@mhg/blog
Version:
25 lines • 468 kB
HTML
<!DOCTYPE html><html lang="zh-Hans"><head hexo-theme="https://github.com/volantis-x/hexo-theme-volantis/#6.0.3"><meta name="generator" content="Hexo 8.1.2"><meta name="Volantis" content="6.0.3"><meta charset="utf-8"><meta name="robots" content="index,follow,max-image-preview:large"><link rel="canonical" href="https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/76"><meta http-equiv="x-dns-prefetch-control" content="on"><link rel="dns-prefetch" href="https://static.mhuig.top"><link rel="preconnect" href="https://static.mhuig.top" crossorigin=""><meta name="renderer" content="webkit"><meta name="force-rendering" content="webkit"><meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=Edge,chrome=1"><meta name="HandheldFriendly" content="True"><meta name="mobile-web-app-capable" content="yes"><meta name="viewport" content="width=device-width,initial-scale=1,maximum-scale=5"><meta content="black-translucent" name="apple-mobile-web-app-status-bar-style"><meta content="telephone=no" name="format-detection"><script>function registerServiceWorker(e){"localhost"!=window.location.hostname&&"serviceWorker"in navigator&&navigator.serviceWorker.register(`${e}`).then((function(e){"localhost"==window.location.hostname&&(e.onupdatefound=function(){var r=e.installing;r.onstatechange=function(){switch(r.state){case"installed":navigator.serviceWorker.controller?console.log("Updated Service Worker."):console.log("Service Worker Sucess!");break;case"redundant":console.log("The installing service worker became redundant.")}}})})).catch((function(e){console.error("Error during service worker registration:",e),"undefined"==typeof swinstallretry&&(swinstallretry=1,registerServiceWorker("/jquery.js"))}))}registerServiceWorker("/jquery.js")</script><link rel="apple-touch-icon" sizes="180x180" href="/lib/favicon/apple-touch-icon.png"><link rel="icon" type="image/png" sizes="32x32" href="/lib/favicon/favicon-32x32.png"><link rel="icon" type="image/png" sizes="192x192" href="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"><link rel="icon" type="image/png" sizes="144x144" href="/lib/favicon/android-chrome-144x144.png"><link rel="icon" type="image/png" sizes="16x16" href="/lib/favicon/favicon-16x16.png"><link rel="manifest" href="/lib/favicon/site.webmanifest"><link rel="mask-icon" href="/lib/favicon/safari-pinned-tab.svg" color="#5bbad5"><meta name="apple-mobile-web-app-title" content="MHuiG Magicland"><meta name="apple-mobile-web-app-status-bar-style" content="black"><meta name="application-name" content="MHuiG Magicland"><meta name="msapplication-TileColor" content="#87ceeb"><meta name="msapplication-TileImage" content="/lib/favicon/mstile-144x144.png"><meta name="theme-color" content="#87ceeb" media="(prefers-color-scheme: light)"><meta name="theme-color" content="#21232f" media="(prefers-color-scheme: dark)"><link href="/opensearch.xml" rel="search" title="MHuiG Magicland" type="application/opensearchdescription+xml"><link rel="sitemap" type="application/xml" title="MHuiG Blog Site Map" href="https://blog.mhuig.top/sitemap.xml"><link rel="author" href="https://mhuig.top"><meta name="author" content="MHuiG"><meta name="creator" content="MHuiG"><link rel="archives" href="https://blog.mhuig.top/archives/"><link rel="preload" href="/css/style.css" as="style"><link rel="preload" href="https://static.mhuig.top/npm/volantis-static@0.0.1660614606622/media/fonts/VarelaRound/VarelaRound-Regular.ttf" as="font" type="font/ttf" crossorigin="anonymous"><link rel="preload" href="https://static.mhuig.top/npm/volantis-static@0.0.1660614606622/media/fonts/VarelaRound/VarelaRound-Regular.ttf" as="font" type="font/ttf" crossorigin="anonymous"><link rel="alternate" href="/atom.xml" title="Magicland" type="application/atom+xml"><link rel="alternate" href="/rss2.xml" title="Magicland" type="application/rss+xml"><title>Zeta Archive: 希尔伯特-波利亚猜想 - Magicland</title><meta name="keywords" content="数学,Zeta, Math,希尔伯特-波利亚猜想,黎曼ζ函数零点,厄米算子,MHuiG, @MHuiG, Blog, 博客, Magicland, 魔法世界"><meta desc="" name="description" content="希尔伯特-波利亚猜想断言黎曼ζ函数非平凡零点对应某厄米算子本征值，将数论与量子物理相连。1914年由波利亚受兰道启发提出，核心为存在性与厄米性两命题，即零点虚部等于自伴哈密顿算子能量本征值。1972年蒙哥马利-戴森发现零点对关联函数与GUE随机矩阵一致，1999年贝里-基廷提出H=xp+px模型，其量子化能级密度与零点计数公式吻合，获奥德利兹科数值计算支持，成为数学物理深刻谜题。 - MHuiG - Magicland"><meta property="og:type" content="website"><meta property="og:title" content="Magicland"><meta property="og:url" content="https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/76"><meta property="og:site_name" content="Magicland"><meta property="og:description" content="希尔伯特-波利亚猜想断言黎曼ζ函数非平凡零点对应某厄米算子本征值，将数论与量子物理相连。1914年由波利亚受兰道启发提出，核心为存在性与厄米性两命题，即零点虚部等于自伴哈密顿算子能量本征值。1972年蒙哥马利-戴森发现零点对关联函数与GUE随机矩阵一致，1999年贝里-基廷提出H=xp+px模型，其量子化能级密度与零点计数公式吻合，获奥德利兹科数值计算支持，成为数学物理深刻谜题。"><meta property="og:locale"><meta property="og:image" content="https://blog.mhuig.top/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"><meta property="article:published_time" content="2025-11-05T05:22:00.000Z"><meta property="article:modified_time" content="2025-12-02T01:20:00.000Z"><meta property="article:author" content="MHuiG"><meta property="article:tag" content="Math"><meta property="article:tag" content="厄米算子"><meta property="article:tag" content="希尔伯特-波利亚猜想"><meta property="article:tag" content="黎曼ζ函数零点"><meta name="twitter:card" content="summary"><meta name="twitter:image" content="https://blog.mhuig.top/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"><meta name="twitter:creator" content="@iMHuiG"><meta name="twitter:site" content="@iMHuiG"><style>#safearea{display:none}.post-story+.post-story{content-visibility:auto;contain-intrinsic-size:10px 500px}:root{--color-site-body:#87ceeb;--color-site-bg:#87ceeb;--color-site-inner:#555;--color-site-footer:#666;--color-card:#fff;--color-text:#444;--color-block:#f6f6f6;--color-inlinecode:#d56d28;--color-codeblock:#fff7ea;--color-h1:#3a3a3a;--color-h2:#3a3a3a;--color-h3:#333;--color-h4:#444;--color-h5:#555;--color-h6:#666;--color-p:#444;--color-list:#666;--color-list-hl:#1a78c2;--color-meta:#888;--color-read-bkg:#e0d8c8;--color-read-post:#f8f1e2;--color-copyright-bkg:#f5f5f5}*{box-sizing:border-box;-webkit-box-sizing:border-box;-moz-box-sizing:border-box;outline:0;margin:0;padding:0}::-webkit-scrollbar{height:4px;width:4px}::-webkit-scrollbar-track-piece{background:0 0}::-webkit-scrollbar-thumb{background:#2196f3;cursor:pointer;border-radius:2px;-webkit-border-radius:2px}::-webkit-scrollbar-thumb:hover{background:#ff5722}html{color:var(--color-text);width:100%;height:100%;font-family:"Varela Round","PingFang SC","Microsoft YaHei",Helvetica,Arial,Menlo,Monaco,monospace,sans-serif;font-size:16px}html>::-webkit-scrollbar{height:4px;width:4px}html>::-webkit-scrollbar-track-piece{background:0 0}html>::-webkit-scrollbar-thumb{background:#2196f3;cursor:pointer;border-radius:2px;-webkit-border-radius:2px}html>::-webkit-scrollbar-thumb:hover{background:#ff5722}body{background-color:var(--color-site-body);text-rendering:optimizelegibility;-webkit-tap-highlight-color:transparent;line-height:1.6;-webkit-text-size-adjust:100%;-ms-text-size-adjust:100%}body.modal-active{overflow:hidden}@media screen and (max-width:680px){body.modal-active{position:fixed;top:0;right:0;bottom:0;left:0}}a{color:#2196f3;cursor:pointer;text-decoration:none;transition:all .28s ease;-webkit-transition:all .28s ease;-khtml-transition:all 0.28s ease;-moz-transition:all .28s ease;-o-transition:all .28s ease;-ms-transition:all .28s ease}a:hover{color:#ff5722}a:active,a:hover{outline:0}ol,ul{padding-left:0}ol li,ul li{list-style:none}header{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:block}img{border:0;background:0 0;max-width:100%}svg:not(:root){overflow:hidden}hr{-moz-box-sizing:content-box;box-sizing:content-box;-webkit-box-sizing:content-box;-moz-box-sizing:content-box;height:0;border:0;border-radius:1px;-webkit-border-radius:1px;border-bottom:1px solid rgba(68,68,68,.1)}button,input{color:inherit;font:inherit;margin:0}button{overflow:visible;text-transform:none;-webkit-appearance:button;cursor:pointer}@supports (backdrop-filter:blur(20px)){.blur{background:rgba(255,255,255,.9)!important;backdrop-filter:saturate(200%) blur(20px)}}.shadow{box-shadow:0 1px 2px 0 rgba(0,0,0,.1);-webkit-box-shadow:0 1px 2px 0 rgba(0,0,0,.1)}.shadow.floatable{transition:all .28s ease;-webkit-transition:all .28s ease;-khtml-transition:all 0.28s ease;-moz-transition:all .28s ease;-o-transition:all .28s ease;-ms-transition:all .28s ease}.shadow.floatable:hover{box-shadow:0 2px 4px 0 rgba(0,0,0,.1),0 4px 8px 0 rgba(0,0,0,.1),0 8px 16px 0 rgba(0,0,0,.1);-webkit-box-shadow:0 2px 4px 0 rgba(0,0,0,.1),0 4px 8px 0 rgba(0,0,0,.1),0 8px 16px 0 rgba(0,0,0,.1)}#l_cover{min-height:64px}.cover-wrapper{top:0;left:0;max-width:100%;height:100vh;display:-webkit-box;display:-moz-box;display:-ms-flexbox;display:-webkit-flex;display:flex;display:flex;flex-wrap:nowrap;-webkit-flex-wrap:nowrap;-khtml-flex-wrap:nowrap;-moz-flex-wrap:nowrap;-o-flex-wrap:nowrap;-ms-flex-wrap:nowrap;-webkit-box-direction:normal;-moz-box-direction:normal;-webkit-box-orient:vertical;-moz-box-orient:vertical;-webkit-flex-direction:column;-ms-flex-direction:column;flex-direction:column;align-items:center;align-self:center;align-content:center;color:var(--color-site-inner);padding:0 16px;user-select:none;-webkit-user-select:none;-moz-user-select:none;-ms-user-select:none;position:relative;overflow:hidden;margin-bottom:-100px}.cover-wrapper .cover-bg{position:absolute;width:100%;height:100%;background-position:center;background-size:cover;-webkit-background-size:cover;-moz-background-size:cover}.cover-wrapper .cover-bg.lazyload:not(.loaded){opacity:0;-webkit-opacity:0;-moz-opacity:0}.cover-wrapper .cover-bg.lazyload.loaded{animation-delay:0s;animation-duration:.5s;animation-fill-mode:forwards;animation-timing-function:ease-out;animation-name:fadeIn}@-moz-keyframes fadeIn{0%{opacity:0;-webkit-opacity:0;-moz-opacity:0;filter:blur(12px);transform:scale(1.02);-webkit-transform:scale(1.02);-khtml-transform:scale(1.02);-moz-transform:scale(1.02);-o-transform:scale(1.02);-ms-transform:scale(1.02)}100%{opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1}}@-webkit-keyframes fadeIn{0%{opacity:0;-webkit-opacity:0;-moz-opacity:0;filter:blur(12px);transform:scale(1.02);-webkit-transform:scale(1.02);-khtml-transform:scale(1.02);-moz-transform:scale(1.02);-o-transform:scale(1.02);-ms-transform:scale(1.02)}100%{opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1}}@-o-keyframes fadeIn{0%{opacity:0;-webkit-opacity:0;-moz-opacity:0;filter:blur(12px);transform:scale(1.02);-webkit-transform:scale(1.02);-khtml-transform:scale(1.02);-moz-transform:scale(1.02);-o-transform:scale(1.02);-ms-transform:scale(1.02)}100%{opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1}}@keyframes fadeIn{0%{opacity:0;-webkit-opacity:0;-moz-opacity:0;filter:blur(12px);transform:scale(1.02);-webkit-transform:scale(1.02);-khtml-transform:scale(1.02);-moz-transform:scale(1.02);-o-transform:scale(1.02);-ms-transform:scale(1.02)}100%{opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1}}.cover-wrapper .cover-body{z-index:1;position:relative;width:100%;height:100%}.cover-wrapper#full{height:calc(100vh + 100px);padding-bottom:100px}.cover-wrapper#half{max-height:640px;min-height:400px;height:calc(36vh - 64px + 200px)}.cover-wrapper #scroll-down{width:100%;height:64px;position:absolute;bottom:100px;text-align:center;cursor:pointer}.cover-wrapper #scroll-down .scroll-down-effects{color:#fff;font-size:24px;line-height:64px;position:absolute;width:24px;left:calc(50% - 12px);text-shadow:0 1px 2px rgba(0,0,0,.1);animation:scroll-down-effect 1.5s infinite;-webkit-animation:scroll-down-effect 1.5s infinite;-khtml-animation:scroll-down-effect 1.5s infinite;-moz-animation:scroll-down-effect 1.5s infinite;-o-animation:scroll-down-effect 1.5s infinite;-ms-animation:scroll-down-effect 1.5s infinite}@-moz-keyframes scroll-down-effect{0%{top:0;opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1}50%{top:-16px;opacity:.4;-webkit-opacity:0.4;-moz-opacity:0.4}100%{top:0;opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1}}@-webkit-keyframes scroll-down-effect{0%{top:0;opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1}50%{top:-16px;opacity:.4;-webkit-opacity:0.4;-moz-opacity:0.4}100%{top:0;opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1}}@-o-keyframes scroll-down-effect{0%{top:0;opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1}50%{top:-16px;opacity:.4;-webkit-opacity:0.4;-moz-opacity:0.4}100%{top:0;opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1}}@keyframes scroll-down-effect{0%{top:0;opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1}50%{top:-16px;opacity:.4;-webkit-opacity:0.4;-moz-opacity:0.4}100%{top:0;opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1}}.cover-wrapper .cover-body{margin-top:64px;margin-bottom:100px}.cover-wrapper .cover-body,.cover-wrapper .cover-body .bottom,.cover-wrapper .cover-body .top{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:-ms-flexbox;display:-webkit-flex;display:flex;display:flex;-webkit-box-direction:normal;-moz-box-direction:normal;-webkit-box-orient:vertical;-moz-box-orient:vertical;-webkit-flex-direction:column;-ms-flex-direction:column;flex-direction:column;align-items:center;justify-content:center;-webkit-justify-content:center;-khtml-justify-content:center;-moz-justify-content:center;-o-justify-content:center;-ms-justify-content:center;max-width:100%}.cover-wrapper .cover-body .bottom{margin-top:32px}.cover-wrapper .cover-body .title{font-family:"Varela Round","PingFang SC","Microsoft YaHei",Helvetica,Arial,Helvetica,monospace;font-size:3.125rem;line-height:1.2;text-shadow:0 1px 2px rgba(0,0,0,.1)}.cover-wrapper .cover-body .subtitle{font-size:20px}.cover-wrapper .cover-body .logo{max-height:120px;max-width:calc(100% - 4 * 16px)}@media screen and (min-height:1024px){.cover-wrapper .cover-body .title{font-size:3rem}.cover-wrapper .cover-body .subtitle{font-size:1.05rem}.cover-wrapper .cover-body .logo{max-height:150px}}.cover-wrapper .cover-body .m_search{position:relative;max-width:calc(100% - 16px);width:320px;vertical-align:middle}.cover-wrapper .cover-body .m_search .form{position:relative;display:-webkit-box;display:-moz-box;display:block;width:100%}.cover-wrapper .cover-body .m_search .icon,.cover-wrapper .cover-body .m_search .input{transition:all .28s ease;-webkit-transition:all .28s ease;-khtml-transition:all 0.28s ease;-moz-transition:all .28s ease;-o-transition:all .28s ease;-ms-transition:all .28s ease}.cover-wrapper .cover-body .m_search .icon{position:absolute;display:-webkit-box;display:-moz-box;display:block;line-height:2.5rem;width:32px;top:0;left:5px;color:rgba(68,68,68,.75)}.cover-wrapper .cover-body .m_search .input{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:block;height:2.5rem;width:100%;box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-sizing:border-box;-webkit-box-sizing:border-box;-moz-box-sizing:border-box;font-size:.875rem;-webkit-appearance:none;padding-left:36px;border-radius:1.4rem;-webkit-border-radius:1.4rem;background:rgba(255,255,255,.6);backdrop-filter:blur(10px);border:none;color:var(--color-text)}@media screen and (max-width:500px){.cover-wrapper .cover-body .m_search .input{padding-left:36px}}.cover-wrapper .cover-body .m_search .input:hover{background:rgba(255,255,255,.8)}.cover-wrapper .cover-body .m_search .input:focus{background:#fff}.cover-wrapper .list-h{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:-ms-flexbox;display:-webkit-flex;display:flex;display:flex;-webkit-box-direction:normal;-moz-box-direction:normal;-webkit-box-orient:horizontal;-moz-box-orient:horizontal;-webkit-flex-direction:row;-ms-flex-direction:row;flex-direction:row;flex-wrap:wrap;-webkit-flex-wrap:wrap;-khtml-flex-wrap:wrap;-moz-flex-wrap:wrap;-o-flex-wrap:wrap;-ms-flex-wrap:wrap;align-items:stretch;border-radius:4px;-webkit-border-radius:4px;user-select:none;-webkit-user-select:none;-moz-user-select:none;-ms-user-select:none}.cover-wrapper .list-h a{-webkit-box-flex:1;-moz-box-flex:1;-webkit-flex:1 0;-ms-flex:1 0;flex:1 0;display:-webkit-box;display:-moz-box;display:-ms-flexbox;display:-webkit-flex;display:flex;display:flex;font-weight:600}.cover-wrapper .list-h a img{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:block;border-radius:2px;-webkit-border-radius:2px;margin:4px;min-width:40px;max-width:44px}@media screen and (max-width:768px){.cover-wrapper .list-h a img{min-width:36px;max-width:40px}}@media screen and (max-width:500px){.cover-wrapper .list-h a img{margin:2px 4px;min-width:32px;max-width:36px}}@media screen and (max-width:375px){.cover-wrapper .list-h a img{min-width:28px;max-width:32px}}.cover-wrapper{max-width:100%}.cover-wrapper.search .bottom .menu{margin-top:16px}.cover-wrapper.search .bottom .menu .list-h a{white-space:nowrap;-webkit-box-direction:normal;-moz-box-direction:normal;-webkit-box-orient:horizontal;-moz-box-orient:horizontal;-webkit-flex-direction:row;-ms-flex-direction:row;flex-direction:row;align-items:baseline;padding:2px;margin:4px;color:var(--color-site-inner);opacity:.75;-webkit-opacity:0.75;-moz-opacity:0.75;text-shadow:0 1px 2px rgba(0,0,0,.05);border-bottom:2px solid transparent}.cover-wrapper.search .bottom .menu .list-h a i{margin-right:4px}.cover-wrapper.search .bottom .menu .list-h a p{font-size:.9375rem}.cover-wrapper.search .bottom .menu .list-h a.active,.cover-wrapper.search .bottom .menu .list-h a:active,.cover-wrapper.search .bottom .menu .list-h a:hover{opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1;border-bottom:2px solid var(--color-site-inner)}.cover-wrapper.dock .menu,.cover-wrapper.featured .menu,.cover-wrapper.focus .menu{border-radius:6px;-webkit-border-radius:6px}.cover-wrapper.dock .menu .list-h a,.cover-wrapper.featured .menu .list-h a,.cover-wrapper.focus .menu .list-h a{-webkit-box-direction:normal;-moz-box-direction:normal;-webkit-box-orient:vertical;-moz-box-orient:vertical;-webkit-flex-direction:column;-ms-flex-direction:column;flex-direction:column;align-items:center;padding:12px;line-height:24px;border-radius:4px;-webkit-border-radius:4px;border-bottom:none;text-align:center;align-content:flex-end;color:rgba(68,68,68,.7);font-size:1.5rem}@media screen and (max-width:500px){.cover-wrapper.dock .menu .list-h a,.cover-wrapper.featured .menu .list-h a,.cover-wrapper.focus .menu .list-h a{padding:12px 8px}}.cover-wrapper.dock .menu .list-h a i,.cover-wrapper.featured .menu .list-h a i,.cover-wrapper.focus .menu .list-h a i{margin:8px}.cover-wrapper.dock .menu .list-h a p,.cover-wrapper.featured .menu .list-h a p,.cover-wrapper.focus .menu .list-h a p{font-size:.875rem}.cover-wrapper.dock .menu .list-h a.active,.cover-wrapper.featured .menu .list-h a.active,.cover-wrapper.focus .menu .list-h a.active{background:var(--color-card);backdrop-filter:none}.cover-wrapper.dock .menu .list-h a.active i,.cover-wrapper.dock .menu .list-h a.active i+p,.cover-wrapper.featured .menu .list-h a.active i,.cover-wrapper.featured .menu .list-h a.active i+p,.cover-wrapper.focus .menu .list-h a.active i,.cover-wrapper.focus .menu .list-h a.active i+p{color:#2196f3}.cover-wrapper.dock .menu .list-h a.active img+p,.cover-wrapper.featured .menu .list-h a.active img+p,.cover-wrapper.focus .menu .list-h a.active img+p{color:var(--color-text)}.cover-wrapper.dock .menu .list-h a:hover,.cover-wrapper.featured .menu .list-h a:hover,.cover-wrapper.focus .menu .list-h a:hover{background:var(--color-card)}.cover-wrapper.featured .menu .list-h{margin:-2px}.cover-wrapper.featured .menu .list-h a{margin:2px;background:rgba(255,255,255,.5)}@supports (backdrop-filter:blur(20px)){.cover-wrapper.featured .menu .list-h a{background:rgba(255,255,255,.5);backdrop-filter:saturate(200%) blur(20px)}}@media (prefers-color-scheme:dark){:root{--color-mode:'dark'}:root:not([color-scheme]){--color-site-body:#121212;--color-read-bkg:#21232f;--color-read-post:#252d38;--color-site-bg:#21232f;--color-site-inner:#efefef;--color-site-footer:#666;--color-card:#252d38;--color-text:rgba(238,238,238,0.871);--color-block:rgba(68,68,68,0.65);--color-codeblock:#444;--color-inlinecode:#d56d28;--color-h1:rgba(255,255,255,0.871);--color-h2:rgba(255,255,255,0.871);--color-h3:rgba(255,255,255,0.6);--color-h4:rgba(255,255,255,0.6);--color-h5:rgba(255,255,255,0.6);--color-h6:rgba(255,255,255,0.6);--color-p:rgba(217,217,217,0.871);--color-list:rgba(217,217,217,0.871);--color-list-hl:#4dabf5;--color-meta:rgba(191,191,191,0.871);--color-link:rgba(191,191,191,0.871);--color-copyright-bkg:#21252b}:root:not([color-scheme]) img{filter:brightness(70%)!important}:root:not([color-scheme]) .blur{background:rgba(33,35,47,.9)!important}:root:not([color-scheme]) .white-box.blur{background:rgba(37,45,56,.9)!important}:root:not([color-scheme]) .nav-main .u-search-input{background:var(--color-card)!important}:root:not([color-scheme]) #l_main .article .prev-next>a{background:var(--color-block)!important}:root:not([color-scheme]) #l_main .article .prev-next>a:hover{background:var(--color-site-bg)!important}:root:not([color-scheme]) .article blockquote{background:var(--color-block)!important}:root:not([color-scheme]) .article-title a{color:var(--color-h1)!important}:root:not([color-scheme]) details>summary{color:var(--color-p)!important;background:var(--color-site-bg)!important}:root:not([color-scheme]) details{border:1px solid var(--color-site-bg)!important;background:var(--color-site-bg)!important}:root:not([color-scheme]) #u-search .modal,:root:not([color-scheme]) #u-search .modal-body,:root:not([color-scheme]) #u-search .modal-header{background:var(--color-card)!important}:root:not([color-scheme]) #u-search .modal-body .modal-results .result:hover{background:var(--color-block)!important}:root:not([color-scheme]) .u-search-input:hover{background:var(--color-block)!important}:root:not([color-scheme]) .u-search-input:focus{background:var(--color-site-body)!important}}[color-scheme=dark]{--color-site-body:#121212;--color-read-bkg:#21232f;--color-read-post:#252d38;--color-site-bg:#21232f;--color-site-inner:#efefef;--color-site-footer:#666;--color-card:#252d38;--color-text:rgba(238,238,238,0.871);--color-block:rgba(68,68,68,0.65);--color-codeblock:#444;--color-inlinecode:#d56d28;--color-h1:rgba(255,255,255,0.871);--color-h2:rgba(255,255,255,0.871);--color-h3:rgba(255,255,255,0.6);--color-h4:rgba(255,255,255,0.6);--color-h5:rgba(255,255,255,0.6);--color-h6:rgba(255,255,255,0.6);--color-p:rgba(217,217,217,0.871);--color-list:rgba(217,217,217,0.871);--color-list-hl:#4dabf5;--color-meta:rgba(191,191,191,0.871);--color-link:rgba(191,191,191,0.871);--color-copyright-bkg:#21252b}[color-scheme=dark] img{filter:brightness(70%)!important}[color-scheme=dark] .blur{background:rgba(33,35,47,.9)!important}[color-scheme=dark] .white-box.blur{background:rgba(37,45,56,.9)!important}[color-scheme=dark] .nav-main .u-search-input{background:var(--color-card)!important}[color-scheme=dark] #l_main .article .prev-next>a{background:var(--color-block)!important}[color-scheme=dark] #l_main .article .prev-next>a:hover{background:var(--color-site-bg)!important}[color-scheme=dark] .article blockquote{background:var(--color-block)!important}[color-scheme=dark] .article-title a{color:var(--color-h1)!important}[color-scheme=dark] details>summary{color:var(--color-p)!important;background:var(--color-site-bg)!important}[color-scheme=dark] details{border:1px solid var(--color-site-bg)!important;background:var(--color-site-bg)!important}[color-scheme=dark] #u-search .modal,[color-scheme=dark] #u-search .modal-body,[color-scheme=dark] #u-search .modal-header{background:var(--color-card)!important}[color-scheme=dark] #u-search .modal-body .modal-results .result:hover{background:var(--color-block)!important}[color-scheme=dark] .u-search-input:hover{background:var(--color-block)!important}[color-scheme=dark] .u-search-input:focus{background:var(--color-site-body)!important}@media screen and (max-width:500px){[color-scheme=dark] .l_header .m_search{background:var(--color-site-bg)!important}}@font-face{font-family:'Varela Round';src:url("https://static.mhuig.top/npm/volantis-static@0.0.1660614606622/media/fonts/VarelaRound/VarelaRound-Regular.ttf");font-weight:'normal';font-style:'normal';font-display:swap}@font-face{font-family:'Varela Round';src:url("https://static.mhuig.top/npm/volantis-static@0.0.1660614606622/media/fonts/VarelaRound/VarelaRound-Regular.ttf");font-weight:'normal';font-style:'normal';font-display:swap}.l_header{position:fixed;z-index:1000;top:0;width:100%;height:64px;background:var(--color-card);box-shadow:0 1px 2px 0 rgba(0,0,0,.1);-webkit-box-shadow:0 1px 2px 0 rgba(0,0,0,.1)}.l_header.auto{transition:opacity .4s ease;-webkit-transition:opacity .4s ease;-khtml-transition:opacity 0.4s ease;-moz-transition:opacity .4s ease;-o-transition:opacity .4s ease;-ms-transition:opacity .4s ease;visibility:hidden}.l_header.auto.show{opacity:1!important;-webkit-opacity:1!important;-moz-opacity:1!important;visibility:visible}.l_header .container{margin-left:16px;margin-right:16px}.l_header #wrapper{height:100%;user-select:none;-webkit-user-select:none;-moz-user-select:none;-ms-user-select:none}.l_header #wrapper .nav-main,.l_header #wrapper .nav-sub{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:-ms-flexbox;display:-webkit-flex;display:flex;display:flex;flex-wrap:nowrap;-webkit-flex-wrap:nowrap;-khtml-flex-wrap:nowrap;-moz-flex-wrap:nowrap;-o-flex-wrap:nowrap;-ms-flex-wrap:nowrap;justify-content:space-between;-webkit-justify-content:space-between;-khtml-justify-content:space-between;-moz-justify-content:space-between;-o-justify-content:space-between;-ms-justify-content:space-between;align-items:center}.l_header #wrapper .nav-main{transition:all .28s ease;-webkit-transition:all .28s ease;-khtml-transition:all 0.28s ease;-moz-transition:all .28s ease;-o-transition:all .28s ease;-ms-transition:all .28s ease}.l_header #wrapper.sub .nav-main{transform:translateY(-64px);-webkit-transform:translateY(-64px);-khtml-transform:translateY(-64px);-moz-transform:translateY(-64px);-o-transform:translateY(-64px);-ms-transform:translateY(-64px)}.l_header #wrapper .nav-sub{transition:all .28s ease;-webkit-transition:all .28s ease;-khtml-transition:all 0.28s ease;-moz-transition:all .28s ease;-o-transition:all .28s ease;-ms-transition:all .28s ease;opacity:0;-webkit-opacity:0;-moz-opacity:0;height:64px;width:calc(100% - 2 * 16px);position:absolute}.l_header #wrapper .nav-sub ::-webkit-scrollbar{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:none}@media screen and (min-width:2048px){.l_header #wrapper .nav-sub{max-width:55vw;margin:auto}}.l_header #wrapper.sub .nav-sub{opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1}.l_header #wrapper .title{position:relative;color:var(--color-text);padding-left:24px;max-height:64px}.l_header #wrapper .nav-main .title{white-space:nowrap;overflow:hidden;text-overflow:ellipsis;flex-shrink:0;line-height:64px;padding:0 24px;font-size:1.25rem;font-family:"Varela Round","PingFang SC","Microsoft YaHei",Helvetica,Arial,Helvetica,monospace}.l_header #wrapper .nav-main .title img{height:64px}.l_header .nav-sub{max-width:1080px;margin:auto}.l_header .nav-sub .title{font-weight:700;font-family:"Varela Round","PingFang SC","Microsoft YaHei",Helvetica,Arial,Menlo,Monaco,monospace,sans-serif;line-height:1.2;max-height:64px;white-space:normal;flex-shrink:1}.l_header .switcher{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:none;line-height:64px;align-items:center}.l_header .switcher .s-toc{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:none}@media screen and (max-width:768px){.l_header .switcher .s-toc{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:-ms-flexbox;display:-webkit-flex;display:flex;display:flex}}.l_header .switcher>li{height:48px;transition:all .28s ease;-webkit-transition:all .28s ease;-khtml-transition:all 0.28s ease;-moz-transition:all .28s ease;-o-transition:all .28s ease;-ms-transition:all .28s ease;margin:2px}@media screen and (max-width:500px){.l_header .switcher>li{margin:0 1px;height:48px}}.l_header .switcher>li>a{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:-ms-flexbox;display:-webkit-flex;display:flex;display:flex;justify-content:center;-webkit-justify-content:center;-khtml-justify-content:center;-moz-justify-content:center;-o-justify-content:center;-ms-justify-content:center;align-items:center;width:48px;height:48px;padding:.85em 1.1em;border-radius:100px;-webkit-border-radius:100px;border:none;transition:all .28s ease;-webkit-transition:all .28s ease;-khtml-transition:all 0.28s ease;-moz-transition:all .28s ease;-o-transition:all .28s ease;-ms-transition:all .28s ease;color:#2196f3}.l_header .switcher>li>a:hover{border:none}.l_header .switcher>li>a.active,.l_header .switcher>li>a:active{border:none;background:var(--color-site-bg)}@media screen and (max-width:500px){.l_header .switcher>li>a{width:36px;height:48px}}.l_header .nav-sub .switcher{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:-ms-flexbox;display:-webkit-flex;display:flex;display:flex}.l_header .m_search{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:-ms-flexbox;display:-webkit-flex;display:flex;display:flex;height:64px;width:240px;transition:all .28s ease;-webkit-transition:all .28s ease;-khtml-transition:all 0.28s ease;-moz-transition:all .28s ease;-o-transition:all .28s ease;-ms-transition:all .28s ease}@media screen and (max-width:1024px){.l_header .m_search{width:44px;min-width:44px}.l_header .m_search input::placeholder{opacity:0;-webkit-opacity:0;-moz-opacity:0}.l_header .m_search:hover{width:240px}.l_header .m_search:hover input::placeholder{opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1}}@media screen and (min-width:500px){.l_header .m_search:hover .input{width:100%}.l_header .m_search:hover .input::placeholder{opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1}}@media screen and (max-width:500px){.l_header .m_search{min-width:0}.l_header .m_search input::placeholder{opacity:1;-webkit-opacity:1;-moz-opacity:1}}.l_header .m_search .form{position:relative;display:-webkit-box;display:-moz-box;display:-ms-flexbox;display:-webkit-flex;display:flex;display:flex;width:100%;align-items:center}.l_header .m_search .icon{position:absolute;width:36px;left:5px;color:var(--color-meta)}@media screen and (max-width:500px){.l_header .m_search .icon{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:none}}.l_header .m_search .input{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:block;padding-top:8px;padding-bottom:8px;line-height:1.3;width:100%;color:var(--color-text);background:#fafafa;box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-sizing:border-box;-webkit-box-sizing:border-box;-moz-box-sizing:border-box;padding-left:40px;font-size:.875rem;border-radius:8px;-webkit-border-radius:8px;border:none;transition:all .28s ease;-webkit-transition:all .28s ease;-khtml-transition:all 0.28s ease;-moz-transition:all .28s ease;-o-transition:all .28s ease;-ms-transition:all .28s ease}@media screen and (min-width:500px){.l_header .m_search .input:focus{box-shadow:0 4px 8px 0 rgba(0,0,0,.1);-webkit-box-shadow:0 4px 8px 0 rgba(0,0,0,.1)}}@media screen and (max-width:500px){.l_header .m_search .input{background:var(--color-block);padding-left:8px;border:none}.l_header .m_search .input:focus,.l_header .m_search .input:hover{border:none}}@media (max-width:500px){.l_header .m_search{left:0;width:0;overflow:hidden;position:absolute;background:#fff;transition:all .28s ease;-webkit-transition:all .28s ease;-khtml-transition:all 0.28s ease;-moz-transition:all .28s ease;-o-transition:all .28s ease;-ms-transition:all .28s ease}.l_header .m_search .input{border-radius:32px;-webkit-border-radius:32px;margin-left:16px;padding-left:16px}.l_header.z_search-open .m_search{width:100%}.l_header.z_search-open .m_search .input{width:calc(100% - 120px)}}ul.m-pc>li>a{color:inherit;border-bottom:2px solid