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History,人物,伯克霍夫,遍历定理,数学美学,MHuiG, @MHuiG, Blog, 博客, Magicland, 魔法世界"><meta desc="" name="description" content="乔治·大卫·伯克霍夫是美国杰出的数学家，他在动力系统与遍历定理方面做出了奠基性贡献，并因证明庞加莱最后几何定理而闻名。他成功地将数学思想拓展至美学理论，其研究领域广泛，包括地图着色和广义相对论，深刻影响了20世纪的数学发展 - MHuiG - Magicland"><meta property="og:type" content="website"><meta property="og:title" content="Magicland"><meta property="og:url" content="https://blog.mhuig.top/notes/person/16"><meta property="og:site_name" content="Magicland"><meta property="og:description" content="乔治·大卫·伯克霍夫是美国杰出的数学家，他在动力系统与遍历定理方面做出了奠基性贡献，并因证明庞加莱最后几何定理而闻名。他成功地将数学思想拓展至美学理论，其研究领域广泛，包括地图着色和广义相对论，深刻影响了20世纪的数学发展"><meta property="og:locale"><meta property="og:image" content="https://blog.mhuig.top/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"><meta property="article:published_time" content="2026-05-13T01:07:00.000Z"><meta property="article:modified_time" content="2026-05-13T01:10:00.000Z"><meta property="article:author" content="MHuiG"><meta property="article:tag" content="History"><meta 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="Birkhoff乔治·大卫·伯克霍夫：美国数学巨擘与美学探路者"><meta itemprop="description" content="乔治·大卫·伯克霍夫是美国杰出的数学家，他在动力系统与遍历定理方面做出了奠基性贡献，并因证明庞加莱最后几何定理而闻名。他成功地将数学思想拓展至美学理论，其研究领域广泛，包括地图着色和广义相对论，深刻影响了20世纪的数学发展"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">Birkhoff</span></p><br><h1 hidden="">Birkhoff</h1><div class="story post-story"><h2 id="生平"><a href="#生平" class="headerlink" title="生平"></a>生平</h2><p>乔治・大卫・伯克霍夫（George David Birkhoff，1884-1944）出生于 Michigan 州的奥弗塞尔镇（Overisel），是两位荷兰移民的儿子。</p><p>父亲大卫・伯克霍夫（David Birkhoff）于 1870 年抵达美国，母亲是简・格特鲁德・德罗珀斯（Jane Gertrude Droppers）。</p><p>Birkhoff 在 Chicago 受教育，因为当时他父亲在 Chicago 当医生。</p><p>1896 至 1902 年间，他就读于路易斯学院（Lewis Institute，即如今的伊利诺伊理工学院）。1901 年，他开始就一个数论问题与范迪弗（Harry Schultz Vandiver，1882-1973；1931 年获得 Cole 数论奖，他的儿子 Frank Vandiver 后来成为 Texas A & M 的校长）通信。</p><p>两人一起研究<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.344ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1036.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a^n - b^n"><g data-mml-node="msup" data-latex="a^n"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 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Mathematics》，这是他的第一篇发表的论文。</p><p>论文的主要定理在当时是新的，它的一个推论：对任意给定的正整数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 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62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> （其实 Kronecker、Hilbert、Sylvester 早已证明）。</p><p>同样在 1904 年，他还向美国数学学会提交了一篇分析方面的论文。在 Harvard 的这两年里，对他影响最大的老师是博歌（Maxime Bôcher，1867-1918）；Bôcher 教他代数和经典分析。Bôcher 出生于 Boston，1888 年 Harvard 本科毕业后到德国 Göttingen 大学跟随克莱因（Felix Klein，1849-1925）念博士。中国第一位在美国获得数学博士的胡明复（Minfu Tah Hu，1891-1927）是他的学生。</p><p>Birkhoff 于 1905 年获得哈佛大学文学学士学位（A.B.），并于 1906 年获得文学硕士学位（A.M.）。</p><p>1905 年，Birkhoff 回到 Chicago 大学攻读博士学位。他的研究集中于渐近展开、边值问题以及 Sturm-Liouville 型问题；不过，他的导师摩尔（Eliakim Hastings Moore，1862-1932）对他的影响，似乎不如庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）来得深。</p><p>Birkhoff 阅读了 Poincaré 关于微分方程和天体力学的著作，比如《Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste》（天体力学中的新方法）；在研究方向的形成上，他从 Poincaré 那里学到的东西更多，受的影响也比从导师那里更强。</p><p>阿奇博尔德（R. Archibald）写道：“在 Harvard 的两年中，一年是本科，一年是研究生阶段，那时 Bôcher 和奥斯古德（William Fogg Osgood，1864-1943）正处于学术鼎盛时期；但接下来的两年（在 Chicago），他是在摩尔（Eliakim Hastings Moore，1862-1932）、博尔扎（Oskar Bolza，1857-1942）和马施克（Heinrich Maschke，1853-1908）门下学习的 —— 当时那里是美国最富启发性的数学中心。不过，他的博士论文基本上是独立完成的。”</p><p>Birkhoff 提交的博士论文题为《某些常微分方程的渐近性质及其在边值问题和展开问题中的应用》（Asymptotic properties of certain ordinary differential equations with applications to boundary value and expansion problems），并因此于 1907 年获得博士学位。这是一篇很重要的论文，不仅因为其中包含的结果，也因为这项工作自然地引出了许多重要的后续发展。</p><p>Birkhoff 自己在随后的几年里进一步发展了这些思想，他的两位学生兰格（Rudolph Ernest Langer，1894-1968）和斯通（Marshall Harvey Stone，1903-1989）也继续推进了这<br>一方向。</p><p>例如，Birkhoff 和 Langer 在 1923 年发表了<br>一篇重要的扩展性论文。Birkhoff 关于线性微分<br>方程、差分方程以及广义 Riemann 问题的大部<br>分工作，基本上都源于他在这篇论文中打下的基础。</p><p>1907 至 1909 年，Birkhoff 在 Wisconsin 大学 Madison 分校任讲师。