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History,人物,欧文西格尔,算子代数,量子力学数学基础,计时宇宙学,MHuiG, @MHuiG, Blog, 博客, Magicland, 魔法世界"><meta desc="" name="description" content="欧文·西格尔是20世纪重要的数学物理学家。他奠定了C代数的基础并提出了GNS构造，致力于为量子力学建立严格的数学公理化体系。其学术生涯后期转向宇宙学研究，提出了与大爆炸理论相悖的计时宇宙学模型 - MHuiG - Magicland"><meta property="og:type" content="website"><meta property="og:title" content="Magicland"><meta property="og:url" content="https://blog.mhuig.top/notes/person/15"><meta property="og:site_name" content="Magicland"><meta property="og:description" content="欧文·西格尔是20世纪重要的数学物理学家。他奠定了C代数的基础并提出了GNS构造，致力于为量子力学建立严格的数学公理化体系。其学术生涯后期转向宇宙学研究，提出了与大爆炸理论相悖的计时宇宙学模型"><meta property="og:locale"><meta property="og:image" content="https://blog.mhuig.top/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"><meta property="article:published_time" content="2026-05-12T01:07:00.000Z"><meta property="article:modified_time" content="2026-05-12T01:10:00.000Z"><meta property="article:author" content="MHuiG"><meta property="article:tag" content="History"><meta property="article:tag" 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="Irving Segal欧文·西格尔：联结算子代数与宇宙学的数学物理学家"><meta itemprop="description" content="欧文·西格尔是20世纪重要的数学物理学家。他奠定了C代数的基础并提出了GNS构造，致力于为量子力学建立严格的数学公理化体系。其学术生涯后期转向宇宙学研究，提出了与大爆炸理论相悖的计时宇宙学模型"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">Irving Segal</span></p><br><h1 hidden="">Irving Segal</h1><div class="story post-story"><h2 id="生平"><a href="#生平" class="headerlink" title="生平"></a>生平</h2><p>欧文・埃兹拉・西格尔（Irving Ezra Segal，1918-1998）出生在纽约 Bronx 区，他父母 Aaron Segal 和 Fannie Weinstein 是犹太人。在 1934 年，他以 15 岁之龄从特伦顿高中毕业，并在同年晚些时候进入普林斯顿大学。</p><p>1937 年，他从普林斯顿大学获得数学学士学位，并荣获 George B Covington 数学奖，随后在希勒（Einar Carl Hille，1894-1980）的指导下进入耶鲁大学攻读博士学位。</p><p>Segal 于 1940 年向耶鲁大学提交了他的论文《某些函数类的环性质》（Ring properties of certain classes of functions），并在同年 6 月获得博士学位。也是在 1940 年，他发表了第一篇论文。这是一篇仅有一页的短文，题《对称群的自同构》（The automorphisms of the symmetric group），其中他给出了一个简易证明：当<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 600 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n \neq 6"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 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年，他晋升为芝加哥大学的数学副教授，并在 1954-55 学年作为访问副教授在纽约的哥伦比亚大学度过。</p><p>1957 年，Segal 成为芝加哥大学的正教授；三年后，他前往麻省理工学院担任数学教授。</p><p>Segal 后来对数学的多个不同领域作出了贡献，但所有这些都源于量子理论的数学需求。例如，他在无穷维积分理论方面的卓越工作。此外，基于他早期对任意局部紧群表示的研究，他继续考察了与量子力学有关的群表示，即关于对易或反对易关系的对称性群。</p><p>格罗斯（Leonard Gross）是 Segal 的一位博士生，1958 年获得博士学位。他提到了 Segal 的研究动力：…… 当我回到耶鲁大学后，他给我写信，提出了一些与我研究领域紧密相关的有趣问题。回想起来，我意识到，他这样做不仅是出于为 “学术后代” 提供充分思想养料的责任感，更是因为他那种专注于解决数学物理重大问题（即相互作用量子场存在性）的坚定决心。</p><p>尽管在许多数学家看来，他的大部分工作似乎只是由通常的审美考量驱动（当然，他思想本身的内在美也足以证明这些工作的价值），但 Segal 几年前曾告诉我，他的所有研究，不论哪方面，都意在以某种方式理解量子物理。</p><p>在学术生涯的后期，Segal 的主要研究目标转向了对宇宙学的研究。</p><p>他在 1976 年出版的著作《数学宇宙学与河外天文学》（Mathematical cosmology and extragalactic astronomy）中对其计时宇宙学（chronometric cosmology）进行了详细阐述。</p><p>他在 1974 年的论文以及该书的前言中写道：“人们普遍接受宇宙膨胀是真实的物理现象，部分原因是看似没有其他可行的红移解释。自从大约半个世纪前发现红移以来，人们又发现了许多新的观测现象，其中微波背景辐射（microwave background radiation）和类星体（quasar）尤其重要而引人注目。尽管如此，似乎很少有人尝试重新构建宇宙学的基础，以一种在科学上更加经济的方式将这些现象统一起来。这或许更多是由于基于膨胀理论（expansion theory）的大量理论研究所带来的惯性，而非由于膨胀理论与观测结果吻合度有多高 —— 事实上，其与观测的契合度相当有限，而且愈发显得模棱两可。”</p><p>Segal 的理论与大爆炸理论相对立，在他的理论中，哈勃定律（Hubble's law）所描述的宇宙膨胀并不成立。他在 1991 年和 1993 年的论文中讨论了红移（red-shift）数据，并声称这些数据支持他的理论。</p><p>1989 年，Segal 从麻省理工学院数学系教授职位退休后，仍继续为他提出的宇宙模型辩护。</p><p>正如奥贝尔・戴尼奥（Aubert Daigneault, 1932-）和阿图罗・桑加利（Arturo Sangalli, 1940-）在文献中所写：</p><p>Segal 从未停止他对膨胀理论的 “讨伐”，有时提出合理的科学论据，有时则是情绪化的猛烈抨击。</p><p>在一篇回忆中，约翰・卡洛斯・贝兹（John Carlos Baez，1961-，20 世纪 80 年代曾是 Segal 的博士生）描述了那时的 Segal：他总是穿着得体，一身西装，留着简单干练的山羊胡。他个子不高，但站姿挺拔，言行颇有威严。……</p><p>Segal 的办公室既舒适又充满生活气息，堆满了他数十年间积累的各种论文。他有一张沙发，有时会在那里小憩。他还会在办公室里煮咖啡，拒绝去数学系休息室喝那里的咖啡。</p><p>他对咖啡极为认真，会在办公室里现磨咖啡豆，只用蒸馏水，并把水烧到一个他经过研究得出的 “最佳温度”（他声称自己做过研究来确定这一最佳温度）。他经常让我用他的电脑，而他则在桌子或打字机旁工作。有时，当他想要证明某个定理时，他会正式地设定一个厨房计时器，并给自己不超过 30 分钟的时间来完成证明。这只是他强调 “务实态度” 重要性的诸多方式之一。</p><p>…… 他从不懈怠；周末也常来办公室，他退休后看起来一点也没有放慢脚步。所有认识 Segal 的人都会记得他只会用自己的方式做事。他从不因为别人接受某种做法就盲从。在他所涉猎的各个科学领域里，我多次听到他对相关内容提出严厉的批评。</p><p>Segal 的 1963 年著作《相对论物理学中的数学问题》（Mathematical problems of relativistic physics）是他在 1960 年于科罗拉多州博尔德（Boulder, Colorado）举办的应用数学暑期研讨班上所授课程的讲稿结集。他在序言中写道 (dào)，他坚信：…… 量子场论正处于即将被坚实地数学化的边缘，而且实际上，在不久的将来，人们就会认识到，它与在具备群不变微分几何结构的无限维非线性流形上所做的泛函分析理论有着密切的平行关系。</p><p>Segal 一直活跃到生命的最后一刻。实际上，他在家附近散步时突然倒下，死于心血管疾病。在其职业生涯中，他共指导了 40 名博士生 —— 其中 15 名就读于芝加哥大学，25 名就读于麻省理工学院。</p><p>他曾三次获得古根海姆基金奖（Guggenheim fellowship，分别在 1947 年、1951 年和 1967 年），并于 1981 年获得洪堡奖（Humboldt Award）。</p><p>1966 年，他在莫斯科举办的国际数学家大会上作受邀报告；1970 年，他又在尼斯（Nice）举办的国际数学家大会上作报告。1973 年，他当选为美国国家科学院院士。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="贡献"><a href="#贡献" class="headerlink" title="贡献"></a>贡献</h2><h3 id="一、算子代数与局部紧群表示理论"><a href="#一、算子代数与局部紧群表示理论" class="headerlink" title="一、算子代数与局部紧群表示理论"></a>一、算子代数与局部紧群表示理论</h3><p>在 1941 年的论文《局部紧群的群环，I》（The group ring of a locally compact group, I）中，Segal 给出了一般局部紧群（locally compact group）的 “群环（group ring）” 定义及其基本性质。