transparent}ul.m-pc>li>a.active,ul.m-pc>li>a:active{border-bottom:2px solid #2196f3}ul.list-v li:hover>ul.list-v,ul.m-pc li:hover>ul.list-v{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:block}ul.nav-list-h{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:-ms-flexbox;display:-webkit-flex;display:flex;display:flex;align-items:stretch}ul.nav-list-h>li{position:relative;justify-content:center;-webkit-justify-content:center;-khtml-justify-content:center;-moz-justify-content:center;-o-justify-content:center;-ms-justify-content:center;height:100%;line-height:2.4;border-radius:4px;-webkit-border-radius:4px}ul.nav-list-h>li>a{-webkit-font-smoothing:antialiased;-moz-osx-font-smoothing:grayscale;font-weight:600}ul.list-v{z-index:1;display:-webkit-box;display:-moz-box;display:none;position:absolute;background:var(--color-card);box-shadow:0 2px 4px 0 rgba(0,0,0,.08),0 4px 8px 0 rgba(0,0,0,.08),0 8px 16px 0 rgba(0,0,0,.08);-webkit-box-shadow:0 2px 4px 0 rgba(0,0,0,.08),0 4px 8px 0 rgba(0,0,0,.08),0 8px 16px 0 rgba(0,0,0,.08);margin-top:-6px;border-radius:4px;-webkit-border-radius:4px;padding:8px 0}ul.list-v.show{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:block}ul.list-v hr{margin-top:8px;margin-bottom:8px}ul.list-v>li{white-space:nowrap;word-break:keep-all}ul.list-v>li.header{font-size:.78125rem;font-weight:700;line-height:2em;color:var(--color-meta);margin:8px 16px 4px}ul.list-v>li.header i{margin-right:8px}ul.list-v>li ul{margin-left:0;display:-webkit-box;display:-moz-box;display:none;margin-top:-40px}ul.list-v .aplayer-container{min-height:64px;padding:6px 16px}ul.list-v>li>a{transition:all .28s ease;-webkit-transition:all .28s ease;-khtml-transition:all 0.28s ease;-moz-transition:all .28s ease;-o-transition:all .28s ease;-ms-transition:all .28s ease;display:-webkit-box;display:-moz-box;display:block;color:var(--color-list);font-size:.875rem;font-weight:700;line-height:36px;padding:0 20px 0 16px;text-overflow:ellipsis;margin:0 4px;border-radius:4px;-webkit-border-radius:4px}@media screen and (max-width:1024px){ul.list-v>li>a{line-height:40px}}ul.list-v>li>a>i{margin-right:8px}ul.list-v>li>a.active,ul.list-v>li>a:active{color:var(--color-list-hl)}ul.list-v>li>a:hover{color:var(--color-list-hl);background:var(--color-site-bg)}.l_header .menu>ul>li>a{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:block;padding:0 8px}.l_header .menu>ul>li>a>i{margin-right:4px}.l_header ul.nav-list-h>li{color:var(--color-list);line-height:64px}.l_header ul.nav-list-h>li>a{max-height:64px;overflow:hidden;color:inherit}.l_header ul.nav-list-h>li>a.active,.l_header ul.nav-list-h>li>a:active{color:#2196f3}.l_header ul.nav-list-h>li:hover>a{color:var(--color-list-hl)}.l_header ul.nav-list-h>li i.music{animation:rotate-effect 1.5s linear infinite;-webkit-animation:rotate-effect 1.5s linear infinite;-khtml-animation:rotate-effect 1.5s linear infinite;-moz-animation:rotate-effect 1.5s linear infinite;-o-animation:rotate-effect 1.5s linear infinite;-ms-animation:rotate-effect 1.5s linear infinite}@-moz-keyframes rotate-effect{0%{transform:rotate(0);-webkit-transform:rotate(0);-khtml-transform:rotate(0);-moz-transform:rotate(0);-o-transform:rotate(0);-ms-transform:rotate(0)}25%{transform:rotate(90deg);-webkit-transform:rotate(90deg);-khtml-transform:rotate(90deg);-moz-transform:rotate(90deg);-o-transform:rotate(90deg);-ms-transform:rotate(90deg)}50%{transform:rotate(180deg);-webkit-transform:rotate(180deg);-khtml-transform:rotate(180deg);-moz-transform:rotate(180deg);-o-transform:rotate(180deg);-ms-transform:rotate(180deg)}75%{transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-khtml-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg)}100%{transform:rotate(360deg);-webkit-transform:rotate(360deg);-khtml-transform:rotate(360deg);-moz-transform:rotate(360deg);-o-transform:rotate(360deg);-ms-transform:rotate(360deg)}}@-webkit-keyframes rotate-effect{0%{transform:rotate(0);-webkit-transform:rotate(0);-khtml-transform:rotate(0);-moz-transform:rotate(0);-o-transform:rotate(0);-ms-transform:rotate(0)}25%{transform:rotate(90deg);-webkit-transform:rotate(90deg);-khtml-transform:rotate(90deg);-moz-transform:rotate(90deg);-o-transform:rotate(90deg);-ms-transform:rotate(90deg)}50%{transform:rotate(180deg);-webkit-transform:rotate(180deg);-khtml-transform:rotate(180deg);-moz-transform:rotate(180deg);-o-transform:rotate(180deg);-ms-transform:rotate(180deg)}75%{transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-khtml-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg)}100%{transform:rotate(360deg);-webkit-transform:rotate(360deg);-khtml-transform:rotate(360deg);-moz-transform:rotate(360deg);-o-transform:rotate(360deg);-ms-transform:rotate(360deg)}}@-o-keyframes rotate-effect{0%{transform:rotate(0);-webkit-transform:rotate(0);-khtml-transform:rotate(0);-moz-transform:rotate(0);-o-transform:rotate(0);-ms-transform:rotate(0)}25%{transform:rotate(90deg);-webkit-transform:rotate(90deg);-khtml-transform:rotate(90deg);-moz-transform:rotate(90deg);-o-transform:rotate(90deg);-ms-transform:rotate(90deg)}50%{transform:rotate(180deg);-webkit-transform:rotate(180deg);-khtml-transform:rotate(180deg);-moz-transform:rotate(180deg);-o-transform:rotate(180deg);-ms-transform:rotate(180deg)}75%{transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-khtml-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg)}100%{transform:rotate(360deg);-webkit-transform:rotate(360deg);-khtml-transform:rotate(360deg);-moz-transform:rotate(360deg);-o-transform:rotate(360deg);-ms-transform:rotate(360deg)}}@keyframes rotate-effect{0%{transform:rotate(0);-webkit-transform:rotate(0);-khtml-transform:rotate(0);-moz-transform:rotate(0);-o-transform:rotate(0);-ms-transform:rotate(0)}25%{transform:rotate(90deg);-webkit-transform:rotate(90deg);-khtml-transform:rotate(90deg);-moz-transform:rotate(90deg);-o-transform:rotate(90deg);-ms-transform:rotate(90deg)}50%{transform:rotate(180deg);-webkit-transform:rotate(180deg);-khtml-transform:rotate(180deg);-moz-transform:rotate(180deg);-o-transform:rotate(180deg);-ms-transform:rotate(180deg)}75%{transform:rotate(270deg);-webkit-transform:rotate(270deg);-khtml-transform:rotate(270deg);-moz-transform:rotate(270deg);-o-transform:rotate(270deg);-ms-transform:rotate(270deg)}100%{transform:rotate(360deg);-webkit-transform:rotate(360deg);-khtml-transform:rotate(360deg);-moz-transform:rotate(360deg);-o-transform:rotate(360deg);-ms-transform:rotate(360deg)}}.menu-phone li ul.list-v{right:calc(100% - .5 * 16px)}.menu-phone li ul.list-v ul{right:calc(100% - .5 * 16px)}#wrapper{max-width:1080px;margin:auto}@media screen and (min-width:2048px){#wrapper{max-width:55vw}}#wrapper .menu{-webkit-box-flex:1;-moz-box-flex:1;-webkit-flex:1 1;-ms-flex:1 1;flex:1 1;margin:0 16px 0 0}#wrapper .menu .list-v ul{left:calc(100% - .5 * 16px)}.menu-phone{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:none;margin-top:16px;right:8px;transition:all .28s ease;-webkit-transition:all .28s ease;-khtml-transition:all 0.28s ease;-moz-transition:all .28s ease;-o-transition:all .28s ease;-ms-transition:all .28s ease}.menu-phone ul{right:calc(100% - .5 * 16px)}@media screen and (max-width:500px){.menu-phone{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:block}}.l_header{max-width:65vw;left:calc((100% - 65vw) * .5);border-bottom-left-radius:8px;border-bottom-right-radius:8px}@media screen and (max-width:2048px){.l_header{max-width:1112px;left:calc((100% - 1112px) * .5)}}@media screen and (max-width:1112px){.l_header{left:0;border-radius:0;-webkit-border-radius:0;max-width:100%}}@media screen and (max-width:500px){.l_header .container{margin-left:0;margin-right:0}.l_header #wrapper .nav-main .title{padding-left:16px;padding-right:16px}.l_header #wrapper .nav-sub{width:100%}.l_header #wrapper .nav-sub .title{overflow-y:scroll;margin-top:2px;padding:8px 16px}.l_header #wrapper .switcher{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:-ms-flexbox;display:-webkit-flex;display:flex;display:flex;margin-right:8px}.l_header .menu{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:none}}@media screen and (max-width:500px){.list-v li{max-width:270px}}#u-search{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:none;position:fixed;top:0;left:0;width:100%;height:100%;padding:60px 20px;z-index:1001}@media screen and (max-width:680px){#u-search{padding:0}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark) and (max-width:500px){.l_header .m_search{background:var(--color-site-bg)!important}}.cover-wrapper .cover-body .subtitle{font-size:.875rem}.fa-brands.color-github,.fa-duotone.color-github,.fa-light.color-github,.fa-regular.color-github,.fa-solid.color-github,.fa-thin.color-github,.fa.color-github,.fad.color-github,.fal.color-github,.far.color-github,.fas.color-github,.iziToast>.iziToast-body .iziToast-icon.color-github{color:#000}.fa-brands.color-friends,.fa-duotone.color-friends,.fa-light.color-friends,.fa-regular.color-friends,.fa-solid.color-friends,.fa-thin.color-friends,.fa.color-friends,.fad.color-friends,.fal.color-friends,.far.color-friends,.fas.color-friends,.iziToast>.iziToast-body .iziToast-icon.color-friends{color:#d31ee9}.fa-brands.color-about,.fa-duotone.color-about,.fa-light.color-about,.fa-regular.color-about,.fa-solid.color-about,.fa-thin.color-about,.fa.color-about,.fad.color-about,.fal.color-about,.far.color-about,.fas.color-about,.iziToast>.iziToast-body .iziToast-icon.color-about{color:#0095ff}.fa-brands.color-travellings,.fa-duotone.color-travellings,.fa-light.color-travellings,.fa-regular.color-travellings,.fa-solid.color-travellings,.fa-thin.color-travellings,.fa.color-travellings,.fad.color-travellings,.fal.color-travellings,.far.color-travellings,.fas.color-travellings,.iziToast>.iziToast-body .iziToast-icon.color-travellings{color:#734ae6}mjx-container{padding:0 0!important}mjx-container:not([display=true]){padding:4px 2px 4px 6px!important}mjx-container[jax=SVG]{direction:ltr}mjx-container[jax=SVG]>svg{overflow:visible}mjx-container[jax=SVG][display=true]{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:block;text-align:center;margin:1em 0}mjx-container[jax=SVG][justify=left]{text-align:left}mjx-container[jax=SVG][justify=right]{text-align:right}g[data-mml-node=merror]>g{fill:#f00;stroke:#f00}g[data-mml-node=merror]>rect[data-background]{fill:#ff0;stroke:none}g[data-mml-node=mtable]>line[data-line]{stroke-width:70px;fill:none}g[data-mml-node=mtable]>rect[data-frame]{stroke-width:70px;fill:none}g[data-mml-node=mtable]>.mjx-dashed{stroke-dasharray:140}g[data-mml-node=mtable]>.mjx-dotted{stroke-linecap:round;stroke-dasharray:0,140}g[data-mml-node=mtable]>svg{overflow:visible}[jax=SVG] mjx-tool{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:inline-block;position:relative;width:0;height:0}[jax=SVG] mjx-tool>mjx-tip{position:absolute;top:0;left:0}mjx-tool>mjx-tip{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:inline-block;padding:.2em;border:1px solid #888;font-size:70%;background-color:#f8f8f8;color:#000;box-shadow:2px 2px 5px #aaa;-webkit-box-shadow:2px 2px 5px #aaa}g[data-mml-node=maction][data-toggle]{cursor:pointer}mjx-status{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:block;position:fixed;left:1em;bottom:1em;min-width:25%;padding:.2em .4em;border:1px solid #888;font-size:90%;background-color:#f8f8f8;color:#000}foreignObject[data-mjx-xml]{font-family:initial;line-height:normal;overflow:visible}.MathJax path{stroke-width:3}mjx-container[display=true]{overflow:auto hidden}mjx-container[display=true]+br{display:-webkit-box;display:-moz-box;display:none}</style><link rel="stylesheet" href="/css/style.css" media="print" onload='this.media="all",this.onload=null'><noscript><link rel="stylesheet" href="/css/style.css"></noscript><script>let userColorScheme=localStorage.getItem("color-scheme");userColorScheme&&document.documentElement.setAttribute("color-scheme",userColorScheme)</script><script>window.MSInputMethodContext&&document.documentMode&&document.write('<style>html{overflow-x: hidden !important;overflow-y: hidden !important;}.kill-ie{text-align:center;height: 100%;margin-top: 15%;margin-bottom: 5500%;}.kill-t{font-size: 2rem;}.kill-c{font-size: 1.2rem;}#l_header,#l_body{display: none;}</style><div class="kill-ie"><span class="kill-t"><b>抱歉，您的浏览器无法访问本站</b></span><br/><span class="kill-c">微软已经于2016年终止了对 Internet Explorer (IE) 10 及更早版本的支持，<br/>继续使用存在极大的安全隐患，请使用当代主流的浏览器进行访问。</span><br/><a target="_blank" rel="noopener" href="https://blogs.windows.com/windowsexperience/2021/05/19/the-future-of-internet-explorer-on-windows-10-is-in-microsoft-edge/"><strong>了解详情 ></strong></a></div>')</script><noscript><style>html{overflow-x:hidden!important;overflow-y:hidden!important}.kill-noscript{text-align:center;height:100%;margin-top:15%;margin-bottom:5500%}.kill-t{font-size:2rem}.kill-c{font-size:1.2rem}#l_body,#l_header{display:none}</style><div class="kill-noscript"> <span class="kill-t"><b>抱歉，您的浏览器无法访问本站</b></span><br> <span class="kill-c">本页面需要浏览器支持（启用）JavaScript</span><br> <a target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" href="https://www.baidu.com/s?wd=启用JavaScript"><strong>了解详情 ></strong></a></div></noscript><script>function volantisEventListener(e,t,n){this.type=e,this.f=t,this.ele=n}function volantisDom(e){return e||(e=document.createElement("div")),this.ele=e,this.ele.find=e=>{let t=this.ele.querySelector(e);if(t)return new volantisDom(t)},this.ele.hasClass=e=>this.ele.className.match(new RegExp("(\\s|^)"+e+"(\\s|$)")),this.ele.addClass=e=>(this.ele.classList.add(e),this.ele),this.ele.removeClass=e=>(this.ele.classList.remove(e),this.ele),this.ele.toggleClass=e=>(this.ele.hasClass(e)?this.ele.removeClass(e):this.ele.addClass(e),this.ele),this.ele.on=(e,t,n=1)=>(this.ele.addEventListener(e,t,!1),n&&volantis.EventListener.list.push(new volantisEventListener(e,t,this.ele)),this.ele),this.ele.click=(e,t)=>(this.ele.on("click",e,t),this.ele),this.ele.scroll=(e,t)=>(this.ele.on("scroll",e,t),this.ele),this.ele.html=e=>(this.ele.innerHTML=e,this.ele),this.ele.hide=e=>(this.ele.style.display="none",this.ele),this.ele.show=e=>(this.ele.style.display="block",this.ele),this.ele}function RunItem(){function e(e,t){this.name=t||volantis.getFunctionHash(e),this.run=()=>{try{e()}catch(e){console.log(e)}}}this.list=[],this.start=()=>{for(var e=0;e<this.list.length;e++)this.list[e].run()},this.push=(t,n,o=!0)=>{if("function"!=typeof t)return;let l=t;o&&(l=()=>{volantis.requestAnimationFrame(t)}),n=n||volantis.getFunctionHash(t);const i=this.list.findIndex((e=>e.name===n));-1===i?this.list.push(new e(l,n)):this.list[i]=new e(l,n)},this.remove=e=>{for(let t=0;t<this.list.length;t++){this.list[t].name==e&&this.list.splice(t,1)}}}function errorImgAvatar(e){e.src="https://static.mhuig.top/npm/volantis-static@0.0.1660614606622/media/placeholder/avatar/round/3442075.svg",e.onerror=null}function errorImgCover(e){e.src="https://static.mhuig.top/npm/volantis-static@0.0.1660614606622/media/placeholder/cover/76b86c0226ffd.svg",e.onerror=null}!function(){const e=new WeakMap,t=new Proxy({},{get(n,o){const l=e.get(t);return l?.[o]},set(n,o,l){e.has(t)||e.set(t,Object.create(null));return e.get(t)[o]=l,!0},deleteProperty(n,o){const l=e.get(t);return!(!l||!Object.prototype.hasOwnProperty.call(l,o))&&(delete l[o],0===Object.keys(l).length&&e.delete(t),!0)},ownKeys(n){const o=e.get(t);return o?Object.keys(o):[]},getOwnPropertyDescriptor(n,o){const l=e.get(t);if(l&&Object.prototype.hasOwnProperty.call(l,o))return{value:l[o],writable:!0,enumerable:!0,configurable:!0}}});Object.defineProperty(window,"volantis",{value:t,writable:!0,configurable:!0,enumerable:!0})}(),volantis.debug="false",volantis.dom={},volantis.simpleTextHash=e=>{let t=5381;for(let n=0;n<e.length;n++)t=(t<<5)+t+e.charCodeAt(n),t&=t;return t.toString(16).padStart(8,"0")},volantis.getFunctionHash=e=>{const t=e.toString();return volantis.simpleTextHash(t)},volantis.EventListener={},volantis.EventListener.list=[],volantis.EventListener.remove=()=>{volantis.EventListener.list.forEach((function(e){e.ele.removeEventListener(e.type,e.f,!1)})),volantis.EventListener.list=[]},volantis.dom.$=e=>e?new volantisDom(e):null,volantis.pjax={},volantis.pjax.method={complete:new RunItem,error:new RunItem,send:new RunItem},volantis.pjax=Object.assign(volantis.pjax,{push:volantis.pjax.method.complete.push,error:volantis.pjax.method.error.push,send:volantis.pjax.method.send.push}),volantis.rightmenu={},volantis.rightmenu.method={handle:new RunItem},volantis.rightmenu=Object.assign(volantis.rightmenu,{handle:volantis.rightmenu.method.handle.push}),volantis.dark={},volantis.dark.method={toggle:new RunItem},volantis.dark=Object.assign(volantis.dark,{push:volantis.dark.method.toggle.push}),volantis.js=(e,t)=>new Promise((n=>{setTimeout((function(){var o=document.getElementsByTagName("head")[0]||document.documentElement,l=document.createElement("script");if(l.setAttribute("type","text/javascript"),t)if(JSON.stringify(t))for(let e in t)"onload"==e?l[e]=()=>{t[e](),n()}:(l[e]=t[e],l.onload=n);else l.onload=()=>{t(),n()};else l.onload=n;l.setAttribute("src",e),o.appendChild(l)}))})),volantis.css=e=>new Promise((t=>{setTimeout((function(){var n=document.createElement("link");n.rel="stylesheet",n.href=e,n.onload=t,document.getElementsByTagName("head")[0].appendChild(n)}))})),volantis.import={jQuery:()=>"undefined"==typeof jQuery?volantis.js("https://cdn.bootcdn.net/ajax/libs/jquery/3.6.0/jquery.min.js"):new Promise((e=>{e()}))},volantis.throttle=(e,t=200)=>{let n=0;return function(...o){const l=Date.now();l-n>=t&&(e.apply(this,o),n=l)}},volantis.debounce=(e,t=200)=>{let n=null;return function(){n&&clearTimeout(n),n=setTimeout((()=>{e.apply(this,arguments),n=null}),t)}},volantis.requestAnimationFrame=e=>(window.requestAnimationFrame||(window.requestAnimationFrame=window.requestAnimationFrame||window.mozRequestAnimationFrame||window.webkitRequestAnimationFrame||function(e){return window.setTimeout(e,1e3/60)}),window.requestAnimationFrame(e)),volantis.layoutHelper=(e,t,n)=>{function o(e,t,n){volantis.tempDiv=document.createElement("div"),volantis.tempDiv.innerHTML=t;let o=document.querySelector("#layoutHelper-"+e);o&&(n&&(o.innerHTML=""),o.append(volantis.tempDiv))}n=Object.assign({clean:!1,pjax:!0},n),o(e,t,n.clean),n.pjax&&volantis.pjax.push((()=>{o(e,t,n.clean)}),"layoutHelper-"+e)},volantis.scroll={engine:new RunItem,unengine:new RunItem},volantis.scroll=Object.assign(volantis.scroll,{push:volantis.scroll.engine.push}),volantis.scroll.getScrollTop=()=>{let e;return window.pageYOffset?e=window.pageYOffset:document.compatMode&&"BackCompat"!=document.compatMode?e=document.documentElement.scrollTop:document.body&&(e=document.body.scrollTop),e},volantis.scroll.scrollHeight=function(){return Math.max(document.body.scrollHeight,document.documentElement.scrollHeight)},volantis.scroll.offsetHeight=function(){return Math.min(document.body.offsetHeight,document.documentElement.offsetHeight,document.body.clientHeight,document.documentElement.clientHeight)},volantis.scroll.progress=function(){return volantis.scroll.getScrollTop()/(volantis.scroll.scrollHeight()-volantis.scroll.offsetHeight())},volantis.scroll.handleScrollEvents=()=>{volantis.scroll.lastScrollTop=volantis.scroll.getScrollTop(),volantis.requestAnimationFrame((function e(){const t=volantis.scroll.getScrollTop();volantis.scroll.lastScrollTop!==t?(volantis.scroll.del=t-volantis.scroll.lastScrollTop,volantis.scroll.lastScrollTop=t,volantis.scroll.unengine.list=[],volantis.scroll.engine.start()):volantis.scroll.unengine.start(),volantis.requestAnimationFrame(e)}))},volantis.scroll.handleScrollEvents(),volantis.scroll.ele=null,volantis.scroll.to=(e,t={})=>{e&&(volantis.scroll.ele=e,opt={top:e.getBoundingClientRect().top+document.documentElement.scrollTop,behavior:"smooth"},"top"in t&&(opt.top=t.top),"behavior"in t&&(opt.behavior=t.behavior),"addTop"in t&&(opt.top+=t.addTop),"observerDic"in t||(t.observerDic=100),window.scrollTo(opt),t.observer&&setTimeout((()=>{volantis.scroll.ele==e&&volantis.scroll.unengine.push((()=>{let n=e.getBoundingClientRect().top;n>=-t.observerDic&&n<=t.observerDic||volantis.scroll.to(e,t),volantis.scroll.unengine.remove("unengineObserver")}),"unengineObserver")}),1e3))},volantis.cleanContentVisibility=()=>{document.querySelector(".post-story")&&(console.log("cleanContentVisibility"),document.querySelectorAll(".post-story").forEach((e=>{e.classList.remove("post-story")})))};const nativeSetTimeout=window.setTimeout,nativeSetInterval=window.setInterval,nativeClearTimeout=window.clearTimeout,nativeClearInterval=window.clearInterval;volantis.activeTimeout=[],volantis.activeInterval=[],window.setTimeout=function(e,t,...n){const o=nativeSetTimeout((function(...t){try{return e.apply(this,t)}finally{const e=volantis.activeTimeout.indexOf(o);-1!==e&&volantis.activeTimeout.splice(e,1)}}),t,...n);return volantis.activeTimeout.push(o),o},window.setInterval=function(e,t,...n){const o=nativeSetInterval(e,t,...n);return volantis.activeInterval.push(o),o},window.clearTimeout=function(e){nativeClearTimeout(e);const t=volantis.activeTimeout.indexOf(e);-1!==t&&volantis.activeTimeout.splice(t,1)},window.clearInterval=function(e){nativeClearInterval(e);const t=volantis.activeInterval.indexOf(e);-1!==t&&volantis.activeInterval.splice(t,1)},volantis.getActiveInterval=function(){return[...volantis.activeInterval]},volantis.getActiveTimeout=function(){return[...volantis.activeTimeout]},volantis.clearAllTimers=function(){volantis.getActiveInterval().forEach((function(e){clearInterval(e)})),volantis.getActiveTimeout().forEach((function(e){clearTimeout(e)}))},volantis.pjax.send(volantis.clearAllTimers,"clearAllTimers")</script><script>volantis.GLOBAL_CONFIG={root:"/",debug:!1,default:{avatar:"https://static.mhuig.top/npm/volantis-static@0.0.1660614606622/media/placeholder/avatar/round/3442075.svg",link:"https://static.mhuig.top/npm/volantis-static@0.0.1660614606622/media/placeholder/link/8f277b4ee0ecd.svg",cover:"https://static.mhuig.top/npm/volantis-static@0.0.1660614606622/media/placeholder/cover/76b86c0226ffd.svg",image:"https://static.mhuig.top/npm/volantis-static@0.0.1660614606622/media/placeholder/image/2659360.svg"},lastupdate:new Date(1779510804521),cdn:{izitoast_css:"https://cdn.bootcdn.net/ajax/libs/izitoast/1.4.0/css/iziToast.min.css",izitoast_js:"https://cdn.bootcdn.net/ajax/libs/izitoast/1.4.0/js/iziToast.min.js",fancybox_css:"https://cdn.bootcdn.net/ajax/libs/fancyapps-ui/4.0.31/fancybox.min.css",fancybox_js:"https://cdn.bootcdn.net/ajax/libs/fancyapps-ui/4.0.31/fancybox.umd.min.js"},sidebar:{for_page:["blogger","navigation","webinfo"],for_post:["toc"],webinfo:{lastupd:{enable:!1,friendlyShow:!0},runtime:{data:"2019/08/19",unit:"天"}}},plugins:{message:{enable:!1,icon:{default:"fa-solid fa-info-circle light-blue",quection:"fa-solid fa-question-circle light-blue"},time:{default:5e3,quection:2e4},position:"topRight",transitionIn:"bounceInLeft",transitionOut:"fadeOutRight",titleColor:"var(--color-text)",messageColor:"var(--color-text)",backgroundColor:"var(--color-card)",zindex:2147483647,copyright:{enable:!0,title:"知识共享许可协议",message:"请遵守 CC BY-NC-SA 4.0 协议。",icon:"far fa-copyright light-blue"},aplayer:{enable:!0,play:"fa-solid fa-play",pause:"fa-solid fa-pause"},rightmenu:{enable:!0,notice:!0}},aplayer:{id:1480000098,enable:!0}},search:{dataPath:("/".endsWith("/")?"/":"//")+"content.json"},languages:{search:{hits_empty:"找不到您查询的内容：${query}",hits_stats:"找到 ${hits} 条结果，用时 ${time} 毫秒"}}}</script><script type="application/ld+json">[{"@context":"http://schema.org","@type":"Organization","name":"MHuiG Magicland","url":"https://blog.mhuig.top/","logo":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}},{"@context":"http://schema.org","@type":"Person","name":"MHuiG","image":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"},"url":"https://blog.mhuig.top/","sameAs":["https://github.com/MHuiG","https://twitter.com/iMHuiG","https://t.me/MHuiG","https://keybase.io/MHuiG"],"description":"「Be Yourself, Make a Difference.」"},{"@context":"http://schema.org","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https://blog.mhuig.top/","name":"Magicland"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https://blog.mhuig.top/categories/数学/","name":"数学"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https://blog.mhuig.top/categories/数学/Zeta/","name":"Zeta"}},{"@type":"ListItem","position":3,"item":{"@id":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/76.html","name":"希尔伯特-波利亚猜想"}}]},{"@context":"http://schema.org","@type":"WebSite","name":"MHuiG Magicland","url":"https://blog.mhuig.top/","keywords":"MHuiG, @MHuiG, Blog, 博客, Magicland, 魔法世界","description":"宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。「Be Yourself, Make a Difference.」 - Magic Island","author":{"@type":"Person","name":"MHuiG","image":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"},"url":"https://blog.mhuig.top/","description":"「Be Yourself, Make a Difference.」"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"MHuiG Magicland","url":"https://blog.mhuig.top/","logo":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}},"potentialAction":{"@type":"SearchAction","name":"Coco | The Cat of MHuiG","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https://blog.mhuig.top/havefun/Coco/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}},{"@context":"http://schema.org","@type":"BlogPosting","headline":"希尔伯特-波利亚猜想","description":"希尔伯特-波利亚猜想断言黎曼ζ函数非平凡零点对应某厄米算子本征值，将数论与量子物理相连。1914年由波利亚受兰道启发提出，核心为存在性与厄米性两命题，即零点虚部等于自伴哈密顿算子能量本征值。1972年蒙哥马利-戴森发现零点对关联函数与GUE随机矩阵一致，1999年贝里-基廷提出H=xp+px模型，其量子化能级密度与零点计数公式吻合，获奥德利兹科数值计算支持，成为数学物理深刻谜题。","inLanguage":"zh-Hans","mainEntityOfPage":{"@type":"WebPage","@id":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/76"},"author":{"@type":"Person","name":"MHuiG","image":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"},"url":"https://blog.mhuig.top/"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"MHuiG Magicland","logo":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}},"url":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/76","wordCount":0,"datePublished":"2025-11-05T05:22:00.000Z","dateModified":"2025-12-02T01:20:00.000Z","articleSection":"数学","keywords":"Math,希尔伯特-波利亚猜想,黎曼ζ函数零点,厄米算子","image":{"@type":"ImageObject","url":"/lib/favicon/android-chrome-192x192.png","width":192,"height":192}}]</script></head><body itemscope="" itemtype="http://schema.org/WebPage"><pjax></pjax><header itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPHeader" id="l_header" class="l_header auto shadow floatable blur show" style="opacity:0"><div class="container"><div id="wrapper"><div class="nav-sub"><p class="title"></p><ul class="switcher nav-list-h m-phone" id="pjax-header-nav-list"><li><a id="s-comment" class="fa-solid fa-comments fa-fw" target="_self" title="comment"></a></li><li><a id="s-toc" class="s-toc fa-solid fa-list fa-fw" target="_self" title="toc"></a></li></ul></div><div class="nav-main"> <a class="title flat-box" target="_self" href="/">MHuiG</a><div class="menu navigation"><ul class="nav-list-h m-pc"><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" title="索引"><i class="fa-duotone fa-list-alt fa-fw"></i> 索引</a><ul class="list-v"><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/notes/" title="便签" active-action="action-notes"><i class="fa-duotone fa-books fa-fw"></i> 便签</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/categories/" title="分类" active-action="action-categories"><i class="fa-duotone fa-folder-open fa-fw"></i> 分类</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/tags/" title="标签" active-action="action-tags"><i class="fa-duotone fa-tags fa-fw"></i> 标签</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/archives/" title="归档" active-action="action-archives"><i class="fa-duotone fa-archive fa-fw"></i> 归档</a></li></ul></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/pages/friends/" title="友链" active-action="action-pagesfriends"><i class="fa-duotone fa-link fa-fw"></i> 友链</a><ul class="list-v"><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="https://www.travellings.cn/go-by-clouds.html" title="Travelling" target="_blank" active-action="action-https:wwwtravellingscngo-by-cloudshtml" rel="external nofollow noopener noreferrer"><i class="fa-duotone fa-subway fa-fw"></i> Travelling</a></li></ul></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/pages/about/" title="关于" active-action="action-pagesabout"><i class="fa-duotone fa-user-tie fa-fw"></i> 关于</a><ul class="list-v"><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/pages/time-machine/" title="时光机" active-action="action-pagestime-machine"><i class="fa-duotone fa-clock fa-fw"></i> 时光机</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" target="_blank" rel="noopener" href="https://mhuig.top/privacy-policy/" title="隐私政策" active-action="action-https:mhuigtopprivacy-policy"><i class="fa-duotone fa-user-secret fa-fw"></i> 隐私政策</a></li></ul></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" title="更多"><i class="fa-duotone fa-fan fa-spin fa-fw"></i> 更多</a><ul class="list-v"><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/pages/beer/" title="Sponsor" active-action="action-pagesbeer"><i class="fa-duotone fa-heart-square fa-fw"></i> Sponsor</a></li><hr><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" title="博客管理"><i class="fa-duotone fa-user-shield fa-fw"></i> 博客管理</a><ul class="list-v"><li><a class="menuitem flat-box header toggle-mode-btn"><i class="fa-duotone fa-bat fa-fw"></i> 暗黑模式</a></li><li></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/pages/rss/" title="RSS订阅" active-action="action-pagesrss"><i class="fa-duotone fa-rss fa-fw"></i> RSS订阅</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/sitemap.xml" title="站点地图" active-action="action-sitemapxml"><i class="fa-duotone fa-sitemap fa-fw"></i> 站点地图</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" href="https://mhuig.instatus.com/" title="Monitors" active-action="action-https:mhuiginstatuscom"><i class="fa-duotone fa-telescope fa-fw"></i> Monitors</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" href="https://ssl.mhuig.top/" title="SSL Status" active-action="action-https:sslmhuigtop"><i class="fa-brands fa-expeditedssl fa-fw"></i> SSL Status</a></li></ul></li><hr><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" title="工具箱"><i class="fa-duotone fa-tools fa-fw"></i> 工具箱</a><ul class="list-v"><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" href="https://rssbox.mhuig.top/" title="RSS Box" active-action="action-https:rssboxmhuigtop"><i class="fa-duotone fa-conveyor-belt-boxes fa-fw"></i> RSS Box</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/havefun/Coco/" title="My Cat" active-action="action-havefunCoco"><i class="fa-duotone fa-cat fa-fw"></i> My Cat</a></li><li><a class="menuitem flat-box"><i class="fa-duotone fa-compact-disc fa-spin fa-fw music"></i> Music</a><ul class="list-v"><li><div class="aplayer-container"><div class="aplayer-local"></div></div></li></ul></li><li></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/pages/talk/" title="碎言碎语" active-action="action-pagestalk"><i class="fa-duotone fa-comments fa-fw"></i> 碎言碎语</a></li></ul></li><hr><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" href="https://github.com/MHuiG" title="GitHub" active-action="action-https:githubcomMHuiG"><i class="fa-brands fa-github fa-fw"></i> GitHub</a></li></ul></li></ul></div><div class="m_search"><form name="searchform" class="form u-search-form"><i class="icon fa-solid fa-search fa-fw"></i> <input type="text" class="input u-search-input" placeholder="Search..."