就在这一时期，也就是 1908 年，他与玛格丽特（Margaret Elizabeth Grafius，1884-1973）结婚；两人共有三个孩子。离开 Wisconsin-Madison 后，他到 Princeton 任数学导师（preceptor），并于 1911 年升任教授。</p><p>次年，他转到 Harvard 大学任副教授；1919 年升任正教授，此后终生留在 Harvard。1932 年，他被任命为 Harvard 大学 Perkins Professor；1936 年又出任文理学院院长。</p><p>Birkhoff 研究过许多不同的数学主题，他最主要的工作是在动力系统和遍历理论方面。</p><p>他的遍历定理借助 Lebesgue 测度，把 Maxwell-Boltzmann 气体运动论转化为一个严格的原理。Butler 写道：“Birkhoff 于 1931-32 年发现的、后来称为‘遍历定理’的结果，是他在动力学中最著名的贡献。这个理论原则上解决了气体理论和统计力学中的一个基本问题；它不仅对动力学本身有影响，而且也影响了概率论、群论和泛函分析。”</p><p>当然，使 Birkhoff 成为他那个时代美国最著名数学家的，并不只是遍历定理。</p><p>实际上，早在许多年前，在多数数学家看来，他已因 1913 年证明了 Poincaré 的最后几何定理（Poincaré's last geometric theorem）而获得了这一地位；这个定理是三体问题（three-body problem）的一个特例。</p><p>Poincaré 在 1912 年的《关于几何学的一个定理》（Sur un théorème de géométrie）中陈述了这一结果，但只能在若干特殊情形下给出证明。</p><p>在 Poincaré 去世后的三个月内，Birkhoff 于 1913 年解决了这个问题，被评价为：…… 那个时代最令人振奋的数学事件之一。不过，Birkhoff 告诉他的学生 Marshall Stone，做这个问题，让他的体重减轻了 30 磅。这个证明成为将分析学的存在性证明连接到拓扑不动点定理的首例。</p><p>相对论和量子力学的基础问题，也是 Birkhoff 研究过的主题。他与 R. E. Langer 合作，于 1923 年出版了专题著作《相对论和现代物理》（Relativity and modern physics）。</p><p>在生命后期，他又于 1938 年发表了一部更具思辨色彩的作品《作为流体的电子》（Electricity as a fluid），其中结合了他关于哲学和科学的一些想法。他还在四色定理方面做过重要工作。</p><p>此外，他建立了一种数学的美学理论，并把它应用到艺术、音乐和诗歌上。在写作《美学度量》（Aesthetic measure）之前，他曾花一年时间环球旅行，研究各国的艺术、音乐和诗歌。</p><p>他曾说过，西方音乐的形式结构、旋律之谜，早在本科时代便开始吸引他；对其中数学成分的某种相当深入的思考，进而使他把自己的理论应用到多边形、铺砌、花瓶，甚至诗歌这样的审美对象之上。</p><p>在他的著作中，除前面已提到的之外，还包括《相对论和现代物理》（Relativity and modern physics，1923）、《动力系统》（Dynamical systems，1928）、《美学度量》（Aesthetic measure，1933）以及《基础几何》（Basic geometry，1941）。</p><p>1923 年，美国数学学会首次颁发 Bôcher Memorial Prize，授予 Birkhoff，以表彰他发表在 1917 年《Transactions of the American Mathematical Society》上的论文《两自由度的动力系统》（Dynamical systems with two degrees of freedom）。</p><p>他与美国数学学会有长期而密切的关系：1919 年任副会长，1920 年任讲座教授（Colloquium Lecturer），讲授主题为动力系统；1921 至 1924 年间任《Transactions of the American Mathematical Society》编辑；1925 至 1926 年任美国数学学会主席。</p><p>美国数学学会主席（部分）：</p><table><thead><tr><th>任职时间</th><th>主席</th><th>任职时间</th><th>主席</th><th>任职时间</th><th>主席</th></tr></thead><tbody><tr><td>1888-1890</td><td>Amringe</td><td>1901-1902</td><td>E. Moore</td><td>1923-1924</td><td>O. Veblen</td></tr><tr><td>1925-1926</td><td>G. Birkhoff</td><td>1935-1936</td><td>S. Lefschetz</td><td>1941-1942</td><td>M. Morse</td></tr><tr><td>1943-1944</td><td>M. Stone</td><td>1951-1952</td><td>von Neumann</td><td>1969-1970</td><td>O. Zariski</td></tr><tr><td>1983-1984</td><td>J. Robinson</td><td>1987-1988</td><td>G. Mostow</td><td>1991-1992</td><td>M. Artin</td></tr><tr><td>2005-2006</td><td>J. Arthur</td><td>2015-2016</td><td>R.L. Bryant</td><td>2025-</td><td>R. Vakil</td></tr></tbody></table><p>也许，像这样深度参与美国数学学会，本身就已经说明 Birkhoff 为推动美国数学的发展付出了不懈努力。事实上，维布伦（Oswald Veblen，1880-1960）甚至把他在这方面的投入称作 “a sort of religious devotion（一种近乎宗教式的奉献）”。</p><p>当然，他也明白，推动美国数学的发展，意味着必须与世界其他地方的数学进展保持紧密联系。</p><p>MIT 数学家诺伯特・维纳（Norbert Wiener，1894-1964），把 Birkhoff 比喻为 “出现在 Harvard 数学苍穹上的璀璨明星。…… 更独特的是，Birkhoff 的研究全是在美国完成，并未受益于任何国外的训练”。</p><p>Wiener 本人在 1913 年从 Harvard 大学得到博士学位，正是 Birkhoff 回到 Harvard 的第二年。</p><p>Birkhoff 标志了美国数学成熟期的起点。他直到 1926 年才造访欧洲，当时距他开始在哈佛教书已有 14 年。</p><p>他与欧洲数学家的密切往来，使他成为替《International Education Board》撰写欧洲数学现状报告的理想人选。在欧洲数学家中，他最亲近的朋友包括法国的阿达玛（Jacques Salomon Hadamard，1865-1963）、丹麦的内隆德（Niels Erik Nørlund，1885-1981）、意大利的列维 - 奇维塔（Tullio Levi-Civita，1873-1941）和英国的惠特克（Edmund Taylor Whittaker，1873-1956）。</p><p>就圣安德鲁斯（St Andrews）地方而言，一个值得一提的细节是：Birkhoff 是 1926 年 St Andrews Colloquium 的主要报告人之一，并于 1927 年当选爱丁堡数学学会荣誉会员。</p><p>1938 年 7 月，在爱丁堡数学学会举办的 Gregory 三百周年纪念活动上，他作了四场讲演；同次访问期间，St Andrews 大学授予他荣誉法学博士（LL.D.）。实际上，这只是他所获十三个荣誉学位中的一个。</p><p>Birkhoff 获得的其他荣誉还包括：1917 年因论文《限制三体问题》（The restricted problem of three bodies，1915）获威尼斯皇家科学院 Querini-Stampalia 奖；1926 年获美国科学促进会年度奖；1935 年获罗马 Accademia dei Lincei 两年一次的奖项。</p><p>他还先后当选为美国国家科学院、美国哲学学会、美国艺术与科学院、巴黎科学院、宗座科学院、巴勒莫数学学会、丹麦皇家科学与文学院、哥廷根科学院、博洛尼亚皇家研究院、爱丁堡数学学会、伦敦数学学会以及秘鲁利马国家科学院的成员。</p><p>这种遍及世界的承认，足以说明 Birkhoff 的贡献卓越。</p><p>Archibald 把他描述为：“…… 天性极其善于交际；通过多次赴欧旅行以及环绕世界的考察，他与世界各地学者都有广泛接触；他经常参加各类会议和大会，也是颇受欢迎的通俗写作者和演讲者。在近年的行政会议中，他观点的独创性和广度尤为引人注意。”</p><p>除了数学成就之外，Birkhoff 还指导了 46 名博士生，迄今为止，出自他门下的数学家已超过 7300 名。