagobert Brauer，1901-1977）提出了利用对合的中心化子（centralizers of involutions）来分类有限单群的纲领。</p><p>由于奇数阶群不存在对合（即 2 阶元素），为了使 Brauer 纲领得以全面展开，必须首先无条件地排除奇数阶非交换有限单群存在的可能性。</p><p>定理（Feit-Thompson, 1963）：所有奇数阶有限群都是可解群。换言之，不存在奇数阶的非交换有限单群。</p><p>这篇发表于《Pacific Journal of Mathematics》上的论文长达 255 页，其证明的复杂性和篇幅在当时的数学界是空前的。证明的核心基于极小反例法（minimal counterexample）：假设存在奇数阶的非可解群，并取其中阶数最小的一个，记为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。根据极小性，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 必定是一个极小单群，且其所有真子群均为可解群。</p><ul><li>通过考察<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 中非平凡<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 子群的局部子群，证明揭示出<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的极大子群的交集极其受限。最终将<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的所有极大子群的可能相互嵌入配置缩小到了极其有限的几种形态。</li><li>在得到<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 中子群结构的精细划分后，Feit 与 Thompson 运用了 Richard Brauer 的模特征标理论以及戴德（Everett Clarence Dade）的等距映射技术。</li><li>由于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的阶为奇数，其非主不可约复特征标（non-principal irreducible complex characters）必不可能是实的。</li><li>通过在特定极大子群上构造广义特征标，利用 Frobenius 互反律将其诱导到<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上，他们得到了这些诱导特征标在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上的算术限制，进而导出矛盾。</li></ul><p>奇数阶定理的证明宣告了局部分析方法的胜利，并直接促成了有限单群分类纲领进入实施阶段。</p><h3 id="三、-N-群的完全分类"><a href="#三、-N-群的完全分类" class="headerlink" title="三、 $N$ -群的完全分类"></a>三、<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 881 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 群的完全分类</h3><p>有了强大的局部工具，Thompson 向单群分类迈出了实质性的第二步，即分类所谓的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 881 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 群与极小单群。由于 Feit-Thompson 定理保证了所有非交换单群都具有偶数阶，研究包含<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 子群的局部结构成为了核心。</p><p><strong>极小单群（minimal simple group）</strong>：非循环单群（non-cyclic simple group），若它的所有真子群都是可解群。</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 881 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 群（N-group）：它的所有局部子群（即非平凡<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 子群的正规化子（normalizer））均是可解群。</p><p>显然，由于极小单群的所有真子群（自然包括局部子群）均可解，因此极小单群必定是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 881 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 群。</p><p>Thompson 在 1968 年至 1974 年间，通过六篇鸿篇巨制完成了对非可解（non-solvable）有限<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 881 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 群的彻底分类。在这长达 400 余页的证明中，Thompson 根据 Sylow<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 子群的结构，对能够整除群阶数的素数分成四个集合。</p><p>证明分成不同的情况，依赖于素数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 属于的集合及一个整数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.054ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 466 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="e"><g data-mml-node="mi" data-latex="e"><path data-c="1D452" d="M124 129C124 153 129 186 139 227L188 227C253 227 303 235 339 250 372 264 394 284 405 309 412 326 415 342 415 355 415 410 363 442 307 442 268 442 229 432 190 412 113 372 46 281 46 171 46 69 105-11 204-11 257-11 304 2 345 27 379 48 404 69 420 90 427 99 430 106 430 109 430 120 425 126 414 126 409 126 404 122 398 114 365 70 324 42 277 30 246 22 223 18 206 18 149 18 124 72 124 129M375 355C375 289 311 256 182 256L147 256C166 322 194 366 232 387 262 404 287 413 307 413 343 413 375 391 375 355Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>（<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.054ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 466 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="e"><g data-mml-node="mi" data-latex="e"><path data-c="1D452" d="M124 129C124 153 129 186 139 227L188 227C253 227 303 235 339 250 372 264 394 284 405 309 412 326 415 342 415 355 415 410 363 442 307 442 268 442 229 432 190 412 113 372 46 281 46 171 46 69 105-11 204-11 257-11 304 2 345 27 379 48 404 69 420 90 427 99 430 106 430 109 430 120 425 126 414 126 409 126 404 122 398 114 365 70 324 42 277 30 246 22 223 18 206 18 149 18 124 72 124 129M375 355C375 289 311 256 182 256L147 256C166 322 194 366 232 387 262 404 287 413 307 413 343 413 375 391 375 355Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是最大的整数使得存在一个秩<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.054ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 466 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="e"><g data-mml-node="mi" data-latex="e"><path data-c="1D452" d="M124 129C124 153 129 186 139 227L188 227C253 227 303 235 339 250 372 264 394 284 405 309 412 326 415 342 415 355 415 410 363 442 307 442 268 442 229 432 190 412 113 372 46 281 46 171 46 69 105-11 204-11 257-11 304 2 345 27 379 48 404 69 420 90 427 99 430 106 430 109 430 120 425 126 414 126 409 126 404 122 398 114 365 70 324 42 277 30 246 22 223 18 206 18 149 18 124 72 124 129M375 355C375 289 311 256 182 256L147 256C166 322 194 366 232 387 262 404 287 413 307 413 343 413 375 391 375 355Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的初等 Abelian 子群，该子群被一个非平凡的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 子群正规化，且该<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 子群与初等 Abelian 子群平凡相交）。