该定义基于对群上相对于右不变 Haar 测度（right invariant Haar measure）的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.528ex" height="1.887ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 1117.6 833.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="L^1"><g data-mml-node="msup" data-latex="L^1 "><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 15 39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248 643 258 638 263 627 263 617 263 612 254 607 240 588 191 570 154 555 131 518 75 455 39 363 39L270 39C259 39 252 39 249 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L377 601C383 624 396 637 415 642 421 643 442 644 478 644 506 644 520 644 520 667Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(714,363) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" 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style="vertical-align:-.836ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.303ex" height="2.533ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3669.9 1119.5"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\sum_{n\ge 0} a_n"><g data-mml-node="munder" data-latex="\sum_{n\ge0}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\sum"><path data-c="2211" d="M56 713 417 216 67-217C60-225 57-231 57-235 57-245 67-250 88-250L913-250 1001 5 967 5C954-33 933-66 902-95 825-166 719-188 565-188L152-188 490 232C497 240 500 246 500 250 500 254 498 259 493 266L175 702 560 702C682 702 764 691 854 644 907 616 944 571 967 510L1001 510 913 750 88 750C57 750 56 746 56 713Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,-285.4) scale(0.707)" data-latex="{n\ge0}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 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232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><p>② 如果级数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.836ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.303ex" height="2.533ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3669.9 1119.5"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\sum_{n\ge 0} a_n"><g data-mml-node="munder" data-latex="\sum_{n\ge0}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\sum"><path data-c="2211" d="M56 713 417 216 67-217C60-225 57-231 57-235 57-245 67-250 88-250L913-250 1001 5 967 5C954-33 933-66 902-95 825-166 719-188 565-188L152-188 490 232C497 240 500 246 500 250 500 254 498 259 493 266L175 702 560 702C682 702 764 691 854 644 907 616 944 571 967 510L1001 510 913 750 88 750C57 750 56 746 56 713Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,-285.4) scale(0.707)" data-latex="{n\ge0}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\ge" transform="translate(600,0)"><path data-c="2265" d="M684 310C694 315 699 322 699 333 699 344 694 352 684 357L110 629C107 630 103 631 99 631 83 631 75 623 75 606 75 597 80 590 89 586L623 333 89 80C80 76 75 69 75 60 75 43 83 35 99 35 103 35 107 36 110 38M678-72 100-72C84-72 76-80 76-95 76-111 84-119 100-119L678-119C694-119 702-111 702-95 702-83 691-72 678-72Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1378,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="msub" data-latex="a_n" transform="translate(2633.6,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 通过 Abel 求和法到和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.459ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 645 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，且满足<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.836ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.255ex" height="2.533ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4532.5 1119.5"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\sum_{0\le k\le n} a_k = o(n)"><g data-mml-node="munder" data-latex="\sum_{0\le k\le n}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\sum"><path data-c="2211" d="M56 713 417 216 67-217C60-225 57-231 57-235 57-245 67-250 88-250L913-250 1001 5 967 5C954-33 933-66 902-95 825-166 719-188 565-188L152-188 490 232C497 240 500 246 500 250 500 254 498 259 493 266L175 702 560 702C682 702 764 691 854 644 907 616 944 571 967 510L1001 510 913 750 88 750C57 750 56 746 56 713Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,-285.4) scale(0.707)" data-latex="{0\le k\le n}" data-mjx-texclass="ORD"><g 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131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，则该级数收敛到<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.459ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 645 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><p>Tauberian 条件通常限制级数项的增长速度或振荡行为，常见的条件包括：<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.344ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1036.