他有四名学生日后成为美国数学会的主席：Stone、Joseph Walsh、Charles Morrey 和 Marston Morse。</p><p>他的学生又再栽培出许多优秀数学家。例如，Walsh 在取得博士学位后留在 Harvard，带出了 31 名学生，其中包括 Lynn Loomis 和 Joseph Doob。Birkhoff 有三位门生 ——Morse、Hassler Whitney 和 Stone—— 获得国家科学奖章。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="贡献"><a href="#贡献" class="headerlink" title="贡献"></a>贡献</h2><h3 id="一、早期工作"><a href="#一、早期工作" class="headerlink" title="一、早期工作"></a>一、早期工作</h3><p>Birkhoff 最早的重要工作来自博士论文《某些常微分方程的渐近性质及其在边值问题和展开问题中的应用》（Asymptotic properties of certain ordinary differential equations with applications to boundary value and expansion problems）。这篇论文讨论的是常微分方程解的渐近性质，以及它们在边值问题和展开问题中的应用。</p><p>用今天的话说，他关心的是：当自变量趋于某个奇异点或无穷远时，解的行为如何；以及这种渐近信息怎样反过来控制特征值、边值解和展开公式。</p><p>Veblen 后来回顾说，他早年的主要训练虽然属于经典分析，但已经明显带有后来 20 世纪分析学那种强调结构与渐近的风格。</p><h3 id="二、地图着色"><a href="#二、地图着色" class="headerlink" title="二、地图着色"></a>二、地图着色</h3><p>1912 年，Birkhoff 发表关于地图着色的论文，引入了后来称为 色多项式（chromatic polynomial）的对象。若<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是一个图，记<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.837ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2579.8 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="P_G(k)"><g 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413 459 409 432 404 409 379 409 353Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(554,363) scale(0.707)" data-latex="{n-1}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="-" transform="translate(600,0)"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1378,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ，并给出了其他所有系数的计算公式。</p><p>Birkhoff 最初考虑它，并不是为了建立一门新的组合学分支，而是想借助代数和分析的方法处理四色问题（four color problem）：如果对每个平面图<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 都能证明<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.789ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2558.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="P_G(4) > 0"><g data-mml-node="msub" data-latex="P_G"><g data-mml-node="mi" data-latex="P"><path data-c="1D443" d="M555 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C152 60 142 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 46 0 59 0L184 3 248 2C259 2 299 0 312 0 328 0 336 8 336 24 336 34 325 39 304 39 264 39 244 43 244 52 244 52 245 55 247 68L307 312 472 312C537 312 599 332 657 371 722 414 754 467 754 530 754 629 660 683 555 683M524 644C611 644 654 614 654 554 654 498 626 423 597 397 559 363 509 346 447 346L313 346 379 610C387 644 387 644 429 644Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(675,-150) scale(0.707)" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 93 164-22 324-22Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(1280.8,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="4" transform="translate(1669.8,0)"><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199 28 163 289 163 289 81C289 63 285 51 278 46 271 41 252 39 219 39L194 39 194 0C223 2 269 3 331 3 393 3 439 2 468 0L468 39 443 39C410 39 391 41 384 46 377 51 373 63 373 81L373 163 471 163 471 202 373 202 373 660C373 670 366 677 353 677M295 553 295 202 67 202Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2169.8,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="P_G(4) > 0"><g data-mml-node="mo" data-latex=">"><path data-c="3E" d="M686 227C696 232 701 239 701 250 701 261 696 268 686 273L112 545C109 546 105 547 101 547 85 547 77 539 77 522 77 513 82 506 91 502L625 250 91-2C82-6 77-13 77-22 77-39 85-47 101-47 105-47 109-46 112-45Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>，那么四色定理就成立了。</p><p>后来图论的发展表明，这个多项式逐渐成为代数组合学中的标准对象之一。</p><p>四色问题当时并未被他解决，但后来的惠特尼（Hassler Whitney，1907-1989）和图特（William Thomas Tutte，1917-2002）正是在这条线上，把图的染色理论进一步推进成一个更完整的理论。</p><h3 id="三、Poincare-最后几何定理"><a href="#三、Poincare-最后几何定理" class="headerlink" title="三、Poincaré 最后几何定理"></a>三、Poincaré 最后几何定理</h3><p>Birkhoff 在 1913 年发表了《Poincaré 几何定理的证明》（Proof of Poincaré's geometric theorem）。这个结果今天通常称为 Poincaré–Birkhoff 定理。