通过繁复分析，Thompson 得到（<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.636ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3817.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="PSL_n(q) = PSL(n, \mathbb{F}_q)"><g data-mml-node="mi" data-latex="P"><path data-c="1D443" d="M555 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C152 60 142 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 46 0 59 0L184 3 248 2C259 2 299 0 312 0 328 0 336 8 336 24 336 34 325 39 304 39 264 39 244 43 244 52 244 52 245 55 247 68L307 312 472 312C537 312 599 332 657 371 722 414 754 467 754 530 754 629 660 683 555 683M524 644C611 644 654 614 654 554 654 498 626 423 597 397 559 363 509 346 447 346L313 346 379 610C387 644 387 644 429 644Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="S" transform="translate(754,0)"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="L_n" transform="translate(1399,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 15 39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248 643 258 638 263 627 263 617 263 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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathrm{PSL}_3(3)"><g data-mml-node="msub" data-latex="\mathrm{PSL}_3"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathrm{PSL}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="PSL"><path data-c="50" d="M395 312C452 312 503 328 548 360 599 396 624 441 624 495 624 552 598 599 546 635 500 667 447 683 387 683L35 683 35 644 63 644C98 644 119 641 126 636 133 631 137 620 137 602L137 81C137 63 133 51 126 46 119 41 98 39 63 39L35 39 35 0C61 2 111 3 184 3 258 3 308 2 334 0L334 39 306 39C271 39 250 41 243 46 236 51 232 63 232 81L232 312M274 644 362 644C391 644 416 640 437 633 494 612 514 570 514 495 514 467 511 443 504 423 487 373 433 346 362 346L229 346 229 609C229 645 235 644 274 644Z"></path><path data-c="53" d="M252 669C359 669 422 601 440 466 441 456 447 451 456 451 467 451 472 460 472 478L472 677C472 696 467 705 458 705 452 705 446 700 440 690L408 638C364 680 324 705 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data-mml-node="mn" data-latex="3" transform="translate(2687.6,0)"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 578 119 580 145 615 186 633 242 633 302 633 332 598 332 527 332 485 324 450 309 421 282 373 245 364 183 364 171 362 165 357 165 348 165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173 348 88 317 14 241 14 176 14 128 36 99 80 134 79 160 105 160 139 160 173 135 198 101 198 62 198 42 178 42 137 42 88 64 49 108 18 147-9 193-22 244-22 301-22 350-3 393 34 436 71 457 117 457 173 457 267 383 332 303 353Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(3187.6,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 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fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{Q}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{Q}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="Q"><path data-c="211A" d="M745 341C745 439 720 518 671 578 602 662 508 704 389 704 294 704 212 675 143 616 70 553 33 462 33 342 33 239 60 158 113 99 160 46 214 12 277-5 320-100 414-179 545-179 598-179 650-169 702-149 722-141 732-132 732-123 732-108 725-101 711-101 710-101 706-102 700-103 683-108 665-110 647-110 568-110 510-66 483-9 640 26 745 153 745 341M536 631C585 610 626 574 659 521 688 474 702 415 702 342 702 304 698 269 689 237 667 153 610 85 537 53 583 115 606 211 606 341 606 473 583 570 536 631M563 342C563 188 532 22 389 22 360 22 334 30 312 45 240 93 215 214 215 341 215 496 245 661 389 661 532 661 563 497 563 342M242 630C195 569 172 473 172 342 172 212 195 116 241 53 207 68 174 95 141 132 98 181 76 251 76 341 76 486 141 586 242 630M564-135C559-136 552-136 545-136 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单群而言，这一问题十分复杂。