></form></div><ul class="switcher nav-list-h m-phone"><li><a class="s-search fa-solid fa-search fa-fw" target="_self" title="search"></a></li><li><a class="s-menu fa-solid fa-bars fa-fw" target="_self" title="menu"></a><ul class="menu-phone list-v navigation white-box"><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" title="索引"><i class="fa-duotone fa-list-alt fa-fw"></i> 索引</a><ul class="list-v"><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/notes/" title="便签" active-action="action-notes"><i class="fa-duotone fa-books fa-fw"></i> 便签</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/categories/" title="分类" active-action="action-categories"><i class="fa-duotone fa-folder-open fa-fw"></i> 分类</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/tags/" title="标签" active-action="action-tags"><i class="fa-duotone fa-tags fa-fw"></i> 标签</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/archives/" title="归档" active-action="action-archives"><i class="fa-duotone fa-archive fa-fw"></i> 归档</a></li></ul></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/pages/friends/" title="友链" active-action="action-pagesfriends"><i class="fa-duotone fa-link fa-fw"></i> 友链</a><ul class="list-v"><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="https://www.travellings.cn/go-by-clouds.html" title="Travelling" target="_blank" active-action="action-https:wwwtravellingscngo-by-cloudshtml" rel="external nofollow noopener noreferrer"><i class="fa-duotone fa-subway fa-fw"></i> Travelling</a></li></ul></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/pages/about/" title="关于" active-action="action-pagesabout"><i class="fa-duotone fa-user-tie fa-fw"></i> 关于</a><ul class="list-v"><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/pages/time-machine/" title="时光机" active-action="action-pagestime-machine"><i class="fa-duotone fa-clock fa-fw"></i> 时光机</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" target="_blank" rel="noopener" href="https://mhuig.top/privacy-policy/" title="隐私政策" active-action="action-https:mhuigtopprivacy-policy"><i class="fa-duotone fa-user-secret fa-fw"></i> 隐私政策</a></li></ul></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" title="更多"><i class="fa-duotone fa-fan fa-spin fa-fw"></i> 更多</a><ul class="list-v"><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/pages/beer/" title="Sponsor" active-action="action-pagesbeer"><i class="fa-duotone fa-heart-square fa-fw"></i> Sponsor</a></li><hr><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" title="博客管理"><i class="fa-duotone fa-user-shield fa-fw"></i> 博客管理</a><ul class="list-v"><li><a class="menuitem flat-box header toggle-mode-btn"><i class="fa-duotone fa-bat fa-fw"></i> 暗黑模式</a></li><li></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/pages/rss/" title="RSS订阅" active-action="action-pagesrss"><i class="fa-duotone fa-rss fa-fw"></i> RSS订阅</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/sitemap.xml" title="站点地图" active-action="action-sitemapxml"><i class="fa-duotone fa-sitemap fa-fw"></i> 站点地图</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" href="https://mhuig.instatus.com/" title="Monitors" active-action="action-https:mhuiginstatuscom"><i class="fa-duotone fa-telescope fa-fw"></i> Monitors</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" href="https://ssl.mhuig.top/" title="SSL Status" active-action="action-https:sslmhuigtop"><i class="fa-brands fa-expeditedssl fa-fw"></i> SSL Status</a></li></ul></li><hr><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" title="工具箱"><i class="fa-duotone fa-tools fa-fw"></i> 工具箱</a><ul class="list-v"><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" href="https://rssbox.mhuig.top/" title="RSS Box" active-action="action-https:rssboxmhuigtop"><i class="fa-duotone fa-conveyor-belt-boxes fa-fw"></i> RSS Box</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/havefun/Coco/" title="My Cat" active-action="action-havefunCoco"><i class="fa-duotone fa-cat fa-fw"></i> My Cat</a></li><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" href="/pages/talk/" title="碎言碎语" active-action="action-pagestalk"><i class="fa-duotone fa-comments fa-fw"></i> 碎言碎语</a></li></ul></li><hr><li><a class="menuitem flat-box faa-parent animated-hover" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" href="https://github.com/MHuiG" title="GitHub" active-action="action-https:githubcomMHuiG"><i class="fa-brands fa-github fa-fw"></i> GitHub</a></li></ul></li></ul></li></ul></div></div></div></header><div id="l_body"><div id="l_cover"><div id="none" class="cover-wrapper docs featured" style="display:none"><div class="cover-bg lazyload placeholder" data-bg=""></div><div class="cover-body"><div class="top"><p class="title">Magicland</p><p class="subtitle">「看庭前花开花落,望天上云卷云舒」</p></div><div class="bottom"><div class="menu navigation"><div class="list-h"><a target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" href="https://github.com/MHuiG" active-action="action-https:githubcomMHuiG"><i class="fa-brands fa-github color-github fa-fw"></i><p>Github</p></a><a href="/pages/friends/" active-action="action-pagesfriends"><i class="fa-duotone fa-link color-friends fa-fw"></i><p>友链</p></a><a href="/pages/about/" active-action="action-pagesabout"><i class="fa-duotone fa-user-tie color-about fa-fw"></i><p>关于</p></a><a href="https://www.travellings.cn/go-by-clouds.html" target="_blank" active-action="action-https:wwwtravellingscngo-by-cloudshtml" rel="external nofollow noopener noreferrer"><i class="fa-duotone fa-subway color-travellings fa-fw"></i><p>Travelling</p></a></div></div></div></div><div id="scroll-down" style="display:none"><i class="fa fa-chevron-down scroll-down-effects"></i></div></div></div><div id="safearea"><div class="body-wrapper"><div id="l_main" class=""><article itemscope="" itemtype="http://schema.org/Article" class="article post white-box reveal md shadow floatable blur article-type-docs" id="docs" itemprop="blogPost"><link itemprop="mainEntityOfPage" href="https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/76"><span hidden="" itemprop="publisher" itemscope="" itemtype="http://schema.org/Organization"><meta itemprop="name" content="Magicland"></span><span hidden="" itemprop="post" itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="希尔伯特-波利亚猜想"><meta itemprop="description" content="希尔伯特-波利亚猜想断言黎曼ζ函数非平凡零点对应某厄米算子本征值，将数论与量子物理相连。1914年由波利亚受兰道启发提出，核心为存在性与厄米性两命题，即零点虚部等于自伴哈密顿算子能量本征值。1972年蒙哥马利-戴森发现零点对关联函数与GUE随机矩阵一致，1999年贝里-基廷提出H=xp+px模型，其量子化能级密度与零点计数公式吻合，获奥德利兹科数值计算支持，成为数学物理深刻谜题。"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">希尔伯特 - 波利亚猜想</span></p><br><h1 hidden="">希尔伯特 - 波利亚猜想</h1><p>1914 年哥廷根大学的一个午后，数论学家埃德蒙・兰道（Edmund Landau）向年轻的乔治・波利亚（George Pólya）抛出了一个看似荒谬的问题："你学过物理，知道有什么物理原因能让黎曼猜想必须成立吗？" 这个问题催生了数学史上最富想象力的跨界猜想之一，希尔伯特 - 波利亚猜想，它断言黎曼<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数的非平凡零点对应于某个埃尔米特算子的本征值。一个世纪后，这个猜想仍未被证明，但它已将素数分布与量子物理这两个看似毫不相干的领域紧密联系在一起，成为现代数学物理最深刻的谜题之一。</p><blockquote><p>希尔伯特 - 波利亚猜想: 黎曼<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数的非平凡零点对应于某个埃尔米特算子的本征值</p></blockquote><div class="story post-story"><h2 id="历史渊源：从口头猜想到数学纲领"><a href="#历史渊源：从口头猜想到数学纲领" class="headerlink" title="历史渊源：从口头猜想到数学纲领"></a>历史渊源：从口头猜想到数学纲领</h2><p>希尔伯特 - 波利亚猜想的起源充满偶然性。1981 年，数学家安德鲁・奥德利兹科（Andrew Odlyzko）向 94 岁高龄的波利亚求证猜想的起源，病榻上的波利亚回信详细回忆了这段历史：1912-1914 年间他在哥廷根跟随兰道学习时，正是兰道的提问启发他提出了这个大胆想法，如果<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数零点对应某个物理系统的能量本征值，那么黎曼猜想（所有非平凡零点实部为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.795ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 793.6 1209.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\frac{1}{2}"><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{1}{2}"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> ）就等价于该系统的所有能量本征值均为实数。</p><p>这个猜想虽未被希尔伯特或波利亚正式发表，却在 20 世纪中叶逐渐成型。其核心包含两个递进命题：第一个是存在性，即存在线性算子<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="2.414ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1067 881 1067"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{H}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{H}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(542,273) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ，其本征值<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.817ex" height="1.895ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 1245.3 837.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="E_n"><g data-mml-node="msub" data-latex="E_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="E"><path data-c="1D438" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 49 0 70 0L583 0C607 0 609 2 617 19L657 109C684 171 703 217 714 248 712 257 709 263 698 263 691 263 685 258 681 249 656 190 632 145 608 113 568 59 509 39 415 39L270 39C260 39 253 39 249 40 243 40 240 42 240 45 240 47 242 54 245 67L311 334 406 334C453 334 478 328 483 315 485 310 486 303 486 293 486 280 484 264 479 245 477 240 476 236 476 233 476 223 482 218 493 218 502 218 508 226 512 241L568 473C568 483 563 488 552 488 544 488 538 481 535 467 525 428 512 403 495 391 478 379 450 373 409 373L321 373 379 606C387 640 387 641 429 641L568 641C619 641 654 636 673 626 701 611 715 581 715 536 715 519 714 501 711 484 711 482 711 479 710 475L710 466C710 455 715 450 725 450 735 450 741 459 743 478L763 649C766 677 759 680 732 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(771,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 与<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数非平凡零点<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.317ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1024.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\rho_n = \frac{1}{2} + i\lambda_n"><g data-mml-node="msub" data-latex="\rho_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="\rho"><path data-c="1D70C" d="M361 442C248 442 154 320 129 220L33-169C31-177 30-182 30-185 30-206 40-216 61-216 76-216 89-208 99-193L160 46C183 7 215-13 256-13 322-13 380 19 431 84 478 145 502 210 502 277 502 368 449 442 361 442M359 412C402 412 423 381 423 319 423 292 417 257 406 212 384 127 353 70 314 40 293 24 274 16 255 16 236 16 219 23 206 36 185 57 175 79 175 100 176 107 178 119 182 136 205 231 225 292 241 320 276 381 315 412 359 412Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(550,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.184ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 1849.3 1209.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\rho_n = \frac{1}{2} + i\lambda_n"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{1}{2}" transform="translate(1055.8,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.51ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2435.5 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\rho_n = \frac{1}{2} + i\lambda_n"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="i" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 178 373 175 357 168 338 145 275 121 208 101 155 86 115 78 88 78 74 78 25 114-11 162-11 205-11 239 14 264 64 283 103 293 130 293 145 293 154 288 159 277 159 274 159 259 150 259 138Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="\lambda_n" transform="translate(1345.2,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(616,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 的虚部满足<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.817ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1245.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="E_n = \lambda_n"><g data-mml-node="msub" data-latex="E_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="E"><path data-c="1D438" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 49 0 70 0L583 0C607 0 609 2 617 19L657 109C684 171 703 217 714 248 712 257 709 263 698 263 691 263 685 258 681 249 656 190 632 145 608 113 568 59 509 39 415 39L270 39C260 39 253 39 249 40 243 40 240 42 240 45 240 47 242 54 245 67L311 334 406 334C453 334 478 328 483 315 485 310 486 303 486 293 486 280 484 264 479 245 477 240 476 236 476 233 476 223 482 218 493 218 502 218 508 226 512 241L568 473C568 483 563 488 552 488 544 488 538 481 535 467 525 428 512 403 495 391 478 379 450 373 409 373L321 373 379 606C387 640 387 641 429 641L568 641C619 641 654 636 673 626 701 611 715 581 715 536 715 519 714 501 711 484 711 482 711 479 710 475L710 466C710 455 715 450 725 450 735 450 741 459 743 478L763 649C766 677 759 680 732 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(771,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.855ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2146 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="E_n = \lambda_n"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="\lambda_n" transform="translate(1055.8,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(616,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> ；第二个是厄米性，即该算子是自伴（厄米）的，从而保证本征值的实数性。</p><p>这一框架将纯粹的数论问题转化为量子力学问题，正如波利亚所预见的，物理系统的能量本征值天然具有实数性，这为黎曼猜想提供了全新的证明思路。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="数学表述与核心思想"><a href="#数学表述与核心思想" class="headerlink" title="数学表述与核心思想"></a>数学表述与核心思想</h2><p>黎曼<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数的非平凡零点<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.17ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 517 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\rho = \beta + i\gamma"><g data-mml-node="mi" data-latex="\rho"><path data-c="1D70C" d="M361 442C248 442 154 320 129 220L33-169C31-177 30-182 30-185 30-206 40-216 61-216 76-216 89-208 99-193L160 46C183 7 215-13 256-13 322-13 380 19 431 84 478 145 502 210 502 277 502 368 449 442 361 442M359 412C402 412 423 381 423 319 423 292 417 257 406 212 384 127 353 70 314 40 293 24 274 16 255 16 236 16 219 23 206 36 185 57 175 79 175 100 176 107 178 119 182 136 205 231 225 292 241 320 276 381 315 412 359 412Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.687ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1629.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\rho = \beta + i\gamma"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\beta" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="1D6FD" d="M427 706C298 706 212 553 182 432L30-178C30-189 35-194 44-194L49-194C56-194 61-191 62-184L126 74C148 16 191-13 255-13 317-13 374 6 425 45 496 98 532 167 532 250 532 317 509 367 463 400 520 435 556 480 569 534 572 547 574 560 574 571 574 654 507 706 427 706M306 399C311 402 329 403 358 403 365 403 371 402 378 401 368 399 359 398 350 398L332 398C321 398 312 398 306 399M148 138C148 154 150 170 154 186L213 426C240 534 312 675 426 675 483 675 511 646 511 589 511 575 509 559 504 540 490 484 464 444 425 421 403 429 381 433 359 433 315 433 270 432 270 396 270 389 273 383 278 379 287 372 310 368 349 368 374 368 399 372 422 380 449 358 463 324 463 278 463 253 459 224 451 193 428 103 360 17 256 17 188 17 148 68 148 138Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.272ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1888.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\rho = \beta + i\gamma"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="i" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 178 373 175 357 168 338 145 275 121 208 101 155 86 115 78 88 78 74 78 25 114-11 162-11 205-11 239 14 264 64 283 103 293 130 293 145 293 154 288 159 277 159 274 159 259 150 259 138Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\gamma" transform="translate(1345.2,0)"><path data-c="1D6FE" d="M524 378C537 403 543 416 543 417 543 426 538 431 527 431 520 431 515 428 512 422 477 357 436 265 388 146 384 212 371 274 349 331 320 405 275 442 214 442 151 442 96 400 68 361 35 314 18 279 18 257 18 248 26 243 43 243L48 250C65 302 94 335 135 349 163 358 185 363 201 363 305 363 357 281 357 116 357 77 353 45 345 20 311-91 294-162 294-193 294-208 300-215 311-215 323-215 335-194 346-153 363-89 375-32 382 18 385 33 387 46 390 55 426 167 471 275 524 378Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 满足<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.002ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1769 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta(\rho) = 0"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(474,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\rho" transform="translate(863,0)"><path data-c="1D70C" d="M361 442C248 442 154 320 129 220L33-169C31-177 30-182 30-185 30-206 40-216 61-216 76-216 89-208 99-193L160 46C183 7 215-13 256-13 322-13 380 19 431 84 478 145 502 210 502 277 502 368 449 442 361 442M359 412C402 412 423 381 423 319 423 292 417 257 406 212 384 127 353 70 314 40 293 24 274 16 255 16 236 16 219 23 206 36 185 57 175 79 175 100 176 107 178 119 182 136 205 231 225 292 241 320 276 381 315 412 359 412Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1380,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta(\rho) = 0"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 且<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 500 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="0 < \beta < 1"><g data-mml-node="mn" data-latex="0"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.687ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1629.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="0 < \beta < 1"><g data-mml-node="mo" data-latex="<"><path data-c="3C" d="M666-45C683-52 701-39 701-23 701-13 696-6 687-2L153 250 687 502C696 506 701 513 701 522 701 539 693 547 677 547 673 547 669 546 666 545L92 273C82 268 77 261 77 250 77 239 82 232 92 227Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\beta" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="1D6FD" d="M427 706C298 706 212 553 182 432L30-178C30-189 35-194 44-194L49-194C56-194 61-191 62-184L126 74C148 16 191-13 255-13 317-13 374 6 425 45 496 98 532 167 532 250 532 317 509 367 463 400 520 435 556 480 569 534 572 547 574 560 574 571 574 654 507 706 427 706M306 399C311 402 329 403 358 403 365 403 371 402 378 401 368 399 359 398 350 398L332 398C321 398 312 398 306 399M148 138C148 154 150 170 154 186L213 426C240 534 312 675 426 675 483 675 511 646 511 589 511 575 509 559 504 540 490 484 464 444 425 421 403 429 381 433 359 433 315 433 270 432 270 396 270 389 273 383 278 379 287 372 310 368 349 368 374 368 399 372 422 380 449 358 463 324 463 278 463 253 459 224 451 193 428 103 360 17 256 17 188 17 148 68 148 138Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="0 < \beta < 1"><g data-mml-node="mo" data-latex="<"><path data-c="3C" d="M666-45C683-52 701-39 701-23 701-13 696-6 687-2L153 250 687 502C696 506 701 513 701 522 701 539 693 547 677 547 673 547 669 546 666 545L92 273C82 268 77 261 77 250 77 239 82 232 92 227Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。黎曼猜想断言所有非平凡零点满足<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.299ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 574 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\beta = \frac{1}{2}"><g data-mml-node="mi" data-latex="\beta"><path data-c="1D6FD" d="M427 706C298 706 212 553 182 432L30-178C30-189 35-194 44-194L49-194C56-194 61-191 62-184L126 74C148 16 191-13 255-13 317-13 374 6 425 45 496 98 532 167 532 250 532 317 509 367 463 400 520 435 556 480 569 534 572 547 574 560 574 571 574 654 507 706 427 706M306 399C311 402 329 403 358 403 365 403 371 402 378 401 368 399 359 398 350 398L332 398C321 398 312 398 306 399M148 138C148 154 150 170 154 186L213 426C240 534 312 675 426 675 483 675 511 646 511 589 511 575 509 559 504 540 490 484 464 444 425 421 403 429 381 433 359 433 315 433 270 432 270 396 270 389 273 383 278 379 287 372 310 368 349 368 374 368 399 372 422 380 449 358 463 324 463 278 463 253 459 224 451 193 428 103 360 17 256 17 188 17 148 68 148 138Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.184ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 1849.3 1209.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\beta = \frac{1}{2}"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{1}{2}" transform="translate(1055.8,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> ，即<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.17ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 517 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\rho = \frac{1}{2} + i\gamma"><g data-mml-node="mi" data-latex="\rho"><path data-c="1D70C" d="M361 442C248 442 154 320 129 220L33-169C31-177 30-182 30-185 30-206 40-216 61-216 76-216 89-208 99-193L160 46C183 7 215-13 256-13 322-13 380 19 431 84 478 145 502 210 502 277 502 368 449 442 361 442M359 412C402 412 423 381 423 319 423 292 417 257 406 212 384 127 353 70 314 40 293 24 274 16 255 16 236 16 219 23 206 36 185 57 175 79 175 100 176 107 178 119 182 136 205 231 225 292 241 320 276 381 315 412 359 412Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.184ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 1849.3 1209.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\rho = \frac{1}{2} + i\gamma"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{1}{2}" transform="translate(1055.8,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.272ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1888.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\rho = \frac{1}{2} + i\gamma"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="i" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 178 373 175 357 168 338 145 275 121 208 101 155 86 115 78 88 78 74 78 25 114-11 162-11 205-11 239 14 264 64 283 103 293 130 293 145 293 154 288 159 277 159 274 159 259 150 259 138Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\gamma" transform="translate(1345.2,0)"><path data-c="1D6FE" d="M524 378C537 403 543 416 543 417 543 426 538 431 527 431 520 431 515 428 512 422 477 357 436 265 388 146 384 212 371 274 349 331 320 405 275 442 214 442 151 442 96 400 68 361 35 314 18 279 18 257 18 248 26 243 43 243L48 250C65 302 94 335 135 349 163 358 185 363 201 363 305 363 357 281 357 116 357 77 353 45 345 20 311-91 294-162 294-193 294-208 300-215 311-215 323-215 335-194 346-153 363-89 375-32 382 18 385 33 387 46 390 55 426 167 471 275 524 378Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> （<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.229ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 543 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\gamma \in \mathbb{R}"><g data-mml-node="mi" data-latex="\gamma"><path data-c="1D6FE" d="M524 378C537 403 543 416 543 417 543 426 538 431 527 431 520 431 515 428 512 422 477 357 436 265 388 146 384 212 371 274 349 331 320 405 275 442 214 442 151 442 96 400 68 361 35 314 18 279 18 257 18 248 26 243 43 243L48 250C65 302 94 335 135 349 163 358 185 363 201 363 305 363 357 281 357 116 357 77 353 45 345 20 311-91 294-162 294-193 294-208 300-215 311-215 323-215 335-194 346-153 363-89 375-32 382 18 385 33 387 46 390 55 426 167 471 275 524 378Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.771ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1666.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\gamma \in \mathbb{R}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\in"><path data-c="2208" d="M563 4 373 4C310 4 254 25 208 68 162 111 136 163 130 226L563 226C579 226 587 234 587 250 587 266 579 274 563 274L130 274C136 337 162 389 208 432 254 475 310 496 373 496L563 496C579 496 587 504 587 519 587 535 579 543 563 543L373 543C292 543 223 515 166 458 109 401 81 332 81 250 81 168 109 99 166 42 223-15 292-43 373-43L563-43C579-43 587-35 587-19 587-7 576 4 563 4Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathbb{R}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(944.8,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="R"><path data-c="211D" d="M104 590 104 95C104 45 99 43 47 43 26 43 16 36 16 22 16 4 31 0 54 0L324 0C349 0 361 7 361 22 361 36 350 43 329 43 277 43 273 45 273 95L273 310 302 310 450 83C475 43 490 20 494 14 500 5 512 0 530 0L666 0C691 0 703 7 703 22 703 33 697 40 685 42 660 47 625 82 579 146 534 208 494 267 459 322 573 344 630 402 630 496 630 563 600 613 540 644 488 671 429 685 364 685L54 685C29 685 16 678 16 663 16 649 26 642 47 642 99 642 104 640 104 590M535 597C570 576 587 542 587 496 587 427 547 385 468 368 485 396 494 438 494 495 494 552 483 596 462 629 487 622 512 612 535 597M452 495C452 433 441 394 419 378 397 362 348 353 273 353L273 593C273 630 287 642 330 642 425 642 452 595 452 495M413 316C496 184 561 93 610 43L525 43 352 311C357 312 361 312 364 312 378 312 394 313 413 316M140 642 240 642C234 631 231 616 231 596L231 93C231 72 233 55 237 43L140 43C144 55 146 72 146 93L146 592C146 613 144 630 140 642Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> ）。希尔伯特 - 波利亚猜想进一步将这些零点虚部<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.486ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.229ex" height="1.486ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 543 657"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\gamma"><g data-mml-node="mi" data-latex="\gamma"><path data-c="1D6FE" d="M524 378C537 403 543 416 543 417 543 426 538 431 527 431 520 431 515 428 512 422 477 357 436 265 388 146 384 212 371 274 349 331 320 405 275 442 214 442 151 442 96 400 68 361 35 314 18 279 18 257 18 248 26 243 43 243L48 250C65 302 94 335 135 349 163 358 185 363 201 363 305 363 357 281 357 116 357 77 353 45 345 20 311-91 294-162 294-193 294-208 300-215 311-215 323-215 335-194 346-153 363-89 375-32 382 18 385 33 387 46 390 55 426 167 471 275 524 378Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 识别为某个量子系统的能量谱：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:24.992ex"><svg style="vertical-align:-.924ex;min-width:24.992ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.98ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -908.5)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{H} |\psi_n\rangle = \gamma_n |\psi_n\rangle"><g data-mml-node="mtable" data-latex="\hat{H} |\psi_n\rangle = \gamma_n |\psi_n\rangle" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 908.5) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="3445.2 -908.5 1 1317"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-158.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{H}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(542,273) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="|" transform="translate(881,0)"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="\psi_n" transform="translate(1159,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\psi"><path data-c="1D713" d="M534 393C534 384 539 374 550 363 573 341 585 314 585 282 585 253 576 222 557 187 522 120 476 72 421 43 388 26 355 18 322 17L484 663C486 672 487 677 487 679 487 689 482 694 471 694 466 694 463 693 460 691 456 683 454 676 453 671L290 19C219 28 184 64 184 126 184 153 202 214 237 309 244 329 248 346 248 359 248 409 213 444 163 444 118 444 84 419 59 369 39 329 29 302 29 288 29 279 34 274 45 274 58 274 60 280 64 294 87 374 119 414 160 414 174 414 181 405 181 387 181 371 174 343 159 303 127 218 111 162 111 134 111 47 168-1 282-10 274-45 267-74 261-96 246-153 238-185 238-192 241-200 242-205 255-205L265-201C271-185 276-170 279-157L315-13C397-12 469 24 531 95 564 132 588 172 604 215 625 270 635 322 635 371 635 420 619 444 588 444 562 444 534 419 534 393Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(684,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\rangle" transform="translate(2317.3,0)"><path data-c="27E9" d="M278 242C279 244 279 247 279 250 279 253 279 256 278 258L98 735C94 745 87 750 76 750 61 750 53 742 53 726 53 723 53 720 54 718L231 250 54-217C53-219 53-222 53-226 53-242 61-250 76-250 87-250 94-245 98-235Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="=" transform="translate(2984,0)"><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="\gamma_n" transform="translate(4039.8,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\gamma"><path data-c="1D6FE" d="M524 378C537 403 543 416 543 417 543 426 538 431 527 431 520 431 515 428 512 422 477 357 436 265 388 146 384 212 371 274 349 331 320 405 275 442 214 442 151 442 96 400 68 361 35 314 18 279 18 257 18 248 26 243 43 243L48 250C65 302 94 335 135 349 163 358 185 363 201 363 305 363 357 281 357 116 357 77 353 45 345 20 311-91 294-162 294-193 294-208 300-215 311-215 323-215 335-194 346-153 363-89 375-32 382 18 385 33 387 46 390 55 426 167 471 275 524 378Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(551,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="|" transform="translate(5065.1,0)"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="\psi_n" transform="translate(5343.1,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\psi"><path data-c="1D713" d="M534 393C534 384 539 374 550 363 573 341 585 314 585 282 585 253 576 222 557 187 522 120 476 72 421 43 388 26 355 18 322 17L484 663C486 672 487 677 487 679 487 689 482 694 471 694 466 694 463 693 460 691 456 683 454 676 453 671L290 19C219 28 184 64 184 126 184 153 202 214 237 309 244 329 248 346 248 359 248 409 213 444 163 444 118 444 84 419 59 369 39 329 29 302 29 288 29 279 34 274 45 274 58 274 60 280 64 294 87 374 119 414 160 414 174 414 181 405 181 387 181 371 174 343 159 303 127 218 111 162 111 134 111 47 168-1 282-10 274-45 267-74 261-96 246-153 238-185 238-192 241-200 242-205 255-205L265-201C271-185 276-170 279-157L315-13C397-12 469 24 531 95 564 132 588 172 604 215 625 270 635 322 635 371 635 420 619 444 588 444 562 444 534 419 534 393Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(684,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\rangle" transform="translate(6501.3,0)"><path data-c="27E9" d="M278 242C279 244 279 247 279 250 279 253 279 256 278 258L98 735C94 745 87 750 76 750 61 750 53 742 53 726 53 723 53 720 54 718L231 250 54-217C53-219 53-222 53-226 53-242 61-250 76-250 87-250 94-245 98-235Z"></path></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -908.5 1 1317"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:1" transform="translate(0,589.5)"><text data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-748)"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(1)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z" transform="translate(889,0)"></path></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>其中<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="2.414ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1067 881 1067"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{H}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{H}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(542,273) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 是自伴哈密顿算子，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.13ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1825.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="|\psi_n\rangle"><g data-mml-node="mo" data-latex="|"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="\psi_n" transform="translate(278,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\psi"><path data-c="1D713" d="M534 393C534 384 539 374 550 363 573 341 585 314 585 282 585 253 576 222 557 187 522 120 476 72 421 43 388 26 355 18 322 17L484 663C486 672 487 677 487 679 487 689 482 694 471 694 466 694 463 693 460 691 456 683 454 676 453 671L290 19C219 28 184 64 184 126 184 153 202 214 237 309 244 329 248 346 248 359 248 409 213 444 163 444 118 444 84 419 59 369 39 329 29 302 29 288 29 279 34 274 45 274 58 274 60 280 64 294 87 374 119 414 160 414 174 414 181 405 181 387 181 371 174 343 159 303 127 218 111 162 111 134 111 47 168-1 282-10 274-45 267-74 261-96 246-153 238-185 238-192 241-200 242-205 255-205L265-201C271-185 276-170 279-157L315-13C397-12 469 24 531 95 564 132 588 172 604 215 625 270 635 322 635 371 635 420 619 444 588 444 562 444 534 419 534 393Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(684,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\rangle" transform="translate(1436.3,0)"><path data-c="27E9" d="M278 242C279 244 279 247 279 250 279 253 279 256 278 258L98 735C94 745 87 750 76 750 61 750 53 742 53 726 53 723 53 720 54 718L231 250 54-217C53-219 53-222 53-226 53-242 61-250 76-250 87-250 94-245 98-235Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为对应的量子态。这一对应将数论中最艰深的问题转化为量子力学的基本假设，厄米算子的本征值必为实数。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="关键进展：从随机矩阵到贝里-基廷猜想"><a href="#关键进展：从随机矩阵到贝里-基廷猜想" class="headerlink" title="关键进展：从随机矩阵到贝里-基廷猜想"></a>关键进展：从随机矩阵到贝里 - 基廷猜想</h2><p>1972 年，蒙哥马利（Hugh Montgomery）与戴森（Freeman Dyson）的历史性相遇为猜想提供了首个实质性证据。蒙哥马利发现<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数零点虚部的对关联函数为：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:32.022ex"><svg style="vertical-align:-2.376ex;min-width:32.022ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.882ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1550)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\rho(t) = 1 - \left( \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \right)^2