</p><p>设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 750 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A = \{(r,\theta): a \le r \le b\}"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 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transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="T"><g data-mml-node="mi" data-latex="T"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 在内边界<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 451 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="r = a"><g data-mml-node="mi" data-latex="r"><path data-c="1D45F" d="M436 374C436 416 395 442 351 442 302 442 261 419 227 372 217 411 183 442 136 442 95 442 65 410 44 345 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 150 413 159 399 159 371 159 358 154 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 110-11 130-11 143-1 150 19L169 91C180 134 187 162 190 175L221 303C223 311 231 324 244 343 271 381 302 413 351 413 363 413 373 411 382 406 352 397 337 378 337 351 337 325 351 312 378 312 411 312 436 341 436 374Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.585ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1584.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="r = a"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="a" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上使点 “前进”，而在外边界<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 451 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="r = b"><g data-mml-node="mi" data-latex="r"><path data-c="1D45F" d="M436 374C436 416 395 442 351 442 302 442 261 419 227 372 217 411 183 442 136 442 95 442 65 410 44 345 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 150 413 159 399 159 371 159 358 154 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 110-11 130-11 143-1 150 19L169 91C180 134 187 162 190 175L221 303C223 311 231 324 244 343 271 381 302 413 351 413 363 413 373 411 382 406 352 397 337 378 337 351 337 325 351 312 378 312 411 312 436 341 436 374Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.359ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1484.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="r = b"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="b" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="1D44F" d="M281 445C245 445 209 428 174 394L243 679C241 688 238 694 226 694 193 694 120 685 107 684 92 682 84 675 84 660 84 650 93 645 112 645 131 645 157 646 157 632 157 628 152 608 143 571L63 249C52 207 47 173 47 148 47 62 93-11 175-11 240-11 297 22 347 89 392 151 415 216 415 283 415 370 364 445 281 445M279 415C318 415 337 385 337 326 337 299 331 263 319 218 297 133 268 75 233 44 213 27 194 19 175 19 134 19 114 51 114 115 114 137 119 170 129 214L151 304C154 319 159 330 165 338 204 389 242 415 279 415Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上使点 “后退”，那么<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.593ex" height="1.532ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 704 677"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="T"><g data-mml-node="mi" data-latex="T"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 至少有两个不动点<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.647ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2054 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="T(x) = x"><g data-mml-node="mi" data-latex="T"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(704,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(1093,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1665,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.683ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1627.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="T(x) = x"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><p>这个结论起源于受限三体问题中的周期轨道问题。Poincaré 生前只证明了若干特例，Birkhoff 则给出了完整证明。</p><p>这个定理说明当一个面积保持系统在边界上施加相反扭转时，周期行为不是偶然出现，而是被几何结构强迫出来。后来大量关于辛映射、Hamiltonian 系统和周期轨道的工作，都把它当作出发点之一。</p><h3 id="四、两自由度动力系统"><a href="#四、两自由度动力系统" class="headerlink" title="四、两自由度动力系统"></a>四、两自由度动力系统</h3><p>1917 年，Birkhoff 发表长文《两自由度的动力系统》（Dynamical systems with two degrees of freedom）。这篇论文后来获得首届 Bôcher Memorial Prize，也通常被看作他成熟期动力系统研究的代表作。