</p><p>1984 年，Thompson 在《Journal of Algebra》上发表了论文《以<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.98ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4411 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\text{Gal}(L/K)"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{Gal}"><path data-c="47" d="M667 443 667 677C667 696 662 705 652 705 645 705 639 700 633 691L586 622C568 640 547 657 524 673 491 694 451 705 404 705 306 705 223 670 156 598 89 526 56 441 56 342 56 243 90 158 157 86 224 14 307-22 406-22 495-22 557 5 591 59 599 46 639 1 654 1 663 1 667 10 667 27L667 200C667 218 670 229 676 233 682 237 702 239 735 239L735 278 610 275C547 273 492 274 447 278L447 239 483 239C524 239 549 236 558 231 567 226 571 214 571 196L571 132C571 83 549 50 506 34 474 23 446 17 422 17 383 17 343 27 304 48 210 97 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data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(4179.8,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 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transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="(C_1, \dots, C_n)"><g data-mml-node="mo" data-latex="("><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="C_1" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(748,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1540.6,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1985.2,0)"><path data-c="2026" d="M751 53C751 83 725 106 695 106 664 106 638 83 638 53 638 23 664 0 695 0 725 0 751 23 751 53M475 53C475 83 449 106 419 106 388 106 363 83 363 53 363 23 388 0 419 0 449 0 475 23 475 53M200 53C200 83 174 106 143 106 113 106 87 83 87 53 87 23 113 0 143 0 173 0 200 23 200 53Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(2988.9,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="C_n" transform="translate(3433.6,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(748,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(4655.8,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是刚性的。</p><p><strong>定理（Thompson, 1984）</strong>：如果一个有限群<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 有一个刚性组，那么它通常可以作为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.405ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.758ex" height="1.998ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -704 777 883"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{Q}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{Q}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="Q"><path data-c="211A" d="M745 341C745 439 720 518 671 578 602 662 508 704 389 704 294 704 212 675 143 616 70 553 33 462 33 342 33 239 60 158 113 99 160 46 214 12 277-5 320-100 414-179 545-179 598-179 650-169 702-149 722-141 732-132 732-123 732-108 725-101 711-101 710-101 706-102 700-103 683-108 665-110 647-110 568-110 510-66 483-9 640 26 745 153 745 341M536 631C585 610 626 574 659 521 688 474 702 415 702 342 702 304 698 269 689 237 667 153 610 85 537 53 583 115 606 211 606 341 606 473 583 570 536 631M563 342C563 188 532 22 389 22 360 22 334 30 312 45 240 93 215 214 215 341 215 496 245 661 389 661 532 661 563 497 563 342M242 630C195 569 172 473 172 342 172 212 195 116 241 53 207 68 174 95 141 132 98 181 76 251 76 341 76 486 141 586 242 630M564-135C559-136 552-136 545-136 451-136 380-96 331-17 348-19 368-20 389-20 406-20 423-19 440-18 465-75 507-112 564-135Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 的一个分圆扩张（cyclotomic extension）上的 Galois 群来实现。（更精确地说，是在由<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的不可约特征在共轭类<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.357ex" height="1.952ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1042 862.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C_i"><g data-mml-node="msub" data-latex="C_i"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(748,-150) scale(0.707)" data-latex="i"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 178 373 175 357 168 338 145 275 121 208 101 155 86 115 78 88 78 74 78 25 114-11 162-11 205-11 239 14 264 64 283 103 293 130 293 145 293 154 288 159 277 159 274 159 259 150 259 138Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 上的取值所生成的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.405ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.758ex" height="1.998ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -704 777 883"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{Q}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{Q}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="Q"><path data-c="211A" d="M745 341C745 439 720 518 671 578 602 662 508 704 389 704 294 704 212 675 143 616 70 553 33 462 33 342 33 239 60 158 113 99 160 46 214 12 277-5 320-100 414-179 545-179 598-179 650-169 702-149 722-141 732-132 732-123 732-108 725-101 711-101 710-101 706-102 700-103 683-108 665-110 647-110 568-110 510-66 483-9 640 26 745 153 745 341M536 631C585 610 626 574 659 521 688 474 702 415 702 342 702 304 698 269 689 237 667 153 610 85 537 53 583 115 606 211 606 341 606 473 583 570 536 631M563 342C563 188 532 22 389 22 360 22 334 30 312 45 240 93 215 214 215 341 215 496 245 661 389 661 532 661 563 497 563 342M242 630C195 569 172 473 172 342 172 212 195 116 241 53 207 68 174 95 141 132 98 181 76 251 76 341 76 486 141 586 242 630M564-135C559-136 552-136 545-136 451-136 380-96 331-17 348-19 368-20 389-20 406-20 423-19 440-18 465-75 507-112 564-135Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 的分圆扩张上。）