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a_n = o(1/n)"><g data-mml-node="msub" data-latex="a_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 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data-latex="a_n = O(1/n)"><g data-mml-node="msub" data-latex="a_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 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358-22 410-9 463 16 572 69 651 152 702 263M644 474C644 341 584 208 520 129 476 74 400 12 312 12 205 12 149 105 149 218 149 253 156 300 169 357 196 475 264 579 353 633 396 659 438 672 478 672 586 672 644 586 644 474Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(1818.8,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(2207.8,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2707.8,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><p>这类定理因数学家阿尔弗雷德・陶伯（Alfred Tauber, 1866-1942）的开创性工作而得名。</p><p>在一篇发表于 1944 年的论文中，Segal 发展了部分 Tauberian 理论，考察了一般 Lebesgue 空间中某个<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.533ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 1119.7 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="L^p"><g data-mml-node="msup" data-latex="L^p"><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 15 39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248 643 258 638 263 627 263 617 263 612 254 607 240 588 191 570 154 555 131 518 75 455 39 363 39L270 39C259 39 252 39 249 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L377 601C383 624 396 637 415 642 421 643 442 644 478 644 506 644 520 644 520 667Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(714,363) scale(0.707)" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> - 函数的平移所生成的线性包（span）与其<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.533ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 1119.7 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="L^p"><g data-mml-node="msup" data-latex="L^p"><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 15 39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248 643 258 638 263 627 263 617 263 612 254 607 240 588 191 570 154 555 131 518 75 455 39 363 39L270 39C259 39 252 39 249 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L377 601C383 624 396 637 415 642 421 643 442 644 478 644 506 644 520 644 520 667Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(714,363) scale(0.707)" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> -Fourier 变换零点集之间的关系。</p><p>在 1947 年初发表的一篇论文《局部紧群的群代数》（The group algebra of a locally compact group）中全面阐述了群环（当时被称为复群代数（complex group algebra））及其在 Tauberian 理论与群上几乎周期函数理论中的应用，主要体现在局部紧阿贝尔群和紧群这两种情形。</p><p>在算子理论方面，Segal 也意识到他的工作与 Murray 和 von Neumann 的工作之间的联系。他证明了，任何在希尔伯特空间上有界自伴算子的自伴代数（self-adjoint algebra）都是弱半单（weakly semisimple）的。</p><h3 id="三、-C-代数"><a href="#三、-C-代数" class="headerlink" title="三、$C^*$-代数"></a>三、<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(845.3,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container>- 代数</h3><p>正如前文提及，在 1947 年的文章《算子代数的不可约表示》（Irreducible representations of operator algebras）中，Segal 正式给出了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(845.3,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 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-algebra）的定义。</p><p>一个<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(845.3,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> - 代数是复数域上的 Banach 代数，同时带有一个映射<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 572 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="x \mapsto x^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.121ex" height="2.262ex" role="img" 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429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="|" transform="translate(1905.8,0)"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="|" transform="translate(2183.8,0)"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="x^{*}" transform="translate(2461.8,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 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372Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="|" transform="translate(3470.3,0)"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><p>他指出：“我们对算子代数的兴趣源于对局部紧群（locally compact group）的群代数（group algebra）的研究，一个群代数与某个自伴算子代数同构。”</p><p>与此同时，他对于量子力学及其数学基础的浓厚兴趣也开始显现。</p><p>他写道：“我们的结果使得对量子力学某些部分的研究可以更加广泛而严谨……”</p><p>在这篇文章里，Segal 定义了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(845.3,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> - 代数上的 “态（state）” 与 “纯态（pure state）” 的概念，并给出了如何从一个代数的态来构造该<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(845.3,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> - 代数的表示（representation）的基本方法。</p><p>一个态（state）是范数为 1 的正线性泛函。具体而言它是线性泛函<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.348ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 596 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\phi: A \to \mathbb{C}"><g data-mml-node="mi" data-latex="\phi"><path data-c="1D719" d="M385 445C404 524 424 601 442 680L442 683C439 690 434 694 426 694 417 694 411 686 408 671L351 445C276 442 208 414 147 362 82 307 49 243 49 170 49 62 132-7 237-13 218-92 204-149 195-183 194-186 194-189 194-190 194-200 199-205 210-205 221-205 224-199 227-187L271-14C346-11 414 17 475 69 540 125 573 189 573 262 573 369 488 436 385 445M377 415C453 410 501 363 501 283 501 243 492 203 474 164 442 92 369 26 278 17M121 149C121 189 130 229 148 268 180 340 253 405 343 415L244 16C169 22 121 69 121 149Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.954ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1305.