它处理了一个系统性的框架：如何对二维截面上的返回映射、轨道结构、不变集以及周期行为进行统一分析。</p><p>Birkhoff 在这里把 Poincaré 的想法系统化了：一个具有两自由度的连续动力系统，固定能量后通常落在一个三维能量流形上；选取一张二维横截面<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 722 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Sigma"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Sigma"><path data-c="3A3" d="M56 655 301 299 68 33C61 25 57 19 57 15 57 5 67 0 86 0L637 0 665 241 633 241C624 159 601 107 566 84 531 61 474 49 397 49L133 49 375 324C382 331 385 337 385 342 385 345 382 351 377 358L179 644 399 644C482 644 539 632 570 607 601 582 622 531 633 453L666 453 637 683 86 683C62 683 56 681 56 655Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，就可以研究轨道每次回到<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 722 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Sigma"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Sigma"><path data-c="3A3" d="M56 655 301 299 68 33C61 25 57 19 57 15 57 5 67 0 86 0L637 0 665 241 633 241C624 159 601 107 566 84 531 61 474 49 397 49L133 49 375 324C382 331 385 337 385 342 385 345 382 351 377 358L179 644 399 644C482 644 539 632 570 607 601 582 622 531 633 453L666 453 637 683 86 683C62 683 56 681 56 655Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 时诱导出的返回映射<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.706ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 754 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="P:\Sigma \to \Sigma"><g data-mml-node="mi" data-latex="P"><path data-c="1D443" d="M555 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C152 60 142 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 46 0 59 0L184 3 248 2C259 2 299 0 312 0 328 0 336 8 336 24 336 34 325 39 304 39 264 39 244 43 244 52 244 52 245 55 247 68L307 312 472 312C537 312 599 332 657 371 722 414 754 467 754 530 754 629 660 683 555 683M524 644C611 644 654 614 654 554 654 498 626 423 597 397 559 363 509 346 447 346L313 346 379 610C387 644 387 644 429 644Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.891ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1277.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="P:\Sigma \to \Sigma"><g data-mml-node="mo" data-latex=":"><path data-c="3A" d="M192 375C192 405 169 431 139 431 109 431 86 405 86 375 86 345 109 319 139 319 169 319 192 345 192 375M192 56C192 86 169 112 139 112 109 112 86 86 86 56 86 26 109 0 139 0 169 0 192 26 192 56Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\Sigma" transform="translate(555.8,0)"><path data-c="3A3" d="M56 655 301 299 68 33C61 25 57 19 57 15 57 5 67 0 86 0L637 0 665 241 633 241C624 159 601 107 566 84 531 61 474 49 397 49L133 49 375 324C382 331 385 337 385 342 385 345 382 351 377 358L179 644 399 644C482 644 539 632 570 607 601 582 622 531 633 453L666 453 637 683 86 683C62 683 56 681 56 655Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.524ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1999.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="P:\Sigma \to \Sigma"><g data-mml-node="mo" data-latex="\to"><path data-c="2192" d="M932 234C939 237 943 243 943 250 943 257 939 263 932 266 884 282 839 316 797 368 769 403 750 444 741 491 738 504 730 510 717 510 701 510 693 502 693 485L694 483 694 482C711 395 755 326 828 274L82 274C66 274 58 266 58 250 58 234 66 226 82 226L828 226C755 174 711 105 694 18L694 17 693 15C693-2 701-10 717-10 730-10 738-4 741 9 750 56 769 97 797 132 839 184 884 218 932 234Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\Sigma" transform="translate(1277.8,0)"><path data-c="3A3" d="M56 655 301 299 68 33C61 25 57 19 57 15 57 5 67 0 86 0L637 0 665 241 633 241C624 159 601 107 566 84 531 61 474 49 397 49L133 49 375 324C382 331 385 337 385 342 385 345 382 351 377 358L179 644 399 644C482 644 539 632 570 607 601 582 622 531 633 453L666 453 637 683 86 683C62 683 56 681 56 655Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><p>这样，连续时间的微分方程问题就被转化为离散时间的平面映射问题。也正因为如此，后来许多人把 1910 年代到 1920 年代的 Birkhoff 视为美国动力系统学派的奠基者之一。</p><p>与这一方向直接相关的，是后来所谓的 Birkhoff 正规形（Birkhoff normal form）。设 Hamiltonian 函数在原点附近有</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:44.336ex"><svg style="vertical-align:-.566ex;min-width:44.336ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math" data-latex="