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\rho(t) = 1 - \left( \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \right)^2
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1550) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="4998.8 -1550 1 2600"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-104)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="\rho"><path data-c="1D70C" d="M361 442C248 442 154 320 129 220L33-169C31-177 30-182 30-185 30-206 40-216 61-216 76-216 89-208 99-193L160 46C183 7 215-13 256-13 322-13 380 19 431 84 478 145 502 210 502 277 502 368 449 442 361 442M359 412C402 412 423 381 423 319 423 292 417 257 406 212 384 127 353 70 314 40 293 24 274 16 255 16 236 16 219 23 206 36 185 57 175 79 175 100 176 107 178 119 182 136 205 231 225 292 241 320 276 381 315 412 359 412Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(517,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="t" transform="translate(906,0)"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1267,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="=" transform="translate(1933.8,0)"><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(2989.6,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="-" transform="translate(3711.8,0)"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="\left( \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \right)^2" transform="translate(4712,0)"><g data-mml-node="mrow" data-latex-item="\left( \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \right)" data-latex="\left( \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \right)"><g data-mml-node="mo" data-latex-item="\left(" data-latex="\left("><path data-c="28" d="M660-946C675-946 682-939 682-924 682-917 679-911 674-907 606-856 545-777 490-670 393-480 320-209 320 65L320 435C320 560 335 686 364 813 416 1043 523 1293 674 1407 679 1411 682 1417 682 1424 682 1439 675 1446 660 1446 656 1446 652 1444 647 1441 574 1386 505 1304 440 1195 327 1005 226 718 226 435L226 65C226-202 320-477 422-664 490-787 565-880 647-941 652-944 656-946 660-946Z"></path></g><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}" transform="translate(736,0)"><g data-mml-node="mrow" data-latex="\sin(\pi t)" transform="translate(220,708)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\sin"><path data-c="73" d="M360 130C360 206 308 254 205 274 158 283 128 294 112 305 96 316 88 332 88 351 88 398 123 421 193 421 261 421 298 383 303 306 304 298 309 294 319 294 330 294 336 303 336 321L336 420C336 439 331 448 321 448 310 448 295 430 285 422 260 439 229 448 193 448 104 448 33 408 33 323 33 289 47 260 76 237 111 208 144 202 207 191 272 178 305 149 305 104 305 47 270 18 199 18 130 18 86 64 67 155 64 168 59 175 50 175 39 175 33 165 33 146L33 17C33-2 38-11 48-11 51-11 56-8 64-1 82 15 74 12 92 30 121 3 157-11 199-11 294-11 360 38 360 130Z"></path><path data-c="69" d="M194 601C194 631 169 657 139 657 109 657 83 631 83 601 83 571 108 544 138 544 169 544 194 570 194 601M143 3 247 0 247 39C214 39 194 41 188 45 182 49 180 60 180 78L180 445 37 433 37 395C70 395 91 392 98 387 105 382 108 368 108 345L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z" transform="translate(394,0)"></path><path data-c="6E" d="M314 413C359 413 382 378 382 307L382 79C382 60 379 48 372 44 365 40 343 38 306 38L306 0 421 3 535 0 535 38C503 38 482 39 472 42 462 45 458 52 458 64L458 251C458 298 457 331 454 350 444 411 399 442 320 442 257 442 210 412 179 352L179 442 32 431 32 393C68 393 90 390 98 384 106 378 109 365 109 342L109 79C109 60 105 48 98 44 91 40 69 38 32 38L32 0 147 3 261 0 261 38C224 38 203 40 196 44 189 48 185 60 185 79L185 259C185 340 236 413 314 413Z" transform="translate(672,0)"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1228,0)"><path data-c="2061" d=""></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(1228,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi" transform="translate(1617,0)"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="t" transform="translate(2187,0)"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2548,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g><g data-mml-node="mrow" data-latex="\pi t" transform="translate(1223,-686)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="t" transform="translate(570,0)"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g></g><rect width="3137" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" data-latex-item="\right)" data-latex="\right)" transform="translate(4113,0)"><path data-c="29" d="M89-941C162-886 231-804 296-695 409-506 510-218 510 65L510 435C510 702 416 977 314 1164 246 1287 171 1380 89 1441 84 1444 80 1446 76 1446 61 1446 54 1439 54 1424 54 1417 57 1411 62 1407 130 1356 191 1277 246 1170 343 980 416 709 416 435L416 65C416-60 401-186 372-313 320-543 213-793 62-907 57-911 54-917 54-924 54-939 61-946 76-946 80-946 84-944 89-941Z"></path></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4882,1183.1) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -1550 1 2600"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:2" transform="translate(0,644)"><text data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-748)"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(2)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z" transform="translate(889,0)"></path></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>而戴森立即认出这正是高斯幺正系综（GUE）随机厄米矩阵本征值的对关联函数，这种分布广泛存在于重原子核能级等量子混沌系统中。这一发现揭示了素数分布与量子混沌系统的深刻联系，为希尔伯特 - 波利亚猜想奠定了统计力学基础。</p><p>1999 年，迈克尔・贝里（Michael Berry）和乔纳森・基廷（Jonathan Keating）提出了更具体的贝里 - 基廷猜想，推测所需的哈密顿算子应为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="2.98ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1067 881 1317"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{H} = \hat{x}\hat{p} + \hat{p}\hat{x}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{H}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(542,273) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.821ex" height="2.434ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -826 2130.8 1076"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{H} = \hat{x}\hat{p} + \hat{p}\hat{x}"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{x}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1055.8,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(329,32) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{p}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1627.8,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(343.5,32) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.695ex" height="2.434ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -826 2075.2 1076"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{H} = \hat{x}\hat{p} + \hat{p}\hat{x}"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{p}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1000.2,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(343.5,32) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{x}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1503.2,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(329,32) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> （即坐标与动量算子的对称组合）。他们证明，该算子的经典极限对应相空间中的双曲线运动，其量子化能级密度与黎曼 - 冯・曼戈尔特（Riemann-von Mangoldt）零点计数公式惊人相似：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:36.943ex"><svg style="vertical-align:-1.869ex;min-width:36.943ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="4.869ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1326)"><g data-mml-node="math" data-latex="
N(E) \sim \frac{E}{2\pi} \log\left( \frac{E}{2\pi e} \right) + \frac{7}{8}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
N(E) \sim \frac{E}{2\pi} \log\left( \frac{E}{2\pi e} \right) + \frac{7}{8}
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1326) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="6086.3 -1326 1 2152"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-30)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(881,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="E" transform="translate(1270,0)"><path data-c="1D438" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 49 0 70 0L583 0C607 0 609 2 617 19L657 109C684 171 703 217 714 248 712 257 709 263 698 263 691 263 685 258 681 249 656 190 632 145 608 113 568 59 509 39 415 39L270 39C260 39 253 39 249 40 243 40 240 42 240 45 240 47 242 54 245 67L311 334 406 334C453 334 478 328 483 315 485 310 486 303 486 293 486 280 484 264 479 245 477 240 476 236 476 233 476 223 482 218 493 218 502 218 508 226 512 241L568 473C568 483 563 488 552 488 544 488 538 481 535 467 525 428 512 403 495 391 478 379 450 373 409 373L321 373 379 606C387 640 387 641 429 641L568 641C619 641 654 636 673 626 701 611 715 581 715 536 715 519 714 501 711 484 711 482 711 479 710 475L710 466C710 455 715 450 725 450 735 450 741 459 743 478L763 649C766 677 759 680 732 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2036,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\sim" transform="translate(2702.8,0)"><path data-c="223C" d="M597 143C674 166 714 235 717 350 717 361 712 366 701 366 691 366 686 361 685 351 684 308 675 275 657 251 637 224 592 194 548 194 518 194 486 207 453 233 434 248 418 261 406 271 335 333 274 364 222 364 207 364 192 362 177 357 92 332 59 262 56 150 56 139 61 134 72 134 82 134 87 139 88 149 89 192 98 225 116 249 135 275 182 306 225 306 255 306 287 293 320 267 339 252 355 239 367 229 438 167 499 136 551 136 566 136 582 138 597 143Z"></path></g><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{E}{2\pi}" transform="translate(3753.6,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="E" transform="translate(372,676)"><path data-c="1D438" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 49 0 70 0L583 0C607 0 609 2 617 19L657 109C684 171 703 217 714 248 712 257 709 263 698 263 691 263 685 258 681 249 656 190 632 145 608 113 568 59 509 39 415 39L270 39C260 39 253 39 249 40 243 40 240 42 240 45 240 47 242 54 245 67L311 334 406 334C453 334 478 328 483 315 485 310 486 303 486 293 486 280 484 264 479 245 477 240 476 236 476 233 476 223 482 218 493 218 502 218 508 226 512 241L568 473C568 483 563 488 552 488 544 488 538 481 535 467 525 428 512 403 495 391 478 379 450 373 409 373L321 373 379 606C387 640 387 641 429 641L568 641C619 641 654 636 673 626 701 611 715 581 715 536 715 519 714 501 711 484 711 482 711 479 710 475L710 466C710 455 715 450 725 450 735 450 741 459 743 478L763 649C766 677 759 680 732 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" data-latex="2\pi" transform="translate(220,-686)"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi" transform="translate(500,0)"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g></g><rect width="1270" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\log" transform="translate(5263.6,0)"><path data-c="6C" d="M144 3 255 0 255 39C219 39 197 40 190 44 183 48 180 60 180 79L180 694 33 683 33 645C68 645 90 642 97 636 104 630 108 616 108 593L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path><path data-c="6F" d="M249-11C311-11 363 11 406 55 449 99 471 152 471 214 471 277 450 332 408 378 366 424 313 448 250 448 187 448 135 424 92 378 49 332 28 277 28 214 28 152 49 99 92 55 135 11 188-11 249-11M250 21C202 21 166 42 141 85 125 113 117 159 117 222 117 283 125 327 140 355 164 398 200 419 249 419 296 419 332 398 357 357 374 329 382 284 382 222 382 106 348 21 250 21Z" transform="translate(278,0)"></path><path data-c="67" d="M431 453C393 453 358 438 326 408 296 431 262 442 223 442 137 442 59 378 59 294 59 252 74 218 104 192 85 168 75 141 75 110 75 72 88 43 113 24 71 10 28-26 28-77 28-120 56-154 111-178 153-197 199-206 249-206 300-206 347-197 389-178 444-154 471-120 471-75 471-22 449 17 405 42 359 67 308 70 234 70 190 70 166 70 161 71 133 75 113 102 113 133 113 148 117 162 126 174 154 155 186 145 223 145 309 145 386 209 386 293 386 332 373 364 347 389 372 412 399 423 428 423 423 418 420 410 420 400 420 378 431 367 453 367 474 367 485 378 485 401 485 432 461 453 431 453M223 411C277 411 304 372 304 294 304 215 277 175 223 175 168 175 141 214 141 293 141 372 168 411 223 411M164 4 222 4C274 4 316 1 348-6 391-15 412-39 412-77 412-109 392-134 352-153 321-168 287-175 250-175 214-175 180-168 148-153 107-134 87-109 87-77 87-35 123 4 164 4Z" transform="translate(778,0)"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6541.6,0)"><path data-c="2061" d=""></path></g><g data-mml-node="mrow" data-latex-item="\left( \frac{E}{2\pi e} \right)" data-latex="\left( \frac{E}{2\pi e} \right)" transform="translate(6708.2,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex-item="\left(" data-latex="\left("><path data-c="28" d="M588-796C601-796 608-789 608-776 608-770 606-765 601-760 500-684 420-552 361-365 310-206 285-51 285 101L285 399C285 551 310 706 361 865 420 1052 500 1184 601 1260 606 1265 608 1270 608 1276 608 1289 601 1296 588 1296 583 1296 579 1295 576 1292 464 1207 372 1071 300 886 234 717 201 554 201 399L201 101C201-54 234-217 300-386 372-571 464-707 576-792 579-795 583-796 588-796Z"></path></g><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{E}{2\pi e}" transform="translate(663,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="E" transform="translate(605,676)"><path data-c="1D438" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 49 0 70 0L583 0C607 0 609 2 617 19L657 109C684 171 703 217 714 248 712 257 709 263 698 263 691 263 685 258 681 249 656 190 632 145 608 113 568 59 509 39 415 39L270 39C260 39 253 39 249 40 243 40 240 42 240 45 240 47 242 54 245 67L311 334 406 334C453 334 478 328 483 315 485 310 486 303 486 293 486 280 484 264 479 245 477 240 476 236 476 233 476 223 482 218 493 218 502 218 508 226 512 241L568 473C568 483 563 488 552 488 544 488 538 481 535 467 525 428 512 403 495 391 478 379 450 373 409 373L321 373 379 606C387 640 387 641 429 641L568 641C619 641 654 636 673 626 701 611 715 581 715 536 715 519 714 501 711 484 711 482 711 479 710 475L710 466C710 455 715 450 725 450 735 450 741 459 743 478L763 649C766 677 759 680 732 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" data-latex="2\pi e" transform="translate(220,-686)"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi" transform="translate(500,0)"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="e" transform="translate(1070,0)"><path data-c="1D452" d="M124 129C124 153 129 186 139 227L188 227C253 227 303 235 339 250 372 264 394 284 405 309 412 326 415 342 415 355 415 410 363 442 307 442 268 442 229 432 190 412 113 372 46 281 46 171 46 69 105-11 204-11 257-11 304 2 345 27 379 48 404 69 420 90 427 99 430 106 430 109 430 120 425 126 414 126 409 126 404 122 398 114 365 70 324 42 277 30 246 22 223 18 206 18 149 18 124 72 124 129M375 355C375 289 311 256 182 256L147 256C166 322 194 366 232 387 262 404 287 413 307 413 343 413 375 391 375 355Z"></path></g></g><rect width="1736" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" data-latex-item="\right)" data-latex="\right)" transform="translate(2639,0)"><path data-c="29" d="M86-792C198-707 290-571 363-386 429-217 462-54 462 101L462 399C462 554 429 717 363 886 290 1071 198 1207 86 1292 83 1295 80 1296 75 1296 62 1296 55 1289 55 1276 55 1269 57 1264 62 1260 163 1183 243 1052 302 865 353 707 378 552 378 399L378 101C378-51 353-206 302-365 243-552 163-684 62-760 57-764 55-769 55-776 55-789 62-796 75-796 80-796 83-795 86-792Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="+" transform="translate(10232.4,0)"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{7}{8}" transform="translate(11232.7,0)"><g data-mml-node="mn" data-latex="7" transform="translate(220,676)"><path data-c="37" d="M475 604C482 613 485 626 485 644L243 644C174 644 135 648 128 657 125 660 122 667 120 676L89 676 55 464 88 464C98 520 106 550 112 555 115 558 146 560 205 560L401 560 295 410C214 295 174 171 174 36 174-3 190-22 223-22 256-22 272-3 272 36L272 87C272 239 296 349 343 416Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="8" transform="translate(220,-686)"><path data-c="38" d="M250 666C201 666 158 650 122 618 86 586 68 546 68 497 68 456 83 419 113 386 120 378 142 361 179 335 88 288 42 227 42 153 42 100 64 57 107 24 147-7 194-22 249-22 305-22 354-4 395 32 436 68 457 115 457 170 457 216 441 257 408 294 396 307 365 330 316 361 393 402 431 454 431 515 431 606 344 666 250 666M379 515C379 463 348 418 286 381L167 459C136 479 120 505 120 536 120 596 185 633 249 633 318 633 379 584 379 515M250 14C168 14 99 73 99 153 99 220 136 274 210 315L328 240C376 209 400 174 400 134 400 62 325 14 250 14Z"></path></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -1326 1 2152"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:3" transform="translate(0,718)"><text data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-748)"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(3)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 578 119 580 145 615 186 633 242 633 302 633 332 598 332 527 332 485 324 450 309 421 282 373 245 364 183 364 171 362 165 357 165 348 165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173 348 88 317 14 241 14 176 14 128 36 99 80 134 79 160 105 160 139 160 173 135 198 101 198 62 198 42 178 42 137 42 88 64 49 108 18 147-9 193-22 244-22 301-22 350-3 393 34 436 71 457 117 457 173 457 267 383 332 303 353Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z" transform="translate(889,0)"></path></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>这一公式与理想量子系统的态密度表达式结构完全一致，暗示<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数零点可视为某种量子混沌系统的能量本征值。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="数学推导：从零点计数到量子化条件"><a href="#数学推导：从零点计数到量子化条件" class="headerlink" title="数学推导：从零点计数到量子化条件"></a>数学推导：从零点计数到量子化条件</h2><h3 id="1-黎曼-冯·曼戈尔特计数函数"><a href="#1-黎曼-冯·曼戈尔特计数函数" class="headerlink" title="1. 黎曼-冯·曼戈尔特计数函数"></a>1. 黎曼 - 冯・曼戈尔特计数函数</h3><p>黎曼<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数非平凡零点的计数函数定义为：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:51.169ex"><svg style="vertical-align:-.566ex;min-width:51.169ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math" data-latex="
N(T) = \# \{ \gamma \mid 0 < \gamma \leq T, \zeta(1/2 + i\gamma) = 0 \}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
N(T) = \# \{ \gamma \mid 0 < \gamma \leq T, \zeta(1/2 + i\gamma) = 0 \}
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="9230.4 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(881,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="T" transform="translate(1270,0)"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1974,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="=" transform="translate(2640.8,0)"><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\#" transform="translate(3696.6,0)"><path data-c="23" d="M739 130C764 130 776 138 776 154 776 170 763 178 738 178L535 178 572 322 738 322C763 322 776 330 776 346 776 362 764 370 739 370L586 370 662 651C665 657 666 663 666 670 666 686 658 694 642 694 637 694 632 692 628 689 622 679 618 672 617 667L538 370 360 370 436 651C439 657 440 663 440 670 440 686 432 694 416 694 411 694 406 692 401 689 395 679 391 672 390 667L311 370 93 370C68 370 56 362 56 346 56 330 69 322 94 322L297 322 260 178 94 178C69 178 56 170 56 154 56 138 68 130 93 130L246 130 170-151C167-157 166-163 166-170 166-186 174-194 190-194 195-194 200-192 204-189 210-179 214-172 215-167L294 130 472 130 396-151C393-157 392-163 392-170 392-186 400-194 416-194 421-194 426-192 431-189 437-179 441-172 442-167L521 130M346 322 524 322 486 178 308 178Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\{" transform="translate(4529.6,0)"><path data-c="7B" d="M286-122 286 126C286 183 251 225 182 250 251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718 420 718 425 723 425 734 425 745 420 750 409 750 363 750 321 740 284 721 237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266 80 266 75 261 75 250 75 239 80 234 91 234 155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221 321-240 363-250 409-250 420-250 425-245 425-234 425-223 420-218 409-218 348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\gamma" transform="translate(5029.6,0)"><path data-c="1D6FE" d="M524 378C537 403 543 416 543 417 543 426 538 431 527 431 520 431 515 428 512 422 477 357 436 265 388 146 384 212 371 274 349 331 320 405 275 442 214 442 151 442 96 400 68 361 35 314 18 279 18 257 18 248 26 243 43 243L48 250C65 302 94 335 135 349 163 358 185 363 201 363 305 363 357 281 357 116 357 77 353 45 345 20 311-91 294-162 294-193 294-208 300-215 311-215 323-215 335-194 346-153 363-89 375-32 382 18 385 33 387 46 390 55 426 167 471 275 524 378Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\mid" transform="translate(5850.3,0)"><path data-c="2223" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(6406.1,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="<" transform="translate(7183.9,0)"><path data-c="3C" d="M666-45C683-52 701-39 701-23 701-13 696-6 687-2L153 250 687 502C696 506 701 513 701 522 701 539 693 547 677 547 673 547 669 546 666 545L92 273C82 268 77 261 77 250 77 239 82 232 92 227Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\gamma" transform="translate(8239.7,0)"><path data-c="1D6FE" d="M524 378C537 403 543 416 543 417 543 426 538 431 527 431 520 431 515 428 512 422 477 357 436 265 388 146 384 212 371 274 349 331 320 405 275 442 214 442 151 442 96 400 68 361 35 314 18 279 18 257 18 248 26 243 43 243L48 250C65 302 94 335 135 349 163 358 185 363 201 363 305 363 357 281 357 116 357 77 353 45 345 20 311-91 294-162 294-193 294-208 300-215 311-215 323-215 335-194 346-153 363-89 375-32 382 18 385 33 387 46 390 55 426 167 471 275 524 378Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\leq" transform="translate(9060.4,0)"><path data-c="2264" d="M668 38C686 29 703 44 703 60 703 69 698 76 689 80L155 333 689 586C698 590 703 597 703 606 703 623 695 631 679 631 675 631 671 630 668 629L94 357C84 352 79 344 79 333 79 322 84 315 94 310M678-72 100-72C84-72 76-80 76-95 76-111 84-119 100-119L678-119C694-119 702-111 702-95 702-83 691-72 678-72Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="T" transform="translate(10116.2,0)"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(10820.2,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta" transform="translate(11264.9,0)"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(11738.9,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(12127.9,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(12627.9,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex="/"><path data-c="2F" d="M444 718C445 720 445 723 445 726 445 742 437 750 421 750 410 750 403 745 399 734L57-218C56-220 56-223 56-226 56-242 64-250 80-250 91-250 98-245 102-234Z"></path></g></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(13127.9,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="+" transform="translate(13850.1,0)"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="i" transform="translate(14850.3,0)"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 178 373 175 357 168 338 145 275 121 208 101 155 86 115 78 88 78 74 78 25 114-11 162-11 205-11 239 14 264 64 283 103 293 130 293 145 293 154 288 159 277 159 274 159 259 150 259 138Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\gamma" transform="translate(15195.3,0)"><path data-c="1D6FE" d="M524 378C537 403 543 416 543 417 543 426 538 431 527 431 520 431 515 428 512 422 477 357 436 265 388 146 384 212 371 274 349 331 320 405 275 442 214 442 151 442 96 400 68 361 35 314 18 279 18 257 18 248 26 243 43 243L48 250C65 302 94 335 135 349 163 358 185 363 201 363 305 363 357 281 357 116 357 77 353 45 345 20 311-91 294-162 294-193 294-208 300-215 311-215 323-215 335-194 346-153 363-89 375-32 382 18 385 33 387 46 390 55 426 167 471 275 524 378Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(15738.3,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="=" transform="translate(16405.1,0)"><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(17460.9,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\}" transform="translate(17960.9,0)"><path data-c="7D" d="M286 374 286 622C286 664 263 697 216 721 179 740 137 750 91 750 80 750 75 745 75 734 75 723 80 718 91 718 152 718 214 680 214 622L214 374C214 317 249 275 318 250 249 225 214 183 214 126L214-122C214-180 152-218 91-218 80-218 75-223 75-234 75-245 80-250 91-250 137-250 179-240 216-221 263-197 286-164 286-122L286 126C286 188 345 234 409 234 420 234 425 239 425 250 425 261 420 266 409 266 345 266 286 312 286 374Z"></path></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -750 1 1000"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:4"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(4)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199 28 163 289 163 289 81C289 63 285 51 278 46 271 41 252 39 219 39L194 39 194 0C223 2 269 3 331 3 393 3 439 2 468 0L468 39 443 39C410 39 391 41 384 46 377 51 373 63 373 81L373 163 471 163 471 202 373 202 373 660C373 670 366 677 353 677M295 553 295 202 67 202Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z" transform="translate(889,0)"></path></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>其渐近展开式（黎曼 - 冯・曼戈尔特公式）为：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:54.704ex"><svg style="vertical-align:-1.865ex;min-width:54.704ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="4.862ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1324.5)"><g data-mml-node="math" data-latex="
N(T) = \frac{T}{2\pi} \log\left( \frac{T}{2\pi e} \right) + \frac{7}{8} + S(T) + \mathcal{O}\left( \frac{1}{T} \right)
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
N(T) = \frac{T}{2\pi} \log\left( \frac{T}{2\pi e} \right) + \frac{7}{8} + S(T) + \mathcal{O}\left( \frac{1}{T} \right)
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1324.5) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="10011.6 -1324.5 1 2149"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-28.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(881,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="T" transform="translate(1270,0)"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1974,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="=" transform="translate(2640.8,0)"><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{T}{2\pi}" transform="translate(3696.6,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="T" transform="translate(403,676)"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" data-latex="2\pi" transform="translate(220,-686)"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi" transform="translate(500,0)"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g></g><rect width="1270" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\log" transform="translate(5206.6,0)"><path data-c="6C" d="M144 3 255 0 255 39C219 39 197 40 190 44 183 48 180 60 180 79L180 694 33 683 33 645C68 645 90 642 97 636 104 630 108 616 108 593L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path><path data-c="6F" d="M249-11C311-11 363 11 406 55 449 99 471 152 471 214 471 277 450 332 408 378 366 424 313 448 250 448 187 448 135 424 92 378 49 332 28 277 28 214 28 152 49 99 92 55 135 11 188-11 249-11M250 21C202 21 166 42 141 85 125 113 117 159 117 222 117 283 125 327 140 355 164 398 200 419 249 419 296 419 332 398 357 357 374 329 382 284 382 222 382 106 348 21 250 21Z" transform="translate(278,0)"></path><path data-c="67" d="M431 453C393 453 358 438 326 408 296 431 262 442 223 442 137 442 59 378 59 294 59 252 74 218 104 192 85 168 75 141 75 110 75 72 88 43 113 24 71 10 28-26 28-77 28-120 56-154 111-178 153-197 199-206 249-206 300-206 347-197 389-178 444-154 471-120 471-75 471-22 449 17 405 42 359 67 308 70 234 70 190 70 166 70 161 71 133 75 113 102 113 133 113 148 117 162 126 174 154 155 186 145 223 145 309 145 386 209 386 293 386 332 373 364 347 389 372 412 399 423 428 423 423 418 420 410 420 400 420 378 431 367 453 367 474 367 485 378 485 401 485 432 461 453 431 453M223 411C277 411 304 372 304 294 304 215 277 175 223 175 168 175 141 214 141 293 141 372 168 411 223 411M164 4 222 4C274 4 316 1 348-6 391-15 412-39 412-77 412-109 392-134 352-153 321-168 287-175 250-175 214-175 180-168 148-153 107-134 87-109 87-77 87-35 123 4 164 4Z" transform="translate(778,0)"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6484.6,0)"><path data-c="2061" d=""></path></g><g data-mml-node="mrow" data-latex-item="\left( \frac{T}{2\pi e} \right)" data-latex="\left( \frac{T}{2\pi e} \right)" transform="translate(6651.2,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex-item="\left(" data-latex="\left("><path data-c="28" d="M588-796C601-796 608-789 608-776 608-770 606-765 601-760 500-684 420-552 361-365 310-206 285-51 285 101L285 399C285 551 310 706 361 865 420 1052 500 1184 601 1260 606 1265 608 1270 608 1276 608 1289 601 1296 588 1296 583 1296 579 1295 576 1292 464 1207 372 1071 300 886 234 717 201 554 201 399L201 101C201-54 234-217 300-386 372-571 464-707 576-792 579-795 583-796 588-796Z"></path></g><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{T}{2\pi e}" transform="translate(663,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="T" transform="translate(636,676)"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" data-latex="2\pi e" transform="translate(220,-686)"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi" transform="translate(500,0)"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="e" transform="translate(1070,0)"><path data-c="1D452" d="M124 129C124 153 129 186 139 227L188 227C253 227 303 235 339 250 372 264 394 284 405 309 412 326 415 342 415 355 415 410 363 442 307 442 268 442 229 432 190 412 113 372 46 281 46 171 46 69 105-11 204-11 257-11 304 2 345 27 379 48 404 69 420 90 427 99 430 106 430 109 430 120 425 126 414 126 409 126 404 122 398 114 365 70 324 42 277 30 246 22 223 18 206 18 149 18 124 72 124 129M375 355C375 289 311 256 182 256L147 256C166 322 194 366 232 387 262 404 287 413 307 413 343 413 375 391 375 355Z"></path></g></g><rect width="1736" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" data-latex-item="\right)" data-latex="\right)" transform="translate(2639,0)"><path data-c="29" d="M86-792C198-707 290-571 363-386 429-217 462-54 462 101L462 399C462 554 429 717 363 886 290 1071 198 1207 86 1292 83 1295 80 1296 75 1296 62 1296 55 1289 55 1276 55 1269 57 1264 62 1260 163 1183 243 1052 302 865 353 707 378 552 378 399L378 101C378-51 353-206 302-365 243-552 163-684 62-760 57-764 55-769 55-776 55-789 62-796 75-796 80-796 83-795 86-792Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="+" transform="translate(10175.4,0)"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{7}{8}" transform="translate(11175.7,0)"><g data-mml-node="mn" data-latex="7" transform="translate(220,676)"><path data-c="37" d="M475 604C482 613 485 626 485 644L243 644C174 644 135 648 128 657 125 660 122 667 120 676L89 676 55 464 88 464C98 520 106 550 112 555 115 558 146 560 205 560L401 560 295 410C214 295 174 171 174 36 174-3 190-22 223-22 256-22 272-3 272 36L272 87C272 239 296 349 343 416Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="8" transform="translate(220,-686)"><path data-c="38" d="M250 666C201 666 158 650 122 618 86 586 68 546 68 497 68 456 83 419 113 386 120 378 142 361 179 335 88 288 42 227 42 153 42 100 64 57 107 24 147-7 194-22 249-22 305-22 354-4 395 32 436 68 457 115 457 170 457 216 441 257 408 294 396 307 365 330 316 361 393 402 431 454 431 515 431 606 344 666 250 666M379 515C379 463 348 418 286 381L167 459C136 479 120 505 120 536 120 596 185 633 249 633 318 633 379 584 379 515M250 14C168 14 99 73 99 