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\phi: A \to \mathbb{C}"><g data-mml-node="mo" data-latex=":"><path data-c="3A" d="M192 375C192 405 169 431 139 431 109 431 86 405 86 375 86 345 109 319 139 319 169 319 192 345 192 375M192 56C192 86 169 112 139 112 109 112 86 86 86 56 86 26 109 0 139 0 169 0 192 26 192 56Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="A" transform="translate(555.8,0)"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 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179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> （如果<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 有单位元）。</p><p>它扩展了量子力学中密度矩阵的概念。</p><p>纯态（pure state）是指不能表示为其他态的凸组合的态。具体来说，如果<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.348ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 596 899"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\phi"><g data-mml-node="mi" data-latex="\phi"><path data-c="1D719" d="M385 445C404 524 424 601 442 680L442 683C439 690 434 694 426 694 417 694 411 686 408 671L351 445C276 442 208 414 147 362 82 307 49 243 49 170 49 62 132-7 237-13 218-92 204-149 195-183 194-186 194-189 194-190 194-200 199-205 210-205 221-205 224-199 227-187L271-14C346-11 414 17 475 69 540 125 573 189 573 262 573 369 488 436 385 445M377 415C453 410 501 363 501 283 501 243 492 203 474 164 442 92 369 26 278 17M121 149C121 189 130 229 148 268 180 340 253 405 343 415L244 16C169 22 121 69 121 149Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是一个态，且对于任意两个态<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.336ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 1032.6 899"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\phi_1"><g data-mml-node="msub" data-latex="\phi_1 "><g data-mml-node="mi" data-latex="\phi"><path data-c="1D719" d="M385 445C404 524 424 601 442 680L442 683C439 690 434 694 426 694 417 694 411 686 408 671L351 445C276 442 208 414 147 362 82 307 49 243 49 170 49 62 132-7 237-13 218-92 204-149 195-183 194-186 194-189 194-190 194-200 199-205 210-205 221-205 224-199 227-187L271-14C346-11 414 17 475 69 540 125 573 189 573 262 573 369 488 436 385 445M377 415C453 410 501 363 501 283 501 243 492 203 474 164 442 92 369 26 278 17M121 149C121 189 130 229 148 268 180 340 253 405 343 415L244 16C169 22 121 69 121 149Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(629,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.336ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 1032.6 899"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\phi_2"><g data-mml-node="msub" data-latex="\phi_2 "><g data-mml-node="mi" data-latex="\phi"><path data-c="1D719" d="M385 445C404 524 424 601 442 680L442 683C439 690 434 694 426 694 417 694 411 686 408 671L351 445C276 442 208 414 147 362 82 307 49 243 49 170 49 62 132-7 237-13 218-92 204-149 195-183 194-186 194-189 194-190 194-200 199-205 210-205 221-205 224-199 227-187L271-14C346-11 414 17 475 69 540 125 573 189 573 262 573 369 488 436 385 445M377 415C453 410 501 363 501 283 501 243 492 203 474 164 442 92 369 26 278 17M121 149C121 189 130 229 148 268 180 340 253 405 343 415L244 16C169 22 121 69 121 149Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(629,-150) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 以及<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 500 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="0 < \lambda < 1"><g data-mml-node="mn" data-latex="0"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.708ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1638.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="0 < \lambda < 1"><g data-mml-node="mo" data-latex="<"><path data-c="3C" d="M666-45C683-52 701-39 701-23 701-13 696-6 687-2L153 250 687 502C696 506 701 513 701 522 701 539 693 547 677 547 673 547 669 546 666 545L92 273C82 268 77 261 77 250 77 239 82 232 92 227Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="0 < \lambda < 1"><g data-mml-node="mo" data-latex="<"><path data-c="3C" d="M666-45C683-52 701-39 701-23 701-13 696-6 687-2L153 250 687 502C696 506 701 513 701 522 701 539 693 547 677 547 673 547 669 546 666 545L92 273C82 268 77 261 77 250 77 239 82 232 92 227Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，有<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.348ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 596 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\phi = \lambda \phi_1 + (1 - \lambda) \phi_2"><g data-mml-node="mi" data-latex="\phi"><path data-c="1D719" d="M385 445C404 524 424 601 442 680L442 683C439 690 434 694 426 694 417 694 411 686 408 671L351 445C276 442 208 414 147 362 82 307 49 243 49 170 49 62 132-7 237-13 218-92 204-149 195-183 194-186 194-189 194-190 194-200 