H(z) = H_2(z) + H_3(z) + H_4(z) + \cdots
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H(z) = H_2 (z) + H_3 (z) + H_4 (z) + \cdots
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fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\{\ ,\ \}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\{"><path data-c="7B" d="M286-122 286 126C286 183 251 225 182 250 251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718 420 718 425 723 425 734 425 745 420 750 409 750 363 750 321 740 284 721 237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266 80 266 75 261 75 250 75 239 80 234 91 234 155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221 321-240 363-250 409-250 420-250 425-245 425-234 425-223 420-218 409-218 348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(500,0)"><path data-c="A0" d=""></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(832,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(1276.7,0)"><path data-c="A0" d=""></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\}" transform="translate(1608.7,0)"><path data-c="7D" d="M286 374 286 622C286 664 263 697 216 721 179 740 137 750 91 750 80 750 75 745 75 734 75 723 80 718 91 718 152 718 214 680 214 622L214 374C214 317 249 275 318 250 249 225 214 183 214 126L214-122C214-180 152-218 91-218 80-218 75-223 75-234 75-245 80-250 91-250 137-250 179-240 216-221 263-197 286-164 286-122L286 126C286 188 345 234 409 234 420 234 425 239 425 250 425 261 420 266 409 266 345 266 286 312 286 374Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是 Poisson 括号。</p><p>这种思想最早虽是以隐含形式出现在 Birkhoff 那里，后来才由 Gustavson、Moser 等人继续发展成更完整的正规形理论。今天在 Hamiltonian 系统、摄动理论和分岔理论中，Birkhoff 正规形仍是基础工具。</p><h3 id="五、遍历定理"><a href="#五、遍历定理" class="headerlink" title="五、遍历定理"></a>五、遍历定理</h3><p>Birkhoff 在 1931 年发表了《遍历定理的证明》（Proof of the ergodic theorem）：设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.593ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 704 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="T: (X, \Sigma, \mu) \to (X, \Sigma, \mu)"><g data-mml-node="mi" data-latex="T"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 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273C82 268 77 261 77 250 77 239 82 232 92 227Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\infty" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="221E" d="M749-11C807-11 855 13 892 60 926 104 943 156 943 216 943 275 926 327 893 371 856 418 809 442 752 442 684 442 625 416 576 364 547 332 524 303 507 278 464 329 435 361 421 373 367 419 310 442 250 442 192 442 144 418 107 371 73 327 56 275 56 215 56 156 73 104 106 60 143 13 190-11 247-11 315-11 374 15 423 67 452 99 475 128 492 153 535 102 564 70 578 58 632 12 689-11 749-11M913 216C913 188 911 168 908 156 903 137 890 117 869 94 840 61 805 44 765 44 722 44 680 67 637 113 592 168 559 209 538 237 601 348 675 403 759 403 852 403 913 314 913 216M86 215C86 260 100 299 128 334 156 369 191 387 234 387 277 387 319 364 362 318 407 263 440 222 461 194 398 83 324 28 240 28 147 28 86 117 86 215Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，则<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.249ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 552 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705 400 705 357 665 334 586 329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411 204 400 214 395 235 395L295 395 222 8C211-49 201-91 192-119 180-156 163-175 141-175 126-175 114-171 103-164 135-159 151-140 151-108 151-82 138-69 111-69 77-69 53-99 53-133 53-177 94-205 141-205 166-205 189-195 208-174 240-141 265-94 283-31 294 8 304 46 311 84L369 395 451 395C474 395 484 396 484 419 484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644 430 665 444 675 462 675 477 675 490 671 501 664 470 657 454 639 454 608 454 582 467 569 494 569 528 569 552 599 552 633Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.925ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 851 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上的积分和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.249ex" height="2.593ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -941 552 1146"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\bar{f}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\bar{f}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705 400 705 357 665 334 586 329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411 204 400 214 395 235 395L295 395 222 8C211-49 201-91 192-119 180-156 163-175 141-175 126-175 114-171 103-164 135-159 151-140 151-108 151-82 138-69 111-69 77-69 53-99 53-133 53-177 94-205 141-205 166-205 189-195 208-174 240-141 265-94 283-31 294 8 304 46 311 84L369 395 451 395C474 395 484 396 484 419 484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644 430 665 444 675 462 675 477 675 490 671 501 664 470 657 454 639 454 608 454 582 467 569 494 569 528 569 552 599 552 633Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(463.5,221) translate(-250 0)"><path data-c="AF" d="M70 589 431 589 431 620 70 620Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.925ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 851 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="X"><g data-mml-node="mi" data-latex="X"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680 721 680 651 683 631 683 616 683 608 675 608 659 608 650 613 645 624 644 648 641 660 633 660 618 660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620 401 622 402 624 405 626 414 636 431 642 455 644 471 646 479 654 479 667 479 678 473 683 460 683 436 683 359 680 335 680 314 680 245 683 224 683 209 683 202 675 202 659 202 649 211 644 229 644 274 644 288 644 300 615L416 342 208 119C205 116 201 112 196 109 155 66 108 42 53 39 36 38 27 29 27 14 30 5 31 0 44 0 61 0 120 3 137 3 158 3 227 0 248 0 263 0 270 8 270 24 270 33 265 38 254 39 230 41 218 50 218 65 218 75 227 89 244 107 306 173 369 239 430 306 464 225 499 145 532 63 531 61 530 59 527 56 518 47 502 42 478 39 463 37 455 29 455 16 455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0 723 0 731 8 731 23 731 33 724 38 709 39 678 39 658 40 651 44 644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546 677 571 693 588 702 595 739 626 780 642 825 644 846 645 851 650 851 669 848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上的积分相同。</p><p>这个定理是遍历理论中最重要的定理之一。它把时间平均和空间平均联系起来。沿着一条轨道长时间观察某个物理量，与在整个状态空间上做积分平均，在适当条件下是相容的。对统计力学来说，这正是 “遍历” 思想的严格版本。</p><p>Birkhoff 的定理并没有解决统计力学中的所有困难，但它第一次把相关问题明确地放进了测度论框架，因此后来整个遍历理论几乎都从这里展开。</p><p>Wiener 称赞 Birkhoff 的遍历性定理是一项精心力作：</p><p>“遍历性假设的正确表述及其定理的证明，是美国数学界、乃至全球数学界，近来的最重要成就之一，这两者都是由 Birkhoff 完成的”。</p><p>这个卓越的定理可以上溯到麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831-1879）和玻尔兹曼（Ludwig Eduard Boltzmann，1844-1906）试图建构气体动力论的努力。</p><h3 id="六、测地线和广义相对论"><a href="#六、测地线和广义相对论" class="headerlink" title="六、测地线和广义相对论"></a>六、测地线和广义相对论</h3><p>他在研究二维球面上的测地线时，引入了著名的 Birkhoff 曲线缩短过程（curve-shortening process），并据此证明：任意赋予 Riemannian 度量的二维球面上，至少存在一条非平凡的闭测地线。这一结果可以看作是后来极小曲面理论中 “min-max 方法” 的早期原型。</p><p>Birkhoff 的基本思想是，将一族闭曲线（通常称为 sweepout）视为一个一维的同伦类，通过逐步 “缩短长度” 的变形过程，使曲线族在保持拓扑类型的同时趋向于能量（或长度）极小的临界点。</p><p>由于简单收缩会退化为常值曲线，他引入了一种变分意义下的 min-max 机制：在所有同伦等价的曲线族中，考虑其最大长度的下确界，从而得到一个非平凡的极值，这个极值对应的正是闭测地线。</p><p>这一方法不仅解决了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.564ex" height="1.937ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 1133.2 855.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S^2"><g data-mml-node="msup" data-latex="S^2 "><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(729.6,363) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 上闭测地线的存在性问题，还揭示了一个深刻的结构：闭测地线可以被理解为能量泛函在某种拓扑约束下的鞍点。</p><p>Birkhoff 的思想后来被他的学生莫尔斯（Harold Calvin Marston Morse，1892-1977）发展为 Morse 理论，并在更高维情形中由 Almgren–Pitts 的 min-max 理论加以推广。</p><p>Birkhoff 对广义相对论也有重要贡献，他证明了一个（和黑洞有关的）定理：真空的 Einstein 场方程的球对称解（spherically symmetric solution），必然是静态的（static），并由 Schwarzschild 度量（Schwarzschild metric）给出。</p><h3 id="七、美学的数学化"><a href="#七、美学的数学化" class="headerlink" title="七、美学的数学化"></a>七、美学的数学化</h3><p>Birkhoff 在 1933 年《美学度量》（Aesthetic measure）中提出的公式</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:19.359ex"><svg style="vertical-align:-.566ex;min-width:19.359ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math" data-latex="