153 99 220 136 274 210 315L328 240C376 209 400 174 400 134 400 62 325 14 250 14Z"></path></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" data-latex="+" transform="translate(12337.9,0)"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="S" transform="translate(13338.1,0)"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(13983.1,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="T" transform="translate(14372.1,0)"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(15076.1,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="+" transform="translate(15687.3,0)"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal{O}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(16687.6,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="O"><path data-c="4F" d="M583 525C583 424 528 266 490 194 429 83 352 28 258 28 211 28 174 46 147 83 129 108 120 144 120 193 120 238 127 290 142 349 172 472 233 570 324 643L308 660C283 647 264 634 249 622 154 545 90 442 57 312 46 270 41 230 41 192 41 134 53 88 78 55 115 6 163-18 223-18 372-18 485 51 562 190 605 268 663 421 659 530 656 621 605 686 514 686 402 686 321 596 299 505 290 472 292 448 304 432 311 421 322 415 338 415 365 415 382 427 389 451 394 467 394 480 387 489 372 508 365 526 365 542 365 570 380 595 411 616 439 635 468 645 497 645 558 645 583 584 583 525Z"></path></g></g><g data-mml-node="mrow" data-latex-item="\left( \frac{1}{T} \right)" data-latex="\left( \frac{1}{T} \right)" transform="translate(17553.2,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex-item="\left(" data-latex="\left("><path data-c="28" d="M588-796C601-796 608-789 608-776 608-770 606-765 601-760 500-684 420-552 361-365 310-206 285-51 285 101L285 399C285 551 310 706 361 865 420 1052 500 1184 601 1260 606 1265 608 1270 608 1276 608 1289 601 1296 588 1296 583 1296 579 1295 576 1292 464 1207 372 1071 300 886 234 717 201 554 201 399L201 101C201-54 234-217 300-386 372-571 464-707 576-792 579-795 583-796 588-796Z"></path></g><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{1}{T}" transform="translate(663,0)"><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(322,676)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="T" transform="translate(220,-686)"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><rect width="904" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" data-latex-item="\right)" data-latex="\right)" transform="translate(1807,0)"><path data-c="29" d="M86-792C198-707 290-571 363-386 429-217 462-54 462 101L462 399C462 554 429 717 363 886 290 1071 198 1207 86 1292 83 1295 80 1296 75 1296 62 1296 55 1289 55 1276 55 1269 57 1264 62 1260 163 1183 243 1052 302 865 353 707 378 552 378 399L378 101C378-51 353-206 302-365 243-552 163-684 62-760 57-764 55-769 55-776 55-789 62-796 75-796 80-796 83-795 86-792Z"></path></g></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -1324.5 1 2149"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:5" transform="translate(0,719.5)"><text data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-748)"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(5)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="35" d="M118 315C123 315 129 319 134 326 164 371 205 393 257 393 292 393 319 373 337 332 348 305 354 264 354 209 354 146 346 102 331 76 306 35 272 14 229 14 162 14 109 62 91 114 94 113 96 114 100 114 130 114 155 137 155 167 155 198 130 219 100 219 65 219 50 200 50 163 50 63 131-22 231-22 292-22 344 0 386 44 428 88 449 141 449 202 449 260 432 310 398 353 361 400 315 423 259 423 212 423 171 408 138 378L138 556C165 548 191 544 218 544 264 544 304 555 338 578 369 597 390 616 402 634 408 642 411 648 411 651 411 661 406 666 396 666 341 645 294 634 256 634 211 634 168 643 127 662 122 664 118 665 114 665 105 665 100 656 100 637L100 345C100 324 100 315 118 315Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z" transform="translate(889,0)"></path></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>其中<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.812ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2127 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S(T)"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(645,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="T" transform="translate(1034,0)"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1738,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为误差项，与黎曼猜想等价的命题是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.812ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2127 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S(T) = \mathcal{O}(\log T)"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(645,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="T" transform="translate(1034,0)"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1738,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.592ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4681.4 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S(T) = \mathcal{O}(\log T)"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal{O}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1055.8,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="O"><path data-c="4F" d="M583 525C583 424 528 266 490 194 429 83 352 28 258 28 211 28 174 46 147 83 129 108 120 144 120 193 120 238 127 290 142 349 172 472 233 570 324 643L308 660C283 647 264 634 249 622 154 545 90 442 57 312 46 270 41 230 41 192 41 134 53 88 78 55 115 6 163-18 223-18 372-18 485 51 562 190 605 268 663 421 659 530 656 621 605 686 514 686 402 686 321 596 299 505 290 472 292 448 304 432 311 421 322 415 338 415 365 415 382 427 389 451 394 467 394 480 387 489 372 508 365 526 365 542 365 570 380 595 411 616 439 635 468 645 497 645 558 645 583 584 583 525Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(1754.8,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\log" transform="translate(2143.8,0)"><path data-c="6C" d="M144 3 255 0 255 39C219 39 197 40 190 44 183 48 180 60 180 79L180 694 33 683 33 645C68 645 90 642 97 636 104 630 108 616 108 593L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path><path data-c="6F" d="M249-11C311-11 363 11 406 55 449 99 471 152 471 214 471 277 450 332 408 378 366 424 313 448 250 448 187 448 135 424 92 378 49 332 28 277 28 214 28 152 49 99 92 55 135 11 188-11 249-11M250 21C202 21 166 42 141 85 125 113 117 159 117 222 117 283 125 327 140 355 164 398 200 419 249 419 296 419 332 398 357 357 374 329 382 284 382 222 382 106 348 21 250 21Z" transform="translate(278,0)"></path><path data-c="67" d="M431 453C393 453 358 438 326 408 296 431 262 442 223 442 137 442 59 378 59 294 59 252 74 218 104 192 85 168 75 141 75 110 75 72 88 43 113 24 71 10 28-26 28-77 28-120 56-154 111-178 153-197 199-206 249-206 300-206 347-197 389-178 444-154 471-120 471-75 471-22 449 17 405 42 359 67 308 70 234 70 190 70 166 70 161 71 133 75 113 102 113 133 113 148 117 162 126 174 154 155 186 145 223 145 309 145 386 209 386 293 386 332 373 364 347 389 372 412 399 423 428 423 423 418 420 410 420 400 420 378 431 367 453 367 474 367 485 378 485 401 485 432 461 453 431 453M223 411C277 411 304 372 304 294 304 215 277 175 223 175 168 175 141 214 141 293 141 372 168 411 223 411M164 4 222 4C274 4 316 1 348-6 391-15 412-39 412-77 412-109 392-134 352-153 321-168 287-175 250-175 214-175 180-168 148-153 107-134 87-109 87-77 87-35 123 4 164 4Z" transform="translate(778,0)"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3421.8,0)"><path data-c="2061" d=""></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="T" transform="translate(3588.4,0)"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(4292.4,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。这一公式在形式上与量子系统的态密度公式惊人相似。</p><h3 id="2-贝里-基廷哈密顿算子的量子化"><a href="#2-贝里-基廷哈密顿算子的量子化" class="headerlink" title="2. 贝里-基廷哈密顿算子的量子化"></a>2. 贝里 - 基廷哈密顿算子的量子化</h3><p>贝里和基廷提出的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="2.98ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1067 881 1317"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{H} = \hat{x}\hat{p} + \hat{p}\hat{x}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{H}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(542,273) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.821ex" height="2.434ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -826 2130.8 1076"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{H} = \hat{x}\hat{p} + \hat{p}\hat{x}"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{x}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1055.8,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(329,32) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{p}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1627.8,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(343.5,32) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.695ex" height="2.434ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -826 2075.2 1076"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{H} = \hat{x}\hat{p} + \hat{p}\hat{x}"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{p}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1000.2,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(343.5,32) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{x}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1503.2,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(329,32) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 算子具有特殊的量子化性质。在经典力学中，其对应的哈密顿量<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 881 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="H = xp + px = 2xp"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.821ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2130.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="H = xp + px = 2xp"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="p" transform="translate(1627.8,0)"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.695ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2075.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="H = xp + px = 2xp"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="p" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(1503.2,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.952ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2630.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="H = xp + px = 2xp"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(1555.8,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="p" transform="translate(2127.8,0)"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 生成相空间中的双曲运动。对该系统应用玻尔 - 索末菲量子化条件：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:29.241ex"><svg style="vertical-align:-1.948ex;min-width:29.241ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.027ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1361)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\oint p \mathrm{d}x = 2\pi \hbar (n + c)
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\oint p \mathrm{d}x = 2\pi \hbar (n + c)
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1361) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="4384.3 -1361 1 2222"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo" data-latex="\oint"><path data-c="222E" d="M831 1361C784 1361 742 1318 704 1232 686 1193 665 1131 642 1046 609 925 570 762 525 556L521 556C436 556 365 526 306 466 247 406 217 335 217 250 217 111 304 7 409-35L395-117C356-344 327-496 308-574 267-745 220-831 168-831 149-831 132-826 117-815 146-810 160-793 160-763 160-734 138-711 109-711 74-711 56-729 56-764 56-822 113-861 170-861 243-861 303-803 350-688 380-615 414-497 451-336L516-56 521-56C605-56 677-26 736 34 795 94 825 165 825 250 825 388 735 494 631 535L646 617C679 807 703 937 718 1008 764 1223 802 1331 833 1331 853 1331 870 1326 883 1315 854 1310 839 1293 839 1263 839 1234 861 1211 890 1211 925 1211 943 1229 943 1264 943 1319 889 1361 831 1361M622 481C703 445 772 361 772 250 772 181 748 123 701 74 654 25 596 0 528-2M270 250C270 318 293 377 340 426 387 475 445 500 513 502L419 19C339 56 270 139 270 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="p" transform="translate(1165.7,0)"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathrm{d}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1668.7,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="d"><path data-c="64" d="M374-11 527 0 527 38C491 38 470 40 462 46 454 52 450 67 450 90L450 694 301 683 301 645C336 645 358 642 366 636 374 630 377 616 377 593L377 390C345 427 305 445 257 445 195 445 142 423 99 378 56 333 34 279 34 216 34 155 54 102 95 57 136 12 186-11 247-11 298-11 341 8 374 47M261 415C304 415 339 396 364 358 371 347 374 336 374 323L374 121C374 108 371 97 364 86 336 41 298 19 251 19 210 19 177 39 151 80 133 110 124 155 124 215 124 324 161 415 261 415Z"></path></g></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(2224.7,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="=" transform="translate(3074.4,0)"><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(4130.2,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi" transform="translate(4630.2,0)"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\hbar" transform="translate(5200.2,0)"><path data-c="210F" d="M225 632C225 629 224 623 223 616L210 564 162 564C150 564 143 558 140 547 137 534 142 527 155 527L201 527 77 32C76 29 76 24 75 19 75-1 85-11 106-11 128-11 142-1 147 20L189 191C202 242 216 295 232 323 269 384 311 415 359 415 386 415 400 395 400 354 400 316 381 244 344 137 333 107 328 85 328 72 328 25 359-11 406-11 472-11 515 66 531 126 534 137 535 143 535 145 535 154 529 159 516 159 507 159 500 152 496 139 473 59 443 19 408 19 397 19 391 27 391 43 391 60 397 84 408 116 448 227 468 301 468 338 468 409 433 445 362 445 341 445 322 441 303 433 282 424 260 410 238 389L273 527 388 527C400 527 407 533 410 545 414 558 409 564 395 564L282 564 307 664C308 670 309 675 310 678 310 689 304 694 292 694 285 694 280 693 276 692L179 684C162 683 153 674 153 659 153 650 162 645 180 645 199 645 225 646 225 632Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(5735.2,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(6124.2,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="+" transform="translate(6946.4,0)"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="c" transform="translate(7946.7,0)"><path data-c="1D450" d="M328 325C328 300 341 287 368 287 404 287 427 318 427 354 427 410 368 442 308 442 239 442 176 412 122 353 68 294 41 229 41 159 41 61 106-11 204-11 257-11 304 2 345 27 379 48 404 69 420 90 427 99 430 106 430 109 430 120 425 126 414 126 409 126 404 122 398 114 365 70 324 42 277 30 246 22 223 18 206 18 149 18 121 53 121 122 121 184 150 274 174 317 198 361 249 413 308 413 346 413 372 402 386 381 355 378 328 358 328 325Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(8379.7,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -1361 1 2222"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:6"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(6)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="36" d="M383 504C416 504 432 521 432 555 432 627 378 666 304 666 221 666 155 627 106 548 63 480 42 403 42 316 42 189 65 100 112 47 152 1 198-22 251-22 312-22 362 1 401 47 438 91 457 144 457 205 457 266 439 318 403 361 365 407 316 431 257 431 205 431 165 402 138 346L138 352C138 465 166 561 226 605 252 624 279 633 306 633 342 633 368 623 385 602 351 602 334 583 334 553 334 525 355 504 383 504M344 340C355 317 361 272 361 206 361 141 356 98 345 76 325 35 294 14 251 14 222 14 200 24 184 44 171 60 162 74 158 85 146 116 140 163 140 227 140 255 144 282 151 308 164 355 201 399 256 399 295 399 325 379 344 340Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z" transform="translate(889,0)"></path></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>可得到量子化能级<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.817ex" height="1.895ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 1245.3 837.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="E_n"><g data-mml-node="msub" data-latex="E_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="E"><path data-c="1D438" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 49 0 70 0L583 0C607 0 609 2 617 19L657 109C684 171 703 217 714 248 712 257 709 263 698 263 691 263 685 258 681 249 656 190 632 145 608 113 568 59 509 39 415 39L270 39C260 39 253 39 249 40 243 40 240 42 240 45 240 47 242 54 245 67L311 334 406 334C453 334 478 328 483 315 485 310 486 303 486 293 486 280 484 264 479 245 477 240 476 236 476 233 476 223 482 218 493 218 502 218 508 226 512 241L568 473C568 483 563 488 552 488 544 488 538 481 535 467 525 428 512 403 495 391 478 379 450 373 409 373L321 373 379 606C387 640 387 641 429 641L568 641C619 641 654 636 673 626 701 611 715 581 715 536 715 519 714 501 711 484 711 482 711 479 710 475L710 466C710 455 715 450 725 450 735 450 741 459 743 478L763 649C766 677 759 680 732 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(771,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 满足：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:28.318ex"><svg style="vertical-align:-1.869ex;min-width:28.318ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="4.869ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1326)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\frac{E_n}{2\pi} \log\left( \frac{E_n}{2\pi e} \right) \sim n
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\frac{E_n}{2\pi} \log\left( \frac{E_n}{2\pi e} \right) \sim n
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1326) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="4180.2 -1326 1 2152"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-30)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{E_n}{2\pi}"><g data-mml-node="msub" data-latex="E_n" transform="translate(220,676)"><g data-mml-node="mi" data-latex="E"><path data-c="1D438" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 49 0 70 0L583 0C607 0 609 2 617 19L657 109C684 171 703 217 714 248 712 257 709 263 698 263 691 263 685 258 681 249 656 190 632 145 608 113 568 59 509 39 415 39L270 39C260 39 253 39 249 40 243 40 240 42 240 45 240 47 242 54 245 67L311 334 406 334C453 334 478 328 483 315 485 310 486 303 486 293 486 280 484 264 479 245 477 240 476 236 476 233 476 223 482 218 493 218 502 218 508 226 512 241L568 473C568 483 563 488 552 488 544 488 538 481 535 467 525 428 512 403 495 391 478 379 450 373 409 373L321 373 379 606C387 640 387 641 429 641L568 641C619 641 654 636 673 626 701 611 715 581 715 536 715 519 714 501 711 484 711 482 711 479 710 475L710 466C710 455 715 450 725 450 735 450 741 459 743 478L763 649C766 677 759 680 732 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(771,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g><g data-mml-node="mrow" data-latex="2\pi" transform="translate(307.6,-686)"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi" transform="translate(500,0)"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g></g><rect width="1445.3" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\log" transform="translate(1685.3,0)"><path data-c="6C" d="M144 3 255 0 255 39C219 39 197 40 190 44 183 48 180 60 180 79L180 694 33 683 33 645C68 645 90 642 97 636 104 630 108 616 108 593L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path><path data-c="6F" d="M249-11C311-11 363 11 406 55 449 99 471 152 471 214 471 277 450 332 408 378 366 424 313 448 250 448 187 448 135 424 92 378 49 332 28 277 28 214 28 152 49 99 92 55 135 11 188-11 249-11M250 21C202 21 166 42 141 85 125 113 117 159 117 222 117 283 125 327 140 355 164 398 200 419 249 419 296 419 332 398 357 357 374 329 382 284 382 222 382 106 348 21 250 21Z" transform="translate(278,0)"></path><path data-c="67" d="M431 453C393 453 358 438 326 408 296 431 262 442 223 442 137 442 59 378 59 294 59 252 74 218 104 192 85 168 75 141 75 110 75 72 88 43 113 24 71 10 28-26 28-77 28-120 56-154 111-178 153-197 199-206 249-206 300-206 347-197 389-178 444-154 471-120 471-75 471-22 449 17 405 42 359 67 308 70 234 70 190 70 166 70 161 71 133 75 113 102 113 133 113 148 117 162 126 174 154 155 186 145 223 145 309 145 386 209 386 293 386 332 373 364 347 389 372 412 399 423 428 423 423 418 420 410 420 400 420 378 431 367 453 367 474 367 485 378 485 401 485 432 461 453 431 453M223 411C277 411 304 372 304 294 304 215 277 175 223 175 168 175 141 214 141 293 141 372 168 411 223 411M164 4 222 4C274 4 316 1 348-6 391-15 412-39 412-77 412-109 392-134 352-153 321-168 287-175 250-175 214-175 180-168 148-153 107-134 87-109 87-77 87-35 123 4 164 4Z" transform="translate(778,0)"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2963.3,0)"><path data-c="2061" d=""></path></g><g data-mml-node="mrow" data-latex-item="\left( \frac{E_n}{2\pi e} \right)" data-latex="\left( \frac{E_n}{2\pi e} \right)" transform="translate(3129.9,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex-item="\left(" data-latex="\left("><path data-c="28" d="M588-796C601-796 608-789 608-776 608-770 606-765 601-760 500-684 420-552 361-365 310-206 285-51 285 101L285 399C285 551 310 706 361 865 420 1052 500 1184 601 1260 606 1265 608 1270 608 1276 608 1289 601 1296 588 1296 583 1296 579 1295 576 1292 464 1207 372 1071 300 886 234 717 201 554 201 399L201 101C201-54 234-217 300-386 372-571 464-707 576-792 579-795 583-796 588-796Z"></path></g><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{E_n}{2\pi e}" transform="translate(663,0)"><g data-mml-node="msub" data-latex="E_n" transform="translate(365.4,676)"><g data-mml-node="mi" data-latex="E"><path data-c="1D438" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 49 0 70 0L583 0C607 0 609 2 617 19L657 109C684 171 703 217 714 248 712 257 709 263 698 263 691 263 685 258 681 249 656 190 632 145 608 113 568 59 509 39 415 39L270 39C260 39 253 39 249 40 243 40 240 42 240 45 240 47 242 54 245 67L311 334 406 334C453 334 478 328 483 315 485 310 486 303 486 293 486 280 484 264 479 245 477 240 476 236 476 233 476 223 482 218 493 218 502 218 508 226 512 241L568 473C568 483 563 488 552 488 544 488 538 481 535 467 525 428 512 403 495 391 478 379 450 373 409 373L321 373 379 606C387 640 387 641 429 641L568 641C619 641 654 636 673 626 701 611 715 581 715 536 715 519 714 501 711 484 711 482 711 479 710 475L710 466C710 455 715 450 725 450 735 450 741 459 743 478L763 649C766 677 759 680 732 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(771,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g><g data-mml-node="mrow" data-latex="2\pi e" transform="translate(220,-686)"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi" transform="translate(500,0)"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="e" transform="translate(1070,0)"><path data-c="1D452" d="M124 129C124 153 129 186 139 227L188 227C253 227 303 235 339 250 372 264 394 284 405 309 412 326 415 342 415 355 415 410 363 442 307 442 268 442 229 432 190 412 113 372 46 281 46 171 46 69 105-11 204-11 257-11 304 2 345 27 379 48 404 69 420 90 427 99 430 106 430 109 430 120 425 126 414 126 409 126 404 122 398 114 365 70 324 42 277 30 246 22 223 18 206 18 149 18 124 72 124 129M375 355C375 289 311 256 182 256L147 256C166 322 194 366 232 387 262 404 287 413 307 413 343 413 375 391 375 355Z"></path></g></g><rect width="1736" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" data-latex-item="\right)" data-latex="\right)" transform="translate(2639,0)"><path data-c="29" d="M86-792C198-707 290-571 363-386 429-217 462-54 462 101L462 399C462 554 429 717 363 886 290 1071 198 1207 86 1292 83 1295 80 1296 75 1296 62 1296 55 1289 55 1276 55 1269 57 1264 62 1260 163 1183 243 1052 302 865 353 707 378 552 378 399L378 101C378-51 353-206 302-365 243-552 163-684 62-760 57-764 55-769 55-776 55-789 62-796 75-796 80-796 83-795 86-792Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\sim" transform="translate(6709.7,0)"><path data-c="223C" d="M597 143C674 166 714 235 717 350 717 361 712 366 701 366 691 366 686 361 685 351 684 308 675 275 657 251 637 224 592 194 548 194 518 194 486 207 453 233 434 248 418 261 406 271 335 333 274 364 222 364 207 364 192 362 177 357 92 332 59 262 56 150 56 139 61 134 72 134 82 134 87 139 88 149 89 192 98 225 116 249 135 275 182 306 225 306 255 306 287 293 320 267 339 252 355 239 367 229 438 167 499 136 551 136 566 136 582 138 597 143Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(7760.5,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -1326 1 2152"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:7" transform="translate(0,718)"><text data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-748)"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(7)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="37" d="M475 604C482 613 485 626 485 644L243 644C174 644 135 648 128 657 125 660 122 667 120 676L89 676 55 464 88 464C98 520 106 550 112 555 115 558 146 560 205 560L401 560 295 410C214 295 174 171 174 36 174-3 190-22 223-22 256-22 272-3 272 36L272 87C272 239 296 349 343 416Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z" transform="translate(889,0)"></path></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>这与零点计数函数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.346ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2363 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N(T)"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(881,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="T" transform="translate(1270,0)"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1974,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的主项完全一致，强烈暗示<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.817ex" height="1.895ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 1245.3 837.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="E_n"><g data-mml-node="msub" data-latex="E_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="E"><path data-c="1D438" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 49 0 70 0L583 0C607 0 609 2 617 19L657 109C684 171 703 217 714 248 712 257 709 263 698 263 691 263 685 258 681 249 656 190 632 145 608 113 568 59 509 39 415 39L270 39C260 39 253 39 249 40 243 40 240 42 240 45 240 47 242 54 245 67L311 334 406 334C453 334 478 328 483 315 485 310 486 303 486 293 486 280 484 264 479 245 477 240 476 236 476 233 476 223 482 218 493 218 502 218 508 226 512 241L568 473C568 483 563 488 552 488 544 488 538 481 535 467 525 428 512 403 495 391 478 379 450 373 409 373L321 373 379 606C387 640 387 641 429 641L568 641C619 641 654 636 673 626 701 611 715 581 715 536 715 519 714 501 711 484 711 482 711 479 710 475L710 466C710 455 715 450 725 450 735 450 741 459 743 478L763 649C766 677 759 680 732 680L233 680C210 680 199 679 199 656Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(771,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 与零点虚部<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.486ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.32ex" height="1.486ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1025.3 657"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\gamma_n"><g data-mml-node="msub" data-latex="\gamma_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="\gamma"><path data-c="1D6FE" d="M524 378C537 403 543 416 543 417 543 426 538 431 527 431 520 431 515 428 512 422 477 357 436 265 388 146 384 212 371 274 349 331 320 405 275 442 214 442 151 442 96 400 68 361 35 314 18 279 18 257 18 248 26 243 43 243L48 250C65 302 94 335 135 349 163 358 185 363 201 363 305 363 357 281 357 116 357 77 353 45 345 20 311-91 294-162 294-193 294-208 300-215 311-215 323-215 335-194 346-153 363-89 375-32 382 18 385 33 387 46 390 55 426 167 471 275 524 378Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(551,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 的对应关系。</p><h3 id="3-伪厄米推广与最新进展"><a href="#3-伪厄米推广与最新进展" class="headerlink" title="3. 伪厄米推广与最新进展"></a>3. 伪厄米推广与最新进展</h3><p>传统的希尔伯特 - 波利亚猜想要求哈密顿算子是厄米的，但 2017 年 Brody 等人提出了伪厄米推广。他们发现，若允许算子满足<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.01ex" height="2.98ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1067 1330.5 1317"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{H}^\dagger = \eta \hat{H} \eta^{-1}"><g data-mml-node="msup" data-latex="\dagger"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{H}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(542,273) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(966.5,363) scale(0.707)" data-latex="dagger"><path data-c="2020" d="M387 428C387 453 374 466 347 466 324 466 266 448 235 443 236 467 240 499 246 539L247 550C254 599 258 636 258 660 258 690 246 705 222 705 197 705 185 690 185 660 185 618 206 501 208 443 177 447 117 466 96 466 73 466 56 450 56 429 56 404 69 392 96 392 119 392 177 410 208 415 206 394 203 372 199 351 190 302 185 258 185 218 185 90 191-47 204-193 206-208 212-216 221-216 228-216 233-213 236-206 250-80 258 111 258 218 258 260 253 304 244 350 240 372 237 394 235 415 266 411 326 392 347 392 369 392 387 406 387 428Z"></path></g></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.863ex" height="2.98ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1067 3917.5 1317"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{H}^\dagger = \eta \hat{H} \eta^{-1}"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\eta" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="1D702" d="M379 442C318 442 268 415 229 362 222 407 187 442 136 442 95 442 65 409 44 344 34 311 29 292 29 286 29 277 34 272 45 272 50 272 53 273 56 275 61 284 64 291 65 298 83 374 106 412 133 412 151 412 160 398 160 371 160 358 155 330 144 289L87 61C84 48 78 22 78 17 78-3 89-13 111-13 130-13 144-3 151 17 152 22 158 47 169 90L191 179C203 228 212 265 219 290 222 297 230 311 243 331 279 385 323 412 376 412 409 412 425 390 425 347 425 332 422 312 415 286L303-169C301-177 300-182 300-185 300-206 311-216 332-216 354-216 369-202 376-173L488 274C493 295 496 315 496 332 496 404 451 442 379 442Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{H}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1552.8,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(542,273) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="msup" data-latex="\eta^{-1}" transform="translate(2433.8,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\eta"><path data-c="1D702" d="M379 442C318 442 268 415 229 362 222 407 187 442 136 442 95 442 65 409 44 344 34 311 29 292 29 286 29 277 34 272 45 272 50 272 53 273 56 275 61 284 64 291 65 298 83 374 106 412 133 412 151 412 160 398 160 371 160 358 155 330 144 289L87 61C84 48 78 22 78 17 78-3 89-13 111-13 130-13 144-3 151 17 152 22 158 47 169 90L191 179C203 228 212 265 219 290 222 297 230 311 243 331 279 385 323 412 376 412 409 412 425 390 425 347 425 332 422 312 415 286L303-169C301-177 300-182 300-185 300-206 311-216 332-216 354-216 369-202 376-173L488 274C493 295 496 315 496 332 496 404 451 442 379 442Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(530,363) scale(0.707)" data-latex="{-1}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(778,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> （其中<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.489ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.124ex" height="1.489ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 497 658"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\eta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\eta"><path data-c="1D702" d="M379 442C318 442 268 415 229 362 222 407 187 442 136 442 95 442 65 409 44 344 34 311 29 292 29 286 29 277 34 272 45 272 50 272 53 273 56 275 61 284 64 291 65 298 83 374 106 412 133 412 151 412 160 398 160 371 160 358 155 330 144 289L87 61C84 48 78 22 78 17 78-3 89-13 111-13 130-13 144-3 151 17 152 22 158 47 169 90L191 179C203 228 212 265 219 290 222 297 230 311 243 331 279 385 323 412 376 412 409 412 425 390 425 347 425 332 422 312 415 286L303-169C301-177 300-182 300-185 300-206 311-216 332-216 354-216 369-202 376-173L488 274C493 295 496 315 496 332 496 404 451 442 379 442Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为伪厄米算符），则可构造出严格对应<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数零点的数学哈密顿量。