199-205 210-205 221-205 224-199 227-187L271-14C346-11 414 17 475 69 540 125 573 189 573 262 573 369 488 436 385 445M377 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data-latex="\phi_1 = \phi_2 = \phi"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\phi" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="1D719" d="M385 445C404 524 424 601 442 680L442 683C439 690 434 694 426 694 417 694 411 686 408 671L351 445C276 442 208 414 147 362 82 307 49 243 49 170 49 62 132-7 237-13 218-92 204-149 195-183 194-186 194-189 194-190 194-200 199-205 210-205 221-205 224-199 227-187L271-14C346-11 414 17 475 69 540 125 573 189 573 262 573 369 488 436 385 445M377 415C453 410 501 363 501 283 501 243 492 203 474 164 442 92 369 26 278 17M121 149C121 189 130 229 148 268 180 340 253 405 343 415L244 16C169 22 121 69 121 149Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。换句话说，纯态是态空间中的极值点。</p><p>Segal 指出：“代数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的一个态<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.407ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 622 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\omega"><g data-mml-node="mi" data-latex="\omega"><path data-c="1D714" d="M505 391C505 380 509 370 517 363 542 342 554 314 554 280 554 267 553 255 550 244 530 168 477 68 396 68 344 68 313 96 303 152 316 179 326 207 333 238 336 249 337 258 337 264 337 284 329 294 314 294 276 294 266 198 264 156 227 97 184 68 133 68 78 68 51 104 51 175 51 195 54 216 59 238 70 282 99 337 146 402 150 407 152 412 152 417 152 430 145 437 130 437 123 437 116 434 110 427 61 360 13 242 13 133 13 37 49-11 121-11 178-11 227 22 270 87 284 22 322-11 383-11 416-11 447 2 475 28 522 72 557 142 581 238 596 299 604 342 604 369 604 398 597 419 583 432 576 439 567 442 558 442 532 442 505 417 505 391Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的某种正规（normal）表示的归一化函数（normalizing function），此方法部分借鉴了 Gelfand 和 Neumark 的工作。”</p><p>Segal 当时所使用的 “归一化（normalizing）” 和 “正规（normal）” 等术语，后来出现了变化或不再使用。这一过程正是非常重要的 “GNS 构造（Gelfand（Israel Moiseevich Gelfand, 1913-2009）-Naimark（Mark Aronovich Naimark, 1909-1978）-Segal construction）”，在算子代数这一领域中具有基础性地位。</p><p>同在这篇文章里，Segal 还定义并证明了无单位元（without a unit）的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(845.3,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> - 代数（或<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(845.3,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> - 代数中的理想）中存在逼近恒等元（approximate identities）；同时，他也定义并证明了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(845.3,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> - 代数上的纯态（pure state）的存在，并证明了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(845.3,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> - 代数的不可约表示来自这些纯态。</p><p>借助 Krein-Millman 定理以及态集在（弱 *）拓扑下的紧性，Segal 证明了一个<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(845.3,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> - 代数有一个分离元素的纯态族（separating family）。</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.027ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.414ex" height="1.615ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -702 625 714"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathcal{S}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal{S}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="53" d="M114 133C114 176 129 211 160 236 172 246 184 251 195 251 222 251 226 244 226 223 226 200 236 189 256 189 280 189 296 202 303 229 315 271 269 291 227 291 185 291 150 279 121 256 82 224 57 186 46 143 42 127 40 112 40 99 40 74 46 54 59 38 84 5 132-12 205-12 287-12 362 15 429 69 474 105 503 152 517 210 521 227 523 242 523 257 523 313 481 363 397 406 324 443 288 485 288 531 288 583 308 610 347 635 374 652 403 661 432 661 465 661 487 652 499 635 510 622 513 608 509 593 499 552 472 532 429 532L421 509C436 505 449 503 461 503 490 503 519 515 549 540 565 553 576 570 581 592 588 623 586 646 573 663 554 689 514 702 454 702 335 702 240 644 216 547 211 528 208 511 208 495 208 466 216 441 232 421 251 396 288 371 343 345 374 330 402 308 425 277 433 266 437 251 437 232 437 217 434 198 429 177 418 132 395 96 358 70 321 44 278 32 231 32 159 32 114 64 114 133Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上的一族纯态。如果对于任意两个不同的元素<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.173ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1402.