</p><p>这一结果可用于证明许多有限单群（包括魔群（monster group））都是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.405ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.758ex" height="1.998ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -704 777 883"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{Q}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{Q}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="Q"><path data-c="211A" d="M745 341C745 439 720 518 671 578 602 662 508 704 389 704 294 704 212 675 143 616 70 553 33 462 33 342 33 239 60 158 113 99 160 46 214 12 277-5 320-100 414-179 545-179 598-179 650-169 702-149 722-141 732-132 732-123 732-108 725-101 711-101 710-101 706-102 700-103 683-108 665-110 647-110 568-110 510-66 483-9 640 26 745 153 745 341M536 631C585 610 626 574 659 521 688 474 702 415 702 342 702 304 698 269 689 237 667 153 610 85 537 53 583 115 606 211 606 341 606 473 583 570 536 631M563 342C563 188 532 22 389 22 360 22 334 30 312 45 240 93 215 214 215 341 215 496 245 661 389 661 532 661 563 497 563 342M242 630C195 569 172 473 172 342 172 212 195 116 241 53 207 68 174 95 141 132 98 181 76 251 76 341 76 486 141 586 242 630M564-135C559-136 552-136 545-136 451-136 380-96 331-17 348-19 368-20 389-20 406-20 423-19 440-18 465-75 507-112 564-135Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 扩张的 Galois 群。魔群可由阶为 2、3、29 的元素组成的三元组生成。所有这样的三元组都是共轭的。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="五、魔群月光猜想（Monstrous-moonshine-conjecture）与-McKay-Thompson-级数"><a href="#五、魔群月光猜想（Monstrous-moonshine-conjecture）与-McKay-Thompson-级数" class="headerlink" title="五、魔群月光猜想（Monstrous moonshine conjecture）与 McKay-Thompson 级数"></a>五、魔群月光猜想（Monstrous moonshine conjecture）与 McKay-Thompson 级数</h2><p>1978 年，数学家 John McKay 观察到了一个令人极其费解的数值巧合：魔群（monster group）<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1044 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 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J(\tau) = 1728 \frac{g_2(\tau)^3}{g_2(\tau)^3 - 27 g_3(\tau)^2}
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31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 134 366 183 366L260 366 165 56C158 34 155 21 155 18 155-2 166-12 187-12 198-12 208-9 214-3 227 9 228 12 232 33L297 366 459 366C494 366 511 378 511 403 511 426 493 431 468 431Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1533,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的系数给出，并且其低阶部分按上述方式分解为不可约表示。</p><p>Thompson 得知这一观察结果后提出，既然分次维数只是单位元的分次迹（graded trace），那么<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1044 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 中非平凡元素<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.079ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 477 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="g"><g data-mml-node="mi" data-latex="g"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205 197-205 241-193 280-170 324-144 351-109 362-66L471 373C473 383 474 389 474 392 474 412 463 422 442 422 420 422 406 410 399 387 377 424 347 442 310 442 246 442 189 410 140 346 95 286 72 223 72 158 72 71 123-3 207-3 246-3 282 14 315 47L285-71C256-140 211-175 148-175 122-175 100-173 82-169 103-158 113-141 113-118 113-93 99-80 72-80 40-80 15-109 15-141M356 392C376 371 386 351 386 331 386 330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60 259 38 233 27 210 27 170 27 150 56 150 114 150 169 184 291 204 327 235 384 270 412 311 412 329 412 344 405 356 392Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 在此类表示上的分次迹可能也同样值得研究。</p><p>McKay-Thompson 级数定义为：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:52.891ex"><svg style="vertical-align:-2.076ex;min-width:52.891ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.283ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1417.5)"><g data-mml-node="math" data-latex="
T_g(\tau) := q^{-1} + \sum_{n \ge 1} \text{Tr}(g|_{V_n^\circ}) q^n, \quad q = e^{2\pi\sqrt{-1}\tau}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
T_g(\tau) := q^{-1} + \sum_{n \ge 1} \text{Tr}(g|_{V_n^\circ}) q^n, \quad q = e^{2\pi\sqrt{-1}\tau}