其关键突破是证明该算子满足贝里 - 基廷量子化条件，且其本征值与前<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.25ex" height="2.005ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864 1436.6 886"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="10^6"><g data-mml-node="msup" data-latex="10^6 "><g data-mml-node="mn" data-latex="0"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z" transform="translate(500,0)"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1033,393.1) scale(0.707)" data-latex="6"><path data-c="36" d="M383 504C416 504 432 521 432 555 432 627 378 666 304 666 221 666 155 627 106 548 63 480 42 403 42 316 42 189 65 100 112 47 152 1 198-22 251-22 312-22 362 1 401 47 438 91 457 144 457 205 457 266 439 318 403 361 365 407 316 431 257 431 205 431 165 402 138 346L138 352C138 465 166 561 226 605 252 624 279 633 306 633 342 633 368 623 385 602 351 602 334 583 334 553 334 525 355 504 383 504M344 340C355 317 361 272 361 206 361 141 356 98 345 76 325 35 294 14 251 14 222 14 200 24 184 44 171 60 162 74 158 85 146 116 140 163 140 227 140 255 144 282 151 308 164 355 201 399 256 399 295 399 325 379 344 340Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 个<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数零点的数值符合精度达小数点后 12 位。</p><p>这种伪厄米算子虽不直接对应物理系统，却为猜想提供了数学上的严格构造，其技术基础源自过去 15 年发展的伪厄米时空反演对称量子理论。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="实验验证与数值支持"><a href="#实验验证与数值支持" class="headerlink" title="实验验证与数值支持"></a>实验验证与数值支持</h2><p>尽管缺乏严格数学证明，希尔伯特 - 波利亚猜想已获得大量数值证据支持。例如，奥德利兹科计算通过对高达<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.05ex" height="2.005ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864 1790.1 886"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="10^{23}"><g data-mml-node="msup" data-latex="10^{23}"><g data-mml-node="mn" data-latex="0"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z" transform="translate(500,0)"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1033,393.1) scale(0.707)" data-latex="{3}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn" data-latex="3"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 578 119 580 145 615 186 633 242 633 302 633 332 598 332 527 332 485 324 450 309 421 282 373 245 364 183 364 171 362 165 357 165 348 165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173 348 88 317 14 241 14 176 14 128 36 99 80 134 79 160 105 160 139 160 173 135 198 101 198 62 198 42 178 42 137 42 88 64 49 108 18 147-9 193-22 244-22 301-22 350-3 393 34 436 71 457 117 457 173 457 267 383 332 303 353Z" transform="translate(500,0)"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 个<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数零点的计算，发现其统计分布与 GUE 随机矩阵本征值完全吻合。能级排斥现象零点虚部间距呈现<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.431ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4610.6 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lim_{t \to 0} \rho(t) = 0"><g data-mml-node="munder" data-latex="\lim_{t\to0}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\lim"><path data-c="6C" d="M144 3 255 0 255 39C219 39 197 40 190 44 183 48 180 60 180 79L180 694 33 683 33 645C68 645 90 642 97 636 104 630 108 616 108 593L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path><path data-c="69" d="M194 601C194 631 169 657 139 657 109 657 83 631 83 601 83 571 108 544 138 544 169 544 194 570 194 601M143 3 247 0 247 39C214 39 194 41 188 45 182 49 180 60 180 78L180 445 37 433 37 395C70 395 91 392 98 387 105 382 108 368 108 345L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z" transform="translate(278,0)"></path><path data-c="6D" d="M315 413C361 413 384 378 384 307L384 79C384 60 381 48 374 44 367 40 344 38 307 38L307 0 423 3 538 0 538 38C501 38 479 40 472 44 465 48 461 60 461 79L461 259C461 339 513 413 590 413 637 413 660 378 660 307L660 79C660 60 656 48 649 44 642 40 619 38 582 38L582 0 698 3 813 0 813 38C781 38 760 39 750 42 740 45 736 52 736 64L736 251C736 298 734 331 731 350 721 411 676 442 597 442 534 442 487 413 455 354 441 413 397 442 322 442 259 442 211 412 179 352L179 442 32 431 32 393C68 393 90 390 98 384 106 378 109 365 109 342L109 79C109 60 105 48 98 44 91 40 69 38 32 38L32 0 148 3 263 0 263 38C226 38 203 40 196 44 189 48 185 60 185 79L185 259C185 340 238 413 315 413Z" transform="translate(556,0)"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1422,-150) scale(0.707)" data-latex="{t\to0}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="t"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\to" transform="translate(361,0)"><path data-c="2192" d="M932 234C939 237 943 243 943 250 943 257 939 263 932 266 884 282 839 316 797 368 769 403 750 444 741 491 738 504 730 510 717 510 701 510 693 502 693 485L694 483 694 482C711 395 755 326 828 274L82 274C66 274 58 266 58 250 58 234 66 226 82 226L828 226C755 174 711 105 694 18L694 17 693 15C693-2 701-10 717-10 730-10 738-4 741 9 750 56 769 97 797 132 839 184 884 218 932 234Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1361,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\rho" transform="translate(2954.6,0)"><path data-c="1D70C" d="M361 442C248 442 154 320 129 220L33-169C31-177 30-182 30-185 30-206 40-216 61-216 76-216 89-208 99-193L160 46C183 7 215-13 256-13 322-13 380 19 431 84 478 145 502 210 502 277 502 368 449 442 361 442M359 412C402 412 423 381 423 319 423 292 417 257 406 212 384 127 353 70 314 40 293 24 274 16 255 16 236 16 219 23 206 36 185 57 175 79 175 100 176 107 178 119 182 136 205 231 225 292 241 320 276 381 315 412 359 412Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(3471.6,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="t" transform="translate(3860.6,0)"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(4221.6,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lim_{t \to 0} \rho(t) = 0"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的排斥效应，这是量子混沌系统的典型特征。贝里 - 基廷算子的数值对角化对有限维近似<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.477ex" height="2.753ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1067 1537 1217"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{H}_N"><g data-mml-node="msub" data-latex="\hat{H}_N"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{H}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="1D43B" d="M881 668C881 678 875 683 863 683L736 680 609 683C593 683 586 674 586 659 586 652 589 647 594 646 604 645 612 644 617 644 648 643 665 641 670 640 675 639 678 636 678 631 677 628 676 622 674 613L615 375 321 375 379 602C384 623 393 636 406 641 413 643 430 644 458 644 485 644 496 644 496 668 496 678 490 683 478 683L351 680 223 683C207 683 200 674 200 659 200 652 203 647 209 646 219 645 227 644 232 644 263 643 281 641 286 640 291 639 293 636 293 631 293 629 292 623 289 613L156 82C151 60 141 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 39 37 39 15 39 5 45 0 57 0L183 3 246 2C257 2 299 0 310 0 326 0 334 8 334 24 334 34 323 39 302 39 262 39 242 43 242 52 242 52 243 55 245 68L312 336 605 336 538 68C535 53 523 43 503 40 498 39 481 39 452 39 433 39 424 31 424 15 424 5 430 0 442 0L568 3 631 2C642 2 683 0 696 0 712 0 720 8 720 24 720 34 709 39 688 39 647 39 627 43 627 52 627 52 628 55 630 68L764 602C769 623 778 636 791 641 797 643 814 644 843 644 869 644 881 644 881 668Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(542,273) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(864,-150) scale(0.707)" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 的数值计算显示，其本征值与<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数零点的符合度随维度增加而提高。</p><p>这些结果使得物理学家迈克尔・贝里感叹："<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数零点的分布规律比我们想象的更像原子核能级。"</p></div><div class="story post-story"><h2 id="谱三元组框架下黎曼假设的证明策略"><a href="#谱三元组框架下黎曼假设的证明策略" class="headerlink" title="谱三元组框架下黎曼假设的证明策略"></a>谱三元组框架下黎曼假设的证明策略</h2><p>2025 年 11 月，Connes、Consani 与 Moscovici 在<a target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" href="/go.html?u=aHR0cHM6Ly9hcnhpdi5vcmcvYWJzLzI1MTEuMjI3NTV2MQ">Zeta Spectral Triples</a> 中提出一种基于谱三元组（spectral triples）的黎曼假设（RH）证明路径，其核心是构造自伴算子序列，使其谱收敛于黎曼<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数非平凡零点。该方法融合了非交换几何、韦伊二次型（Weil quadratic form）与数值分析，为希尔伯特 - 波利亚猜想提供了具体实现方案。</p><details><summary> info</summary><div class="content"><p>该研究通过构造自伴算子<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-1.047ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.093ex" height="3.44ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1057.9 2692.9 1520.7"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="D^{(\lambda,N)}_{\log}"><g data-mml-node="msubsup" data-latex="D^{(\lambda,N)}_{\log}"><g data-mml-node="mi" data-latex="D"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(861,529) scale(0.707)" data-latex="{(\lambda,N)}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo" data-latex="("><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(972,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="N" transform="translate(1250,0)"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2131,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(861,-317.1) scale(0.707)" data-latex="{\log}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="\log"><path data-c="6C" d="M144 3 255 0 255 39C219 39 197 40 190 44 183 48 180 60 180 79L180 694 33 683 33 645C68 645 90 642 97 636 104 630 108 616 108 593L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path><path data-c="6F" d="M249-11C311-11 363 11 406 55 449 99 471 152 471 214 471 277 450 332 408 378 366 424 313 448 250 448 187 448 135 424 92 378 49 332 28 277 28 214 28 152 49 99 92 55 135 11 188-11 249-11M250 21C202 21 166 42 141 85 125 113 117 159 117 222 117 283 125 327 140 355 164 398 200 419 249 419 296 419 332 398 357 357 374 329 382 284 382 222 382 106 348 21 250 21Z" transform="translate(278,0)"></path><path data-c="67" d="M431 453C393 453 358 438 326 408 296 431 262 442 223 442 137 442 59 378 59 294 59 252 74 218 104 192 85 168 75 141 75 110 75 72 88 43 113 24 71 10 28-26 28-77 28-120 56-154 111-178 153-197 199-206 249-206 300-206 347-197 389-178 444-154 471-120 471-75 471-22 449 17 405 42 359 67 308 70 234 70 190 70 166 70 161 71 133 75 113 102 113 133 113 148 117 162 126 174 154 155 186 145 223 145 309 145 386 209 386 293 386 332 373 364 347 389 372 412 399 423 428 423 423 418 420 410 420 400 420 378 431 367 453 367 474 367 485 378 485 401 485 432 461 453 431 453M223 411C277 411 304 372 304 294 304 215 277 175 223 175 168 175 141 214 141 293 141 372 168 411 223 411M164 4 222 4C274 4 316 1 348-6 391-15 412-39 412-77 412-109 392-134 352-153 321-168 287-175 250-175 214-175 180-168 148-153 107-134 87-109 87-77 87-35 123 4 164 4Z" transform="translate(778,0)"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 建立黎曼<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数零点与算子谱的联系, 为希尔伯特 - 波利亚猜想提供具体实现路径. 核心思路是基于截断的 Weil 二次型构造秩一扰动算子, 其特征值与<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数临界线 (<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.695ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2075 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Re(s) = 1/2"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathfrak{R}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="R"><path data-c="211C" d="M623 92 689-29 826 75 826 99C789 84 768 76 764 76 757 76 750 83 741 96 732 109 724 130 715 157 710 173 704 238 699 353 671 376 640 389 605 391 666 436 734 473 808 500L797 519C780 516 767 515 758 515 737 515 724 519 719 527 715 544 713 557 712 567 708 634 691 686 627 686 560 686 490 642 419 554 410 578 398 598 385 614 346 662 306 686 265 686 200 686 138 657 81 600 46 565 29 532 29 500 29 477 43 447 70 409L101 366C109 355 113 347 113 342 113 329 108 317 99 306 85 288 67 273 46 262L68 246C113 269 145 290 162 310 183 334 194 358 194 383 194 403 176 434 141 477 118 505 106 524 106 534 106 559 112 576 123 587 142 606 167 616 198 616 242 616 280 593 312 546 338 509 351 449 351 367 351 260 340 185 318 142 301 110 275 81 240 56 205 93 174 112 147 112 130 112 111 103 89 84 73 70 52 43 26 4L42-19C64 10 88 25 114 25 131 25 158 7 194-28L276 44C314 77 343 102 364 119 397 169 420 236 432 321 472 333 501 339 519 339 550 339 576 328 598 305 617 287 626 246 626 181 626 165 623 108 623 92M617 545C620 506 625 483 633 475 641 467 651 462 662 459L544 391C510 386 474 374 436 355 438 377 439 409 439 450 439 473 437 493 434 509 453 542 475 571 498 594 515 612 537 621 564 621 597 621 615 580 617 545Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(828,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="s" transform="translate(1217,0)"><path data-c="1D460" d="M420 354C420 411 362 442 300 442 237 442 192 423 165 385 142 352 130 322 130 295 130 242 165 208 234 193 263 188 285 181 302 173 323 164 333 147 333 123 333 105 325 85 308 62 287 33 250 18 197 18 143 18 108 33 92 62 124 61 151 87 151 119 151 144 138 157 111 157 75 157 52 124 52 88 52 22 124-11 196-11 271-11 325 11 357 56 384 93 397 126 397 156 397 199 376 231 335 252 304 263 280 270 265 273 230 282 194 285 194 328 194 381 244 413 300 413 342 413 369 400 382 375 360 371 337 352 337 327 337 306 348 295 371 295 402 295 420 323 420 354Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1686,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.782ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Re(s) = 1/2"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1555.8,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex="/"><path data-c="2F" d="M444 718C445 720 445 723 445 726 445 742 437 750 421 750 410 750 403 745 399 734L57-218C56-220 56-223 56-226 56-242 64-250 80-250 91-250 98-245 102-234Z"></path></g></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(2055.8,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ) 上的零点高度吻合 , 且数值实验显示当参数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.318ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1908.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N,\lambda \to \infty"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(881,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda" transform="translate(1325.7,0)"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.153ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2277.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N,\lambda \to \infty"><g data-mml-node="mo" data-latex="\to"><path data-c="2192" d="M932 234C939 237 943 243 943 250 943 257 939 263 932 266 884 282 839 316 797 368 769 403 750 444 741 491 738 504 730 510 717 510 701 510 693 502 693 485L694 483 694 482C711 395 755 326 828 274L82 274C66 274 58 266 58 250 58 234 66 226 82 226L828 226C755 174 711 105 694 18L694 17 693 15C693-2 701-10 717-10 730-10 738-4 741 9 750 56 769 97 797 132 839 184 884 218 932 234Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\infty" transform="translate(1277.8,0)"><path data-c="221E" d="M749-11C807-11 855 13 892 60 926 104 943 156 943 216 943 275 926 327 893 371 856 418 809 442 752 442 684 442 625 416 576 364 547 332 524 303 507 278 464 329 435 361 421 373 367 419 310 442 250 442 192 442 144 418 107 371 73 327 56 275 56 215 56 156 73 104 106 60 143 13 190-11 247-11 315-11 374 15 423 67 452 99 475 128 492 153 535 102 564 70 578 58 632 12 689-11 749-11M913 216C913 188 911 168 908 156 903 137 890 117 869 94 840 61 805 44 765 44 722 44 680 67 637 113 592 168 559 209 538 237 601 348 675 403 759 403 852 403 913 314 913 216M86 215C86 260 100 299 128 334 156 369 191 387 234 387 277 387 319 364 362 318 407 263 440 222 461 194 398 83 324 28 240 28 147 28 86 117 86 215Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 时 , 算子谱收敛于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.346ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2363 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta(1/2 + is)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(474,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(863,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1363,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex="/"><path data-c="2F" d="M444 718C445 720 445 723 445 726 445 742 437 750 421 750 410 750 403 745 399 734L57-218C56-220 56-223 56-226 56-242 64-250 80-250 91-250 98-245 102-234Z"></path></g></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(1863,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.985ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2203.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta(1/2 + is)"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="i" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 178 373 175 357 168 338 145 275 121 208 101 155 86 115 78 88 78 74 78 25 114-11 162-11 205-11 239 14 264 64 283 103 293 130 293 145 293 154 288 159 277 159 274 159 259 150 259 138Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="s" transform="translate(1345.2,0)"><path data-c="1D460" d="M420 354C420 411 362 442 300 442 237 442 192 423 165 385 142 352 130 322 130 295 130 242 165 208 234 193 263 188 285 181 302 173 323 164 333 147 333 123 333 105 325 85 308 62 287 33 250 18 197 18 143 18 108 33 92 62 124 61 151 87 151 119 151 144 138 157 111 157 75 157 52 124 52 88 52 22 124-11 196-11 271-11 325 11 357 56 384 93 397 126 397 156 397 199 376 231 335 252 304 263 280 270 265 273 230 282 194 285 194 328 194 381 244 413 300 413 342 413 369 400 382 375 360 371 337 352 337 327 337 306 348 295 371 295 402 295 420 323 420 354Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1814.2,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的零点.</p><h3 id="主要构造与理论基础"><a href="#主要构造与理论基础" class="headerlink" title="主要构造与理论基础"></a>主要构造与理论基础</h3><p>Weil 二次型是连接数论与谱理论的关键工具. 基于 Weil 显式公式构造的二次型<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.046ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 2230.2 899"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="QW_{\lambda}"><g data-mml-node="mi" data-latex="Q"><path data-c="1D444" d="M306-24C335-24 366-19 399-10 396-48 395-72 395-81 395-156 424-194 481-194 542-194 589-145 612-100 637-48 650-14 650 2 650 11 645 16 635 16 628 16 623 12 620 3 605-43 564-90 508-90 457-90 450-49 442 6 526 39 597 96 654 178 711 260 740 345 740 434 740 513 717 577 670 628 623 679 561 705 484 705 431 705 378 692 325 665 217 612 138 528 87 415 62 358 49 302 49 245 49 88 151-24 306-24M645 466C645 405 630 335 600 254 565 161 511 92 436 48 432 70 426 90 418 108 405 138 381 153 346 153 291 153 241 103 241 48 241 39 242 30 244 23 177 54 144 117 144 213 144 255 152 306 169 366 204 493 267 583 358 636 401 660 441 672 478 672 588 672 645 581 645 466M346 123C383 123 402 96 402 43 402 34 399 29 393 27 365 15 338 9 312 9 284 9 270 22 270 48 270 86 308 123 346 123Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="W_{\lambda}" transform="translate(791,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="W"><path data-c="1D44A" d="M956 680C937 680 872 683 853 683 838 683 830 675 830 660 830 650 836 645 848 644 885 643 903 632 903 610 903 604 899 594 891 579L629 125 594 602C590 638 614 644 659 644 680 644 690 652 690 668 690 678 684 683 671 683 649 683 572 680 550 680 531 680 465 683 446 683 431 683 423 675 423 659 423 649 432 644 451 644 482 644 498 637 499 623L505 548 261 125 225 613C222 638 264 644 296 644 313 644 321 652 321 668 321 678 315 683 303 683 281 683 203 680 181 680 162 680 96 683 77 683 62 683 55 675 55 660 55 649 65 644 84 644 126 644 130 642 132 612L177 7C178-12 185-22 197-22 210-20 215-17 223-2 224-1 224 0 224 1L509 494 545 7C546-12 553-22 565-22 575-22 584-15 592-1L918 562C945 611 964 639 1025 644 1043 646 1048 651 1048 668 1048 678 1043 683 1032 683 1018 683 970 680 956 680Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(977,-150) scale(0.707)" data-latex="{\lambda}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> , 限制在区间<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.134ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 3153.3 1083.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="[\lambda^{-1},\lambda] "><g data-mml-node="mo" data-latex="["><path data-c="5B" d="M233-202 159-202 159 702 233 702C248 702 256 710 256 726 256 742 248 750 233 750L114 750 114-250 233-250C248-250 256-242 256-226 256-214 245-202 233-202Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="\lambda^{-1}" transform="translate(278,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(616,363) scale(0.707)" data-latex="{-1}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(778,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1847.7,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda" transform="translate(2292.3,0)"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="]" transform="translate(2875.3,0)"><path data-c="5D" d="M45-250 164-250 164 750 45 750C30 750 22 742 22 726 22 710 30 702 45 702L119 702 119-202 45-202C30-202 22-210 22-226 22-242 30-250 45-250Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上的截断形式<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.455ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 2853.2 899"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="QW_{N\lambda}"><g data-mml-node="mi" data-latex="Q"><path data-c="1D444" d="M306-24C335-24 366-19 399-10 396-48 395-72 395-81 395-156 424-194 481-194 542-194 589-145 612-100 637-48 650-14 650 2 650 11 645 16 635 16 628 16 623 12 620 3 605-43 564-90 508-90 457-90 450-49 442 6 526 39 597 96 654 178 711 260 740 345 740 434 740 513 717 577 670 628 623 679 561 705 484 705 431 705 378 692 325 665 217 612 138 528 87 415 62 358 49 302 49 245 49 88 151-24 306-24M645 466C645 405 630 335 600 254 565 161 511 92 436 48 432 70 426 90 418 108 405 138 381 153 346 153 291 153 241 103 241 48 241 39 242 30 244 23 177 54 144 117 144 213 144 255 152 306 169 366 204 493 267 583 358 636 401 660 441 672 478 672 588 672 645 581 645 466M346 123C383 123 402 96 402 43 402 34 399 29 393 27 365 15 338 9 312 9 284 9 270 22 270 48 270 86 308 123 346 123Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="W_{N\lambda}" transform="translate(791,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="W"><path data-c="1D44A" d="M956 680C937 680 872 683 853 683 838 683 830 675 830 660 830 650 836 645 848 644 885 643 903 632 903 610 903 604 899 594 891 579L629 125 594 602C590 638 614 644 659 644 680 644 690 652 690 668 690 678 684 683 671 683 649 683 572 680 550 680 531 680 465 683 446 683 431 683 423 675 423 659 423 649 432 644 451 644 482 644 498 637 499 623L505 548 261 125 225 613C222 638 264 644 296 644 313 644 321 652 321 668 321 678 315 683 303 683 281 683 203 680 181 680 162 680 96 683 77 683 62 683 55 675 55 660 55 649 65 644 84 644 126 644 130 642 132 612L177 7C178-12 185-22 197-22 210-20 215-17 223-2 224-1 224 0 224 1L509 494 545 7C546-12 553-22 565-22 575-22 584-15 592-1L918 562C945 611 964 639 1025 644 1043 646 1048 651 1048 668 1048 678 1043 683 1032 683 1018 683 970 680 956 680Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(977,-150) scale(0.707)" data-latex="{N\lambda}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda" transform="translate(881,0)"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 可表示为实对称矩阵, 具有特殊结构: 对角线元素为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.937ex" height="1.357ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 856 599.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a_i"><g data-mml-node="msub" data-latex="a_i"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-latex="i"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 178 373 175 357 168 338 145 275 121 208 101 155 86 115 78 88 78 74 78 25 114-11 162-11 205-11 239 14 264 64 283 103 293 130 293 145 293 154 288 159 277 159 274 159 259 150 259 138Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> , 非对角线元素为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-1.108ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.735ex" height="3.46ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1039.3 2092.7 1529.3"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\frac{b_i - b_j}{i - j}"><g data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{b_i - b_j}{i - j}"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,548.6) scale(0.707)" data-latex="b_i - b_j"><g data-mml-node="msub" data-latex="b_i"><g data-mml-node="mi" data-latex="b"><path data-c="1D44F" d="M281 445C245 445 209 428 174 394L243 679C241 688 238 694 226 694 193 694 120 685 107 684 92 682 84 675 84 660 84 650 93 645 112 645 131 645 157 646 157 632 157 628 152 608 143 571L63 249C52 207 47 173 47 148 47 62 93-11 175-11 240-11 297 22 347 89 392 151 415 216 415 283 415 370 364 445 281 445M279 415C318 415 337 385 337 326 337 299 331 263 319 218 297 133 268 75 233 44 213 27 194 19 175 19 134 19 114 51 114 115 114 137 119 170 129 214L151 304C154 319 159 330 165 338 204 389 242 415 279 415Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(462,-150) scale(0.707)" data-latex="i"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 178 373 175 357 168 338 145 275 121 208 101 155 86 115 78 88 78 74 78 25 114-11 162-11 205-11 239 14 264 64 283 103 293 130 293 145 293 154 288 159 277 159 274 159 259 150 259 138Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="-" transform="translate(756,0)"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="b_j" transform="translate(1534,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="b"><path data-c="1D44F" d="M281 445C245 445 209 428 174 394L243 679C241 688 238 694 226 694 193 694 120 685 107 684 92 682 84 675 84 660 84 650 93 645 112 645 131 645 157 646 157 632 157 628 152 608 143 571L63 249C52 207 47 173 47 148 47 62 93-11 175-11 240-11 297 22 347 89 392 151 415 216 415 283 415 370 364 445 281 445M279 415C318 415 337 385 337 326 337 299 331 263 319 218 297 133 268 75 233 44 213 27 194 19 175 19 134 19 114 51 114 115 114 137 119 170 129 214L151 304C154 319 159 330 165 338 204 389 242 415 279 415Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(462,-150) scale(0.707)" data-latex="j"><path data-c="1D457" d="M397 621C397 648 383 661 356 661 328 661 300 633 300 605 300 578 313 565 340 565 368 565 397 593 397 621M267 444C214 444 169 404 147 369 120 326 107 299 107 287 107 278 112 274 122 274 127 274 130 275 133 276 138 284 141 291 144 296 176 375 216 414 264 414 282 414 291 400 291 373 291 358 289 341 284 323L192-46C178-104 138-175 75-175 66-175 57-174 48-171 73-161 85-143 85-118 85-92 71-79 44-79 12-79-13-108-13-140-13-184 30-205 77-205 120-205 160-190 197-160 232-131 254-94 265-51L356 311C359 324 361 337 361 349 361 404 322 444 267 444Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(503.6,-345) scale(0.707)" data-latex="i - j"><g data-mml-node="mi" data-latex="i"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 178 373 175 357 168 338 145 275 121 208 101 155 86 115 78 88 78 74 78 25 114-11 162-11 205-11 239 14 264 64 283 103 293 130 293 145 293 154 288 159 277 159 274 159 259 150 259 138Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="-" transform="translate(345,0)"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="j" transform="translate(1123,0)"><path data-c="1D457" d="M397 621C397 648 383 661 356 661 328 661 300 633 300 605 300 578 313 565 340 565 368 565 397 593 397 621M267 444C214 444 169 404 147 369 120 326 107 299 107 287 107 278 112 274 122 274 127 274 130 275 133 276 138 284 141 291 144 296 176 375 216 414 264 414 282 414 291 400 291 373 291 358 289 341 284 323L192-46C178-104 138-175 75-175 66-175 57-174 48-171 73-161 85-143 85-118 85-92 71-79 44-79 12-79-13-108-13-140-13-184 30-205 77-205 120-205 160-190 197-160 232-131 254-94 265-51L356 311C359 324 361 337 361 349 361 404 322 444 267 444Z"></path></g></g><rect width="1852.7" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> .该矩阵的最小特征值对应的特征向量<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.009ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 446 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\xi"><g data-mml-node="mi" data-latex="\xi"><path data-c="1D709" d="M101 420C101 375 121 340 161 315 69 244 23 174 23 105 23 70 40 42 52 24 69 7 86-6 105-16 154-37 226-64 286-88 307-98 318-101 318-127 318-152 299-175 274-175 246-175 218-165 190-144 185-141 180-139 177-139 168-139 163-144 163-153 163-158 169-165 180-174 207-195 238-205 274-205 331-205 380-152 380-95 380-58 364-34 331-21L271 2C242 13 222 20 211 25L152 48C105 67 81 96 81 133 81 200 149 271 198 297 222 289 251 285 284 285 347 285 379 296 379 319 379 340 351 350 295 350 265 350 238 346 214 339 196 358 187 382 187 412 187 485 239 549 291 575 304 561 325 554 355 554 416 554 446 566 446 589 446 610 418 620 361 620 338 620 318 618 301 615 299 624 298 633 298 643 298 652 300 665 303 680 303 691 298 697 287 697 272 697 265 679 265 644 265 637 267 626 271 609 190 584 101 516 101 420M362 590C376 590 389 589 400 587 388 585 373 584 356 584 343 584 333 585 326 588 335 589 347 590 362 590M294 320C309 320 323 319 334 318 323 315 307 314 287 314 274 314 262 315 253 318 265 319 279 320 294 320Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为偶对称 (<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.238ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 989 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\gamma\xi = \xi"><g data-mml-node="mi" data-latex="\gamma"><path data-c="1D6FE" d="M524 378C537 403 543 416 543 417 543 426 538 431 527 431 520 431 515 428 512 422 477 357 436 265 388 146 384 212 371 274 349 331 320 405 275 442 214 442 151 442 96 400 68 361 35 314 18 279 18 257 18 248 26 243 43 243L48 250C65 302 94 335 135 349 163 358 185 363 201 363 305 363 357 281 357 116 357 77 353 45 345 20 311-91 294-162 294-193 294-208 300-215 311-215 323-215 335-194 346-153 363-89 375-32 382 18 385 33 387 46 390 55 426 167 471 275 524 378Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\xi" transform="translate(543,0)"><path data-c="1D709" d="M101 420C101 375 121 340 161 315 69 244 23 174 23 105 23 70 40 42 52 24 69 7 86-6 105-16 154-37 226-64 286-88 307-98 318-101 318-127 318-152 299-175 274-175 246-175 218-165 190-144 185-141 180-139 177-139 168-139 163-144 163-153 163-158 169-165 180-174 207-195 238-205 274-205 331-205 380-152 380-95 380-58 364-34 331-21L271 2C242 13 222 20 211 25L152 48C105 67 81 96 81 133 81 200 149 271 198 297 222 289 251 285 284 285 347 285 379 296 379 319 379 340 351 350 295 350 265 350 238 346 214 339 196 358 187 382 187 412 187 485 239 549 291 575 304 561 325 554 355 554 416 554 446 566 446 589 446 610 418 620 361 620 338 620 318 618 301 615 299 624 298 633 298 643 298 652 300 665 303 680 303 691 298 697 287 697 272 697 265 679 265 644 265 637 267 626 271 609 190 584 101 516 101 420M362 590C376 590 389 589 400 587 388 585 373 584 356 584 343 584 333 585 326 588 335 589 347 590 362 590M294 320C309 320 323 319 334 318 323 315 307 314 287 314 274 314 262 315 253 318 265 319 279 320 294 320Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.398ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1501.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\gamma\xi = \xi"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\xi" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="1D709" d="M101 420C101 375 121 340 161 315 69 244 23 174 23 105 23 70 40 42 52 24 69 7 86-6 105-16 154-37 226-64 286-88 307-98 318-101 318-127 318-152 299-175 274-175 246-175 218-165 190-144 185-141 180-139 177-139 168-139 163-144 163-153 163-158 169-165 180-174 207-195 238-205 274-205 331-205 380-152 380-95 380-58 364-34 331-21L271 2C242 13 222 20 211 25L152 48C105 67 81 96 81 133 81 200 149 271 198 297 222 289 251 285 284 285 347 285 379 296 379 319 379 340 351 350 295 350 265 350 238 346 214 339 196 358 187 382 187 412 187 485 239 549 291 575 304 561 325 554 355 554 416 554 446 566 446 589 446 610 418 620 361 620 338 620 318 618 301 615 299 624 298 633 298 643 298 652 300 665 303 680 303 691 298 697 287 697 272 697 265 679 265 644 265 637 267 626 271 609 190 584 101 516 101 420M362 590C376 590 389 589 400 587 388 585 373 584 356 584 343 584 333 585 326 588 335 589 347 590 362 590M294 320C309 320 323 319 334 318 323 315 307 314 287 314 274 314 262 315 253 318 265 319 279 320 294 320Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ), 且假设其简单性 (even-simple).