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a,b \in A"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.414ex" height="1.615ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -702 625 714"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathcal{S}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal{S}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="53" d="M114 133C114 176 129 211 160 236 172 246 184 251 195 251 222 251 226 244 226 223 226 200 236 189 256 189 280 189 296 202 303 229 315 271 269 291 227 291 185 291 150 279 121 256 82 224 57 186 46 143 42 127 40 112 40 99 40 74 46 54 59 38 84 5 132-12 205-12 287-12 362 15 429 69 474 105 503 152 517 210 521 227 523 242 523 257 523 313 481 363 397 406 324 443 288 485 288 531 288 583 308 610 347 635 374 652 403 661 432 661 465 661 487 652 499 635 510 622 513 608 509 593 499 552 472 532 429 532L421 509C436 505 449 503 461 503 490 503 519 515 549 540 565 553 576 570 581 592 588 623 586 646 573 663 554 689 514 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“群的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(845.3,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> - 群代数（<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(845.3,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> -group algebra）”，Segal 得以从该群代数的每个态构造出一个在某个希尔伯特空间上的酉表示（unitary representation）—— 而从纯态出发则得到不可约酉表示（irreducible unitary representation）。</p><p>利用这一构造，Segal 随后给出了 Gelfand-Raikov 定理的最自然证明：该定理说明存在一族能分离元素的不可约酉表示，使其成为局部紧群的一个完备表示族（the existence of a separating family of irreducible unitary representations of locally compact groups）。</p><h3 id="四、实Jordan-Banach代数与量子测量理论"><a href="#四、实Jordan-Banach代数与量子测量理论" class="headerlink" title="四、实Jordan Banach代数与量子测量理论"></a>四、实 Jordan Banach 代数与量子测量理论</h3><p>在 Postulates for general quantum mechanics 中，Segal 提出了 “一套关于物理系统的公设，并从中推导出量子力学主要一般特征 stationary states（稳态）。”</p><p>设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.213ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 978.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\alpha_t:A \to A"><g data-mml-node="msub" data-latex="\alpha_t"><g data-mml-node="mi" data-latex="\alpha"><path data-c="1D6FC" d="M310 442C241 442 179 412 124 353 69 294 41 229 41 159 41 61 107-11 205-11 274-11 342 16 410 69 425 16 456-11 502-11 538-11 589 27 589 63 589 72 584 76 573 76 566 76 560 72 557 64 549 43 528 18 505 18 488 18 479 50 479 115 479 129 482 140 488 147 515 180 539 218 558 260 583 314 598 354 602 380L602 384C599 391 593 394 586 394 581 393 575 385 568 371 547 299 518 237 479 186L479 236C479 352 421 442 310 442M403 211C403 152 404 116 405 103 340 46 274 18 207 18 150 18 122 53 122 122 122 180 155 288 178 324 216 383 260 413 309 413 340 413 361 401 374 377 381 365 386 353 391 342 399 319 403 258 403 211Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(673,-150) scale(0.707)" data-latex="t"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.954ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1305.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\alpha_t:A \to A"><g data-mml-node="mo" data-latex=":"><path data-c="3A" d="M192 375C192 405 169 431 139 431 109 431 86 405 86 375 86 345 109 319 139 319 169 319 192 345 192 375M192 56C192 86 169 112 139 112 109 112 86 86 86 56 86 26 109 0 139 0 169 0 192 26 192 56Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="A" transform="translate(555.8,0)"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.588ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2027.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\alpha_t:A \to A"><g data-mml-node="mo" data-latex="\to"><path data-c="2192" d="M932 234C939 237 943 243 943 250 943 257 939 263 932 266 884 282 839 316 797 368 769 403 750 444 741 491 738 504 730 510 717 510 701 510 693 502 693 485L694 483 694 482C711 395 755 326 828 274L82 274C66 274 58 266 58 250 58 234 66 226 82 226L828 226C755 174 711 105 694 18L694 17 693 15C693-2 701-10 717-10 730-10 738-4 741 9 750 56 769 97 797 132 839 184 884 218 932 234Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="A" transform="translate(1277.8,0)"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是一个单参数自同构群，表示系统的动力学演化。一个态<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.348ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 596 899"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\phi"><g data-mml-node="mi" data-latex="\phi"><path data-c="1D719" d="M385 445C404 524 424 601 442 680L442 683C439 690 434 694 426 694 417 694 411 686 408 671L351 445C276 442 208 414 147 362 82 307 49 243 49 170 49 62 132-7 237-13 218-92 204-149 195-183 194-186 194-189 194-190 194-200 199-205 210-205 221-205 224-199 227-187L271-14C346-11 414 17 475 69 540 125 573 189 573 262 573 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transform="translate(3270.3,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.694ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2958.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\phi(\alpha_t(a)) = \phi(a)"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 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631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="a" transform="translate(2040.8,0)"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2569.8,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。换句话说，稳态在动力学演化下保持不变。</p><p>他指出：“我们理论中对普通物理学具有重要意义的一个方面在于，一条一般的不确定性原理可以从这些公设推出。” 从本质上讲，Segal 提出并研究了实 Jordan Banach 代数，并为代数中的元素建立了一套谱理论（spectral theory）。