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1417.5) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="9610.8 -1417.5 1 2334.9"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,354.6)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub" data-latex="T_g"><g data-mml-node="mi" data-latex="T"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-latex="g"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205 197-205 241-193 280-170 324-144 351-109 362-66L471 373C473 383 474 389 474 392 474 412 463 422 442 422 420 422 406 410 399 387 377 424 347 442 310 442 246 442 189 410 140 346 95 286 72 223 72 158 72 71 123-3 207-3 246-3 282 14 315 47L285-71C256-140 211-175 148-175 122-175 100-173 82-169 103-158 113-141 113-118 113-93 99-80 72-80 40-80 15-109 15-141M356 392C376 371 386 351 386 331 386 330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60 259 38 233 27 210 27 170 27 150 56 150 114 150 169 184 291 204 327 235 384 270 412 311 412 329 412 344 405 356 392Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(1004.3,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 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157 235 147 206 147 149 147 103 193 103 250 103 307 149 353 206 353 263 353 309 307 309 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(616,-247) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 为分级的魔群表示模。康威（John Horton Conway，1937-2020）和他的学生诺顿（Simon Phillips Norton，1952-2019）计算了该级数低阶项，并发现它们似乎都是 Hauptmodul（principal modular function）的展开式。</p><p>基于计算，他们列出了一份 Hauptmoduln 清单，并猜想存在魔群<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1044 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的一个无限维分次表示，其次迹<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.272ex" height="2.199ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 1004.3 972"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="T_g"><g data-mml-node="msub" data-latex="T_g"><g data-mml-node="mi" data-latex="T"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-latex="g"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205 197-205 241-193 280-170 324-144 351-109 362-66L471 373C473 383 474 389 474 392 474 412 463 422 442 422 420 422 406 410 399 387 377 424 347 442 310 442 246 442 189 410 140 346 95 286 72 223 72 158 72 71 123-3 207-3 246-3 282 14 315 47L285-71C256-140 211-175 148-175 122-175 100-173 82-169 103-158 113-141 113-118 113-93 99-80 72-80 40-80 15-109 15-141M356 392C376 371 386 351 386 331 386 330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60 259 38 233 27 210 27 170 27 150 56 150 114 150 169 184 291 204 327 235 384 270 412 311 412 329 412 344 405 356 392Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 恰是清单上那些函数的展开式。</p><p>这一猜想被称为<strong>魔群月光猜想（monstrous moonshine conjecture）</strong>。博赫兹（Richard Ewen Borcherds，1959-）通过引入顶点算子代数（vertex operator algebra）和广义 Kac-Moody Lie 代数（generalized Kac-Moody Lie algebra）于 1992 年彻底证明了该猜想，并获得 1998 年的 Fields 奖。</p><h3 id="六、10-阶射影平面"><a href="#六、10-阶射影平面" class="headerlink" title="六、10 阶射影平面"></a>六、10 阶射影平面</h3><p>在组合几何中，一个<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.238ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 989 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n(\ge 2)"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(600,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="0"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.4ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1944.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n(\ge 2)"><g data-mml-node="mo" data-latex="\ge"><path data-c="2265" d="M684 310C694 315 699 322 699 333 699 344 694 352 684 357L110 629C107 630 103 631 99 631 83 631 75 623 75 606 75 597 80 590 89 586L623 333 89 80C80 76 75 69 75 60 75 43 83 35 99 35 103 35 107 36 110 38M678-72 100-72C84-72 76-80 76-95 76-111 84-119 100-119L678-119C694-119 702-111 702-95 702-83 691-72 678-72Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1555.8,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 阶射影平面是一个由有限个点和有限条直线组成的几何体系，满足：</p><ol><li>每条直线恰好包含<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 600 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n+1"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.394ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1500.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n+1"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 个点；</li><li>每个点恰好在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 600 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n+1"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.394ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1500.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n+1"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 条直线上；</li><li>任意两条不同的直线相交于唯一的一点；</li><li>任意两个不同的点决定唯一的直线。</li></ol><p>一个<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 阶射影平面有<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.345ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 1036.6 1083.