</p><p>通过对尺度算子<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-1.047ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.238ex" height="3.44ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1057.9 1873.4 1520.7"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="D^{(\lambda)}_{\log}"><g data-mml-node="msubsup" data-latex="D^{(\lambda)}_{\log}"><g data-mml-node="mi" data-latex="D"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(861,529) scale(0.707)" data-latex="{(\lambda)}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo" data-latex="("><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(972,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(861,-317.1) scale(0.707)" data-latex="{\log}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="\log"><path data-c="6C" d="M144 3 255 0 255 39C219 39 197 40 190 44 183 48 180 60 180 79L180 694 33 683 33 645C68 645 90 642 97 636 104 630 108 616 108 593L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path><path data-c="6F" d="M249-11C311-11 363 11 406 55 449 99 471 152 471 214 471 277 450 332 408 378 366 424 313 448 250 448 187 448 135 424 92 378 49 332 28 277 28 214 28 152 49 99 92 55 135 11 188-11 249-11M250 21C202 21 166 42 141 85 125 113 117 159 117 222 117 283 125 327 140 355 164 398 200 419 249 419 296 419 332 398 357 357 374 329 382 284 382 222 382 106 348 21 250 21Z" transform="translate(278,0)"></path><path data-c="67" d="M431 453C393 453 358 438 326 408 296 431 262 442 223 442 137 442 59 378 59 294 59 252 74 218 104 192 85 168 75 141 75 110 75 72 88 43 113 24 71 10 28-26 28-77 28-120 56-154 111-178 153-197 199-206 249-206 300-206 347-197 389-178 444-154 471-120 471-75 471-22 449 17 405 42 359 67 308 70 234 70 190 70 166 70 161 71 133 75 113 102 113 133 113 148 117 162 126 174 154 155 186 145 223 145 309 145 386 209 386 293 386 332 373 364 347 389 372 412 399 423 428 423 423 418 420 410 420 400 420 378 431 367 453 367 474 367 485 378 485 401 485 432 461 453 431 453M223 411C277 411 304 372 304 294 304 215 277 175 223 175 168 175 141 214 141 293 141 372 168 411 223 411M164 4 222 4C274 4 316 1 348-6 391-15 412-39 412-77 412-109 392-134 352-153 321-168 287-175 250-175 214-175 180-168 148-153 107-134 87-109 87-77 87-35 123 4 164 4Z" transform="translate(778,0)"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 进行秩一扰动, 得到自伴算子<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-1.047ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.093ex" height="3.44ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1057.9 2692.9 1520.7"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="D^{(\lambda,N)}_{\log}"><g data-mml-node="msubsup" data-latex="D^{(\lambda,N)}_{\log}"><g data-mml-node="mi" data-latex="D"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(861,529) scale(0.707)" data-latex="{(\lambda,N)}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo" data-latex="("><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(972,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="N" transform="translate(1250,0)"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2131,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(861,-317.1) scale(0.707)" data-latex="{\log}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="\log"><path data-c="6C" d="M144 3 255 0 255 39C219 39 197 40 190 44 183 48 180 60 180 79L180 694 33 683 33 645C68 645 90 642 97 636 104 630 108 616 108 593L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path><path data-c="6F" d="M249-11C311-11 363 11 406 55 449 99 471 152 471 214 471 277 450 332 408 378 366 424 313 448 250 448 187 448 135 424 92 378 49 332 28 277 28 214 28 152 49 99 92 55 135 11 188-11 249-11M250 21C202 21 166 42 141 85 125 113 117 159 117 222 117 283 125 327 140 355 164 398 200 419 249 419 296 419 332 398 357 357 374 329 382 284 382 222 382 106 348 21 250 21Z" transform="translate(278,0)"></path><path data-c="67" d="M431 453C393 453 358 438 326 408 296 431 262 442 223 442 137 442 59 378 59 294 59 252 74 218 104 192 85 168 75 141 75 110 75 72 88 43 113 24 71 10 28-26 28-77 28-120 56-154 111-178 153-197 199-206 249-206 300-206 347-197 389-178 444-154 471-120 471-75 471-22 449 17 405 42 359 67 308 70 234 70 190 70 166 70 161 71 133 75 113 102 113 133 113 148 117 162 126 174 154 155 186 145 223 145 309 145 386 209 386 293 386 332 373 364 347 389 372 412 399 423 428 423 423 418 420 410 420 400 420 378 431 367 453 367 474 367 485 378 485 401 485 432 461 453 431 453M223 411C277 411 304 372 304 294 304 215 277 175 223 175 168 175 141 214 141 293 141 372 168 411 223 411M164 4 222 4C274 4 316 1 348-6 391-15 412-39 412-77 412-109 392-134 352-153 321-168 287-175 250-175 214-175 180-168 148-153 107-134 87-109 87-77 87-35 123 4 164 4Z" transform="translate(778,0)"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> . 其正则化行列式<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-1.047ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.44ex" height="3.44ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1057.9 5498.6 1520.7"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\det_{\text{reg} } (D^{(\lambda,N)}_{\log} - z) = -i\lambda^{-iz}\hat{\xi}(z)"><g data-mml-node="munder" data-latex="\det_{\text{reg}}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\det"><path data-c="64" d="M374-11 527 0 527 38C491 38 470 40 462 46 454 52 450 67 450 90L450 694 301 683 301 645C336 645 358 642 366 636 374 630 377 616 377 593L377 390C345 427 305 445 257 445 195 445 142 423 99 378 56 333 34 279 34 216 34 155 54 102 95 57 136 12 186-11 247-11 298-11 341 8 374 47M261 415C304 415 339 396 364 358 371 347 374 336 374 323L374 121C374 108 371 97 364 86 336 41 298 19 251 19 210 19 177 39 151 80 133 110 124 155 124 215 124 324 161 415 261 415Z"></path><path data-c="65" d="M415 251C415 366 348 448 236 448 176 448 126 425 85 378 47 334 28 281 28 220 28 157 49 104 91 58 133 12 185-11 247-11 304-11 348 9 378 48 403 81 415 105 415 121 415 131 409 136 398 136 390 136 385 131 382 120 360 54 317 21 253 21 208 21 173 42 146 85 127 116 118 163 117 227L387 227C409 227 415 229 415 251M326 349C337 316 342 284 342 255L118 255C121 321 138 366 168 389 193 409 215 419 236 419 281 419 311 396 326 349Z" transform="translate(556,0)"></path><path data-c="74" d="M332 126 332 186 300 186 300 128C300 78 282 22 238 22 197 22 177 56 177 124L177 395 316 395 316 433 177 433 177 615 145 615C144 582 141 553 134 527 117 461 78 427 19 424L19 395 102 395 102 126C102 67 120 29 155 10 182-4 207-11 232-11 298-11 332 55 332 126Z" transform="translate(1000,0)"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1422,-150) scale(0.707)" data-latex="{\text{reg}}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{reg}"><path data-c="72" d="M364 378C364 417 327 442 288 442 237 442 198 412 172 351L172 442 28 431 28 393C63 393 84 390 92 384 100 378 104 365 104 342L104 79C104 60 101 48 94 44 87 40 65 38 28 38L28 0 143 3C185 4 228 3 271 0L271 38 247 38C214 38 193 41 186 46 179 51 176 63 176 81L176 232C176 275 184 314 199 347 219 390 248 412 287 413 277 403 272 391 272 377 272 346 287 331 318 331 345 331 364 352 364 378Z"></path><path data-c="65" d="M415 251C415 366 348 448 236 448 176 448 126 425 85 378 47 334 28 281 28 220 28 157 49 104 91 58 133 12 185-11 247-11 304-11 348 9 378 48 403 81 415 105 415 121 415 131 409 136 398 136 390 136 385 131 382 120 360 54 317 21 253 21 208 21 173 42 146 85 127 116 118 163 117 227L387 227C409 227 415 229 415 251M326 349C337 316 342 284 342 255L118 255C121 321 138 366 168 389 193 409 215 419 236 419 281 419 311 396 326 349Z" transform="translate(392,0)"></path><path data-c="67" d="M431 453C393 453 358 438 326 408 296 431 262 442 223 442 137 442 59 378 59 294 59 252 74 218 104 192 85 168 75 141 75 110 75 72 88 43 113 24 71 10 28-26 28-77 28-120 56-154 111-178 153-197 199-206 249-206 300-206 347-197 389-178 444-154 471-120 471-75 471-22 449 17 405 42 359 67 308 70 234 70 190 70 166 70 161 71 133 75 113 102 113 133 113 148 117 162 126 174 154 155 186 145 223 145 309 145 386 209 386 293 386 332 373 364 347 389 372 412 399 423 428 423 423 418 420 410 420 400 420 378 431 367 453 367 474 367 485 378 485 401 485 432 461 453 431 453M223 411C277 411 304 372 304 294 304 215 277 175 223 175 168 175 141 214 141 293 141 372 168 411 223 411M164 4 222 4C274 4 316 1 348-6 391-15 412-39 412-77 412-109 392-134 352-153 321-168 287-175 250-175 214-175 180-168 148-153 107-134 87-109 87-77 87-35 123 4 164 4Z" transform="translate(836,0)"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(2416.7,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="msubsup" data-latex="D^{(\lambda,N)}_{\log}" transform="translate(2805.7,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="D"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(861,529) scale(0.707)" data-latex="{(\lambda,N)}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo" data-latex="("><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(972,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="N" transform="translate(1250,0)"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2131,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(861,-317.1) scale(0.707)" data-latex="{\log}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="\log"><path data-c="6C" d="M144 3 255 0 255 39C219 39 197 40 190 44 183 48 180 60 180 79L180 694 33 683 33 645C68 645 90 642 97 636 104 630 108 616 108 593L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path><path data-c="6F" d="M249-11C311-11 363 11 406 55 449 99 471 152 471 214 471 277 450 332 408 378 366 424 313 448 250 448 187 448 135 424 92 378 49 332 28 277 28 214 28 152 49 99 92 55 135 11 188-11 249-11M250 21C202 21 166 42 141 85 125 113 117 159 117 222 117 283 125 327 140 355 164 398 200 419 249 419 296 419 332 398 357 357 374 329 382 284 382 222 382 106 348 21 250 21Z" transform="translate(278,0)"></path><path data-c="67" d="M431 453C393 453 358 438 326 408 296 431 262 442 223 442 137 442 59 378 59 294 59 252 74 218 104 192 85 168 75 141 75 110 75 72 88 43 113 24 71 10 28-26 28-77 28-120 56-154 111-178 153-197 199-206 249-206 300-206 347-197 389-178 444-154 471-120 471-75 471-22 449 17 405 42 359 67 308 70 234 70 190 70 166 70 161 71 133 75 113 102 113 133 113 148 117 162 126 174 154 155 186 145 223 145 309 145 386 209 386 293 386 332 373 364 347 389 372 412 399 423 428 423 423 418 420 410 420 400 420 378 431 367 453 367 474 367 485 378 485 401 485 432 461 453 431 453M223 411C277 411 304 372 304 294 304 215 277 175 223 175 168 175 141 214 141 293 141 372 168 411 223 411M164 4 222 4C274 4 316 1 348-6 391-15 412-39 412-77 412-109 392-134 352-153 321-168 287-175 250-175 214-175 180-168 148-153 107-134 87-109 87-77 87-35 123 4 164 4Z" transform="translate(778,0)"></path></g></g></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.2ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1856.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\det_{\text{reg} } (D^{(\lambda,N)}_{\log} - z) = -i\lambda^{-iz}\hat{\xi}(z)"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="z" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="1D467" d="M162 92 145 90C193 137 230 171 255 194L351 283C374 304 398 330 421 359 452 397 467 420 467 428 467 437 462 442 452 442 445 442 439 438 434 429 409 388 386 368 364 368 342 368 326 386 317 398 293 427 269 442 246 442 220 442 193 430 165 404 137 378 123 352 123 326 123 316 128 311 139 311 146 311 152 316 156 325 167 354 194 368 235 368 249 368 269 363 296 354 320 345 343 340 364 339 308 284 265 244 234 217L145 134C130 119 111 99 90 74 59 35 43 12 43 3 43-6 48-11 59-11 65-11 71-6 78 4 103 43 130 63 158 63 174 63 192 51 212 26 232 1 255-11 278-11 312-11 346 7 382 42 418 77 436 111 436 144 436 153 431 158 420 158 413 158 407 153 402 143 387 100 344 63 288 63 264 63 186 92 162 92Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1467.2,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.76ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 778 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\det_{\text{reg} } (D^{(\lambda,N)}_{\log} - z) = -i\lambda^{-iz}\hat{\xi}(z)"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.417ex" height="3.011ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1081 4604.3 1331"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\det_{\text{reg} } (D^{(\lambda,N)}_{\log} - z) = -i\lambda^{-iz}\hat{\xi}(z)"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="i" transform="translate(778,0)"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 178 373 175 357 168 338 145 275 121 208 101 155 86 115 78 88 78 74 78 25 114-11 162-11 205-11 239 14 264 64 283 103 293 130 293 145 293 154 288 159 277 159 274 159 259 150 259 138Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="\lambda^{-i z}" transform="translate(1123,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(616,363) scale(0.707)" data-latex="{-i z}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="i" transform="translate(778,0)"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 178 373 175 357 168 338 145 275 121 208 101 155 86 115 78 88 78 74 78 25 114-11 162-11 205-11 239 14 264 64 283 103 293 130 293 145 293 154 288 159 277 159 274 159 259 150 259 138Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="z" transform="translate(1123,0)"><path data-c="1D467" d="M162 92 145 90C193 137 230 171 255 194L351 283C374 304 398 330 421 359 452 397 467 420 467 428 467 437 462 442 452 442 445 442 439 438 434 429 409 388 386 368 364 368 342 368 326 386 317 398 293 427 269 442 246 442 220 442 193 430 165 404 137 378 123 352 123 326 123 316 128 311 139 311 146 311 152 316 156 325 167 354 194 368 235 368 249 368 269 363 296 354 320 345 343 340 364 339 308 284 265 244 234 217L145 134C130 119 111 99 90 74 59 35 43 12 43 3 43-6 48-11 59-11 65-11 71-6 78 4 103 43 130 63 158 63 174 63 192 51 212 26 232 1 255-11 278-11 312-11 346 7 382 42 418 77 436 111 436 144 436 153 431 158 420 158 413 158 407 153 402 143 387 100 344 63 288 63 264 63 186 92 162 92Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{\xi}" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2913.3,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="\xi"><path data-c="1D709" d="M101 420C101 375 121 340 161 315 69 244 23 174 23 105 23 70 40 42 52 24 69 7 86-6 105-16 154-37 226-64 286-88 307-98 318-101 318-127 318-152 299-175 274-175 246-175 218-165 190-144 185-141 180-139 177-139 168-139 163-144 163-153 163-158 169-165 180-174 207-195 238-205 274-205 331-205 380-152 380-95 380-58 364-34 331-21L271 2C242 13 222 20 211 25L152 48C105 67 81 96 81 133 81 200 149 271 198 297 222 289 251 285 284 285 347 285 379 296 379 319 379 340 351 350 295 350 265 350 238 346 214 339 196 358 187 382 187 412 187 485 239 549 291 575 304 561 325 554 355 554 416 554 446 566 446 589 446 610 418 620 361 620 338 620 318 618 301 615 299 624 298 633 298 643 298 652 300 665 303 680 303 691 298 697 287 697 272 697 265 679 265 644 265 637 267 626 271 609 190 584 101 516 101 420M362 590C376 590 389 589 400 587 388 585 373 584 356 584 343 584 333 585 326 588 335 589 347 590 362 590M294 320C309 320 323 319 334 318 323 315 307 314 287 314 274 314 262 315 253 318 265 319 279 320 294 320Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(285,287) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(3359.3,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="z" transform="translate(3748.3,0)"><path data-c="1D467" d="M162 92 145 90C193 137 230 171 255 194L351 283C374 304 398 330 421 359 452 397 467 420 467 428 467 437 462 442 452 442 445 442 439 438 434 429 409 388 386 368 364 368 342 368 326 386 317 398 293 427 269 442 246 442 220 442 193 430 165 404 137 378 123 352 123 326 123 316 128 311 139 311 146 311 152 316 156 325 167 354 194 368 235 368 249 368 269 363 296 354 320 345 343 340 364 339 308 284 265 244 234 217L145 134C130 119 111 99 90 74 59 35 43 12 43 3 43-6 48-11 59-11 65-11 71-6 78 4 103 43 130 63 158 63 174 63 192 51 212 26 232 1 255-11 278-11 312-11 346 7 382 42 418 77 436 111 436 144 436 153 431 158 420 158 413 158 407 153 402 143 387 100 344 63 288 63 264 63 186 92 162 92Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(4215.3,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> , 其中<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.009ex" height="2.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1081 446 1286"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{\xi}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{\xi}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="\xi"><path data-c="1D709" d="M101 420C101 375 121 340 161 315 69 244 23 174 23 105 23 70 40 42 52 24 69 7 86-6 105-16 154-37 226-64 286-88 307-98 318-101 318-127 318-152 299-175 274-175 246-175 218-165 190-144 185-141 180-139 177-139 168-139 163-144 163-153 163-158 169-165 180-174 207-195 238-205 274-205 331-205 380-152 380-95 380-58 364-34 331-21L271 2C242 13 222 20 211 25L152 48C105 67 81 96 81 133 81 200 149 271 198 297 222 289 251 285 284 285 347 285 379 296 379 319 379 340 351 350 295 350 265 350 238 346 214 339 196 358 187 382 187 412 187 485 239 549 291 575 304 561 325 554 355 554 416 554 446 566 446 589 446 610 418 620 361 620 338 620 318 618 301 615 299 624 298 633 298 643 298 652 300 665 303 680 303 691 298 697 287 697 272 697 265 679 265 644 265 637 267 626 271 609 190 584 101 516 101 420M362 590C376 590 389 589 400 587 388 585 373 584 356 584 343 584 333 585 326 588 335 589 347 590 362 590M294 320C309 320 323 319 334 318 323 315 307 314 287 314 274 314 262 315 253 318 265 319 279 320 294 320Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(285,287) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.009ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 446 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\xi"><g data-mml-node="mi" data-latex="\xi"><path data-c="1D709" d="M101 420C101 375 121 340 161 315 69 244 23 174 23 105 23 70 40 42 52 24 69 7 86-6 105-16 154-37 226-64 286-88 307-98 318-101 318-127 318-152 299-175 274-175 246-175 218-165 190-144 185-141 180-139 177-139 168-139 163-144 163-153 163-158 169-165 180-174 207-195 238-205 274-205 331-205 380-152 380-95 380-58 364-34 331-21L271 2C242 13 222 20 211 25L152 48C105 67 81 96 81 133 81 200 149 271 198 297 222 289 251 285 284 285 347 285 379 296 379 319 379 340 351 350 295 350 265 350 238 346 214 339 196 358 187 382 187 412 187 485 239 549 291 575 304 561 325 554 355 554 416 554 446 566 446 589 446 610 418 620 361 620 338 620 318 618 301 615 299 624 298 633 298 643 298 652 300 665 303 680 303 691 298 697 287 697 272 697 265 679 265 644 265 637 267 626 271 609 190 584 101 516 101 420M362 590C376 590 389 589 400 587 388 585 373 584 356 584 343 584 333 585 326 588 335 589 347 590 362 590M294 320C309 320 323 319 334 318 323 315 307 314 287 314 274 314 262 315 253 318 265 319 279 320 294 320Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的傅里叶变换, 且<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.009ex" height="2.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1081 446 1286"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{\xi}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{\xi}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="\xi"><path data-c="1D709" d="M101 420C101 375 121 340 161 315 69 244 23 174 23 105 23 70 40 42 52 24 69 7 86-6 105-16 154-37 226-64 286-88 307-98 318-101 318-127 318-152 299-175 274-175 246-175 218-165 190-144 185-141 180-139 177-139 168-139 163-144 163-153 163-158 169-165 180-174 207-195 238-205 274-205 331-205 380-152 380-95 380-58 364-34 331-21L271 2C242 13 222 20 211 25L152 48C105 67 81 96 81 133 81 200 149 271 198 297 222 289 251 285 284 285 347 285 379 296 379 319 379 340 351 350 295 350 265 350 238 346 214 339 196 358 187 382 187 412 187 485 239 549 291 575 304 561 325 554 355 554 416 554 446 566 446 589 446 610 418 620 361 620 338 620 318 618 301 615 299 624 298 633 298 643 298 652 300 665 303 680 303 691 298 697 287 697 272 697 265 679 265 644 265 637 267 626 271 609 190 584 101 516 101 420M362 590C376 590 389 589 400 587 388 585 373 584 356 584 343 584 333 585 326 588 335 589 347 590 362 590M294 320C309 320 323 319 334 318 323 315 307 314 287 314 274 314 262 315 253 318 265 319 279 320 294 320Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(285,287) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 的零点均为实数并与算子谱重合.</p><p>当<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.319ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 583 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lambda = \sqrt{13}"><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.581ex" height="2.714ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -949.5 2908.8 1199.5"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lambda = \sqrt{13}"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="msqrt" data-latex="\sqrt{13}" transform="translate(1055.8,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,849.5)"><path data-c="221A" d="M847-2C851 7 853 13 853 16 853 32 845 40 829 40 820 40 813 36 809 27 666-259 595-403 595-405L595-406C595-413 527-558 390-843L217-461C212-450 207-445 201-445 198-445 192-448 184-454L86-528C77-535 73-540 73-545 73-555 78-560 87-560 90-560 95-557 103-551L151-516 345-943C350-954 357-960 367-960 379-960 387-955 392-946Z"></path></g><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mn" data-latex="13"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 578 119 580 145 615 186 633 242 633 302 633 332 598 332 527 332 485 324 450 309 421 282 373 245 364 183 364 171 362 165 357 165 348 165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173 348 88 317 14 241 14 176 14 128 36 99 80 134 79 160 105 160 139 160 173 135 198 101 198 62 198 42 178 42 137 42 88 64 49 108 18 147-9 193-22 244-22 301-22 350-3 393 34 436 71 457 117 457 173 457 267 383 332 303 353Z" transform="translate(500,0)"></path></g></g><rect width="1000" height="60" x="853" y="829.5"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> (仅包含 primes ≤13) 且<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 881 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N = 120"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.782ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N = 120"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="20" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z" transform="translate(500,0)"></path><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z" transform="translate(1000,0)"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 时 , 前 50 个特征值与<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数零点的误差低至<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.295ex" height="2.005ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864 2340.2 886"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="10^{-55}"><g data-mml-node="msup" data-latex="10^{-55}"><g data-mml-node="mn" data-latex="0"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z" transform="translate(500,0)"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1033,393.1) scale(0.707)" data-latex="{-5}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="5" transform="translate(778,0)"><path data-c="35" d="M118 315C123 315 129 319 134 326 164 371 205 393 257 393 292 393 319 373 337 332 348 305 354 264 354 209 354 146 346 102 331 76 306 35 272 14 229 14 162 14 109 62 91 114 94 113 96 114 100 114 130 114 155 137 155 167 155 198 130 219 100 219 65 219 50 200 50 163 50 63 131-22 231-22 292-22 344 0 386 44 428 88 449 141 449 202 449 260 432 310 398 353 361 400 315 423 259 423 212 423 171 408 138 378L138 556C165 548 191 544 218 544 264 544 304 555 338 578 369 597 390 616 402 634 408 642 411 648 411 651 411 661 406 666 396 666 341 645 294 634 256 634 211 634 168 643 127 662 122 664 118 665 114 665 105 665 100 656 100 637L100 345C100 324 100 315 118 315Z"></path><path data-c="35" d="M118 315C123 315 129 319 134 326 164 371 205 393 257 393 292 393 319 373 337 332 348 305 354 264 354 209 354 146 346 102 331 76 306 35 272 14 229 14 162 14 109 62 91 114 94 113 96 114 100 114 130 114 155 137 155 167 155 198 130 219 100 219 65 219 50 200 50 163 50 63 131-22 231-22 292-22 344 0 386 44 428 88 449 141 449 202 449 260 432 310 398 353 361 400 315 423 259 423 212 423 171 408 138 378L138 556C165 548 191 544 218 544 264 544 304 555 338 578 369 597 390 616 402 634 408 642 411 648 411 651 411 661 406 666 396 666 341 645 294 634 256 634 211 634 168 643 127 662 122 664 118 665 114 665 105 665 100 656 100 637L100 345C100 324 100 315 118 315Z" transform="translate(500,0)"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> (第一个零点), 且随<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.029ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.319ex" height="1.6ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 583 707"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lambda"><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 增大误差呈指数衰减. 理论上, 若能证明正则化行列式收敛于黎曼<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.509ex" height="1.532ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 667 677"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Xi"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Xi"><path data-c="39E" d="M587 515 619 515 611 677 55 677 47 515 79 515C81 560 85 586 91 594 94 598 117 600 162 600L504 600C549 600 572 598 575 594 581 586 585 560 587 515M496 263 528 263 528 441 496 441 496 390 170 390 170 441 138 441 138 263 170 263 170 313 496 313M616 0 624 173 592 173C589 123 585 95 581 88 577 81 552 77 505 77L161 77C114 77 89 80 86 85 80 94 76 123 74 173L42 173 50 0Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数, 则黎曼假设 (RH) 成立.</p><h3 id="与希尔伯特-波利亚猜想的联系"><a href="#与希尔伯特-波利亚猜想的联系" class="headerlink" title="与希尔伯特-波利亚猜想的联系"></a>与希尔伯特 - 波利亚猜想的联系</h3><p>希尔伯特 - 波利亚猜想预言存在自伴算子, 其谱等同于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数非平凡零点的虚部. 该研究直接呼应了这一猜想.</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-1.047ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.093ex" height="3.44ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1057.9 2692.9 1520.7"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="D^{(\lambda,N)}_{\log}"><g data-mml-node="msubsup" data-latex="D^{(\lambda,N)}_{\log}"><g data-mml-node="mi" data-latex="D"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(861,529) scale(0.707)" data-latex="{(\lambda,N)}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo" data-latex="("><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(972,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="N" transform="translate(1250,0)"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2131,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(861,-317.1) scale(0.707)" data-latex="{\log}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="\log"><path data-c="6C" d="M144 3 255 0 255 39C219 39 197 40 190 44 183 48 180 60 180 79L180 694 33 683 33 645C68 645 90 642 97 636 104 630 108 616 108 593L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path><path data-c="6F" d="M249-11C311-11 363 11 406 55 449 99 471 152 471 214 471 277 450 332 408 378 366 424 313 448 250 448 187 448 135 424 92 378 49 332 28 277 28 214 28 152 49 99 92 55 135 11 188-11 249-11M250 21C202 21 166 42 141 85 125 113 117 159 117 222 117 283 125 327 140 355 164 398 200 419 249 419 296 419 332 398 357 357 374 329 382 284 382 222 382 106 348 21 250 21Z" transform="translate(278,0)"></path><path data-c="67" d="M431 453C393 453 358 438 326 408 296 431 262 442 223 442 137 442 59 378 59 294 59 252 74 218 104 192 85 168 75 141 75 110 75 72 88 43 113 24 71 10 28-26 28-77 28-120 56-154 111-178 153-197 199-206 249-206 300-206 347-197 389-178 444-154 471-120 471-75 471-22 449 17 405 42 359 67 308 70 234 70 190 70 166 70 161 71 133 75 113 102 113 133 113 148 117 162 126 174 154 155 186 145 223 145 309 145 386 209 386 293 386 332 373 364 347 389 372 412 399 423 428 423 423 418 420 410 420 400 420 378 431 367 453 367 474 367 485 378 485 401 485 432 461 453 431 453M223 411C277 411 304 372 304 294 304 215 277 175 223 175 168 175 141 214 141 293 141 372 168 411 223 411M164 4 222 4C274 4 316 1 348-6 391-15 412-39 412-77 412-109 392-134 352-153 321-168 287-175 250-175 214-175 180-168 148-153 107-134 87-109 87-77 87-35 123 4 164 4Z" transform="translate(778,0)"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 是明确构造的自伴算子, 其谱通过数值验证逼近零点, 且理论上具备收敛性. 定理证明算子谱与<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.009ex" height="2.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1081 446 1286"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{\xi}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{\xi}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="\xi"><path data-c="1D709" d="M101 420C101 375 121 340 161 315 69 244 23 174 23 105 23 70 40 42 52 24 69 7 86-6 105-16 154-37 226-64 286-88 307-98 318-101 318-127 318-152 299-175 274-175 246-175 218-165 190-144 185-141 180-139 177-139 168-139 163-144 163-153 163-158 169-165 180-174 207-195 238-205 274-205 331-205 380-152 380-95 380-58 364-34 331-21L271 2C242 13 222 20 211 25L152 48C105 67 81 96 81 133 81 200 149 271 198 297 222 289 251 285 284 285 347 285 379 296 379 319 379 340 351 350 295 350 265 350 238 346 214 339 196 358 187 382 187 412 187 485 239 549 291 575 304 561 325 554 355 554 416 554 446 566 446 589 446 610 418 620 361 620 338 620 318 618 301 615 299 624 298 633 298 643 298 652 300 665 303 680 303 691 298 697 287 697 272 697 265 679 265 644 265 637 267 626 271 609 190 584 101 516 101 420M362 590C376 590 389 589 400 587 388 585 373 584 356 584 343 584 333 585 326 588 335 589 347 590 362 590M294 320C309 320 323 319 334 318 323 315 307 314 287 314 274 314 262 315 253 318 265 319 279 320 294 320Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(285,287) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 的零点一致, 而<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.009ex" height="2.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1081 446 1286"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\hat{\xi}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\hat{\xi}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="\xi"><path data-c="1D709" d="M101 420C101 375 121 340 161 315 69 244 23 174 23 105 23 70 40 42 52 24 69 7 86-6 105-16 154-37 226-64 286-88 307-98 318-101 318-127 318-152 299-175 274-175 246-175 218-165 190-144 185-141 180-139 177-139 168-139 163-144 163-153 163-158 169-165 180-174 207-195 238-205 274-205 331-205 380-152 380-95 380-58 364-34 331-21L271 2C242 13 222 20 211 25L152 48C105 67 81 96 81 133 81 200 149 271 198 297 222 289 251 285 284 285 347 285 379 296 379 319 379 340 351 350 295 350 265 350 238 346 214 339 196 358 187 382 187 412 187 485 239 549 291 575 304 561 325 554 355 554 416 554 446 566 446 589 446 610 418 620 361 620 338 620 318 618 301 615 299 624 298 633 298 643 298 652 300 665 303 680 303 691 298 697 287 697 272 697 265 679 265 644 265 637 267 626 271 609 190 584 101 516 101 420M362 590C376 590 389 589 400 587 388 585 373 584 356 584 343 584 333 585 326 588 335 589 347 590 362 590M294 320C309 320 323 319 334 318 323 315 307 314 287 314 274 314 262 315 253 318 265 319 279 320 294 320Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(285,287) translate(-250 0)"><path data-c="2C6" d="M386 515 403 533 250 694 97 533 114 515 250 618Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 的傅里叶变换性质确保零点均位于实轴 (对应临界线). 构造中使用的 Prolate 波算子 (类谐振子) 与信息论中的带限信号压缩相关, 暗示数论与量子力学的深层联系.</p><h3 id="关键挑战与未来方向"><a href="#关键挑战与未来方向" class="headerlink" title="关键挑战与未来方向"></a>关键挑战与未来方向</h3><p>目前仍需解决两个核心问题. 需严格证明 Weil 二次型最小特征值的简单性及对应特征向量的偶对称性. 