</p><p>Jordan-Banach 代数是一个复向量空间<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.292ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.579ex" height="1.857ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -692 698 821"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathcal{J}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal{J}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="4A" d="M657 667 658 692 595 692C483 692 386 659 305 593 258 555 230 516 220 476 212 446 223 418 251 418 279 418 299 444 312 497 336 591 406 626 517 642L444 352C362 323 292 286 234 240 128 154 65 70 44-12 41-23 40-34 40-44 40-65 46-83 58-99 73-119 102-129 145-129 200-129 265-99 339-40 404 13 452 100 482 221 517 362 553 503 588 644M268 219C313 256 366 286 429 309 416 251 407 207 400 178 375 78 338 7 288-34 253-63 218-78 185-78 142-78 121-60 121-23 121-11 123 4 127 21 144 91 191 157 268 219Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> ，同时满足以下条件：</p><p>1、<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.292ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.579ex" height="1.857ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -692 698 821"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathcal{J}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal{J}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="4A" d="M657 667 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493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</li></ul><p>2、<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.292ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.579ex" height="1.857ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -692 698 821"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathcal{J}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal{J}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="4A" d="M657 667 658 692 595 692C483 692 386 659 305 593 258 555 230 516 220 476 212 446 223 418 251 418 279 418 299 444 312 497 336 591 406 626 517 642L444 352C362 323 292 286 234 240 128 154 65 70 44-12 41-23 40-34 40-44 40-65 46-83 58-99 73-119 102-129 145-129 200-129 265-99 339-40 404 13 452 100 482 221 517 362 553 503 588 644M268 219C313 256 366 286 429 309 416 251 407 207 400 178 375 78 338 7 288-34 253-63 218-78 185-78 142-78 121-60 121-23 121-11 123 4 127 21 144 91 191 157 268 219Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 是一个 Banach 空间，即其上定义了一个范数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.629ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 278 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="|\cdot|"><g data-mml-node="mo" data-latex="|"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.761ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 778.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="|\cdot|"><g data-mml-node="mo" data-latex="\cdot"><path data-c="22C5" d="M192 250C192 279 168 303 139 303 110 303 86 279 86 250 86 221 110 197 139 197 168 197 192 221 192 250Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="|" transform="translate(500.2,0)"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，使得<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.292ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.579ex" height="1.857ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -692 698 821"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathcal{J}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal{J}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="4A" d="M657 667 658 692 595 692C483 692 386 659 305 593 258 555 230 516 220 476 212 446 223 418 251 418 279 418 299 444 312 497 336 591 406 626 517 642L444 352C362 323 292 286 234 240 128 154 65 70 44-12 41-23 40-34 40-44 40-65 46-83 58-99 73-119 102-129 145-129 200-129 265-99 339-40 404 13 452 100 482 221 517 362 553 503 588 644M268 219C313 256 366 286 429 309 416 251 407 207 400 178 375 78 338 7 288-34 253-63 218-78 185-78 142-78 121-60 121-23 121-11 123 4 127 21 144 91 191 157 268 219Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 在该范数下是完备的。</p><p>3、范数与 Jordan 积满足相容性条件：对于任意<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.173ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1402.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a,b \in \mathcal{J}"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 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|b|"><g data-mml-node="mtable" data-latex="|a \circ b| \leq |a| \cdot |b|" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="3248.2 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo" data-latex="|"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="a" transform="translate(278,0)"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 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data-mml-node="mo" data-latex="|" transform="translate(6218.4,0)"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -750 1 1000"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:4"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(4)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199 28 163 289 163 289 81C289 63 285 51 278 46 271 41 252 39 219 39L194 39 194 0C223 2 269 3 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overflow="overflow"><svg style="vertical-align:.088ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="0.957ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -462 500 423"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="*"><g data-mml-node="mo" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 代数层面上的特征，以及在希尔伯特空间上的表示，都对这方面的研究至关重要。