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n^2 + n + 1"><g data-mml-node="msup" data-latex="n^2"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 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666 237 666Z"></path></g></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.62ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1600.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n^2 + n + 1"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 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data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 条直线。</p><p>当阶<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为素数或素数幂时，人们可以通过有限域轻易构造出相应的射影平面。</p><p>第一个非素数幂的整数是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 600 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n=6"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n=6"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="6" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="36" d="M383 504C416 504 432 521 432 555 432 627 378 666 304 666 221 666 155 627 106 548 63 480 42 403 42 316 42 189 65 100 112 47 152 1 198-22 251-22 312-22 362 1 401 47 438 91 457 144 457 205 457 266 439 318 403 361 365 407 316 431 257 431 205 431 165 402 138 346L138 352C138 465 166 561 226 605 252 624 279 633 306 633 342 633 368 623 385 602 351 602 334 583 334 553 334 525 355 504 383 504M344 340C355 317 361 272 361 206 361 141 356 98 345 76 325 35 294 14 251 14 222 14 200 24 184 44 171 60 162 74 158 85 146 116 140 163 140 227 140 255 144 282 151 308 164 355 201 399 256 399 295 399 325 379 344 340Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，而塔里（Gaston Tarry，1843-1913）在 1900 年便已证明 6 阶射影平面不存在。布鲁克（Richard Hubert Bruck，1914-1991）和赖瑟（Herbert John Ryser，1923-1985）在 1949 年证明了：当<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 形如<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.118ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1378 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="4m+1"><g data-mml-node="mn" data-latex="4"><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199 28 163 289 163 289 81C289 63 285 51 278 46 271 41 252 39 219 39L194 39 194 0C223 2 269 3 331 3 393 3 439 2 468 0L468 39 443 39C410 39 391 41 384 46 377 51 373 63 373 81L373 163 471 163 471 202 373 202 373 660C373 670 366 677 353 677M295 553 295 202 67 202Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="m" transform="translate(500,0)"><path data-c="1D45A" d="M657 442C596 442 543 412 498 353 489 412 451 442 383 442 324 442 273 416 231 363 223 407 188 442 137 442 96 442 66 409 45 344 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 66 299 84 375 107 413 134 413 152 413 161 399 161 371 161 358 156 331 145 290L88 63C84 51 79 25 79 19 79-1 90-11 111-11 131-11 145-1 152 19 153 24 160 49 171 92L192 181 222 295C233 318 250 341 272 365 301 397 337 413 380 413 413 413 429 391 429 348 429 335 424 308 414 267L387 153C380 124 364 64 356 32 355 25 354 21 354 19 354-1 365-11 387-11 398-11 406-8 413-1 428 14 429 21 435 48L494 285C497 298 511 321 535 353 565 393 605 413 654 413 687 413 703 391 703 348 703 309 683 236 642 129 633 106 629 87 629 74 629 25 666-11 714-11 759-11 793 14 818 64 838 104 848 131 848 144 848 153 843 158 832 158 825 157 818 148 813 137 791 58 759 18 716 18 703 18 696 28 696 47 696 62 702 84 714 115 755 222 775 295 775 333 775 404 728 442 657 442Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.394ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1500.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="4m+1"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 或<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.118ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1378 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="4m+2"><g data-mml-node="mn" data-latex="4"><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199 28 163 289 163 289 81C289 63 285 51 278 46 271 41 252 39 219 39L194 39 194 0C223 2 269 3 331 3 393 3 439 2 468 0L468 39 443 39C410 39 391 41 384 46 377 51 373 63 373 81L373 163 471 163 471 202 373 202 373 660C373 670 366 677 353 677M295 553 295 202 67 202Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="m" transform="translate(500,0)"><path data-c="1D45A" d="M657 442C596 442 543 412 498 353 489 412 451 442 383 442 324 442 273 416 231 363 223 407 188 442 137 442 96 442 66 409 45 344 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 66 299 84 375 107 413 134 413 152 413 161 399 161 371 161 358 156 331 145 290L88 63C84 51 79 25 79 19 79-1 90-11 111-11 131-11 145-1 152 19 153 24 160 49 171 92L192 181 222 295C233 318 250 341 272 365 301 397 337 413 380 413 413 413 429 391 429 348 429 335 424 308 414 267L387 153C380 124 364 64 356 32 355 25 354 21 354 19 354-1 365-11 387-11 398-11 406-8 413-1 428 14 429 21 435 48L494 285C497 298 511 321 535 353 565 393 605 413 654 413 687 413 703 391 703 348 703 309 683 236 642 129 633 106 629 87 629 74 629 25 666-11 714-11 759-11 793 14 818 64 838 104 848 131 848 144 848 153 843 158 832 158 825 157 818 148 813 137 791 58 759 18 716 18 703 18 696 28 696 47 696 62 702 84 714 115 755 222 775 295 775 333 775 404 728 442 657 442Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.394ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1500.