M = O/C
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
M = O/C
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="2200.3 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 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class="content">欧文·西格尔是20世纪重要的数学物理学家。他奠定了C代数的基础并提出了GNS构造，致力于为量子力学建立严格的数学公理化体系。其学术生涯后期转向宇宙学研究，提出了与大爆炸理论相悖的计时宇宙学模型</p></a><a class="next" href="/notes/person/17"><p class="title">Wiener诺伯特·维纳：从神童到控制论之父<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">诺伯特·维纳是一位传奇的数学家与科学家，在概率论、信号处理等多个领域有开创性贡献。他最为人知的成就是创立了控制论，深刻影响了自动化与信息科学的发展。</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/28.html" title="Grothendieck格罗腾迪克：改变现代数学的概念革新者与人生探索者" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/112.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/112.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Grothendieck格罗腾迪克：改变现代数学的概念革新者与人生探索者"> <span class="title">Grothendieck格罗腾迪克：改变现代数学的概念革新者与人生探索者</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/19.html" title="Hedlund符号动力学与拓扑动力学的奠基人古斯塔夫·赫德伦德" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/75.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/75.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Hedlund符号动力学与拓扑动力学的奠基人古斯塔夫·赫德伦德"> <span class="title">Hedlund符号动力学与拓扑动力学的奠基人古斯塔夫·赫德伦德</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/1.html" title="希尔伯特23问题" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/109.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/109.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="希尔伯特23问题"> <span class="title">希尔伯特23问题</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/13.html" 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src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/98.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/98.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Ramanujan印度数学奇才的传奇一生：拉马努金的贡献与影响"> <span class="title">Ramanujan印度数学奇才的传奇一生：拉马努金的贡献与影响</span></a></div></div></article><article class="post white-box shadow floatable blur" id="comments"><span hidden=""><meta itemprop="discussionUrl" content="/notes/person/16#comments"></span><p ct=""><i class="fa-duotone fa-comments"></i> 留言区</p><div id="layoutHelper-comments"></div></article></div><aside id="l_side" itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPSideBar"><section class="widget text desktop mobile pjax"><header><a href="/notes/"><i class="fa-duotone fa-book fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">Notes</span></a></header><div class="content"></div></section><section class="widget list group desktop mobile pjax"><header><i class="fa-duotone fa-p fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">History of mathematics</span></header><div class="content"><ul class="list entry navigation"><li><a class="flat-box" title="/notes/person/" href="/notes/person/" active-action="action-notesperson"><div class="name"> Welcome</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/1" href="/notes/person/1" active-action="action-notesperson1"><div class="name"> Hilbert</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/2" href="/notes/person/2" active-action="action-notesperson2"><div class="name"> Thompson</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/3" href="/notes/person/3" active-action="action-notesperson3"><div class="name"> Conway</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/4" href="/notes/person/4" active-action="action-notesperson4"><div class="name"> Borcherds</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/person/5" href="/notes/person/5" active-action="action-notesperson5"><div 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