</p><h3 id="五、-C-代数的理想结构与非交换分析"><a href="#五、-C-代数的理想结构与非交换分析" class="headerlink" title="五、$C^*$-代数的理想结构与非交换分析"></a>五、<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(845.3,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container>- 代数的理想结构与非交换分析</h3><p>Segal 在《算子代数里的双侧理想》（Two‑sided ideals in operator algebras）中解决了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(845.3,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> - 代数理论中的一个基本问题。他证明了：在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(845.3,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> - 代数中，任何范数闭（norm‑closed）、双侧（two‑sided）理想都在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:.088ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="0.957ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -462 500 423"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="*"><g data-mml-node="mo" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> - 运算下封闭（也就是说，若其包含<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，便必包含<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.685ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 1186.6 716"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="A^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(783,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> ）。由此可推知，用该理想作商所得到的商代数仍是一个<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.825ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1248.8 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C^*"><g data-mml-node="msup" data-latex="C^*"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(845.3,363) scale(0.707)" data-latex="*"><path data-c="2217" d="M404 372C397 372 390 370 385 366L267 279 282 425C285 445 269 462 250 462 231 462 215 445 218 425L233 279 115 366C110 370 103 372 96 372 78 372 63 357 63 339 63 325 70 315 83 309L217 250 83 191C70 185 63 175 63 161 63 143 78 128 96 128 103 128 110 130 115 134L233 221 218 75C215 55 231 39 250 39 269 39 285 55 282 75L267 221 385 134C390 130 397 128 404 128 415 128 424 133 431 142 446 162 435 183 417 191L283 250 417 309C430 315 437 325 437 339 437 357 422 372 404 372Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> - 代数。</p><p>尽管论文中并未明确指出，然而 Segal 的论证也同时意味着：一个左（或右）范数闭理想可以由其包含的正元（positive elements）所构成的锥（cone）来生成（作为一个范数闭理想）。</p><p>这些论证涉及了非交换分析（noncommutative analysis）中最早也最基本的一些技巧，并为确立逼近恒等元（approximate identities）以及逼近极分解（approximate polar decompositions）的存在性提供了关键技术。</p><p>在《抽象积分的非交换扩张》（A non‑commutative extension of abstract integration）中，Segal 将 von Neumann 在有关非交换测度论（non‑commutative measure theory）的研究从因子（factors）推广到了具有任意中心（arbitrary center）的 von Neumann 代数（von Neumann algebras）。</p><h3 id="六、“计时宇宙学（chronometric-cosmology）”"><a href="#六、“计时宇宙学（chronometric-cosmology）”" class="headerlink" title="六、“计时宇宙学（chronometric cosmology）”"></a>六、“计时宇宙学（chronometric cosmology）”</h3><p>正如前文提及，Segal 在学术生涯后期将主要研究目标转向了宇宙学。Segal 认为宇宙并非在膨胀，红移源于宇宙本身的曲率，而非大爆炸后的时空膨胀。</p><p>在 Segal 的时空模型中，洛伦兹群（Lorentz group）及其扩展的庞加莱群（Poincaré group）被视为时空对称性。但若再将爱因斯坦式的时间演化纳入 “共形群（conformal group）”，共形紧化（conformal compactification）会引入封闭类时曲线（closed timelike curves）。为避免时空曲率闭合导致的 “时间倒流” 问题，Segal 设想宇宙的空间部分是一个巨大的三维球面，时间则由一个辅助实直线表示，确保时空不会在自身处闭合，每一点都存在凸性的未来方向。</p><p>Segal 回顾并分析了天体红移数据，宣称其与自己提出的理论相符。然而，主流天体物理界对 Segal 的理论并不认可。</p><p>其早期形态可追溯至 Einstein 在 1917 年提出的宇宙模型，此模型被认为已遭到反驳或被弃用。</p></div></div><div class="footer"></div><div class="article-meta" id="bottom"><div class="new-meta-box"></div></div><div class="prev-next"><a class="prev" href="/notes/person/14"><p class="title"><i class="fa-solid fa-chevron-left" aria-hidden="true"></i>von Neumann约翰·冯·诺依曼在数学与博弈论的多领域奠基性贡献</p><p class="content">约翰·冯·诺依曼在数学领域贡献卓著，奠定了量子力学的数学基础，并与默里合作建立了冯·诺依曼代数。他在博弈论方面证明了极小极大定理，并与摩根斯坦合著了《博弈论与经济行为》。此外，他还严格证明了遍历定理。</p></a><a class="next" href="/notes/person/16"><p class="title">Birkhoff乔治·大卫·伯克霍夫：美国数学巨擘与美学探路者<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">乔治·大卫·伯克霍夫是美国杰出的数学家，他在动力系统与遍历定理方面做出了奠基性贡献，并因证明庞加莱最后几何定理而闻名。他成功地将数学思想拓展至美学理论，其研究领域广泛，包括地图着色和广义相对论，深刻影响了20世纪的数学发展</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/14.html" title="von Neumann约翰·冯·诺依曼在数学与博弈论的多领域奠基性贡献" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/9.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/9.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="von Neumann约翰·冯·诺依曼在数学与博弈论的多领域奠基性贡献"> <span class="title">von Neumann约翰·冯·诺依曼在数学与博弈论的多领域奠基性贡献</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/1.html" 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