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="4m+2"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 且不能写作两个平方数的和时，则不存在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 阶射影平面。</p><p>下一个极具挑战性的情形便是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 600 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n=10"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.651ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2055.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n=10"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z" transform="translate(500,0)"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。如果 10 阶射影平面存在，它将是一个包含 111 个点和 111 条直线的庞大对称结构，每条直线包含 11 个点。</p><p>多年来，直接通过组合构造或几何穷举来寻找这 111 条直线的尝试均告失败。</p><p>1970 年阿斯穆斯（Edward Ferdinand Assmus, Jr., 1931-1998）和马特森（H. F. Mattson）将这一问题转化为代数编码理论问题。具体而言，假设存在这样一个 10 阶射影平面，其关联矩阵<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 将是一个<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.394ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1500 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="111 \times 111"><g data-mml-node="mn" data-latex="11"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z" transform="translate(500,0)"></path><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z" transform="translate(1000,0)"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.657ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2500.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="111 \times 111"><g data-mml-node="mo" data-latex="\times"><path data-c="D7" d="M630 32C630 39 628 44 623 49L422 250 623 451C628 456 630 461 630 468 630 481 620 491 607 491 600 491 595 489 590 484L389 283 188 484C183 489 178 491 171 491 158 491 148 481 148 468 148 461 150 456 155 451L356 250 155 49C150 44 148 39 148 32 148 19 158 9 171 9 178 9 183 11 188 16L389 217 590 16C595 11 600 9 607 9 620 9 630 19 630 32Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="11" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z" transform="translate(500,0)"></path><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z" transform="translate(1000,0)"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的、仅由<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="0"><g data-mml-node="mn" data-latex="0"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="1"><g data-mml-node="mn" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 组成的方阵。他们考察了由矩阵<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的行向量在二元域<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.37ex" height="1.889ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -685 1047.6 835"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathbb{F}_2"><g data-mml-node="msub" data-latex="\mathbb{F}_2 "><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{F}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="F"><path data-c="1D53D" d="M547 685 51 685C26 685 14 678 14 663 14 649 24 642 45 642 96 642 101 640 101 590L101 95C101 48 98 43 50 43 26 43 14 36 14 22 14 4 28 0 51 0L336 0C361 0 373 7 373 22 373 36 362 43 339 43 303 43 281 46 274 51 267 56 263 72 263 98L263 332C351 331 398 295 403 223 404 204 411 195 424 195 442 195 445 207 445 230L445 498C445 522 438 534 424 534 411 534 404 526 403 509 396 417 357 381 263 376L263 580C263 616 269 636 281 640 286 641 293 642 302 642L348 642C448 642 532 596 541 510 542 492 549 483 562 483 576 483 583 495 583 520L583 648C583 681 580 685 547 685M541 642 541 610C528 623 515 634 504 642M403 387 403 328C392 339 378 349 363 356 378 364 391 374 403 387M137 642 230 642C224 627 221 607 221 582L221 96C221 73 224 56 229 43L137 43C141 55 143 72 143 93L143 592C143 613 141 630 137 642Z"></path></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(644,-150) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 上张成的线性子空间，它可以看成一个码<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.719ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 760 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。他们深入研究了该编码的重量计数器<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.36ex" height="1.357ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1043 599.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="w_i"><g data-mml-node="msub" data-latex="w_i"><g data-mml-node="mi" data-latex="w"><path data-c="1D464" d="M590 391C590 382 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19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 178 373 175 357 168 338 145 275 121 208 101 155 86 115 78 88 78 74 78 25 114-11 162-11 205-11 239 14 264 64 283 103 293 130 293 145 293 154 288 159 277 159 274 159 259 150 259 138Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> ，证明了只用计算<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.407ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1506.1 592"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="w_{12}"><g data-mml-node="msub" data-latex="w_{12}"><g data-mml-node="mi" data-latex="w"><path data-c="1D464" d="M590 391C590 382 595 372 606 362 629 340 641 313 641 281 641 264 635 237 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stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="w_{15} = 0"><g data-mml-node="msub" data-latex="w_{5}"><g data-mml-node="mi" data-latex="w"><path data-c="1D464" d="M590 391C590 382 595 372 606 362 629 340 641 313 641 281 641 264 635 237 623 198 586 78 539 18 482 18 435 18 412 45 412 100 412 119 416 142 423 171 441 243 460 314 477 387 479 394 480 398 480 401 480 421 469 431 447 431 427 431 414 421 407 401L367 245C352 187 341 167 341 115 341 107 341 101 342 98 319 45 290 18 255 18 205 18 180 47 180 104 180 141 197 204 231 293 242 323 248 344 248 357 248 406 212 442 163 442 118 442 84 417 59 367 39 328 29 301 29 287 29 278 34 273 45 273 58 273 60 279 64 293 88 373 120 413 160 413 174 413 181 403 181 384 181 369 175 347 164 317 127 220 108 154 108 117 108 32 165-11 252-11 294-11 328 10 355 53 375 10 416-11 479-11 541-11 590 30 625 112 648 164 691 302 691 369 691 384 690 394 689 399 685 418 666 442 644 442 618 442 590 417 590 391Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(749,-150) scale(0.707)" data-latex="{5}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn" data-latex="5"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path><path data-c="35" d="M118 315C123 315 129 319 134 326 164 371 205 393 257 393 292 393 319 373 337 332 348 305 354 264 354 209 354 146 346 102 331 76 306 35 272 14 229 14 162 14 109 62 91 114 94 113 96 114 100 114 130 114 155 137 155 167 155 198 130 219 100 219 65 219 50 200 50 163 50 63 131-22 231-22 292-22 344 0 386 44 428 88 449 141 449 202 449 260 432 310 398 353 361 400 315 423 259 423 212 423 171 408 138 378L138 556C165 548 191 544 218 544 264 544 304 555 338 578 369 597 390 616 402 634 408 642 411 648 411 651 411 661 406 666 396 666 341 645 294 634 256 634 211 634 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524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><p>林永康（Clement Wing Hong Lam）、蒂尔（L. Thiel）和斯维尔茨（S. Swiercz）在 1980 年代接过了接力棒，利用 CRAY - 1A 超级计算机对这些特定配置进行了大规模的穷举计算。</p><p>他们最终在 1989 年证明了所需的特定码字并不存在，从而宣告了 10 阶有限射影平面是不存在的。这一成就也成为了早期计算机辅助证明的经典案例。</p></div></div><div class="footer"></div><div class="article-meta" id="bottom"><div class="new-meta-box"></div></div><div class="prev-next"><a class="prev" href="/notes/person/1"><p class="title"><i class="fa-solid fa-chevron-left" aria-hidden="true"></i>希尔伯特23问题</p><p class="content">本文回顾了希尔伯特于1900年提出的二十三个数学问题，探讨了这些前瞻性问题如何塑造了二十世纪前半叶的数学发展。尽管历经百余年尚未完全解决，但它们在推动学科进步和启迪新问题上仍具深远意义，体现了科学发展的连续性</p></a><a class="next" href="/notes/person/3"><p class="title">Conway英国数学家约翰·康威的多领域开创性贡献：从生命游戏、超现实数到有限单群<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">约翰·霍顿·康威是一位极具创造力的英国数学家。他的贡献横跨多个领域，其发明的生命游戏普及了元胞自动机概念，创建的超现实数统一了数系与博弈论，并在有限单群领域发现了以他命名的Conway群</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/48.html" title="魔群" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/64.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/64.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="魔群"> <span class="title">魔群</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/1.html" title="希尔伯特23问题" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/109.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/109.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="希尔伯特23问题"> <span class="title">希尔伯特23问题</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/3.html" title="Conway英国数学家约翰·康威的多领域开创性贡献：从生命游戏、超现实数到有限单群" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/64.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/64.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Conway英国数学家约翰·康威的多领域开创性贡献：从生命游戏、超现实数到有限单群"> <span class="title">Conway英国数学家约翰·康威的多领域开创性贡献：从生命游戏、超现实数到有限单群</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/5.html" title="Wall英国数学家C.T.C. 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