要确立正则化行列式<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-1.047ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.44ex" height="3.44ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1057.9 5498.6 1520.7"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\det_{\text{reg} } (D^{(\lambda,N)}_{\log} - z)"><g data-mml-node="munder" data-latex="\det_{\text{reg}}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\det"><path data-c="64" d="M374-11 527 0 527 38C491 38 470 40 462 46 454 52 450 67 450 90L450 694 301 683 301 645C336 645 358 642 366 636 374 630 377 616 377 593L377 390C345 427 305 445 257 445 195 445 142 423 99 378 56 333 34 279 34 216 34 155 54 102 95 57 136 12 186-11 247-11 298-11 341 8 374 47M261 415C304 415 339 396 364 358 371 347 374 336 374 323L374 121C374 108 371 97 364 86 336 41 298 19 251 19 210 19 177 39 151 80 133 110 124 155 124 215 124 324 161 415 261 415Z"></path><path data-c="65" d="M415 251C415 366 348 448 236 448 176 448 126 425 85 378 47 334 28 281 28 220 28 157 49 104 91 58 133 12 185-11 247-11 304-11 348 9 378 48 403 81 415 105 415 121 415 131 409 136 398 136 390 136 385 131 382 120 360 54 317 21 253 21 208 21 173 42 146 85 127 116 118 163 117 227L387 227C409 227 415 229 415 251M326 349C337 316 342 284 342 255L118 255C121 321 138 366 168 389 193 409 215 419 236 419 281 419 311 396 326 349Z" transform="translate(556,0)"></path><path data-c="74" d="M332 126 332 186 300 186 300 128C300 78 282 22 238 22 197 22 177 56 177 124L177 395 316 395 316 433 177 433 177 615 145 615C144 582 141 553 134 527 117 461 78 427 19 424L19 395 102 395 102 126C102 67 120 29 155 10 182-4 207-11 232-11 298-11 332 55 332 126Z" transform="translate(1000,0)"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1422,-150) scale(0.707)" data-latex="{\text{reg}}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{reg}"><path data-c="72" d="M364 378C364 417 327 442 288 442 237 442 198 412 172 351L172 442 28 431 28 393C63 393 84 390 92 384 100 378 104 365 104 342L104 79C104 60 101 48 94 44 87 40 65 38 28 38L28 0 143 3C185 4 228 3 271 0L271 38 247 38C214 38 193 41 186 46 179 51 176 63 176 81L176 232C176 275 184 314 199 347 219 390 248 412 287 413 277 403 272 391 272 377 272 346 287 331 318 331 345 331 364 352 364 378Z"></path><path data-c="65" d="M415 251C415 366 348 448 236 448 176 448 126 425 85 378 47 334 28 281 28 220 28 157 49 104 91 58 133 12 185-11 247-11 304-11 348 9 378 48 403 81 415 105 415 121 415 131 409 136 398 136 390 136 385 131 382 120 360 54 317 21 253 21 208 21 173 42 146 85 127 116 118 163 117 227L387 227C409 227 415 229 415 251M326 349C337 316 342 284 342 255L118 255C121 321 138 366 168 389 193 409 215 419 236 419 281 419 311 396 326 349Z" transform="translate(392,0)"></path><path data-c="67" d="M431 453C393 453 358 438 326 408 296 431 262 442 223 442 137 442 59 378 59 294 59 252 74 218 104 192 85 168 75 141 75 110 75 72 88 43 113 24 71 10 28-26 28-77 28-120 56-154 111-178 153-197 199-206 249-206 300-206 347-197 389-178 444-154 471-120 471-75 471-22 449 17 405 42 359 67 308 70 234 70 190 70 166 70 161 71 133 75 113 102 113 133 113 148 117 162 126 174 154 155 186 145 223 145 309 145 386 209 386 293 386 332 373 364 347 389 372 412 399 423 428 423 423 418 420 410 420 400 420 378 431 367 453 367 474 367 485 378 485 401 485 432 461 453 431 453M223 411C277 411 304 372 304 294 304 215 277 175 223 175 168 175 141 214 141 293 141 372 168 411 223 411M164 4 222 4C274 4 316 1 348-6 391-15 412-39 412-77 412-109 392-134 352-153 321-168 287-175 250-175 214-175 180-168 148-153 107-134 87-109 87-77 87-35 123 4 164 4Z" transform="translate(836,0)"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(2416.7,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="msubsup" data-latex="D^{(\lambda,N)}_{\log}" transform="translate(2805.7,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="D"><path data-c="1D437" d="M567 683 235 683C212 683 201 682 201 660 201 649 212 644 234 644 254 644 294 647 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 47 128 42 121 40 103 39 72 39 50 39 40 37 40 16 40 5 51 0 72 0L399 0C467 0 532 20 595 61 702 130 804 265 804 429 804 577 713 683 567 683M710 466C710 353 659 216 607 149 550 76 475 39 381 39L270 39C259 39 252 39 248 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L379 610C388 643 387 644 429 644L535 644C647 644 710 578 710 466Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(861,529) scale(0.707)" data-latex="{(\lambda,N)}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo" data-latex="("><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(972,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="N" transform="translate(1250,0)"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2131,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(861,-317.1) scale(0.707)" data-latex="{\log}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="\log"><path data-c="6C" d="M144 3 255 0 255 39C219 39 197 40 190 44 183 48 180 60 180 79L180 694 33 683 33 645C68 645 90 642 97 636 104 630 108 616 108 593L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path><path data-c="6F" d="M249-11C311-11 363 11 406 55 449 99 471 152 471 214 471 277 450 332 408 378 366 424 313 448 250 448 187 448 135 424 92 378 49 332 28 277 28 214 28 152 49 99 92 55 135 11 188-11 249-11M250 21C202 21 166 42 141 85 125 113 117 159 117 222 117 283 125 327 140 355 164 398 200 419 249 419 296 419 332 398 357 357 374 329 382 284 382 222 382 106 348 21 250 21Z" transform="translate(278,0)"></path><path data-c="67" d="M431 453C393 453 358 438 326 408 296 431 262 442 223 442 137 442 59 378 59 294 59 252 74 218 104 192 85 168 75 141 75 110 75 72 88 43 113 24 71 10 28-26 28-77 28-120 56-154 111-178 153-197 199-206 249-206 300-206 347-197 389-178 444-154 471-120 471-75 471-22 449 17 405 42 359 67 308 70 234 70 190 70 166 70 161 71 133 75 113 102 113 133 113 148 117 162 126 174 154 155 186 145 223 145 309 145 386 209 386 293 386 332 373 364 347 389 372 412 399 423 428 423 423 418 420 410 420 400 420 378 431 367 453 367 474 367 485 378 485 401 485 432 461 453 431 453M223 411C277 411 304 372 304 294 304 215 277 175 223 175 168 175 141 214 141 293 141 372 168 411 223 411M164 4 222 4C274 4 316 1 348-6 391-15 412-39 412-77 412-109 392-134 352-153 321-168 287-175 250-175 214-175 180-168 148-153 107-134 87-109 87-77 87-35 123 4 164 4Z" transform="translate(778,0)"></path></g></g></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.2ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1856.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\det_{\text{reg} } (D^{(\lambda,N)}_{\log} - z)"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="z" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="1D467" d="M162 92 145 90C193 137 230 171 255 194L351 283C374 304 398 330 421 359 452 397 467 420 467 428 467 437 462 442 452 442 445 442 439 438 434 429 409 388 386 368 364 368 342 368 326 386 317 398 293 427 269 442 246 442 220 442 193 430 165 404 137 378 123 352 123 326 123 316 128 311 139 311 146 311 152 316 156 325 167 354 194 368 235 368 249 368 269 363 296 354 320 345 343 340 364 339 308 284 265 244 234 217L145 134C130 119 111 99 90 74 59 35 43 12 43 3 43-6 48-11 59-11 65-11 71-6 78 4 103 43 130 63 158 63 174 63 192 51 212 26 232 1 255-11 278-11 312-11 346 7 382 42 418 77 436 111 436 144 436 153 431 158 420 158 413 158 407 153 402 143 387 100 344 63 288 63 264 63 186 92 162 92Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1467.2,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 收敛于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.509ex" height="1.532ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 667 677"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Xi"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Xi"><path data-c="39E" d="M587 515 619 515 611 677 55 677 47 515 79 515C81 560 85 586 91 594 94 598 117 600 162 600L504 600C549 600 572 598 575 594 581 586 585 560 587 515M496 263 528 263 528 441 496 441 496 390 170 390 170 441 138 441 138 263 170 263 170 313 496 313M616 0 624 173 592 173C589 123 585 95 581 88 577 81 552 77 505 77L161 77C114 77 89 80 86 85 80 94 76 123 74 173L42 173 50 0Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数, 这依赖于 Prolate 波函数逼近误差的控制 (当前误差估计为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.893ex" height="2.448ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 3046.7 1081.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathcal{O}(\lambda^{-2})"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal{O}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="O"><path data-c="4F" d="M583 525C583 424 528 266 490 194 429 83 352 28 258 28 211 28 174 46 147 83 129 108 120 144 120 193 120 238 127 290 142 349 172 472 233 570 324 643L308 660C283 647 264 634 249 622 154 545 90 442 57 312 46 270 41 230 41 192 41 134 53 88 78 55 115 6 163-18 223-18 372-18 485 51 562 190 605 268 663 421 659 530 656 621 605 686 514 686 402 686 321 596 299 505 290 472 292 448 304 432 311 421 322 415 338 415 365 415 382 427 389 451 394 467 394 480 387 489 372 508 365 526 365 542 365 570 380 595 411 616 439 635 468 645 497 645 558 645 583 584 583 525Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(699,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="\lambda^{-2}" transform="translate(1088,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(616,363) scale(0.707)" data-latex="{-2}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(778,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2657.7,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ).</p><p>若上述问题得到解决, 该框架将为希尔伯特 - 波利亚猜想提供具体构造, 并从谱理论角度证明 RH. 这种将数论问题转化为算子谱分析的思路, 展现了非交换几何与解析数论的交叉潜力.</p></div></details></div><div class="story post-story"><h2 id="未解之谜与前沿方向"><a href="#未解之谜与前沿方向" class="headerlink" title="未解之谜与前沿方向"></a>未解之谜与前沿方向</h2><p>希尔伯特 - 波利亚猜想仍面临诸多深刻挑战。物理实现问题已知的哈密顿算子（如贝里 - 基廷模型）均为纯数学构造，尚未发现对应真实物理系统。算子严格构造现有伪厄米算子虽能生成零点序列，但缺乏自然的数学解释。普适性的根源为何数论与量子物理共享同一套统计规律？这一问题触及数学基础。</p><p>当前研究前沿包括量子霍尔效应类比，研究发现，Landau 能级的量子化条件与零点分布存在数学对应；非厄米量子力学，利用 PT 对称量子系统的实数能谱性质重新诠释猜想；量子计算验证，通过量子模拟实现贝里 - 基廷哈密顿量，观察其本征值分布。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="结语：跨越百年的思想对话"><a href="#结语：跨越百年的思想对话" class="headerlink" title="结语：跨越百年的思想对话"></a>结语：跨越百年的思想对话</h2><p>从兰道的偶然提问到贝里 - 基廷的量子化尝试，希尔伯特 - 波利亚猜想的百年历程展现了数学创造的惊人想象力。它将素数分布这一最纯粹的数论问题，与量子混沌这一最前沿的物理领域联系起来，暗示着自然界深层结构中可能存在的普适规律。当数论学家和物理学家在山顶相遇时，他们会发现各自从山脚攀登的是同一座山峰。</p><p>这个猜想的最终证明或许仍遥不可及，但它已深刻改变了我们对数学与物理关系的理解，数学思想有时需要等待合适的物理发现才能获得新生。今天，当我们用超级计算机计算亿万级<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数零点，或是在实验室观测量子混沌系统的能级分布时，或许正在见证这场跨越世纪的思想对话的最新篇章。</p></div></div><div class="footer"></div><div class="article-meta" id="bottom"><div class="new-meta-box"></div></div><div class="prev-next"><a class="prev" href="/notes/Zeta/75"><p class="title"><i class="fa-solid fa-chevron-left" aria-hidden="true"></i>戴森与蒙哥马利的跨学科邂逅</p><p class="content">1972年普林斯顿高等研究院的偶然相遇中，蒙哥马利发现黎曼ζ函数非平凡零点的对关联函数与戴森研究的随机厄密矩阵本征值分布一致，揭示数论与量子物理的深刻联系。这一发现表明素数分布与量子系统能级行为遵循相同数学法则，开启数学物理普适性研究新纪元，其规律广泛存在于量子混沌系统、数论函数和复杂系统中。尽管严格证明尚未完成，这一跨学科关联成为科学史上的奇迹，推动对数学与物理深层结构的探索。</p></a><a class="next" href="/notes/Zeta/77"><p class="title">蒙哥马利-奥德利兹科定律<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">蒙哥马利-奥德利兹科定律揭示黎曼ζ函数非平凡零点正则化间距分布与GUE随机厄米矩阵本征值分布一致，1972年由蒙哥马利理论推导，1987年经奥德利兹科1.5亿个零点计算验证。其核心为对关联函数F(α)=1-(sinπα/πα)²，连接解析数论与量子物理，推动零点简单性证明、L函数推广及高性能计算算法发展，成为朗兰兹纲领与希尔伯特-波利亚猜想的关键桥梁。</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/61.html" title="黎曼Zeta函数非平凡零点虚部研究的历史脉络" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/107.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/107.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="黎曼Zeta函数非平凡零点虚部研究的历史脉络"> <span class="title">黎曼Zeta函数非平凡零点虚部研究的历史脉络</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/77.html" title="蒙哥马利-奥德利兹科定律" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/43.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/43.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="蒙哥马利-奥德利兹科定律"> <span class="title">蒙哥马利-奥德利兹科定律</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/106.html" title="Zeta函数非平凡零点虚部的无理性与超越性之谜" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/44.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/44.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Zeta函数非平凡零点虚部的无理性与超越性之谜"> <span class="title">Zeta函数非平凡零点虚部的无理性与超越性之谜</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/75.html" title="戴森与蒙哥马利的跨学科邂逅" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/57.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/57.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="戴森与蒙哥马利的跨学科邂逅"> <span class="title">戴森与蒙哥马利的跨学科邂逅</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/91.html" title="函数零点问题的等价转化及黎曼猜想的方法论困境" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/65.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/65.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="函数零点问题的等价转化及黎曼猜想的方法论困境"> <span class="title">函数零点问题的等价转化及黎曼猜想的方法论困境</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/57.html" title="黎曼的整体思路" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/36.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/36.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="黎曼的整体思路"> <span class="title">黎曼的整体思路</span></a></div></div></article><article class="post white-box shadow floatable blur" id="comments"><span hidden=""><meta itemprop="discussionUrl" content="/notes/Zeta/76#comments"></span><p ct=""><i class="fa-duotone fa-comments"></i> 留言区</p><div id="layoutHelper-comments"></div></article></div><aside id="l_side" itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPSideBar"><section class="widget text desktop mobile pjax"><header><a href="/notes/"><i class="fa-duotone fa-book fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">Notes</span></a></header><div class="content"></div></section><section class="widget list group desktop mobile pjax"><header><i class="fa-duotone fa-square-z fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">Zeta Archive</span></header><div class="content"><ul class="list entry navigation"><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/" href="/notes/Zeta/" active-action="action-notesZeta"><div class="name"> Welcome</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/1" href="/notes/Zeta/1" active-action="action-notesZeta1"><div class="name"> Leibniz</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/2" href="/notes/Zeta/2" active-action="action-notesZeta2"><div class="name"> On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/3" href="/notes/Zeta/3" active-action="action-notesZeta3"><div class="name"> Clebsch's fair copy of Riemann's publication</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/4" href="/notes/Zeta/4" active-action="action-notesZeta4"><div class="name"> Clebsch's fair copy of Riemann's publication</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/5" href="/notes/Zeta/5" active-action="action-notesZeta5"><div class="name"> Riemann’s 1859 Manuscript</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/6" href="/notes/Zeta/6" active-action="action-notesZeta6"><div class="name"> Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/7" href="/notes/Zeta/7" active-action="action-notesZeta7"><div class="name"> On the Number of Primes Less Than a Given Quantity</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/8" href="/notes/Zeta/8" active-action="action-notesZeta8"><div class="name"> Riemann’s Zeta Function</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/9" href="/notes/Zeta/9" active-action="action-notesZeta9"><div class="name"> Euclid素数无限定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/10" href="/notes/Zeta/10" active-action="action-notesZeta10"><div class="name"> 埃拉托斯特尼筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/11" href="/notes/Zeta/11" active-action="action-notesZeta11"><div class="name"> Euler对无穷级数的若干观察</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/12" href="/notes/Zeta/12" active-action="action-notesZeta12"><div class="name"> 欧拉乘积公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/13" href="/notes/Zeta/13" active-action="action-notesZeta13"><div class="name"> 牛顿广义二项式定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/14" href="/notes/Zeta/14" active-action="action-notesZeta14"><div class="name"> 二年级之梦</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/15" href="/notes/Zeta/15" active-action="action-notesZeta15"><div class="name"> 罗素悖论</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/16" href="/notes/Zeta/16" active-action="action-notesZeta16"><div class="name"> 哥德尔不完备性定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/17" href="/notes/Zeta/17" active-action="action-notesZeta17"><div class="name"> 停机问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/18" href="/notes/Zeta/18" active-action="action-notesZeta18"><div class="name"> 素数定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/19" href="/notes/Zeta/19" active-action="action-notesZeta19"><div class="name"> 对数运算法则</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/20" href="/notes/Zeta/20" active-action="action-notesZeta20"><div class="name"> 本福特定律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/21" href="/notes/Zeta/21" active-action="action-notesZeta21"><div class="name"> 狄利克雷Eta函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/22" href="/notes/Zeta/22" active-action="action-notesZeta22"><div class="name"> 留数定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/23" href="/notes/Zeta/23" active-action="action-notesZeta23"><div class="name"> 多项式分式前n项和变换为积分</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/24" href="/notes/Zeta/24" active-action="action-notesZeta24"><div class="name"> 梅林变换</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/25" href="/notes/Zeta/25" active-action="action-notesZeta25"><div class="name"> 佩龙公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/26" href="/notes/Zeta/26" active-action="action-notesZeta26"><div class="name"> 曼戈尔特函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/27" href="/notes/Zeta/27" active-action="action-notesZeta27"><div class="name"> 黎曼素数计数函数J(x)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/28" href="/notes/Zeta/28" active-action="action-notesZeta28"><div class="name"> 莫比乌斯反演</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/29" href="/notes/Zeta/29" active-action="action-notesZeta29"><div class="name"> 斯蒂尔杰斯积分</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/30" href="/notes/Zeta/30" active-action="action-notesZeta30"><div class="name"> 威尔斯特拉斯无穷乘积展开</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/31" href="/notes/Zeta/31" active-action="action-notesZeta31"><div class="name"> 不知名的碎片1</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/32" href="/notes/Zeta/32" active-action="action-notesZeta32"><div class="name"> 不知名的碎片2</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/33" href="/notes/Zeta/33" active-action="action-notesZeta33"><div class="name"> 不知名的碎片3</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/34" href="/notes/Zeta/34" active-action="action-notesZeta34"><div class="name"> 根号2的无理性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/35" href="/notes/Zeta/35" active-action="action-notesZeta35"><div class="name"> e的无理性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/36" href="/notes/Zeta/36" active-action="action-notesZeta36"><div class="name"> π的无理性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/37" href="/notes/Zeta/37" active-action="action-notesZeta37"><div class="name"> Zeta的无理性之谜</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/38" href="/notes/Zeta/38" active-action="action-notesZeta38"><div class="name"> Niven的无理数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/39" href="/notes/Zeta/39" active-action="action-notesZeta39"><div class="name"> 柯西方法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/40" href="/notes/Zeta/40" active-action="action-notesZeta40"><div class="name"> 积性函数蕴含迭代结构</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/41" href="/notes/Zeta/41" active-action="action-notesZeta41"><div class="name"> 黎曼 Zeta 函数是分形</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/42" href="/notes/Zeta/42" active-action="action-notesZeta42"><div class="name"> 沃罗宁定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/43" href="/notes/Zeta/43" active-action="action-notesZeta43"><div class="name"> 迭代积分</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/44" href="/notes/Zeta/44" active-action="action-notesZeta44"><div class="name"> 高阶导数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/45" href="/notes/Zeta/45" active-action="action-notesZeta45"><div class="name"> 阿贝尔变换</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/46" href="/notes/Zeta/46" active-action="action-notesZeta46"><div class="name"> 泊松求和公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/47" href="/notes/Zeta/47" active-action="action-notesZeta47"><div class="name"> Theta函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/48" href="/notes/Zeta/48" active-action="action-notesZeta48"><div class="name"> 魔群</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/49" href="/notes/Zeta/49" active-action="action-notesZeta49"><div class="name"> 朗兰兹纲领</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/50" href="/notes/Zeta/50" active-action="action-notesZeta50"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的解析延拓</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/51" href="/notes/Zeta/51" active-action="action-notesZeta51"><div class="name"> 积分与求和交换顺序</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/52" href="/notes/Zeta/52" active-action="action-notesZeta52"><div class="name"> 魏尔斯特拉斯判别法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/53" href="/notes/Zeta/53" active-action="action-notesZeta53"><div class="name"> Zeta函数的函数方程</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/54" href="/notes/Zeta/54" active-action="action-notesZeta54"><div class="name"> Zeta函数解析延拓的经典方法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/55" href="/notes/Zeta/55" active-action="action-notesZeta55"><div class="name"> 黎曼Xi函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/56" href="/notes/Zeta/56" active-action="action-notesZeta56"><div class="name"> 黎曼关于Zeta函数零点分布的三个核心论断</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/57" href="/notes/Zeta/57" active-action="action-notesZeta57"><div class="name"> 黎曼的整体思路</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/58" href="/notes/Zeta/58" active-action="action-notesZeta58"><div class="name"> 筛法的奇偶障碍</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/59" href="/notes/Zeta/59" active-action="action-notesZeta59"><div class="name"> 黎曼非平凡零点计数渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/60" href="/notes/Zeta/60" active-action="action-notesZeta60"><div class="name"> Zeta非平凡零点虚部渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/61" href="/notes/Zeta/61" active-action="action-notesZeta61"><div class="name"> 黎曼Zeta函数非平凡零点虚部研究的历史脉络</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/62" href="/notes/Zeta/62" active-action="action-notesZeta62"><div class="name"> 黎曼Zeta函数非平凡零点虚部的表达式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/63" href="/notes/Zeta/63" active-action="action-notesZeta63"><div class="name"> 黎曼-西格尔公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/64" href="/notes/Zeta/64" active-action="action-notesZeta64"><div class="name"> On Riemann’s Nachlass for Analytic Number Theory Siegel(1932)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/65" href="/notes/Zeta/65" active-action="action-notesZeta65"><div class="name"> 论黎曼解析数论遗稿 西格尔(1932)[中文]</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/66" href="/notes/Zeta/66" active-action="action-notesZeta66"><div class="name"> 不知名的碎片4</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/67" href="/notes/Zeta/67" active-action="action-notesZeta67"><div class="name"> 不知名的碎片5</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/68" href="/notes/Zeta/68" active-action="action-notesZeta68"><div class="name"> 不知名的碎片6</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/69" href="/notes/Zeta/69" active-action="action-notesZeta69"><div class="name"> 不知名的碎片7</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/70" href="/notes/Zeta/70" active-action="action-notesZeta70"><div class="name"> Zeta(3)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/71" href="/notes/Zeta/71" active-action="action-notesZeta71"><div class="name"> 与RH等价的命题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/72" href="/notes/Zeta/72" active-action="action-notesZeta72"><div class="name"> 黎曼ξ函数的对数表示与其零点乘积形式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/73" href="/notes/Zeta/73" active-action="action-notesZeta73"><div class="name"> 黎曼ξ函数对数展开的历史</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/74" href="/notes/Zeta/74" active-action="action-notesZeta74"><div class="name"> 阿达马因子分解定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/75" href="/notes/Zeta/75" active-action="action-notesZeta75"><div class="name"> 戴森与蒙哥马利的跨学科邂逅</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/76" href="/notes/Zeta/76" active-action="action-notesZeta76"><div class="name"> 希尔伯特-波利亚猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/77" href="/notes/Zeta/77" active-action="action-notesZeta77"><div class="name"> 蒙哥马利-奥德利兹科定律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/78" href="/notes/Zeta/78" active-action="action-notesZeta78"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的表示方法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/79" href="/notes/Zeta/79" active-action="action-notesZeta79"><div class="name"> 拉马努金主定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/80" href="/notes/Zeta/80" active-action="action-notesZeta80"><div class="name"> 不知名的碎片8</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/81" href="/notes/Zeta/81" active-action="action-notesZeta81"><div class="name"> 不知名的碎片9</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/82" href="/notes/Zeta/82" active-action="action-notesZeta82"><div class="name"> 不知名的碎片10</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/83" href="/notes/Zeta/83" active-action="action-notesZeta83"><div class="name"> 不知名的碎片11</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/84" href="/notes/Zeta/84" active-action="action-notesZeta84"><div class="name"> 哈代定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/85" href="/notes/Zeta/85" active-action="action-notesZeta85"><div class="name"> 解析延拓的局限性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/86" href="/notes/Zeta/86" active-action="action-notesZeta86"><div class="name"> P对NP问题：计算复杂性的终极谜题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/87" href="/notes/Zeta/87" active-action="action-notesZeta87"><div class="name"> 广义化思维：从特殊到一般</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/88" href="/notes/Zeta/88" active-action="action-notesZeta88"><div class="name"> 问题的归约</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/89" href="/notes/Zeta/89" active-action="action-notesZeta89"><div class="name"> Shor算法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/90" href="/notes/Zeta/90" active-action="action-notesZeta90"><div class="name"> 子集和问题的NPC属性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/91" href="/notes/Zeta/91" active-action="action-notesZeta91"><div class="name"> 函数零点问题的等价转化及黎曼猜想的方法论困境</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/92" href="/notes/Zeta/92" active-action="action-notesZeta92"><div class="name"> 黎曼素数计数函数 J(x) 的自然截断现象与截断点分析</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/93" href="/notes/Zeta/93" active-action="action-notesZeta93"><div class="name"> 拉普拉斯变换</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/94" href="/notes/Zeta/94" active-action="action-notesZeta94"><div class="name"> 莫比乌斯函数与黎曼 Zeta 函数的深刻联系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/95" href="/notes/Zeta/95" active-action="action-notesZeta95"><div class="name"> 特殊函数倍乘公式的统一性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/96" href="/notes/Zeta/96" active-action="action-notesZeta96"><div class="name"> 塞尔伯格渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/97" href="/notes/Zeta/97" active-action="action-notesZeta97"><div class="name"> 塞尔伯格Zeta函数非平凡零点的正密率</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/98" href="/notes/Zeta/98" active-action="action-notesZeta98"><div class="name"> 塞尔伯格磨光函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/99" href="/notes/Zeta/99" active-action="action-notesZeta99"><div class="name"> 磨光技术</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/100" href="/notes/Zeta/100" active-action="action-notesZeta100"><div class="name"> 黎曼Zeta函数临界线幅角函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/101" href="/notes/Zeta/101" active-action="action-notesZeta101"><div class="name"> 玻尔-兰道定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/102" href="/notes/Zeta/102" active-action="action-notesZeta102"><div class="name"> 哈代-利特尔伍德临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/103" href="/notes/Zeta/103" active-action="action-notesZeta103"><div class="name"> 塞尔伯格临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/104" href="/notes/Zeta/104" active-action="action-notesZeta104"><div class="name"> 莱文森临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/105" href="/notes/Zeta/105" active-action="action-notesZeta105"><div class="name"> 康瑞临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/106" href="/notes/Zeta/106" active-action="action-notesZeta106"><div class="name"> Zeta函数非平凡零点虚部的无理性与超越性之谜</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/107" href="/notes/Zeta/107" active-action="action-notesZeta107"><div class="name"> 塞尔伯格迹公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/108" href="/notes/Zeta/108" active-action="action-notesZeta108"><div class="name"> 复制函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/109" href="/notes/Zeta/109" active-action="action-notesZeta109"><div class="name"> 塞尔伯格筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/110" href="/notes/Zeta/110" active-action="action-notesZeta110"><div class="name"> 庞加莱猜想与奇点手术</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/111" href="/notes/Zeta/111" active-action="action-notesZeta111"><div class="name"> 先磨光再解析延拓</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/112" href="/notes/Zeta/112" active-action="action-notesZeta112"><div class="name"> 朗道-西格尔零点猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/113" href="/notes/Zeta/113" active-action="action-notesZeta113"><div class="name"> 等差数列上的素数分布</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/114" href="/notes/Zeta/114" active-action="action-notesZeta114"><div class="name"> 大筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/115" href="/notes/Zeta/115" active-action="action-notesZeta115"><div class="name"> 模性定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/116" href="/notes/Zeta/116" active-action="action-notesZeta116"><div class="name"> 相邻素数间的有界间隔</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/117" href="/notes/Zeta/117" active-action="action-notesZeta117"><div class="name"> 克拉梅尔模型与孪生素数猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/118" href="/notes/Zeta/118" active-action="action-notesZeta118"><div class="name"> Zeta函数的洛朗展开</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/119" href="/notes/Zeta/119" active-action="action-notesZeta119"><div class="name"> Zeta函数与欧拉常数的关系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/120" href="/notes/Zeta/120" active-action="action-notesZeta120"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的矩问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/121" href="/notes/Zeta/121" active-action="action-notesZeta121"><div class="name"> 第n个素数的通项公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/122" href="/notes/Zeta/122" active-action="action-notesZeta122"><div class="name"> AKS算法证明素数判定属于P类问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/123" href="/notes/Zeta/123" active-action="action-notesZeta123"><div class="name"> 米勒-拉宾素性检验</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/124" href="/notes/Zeta/124" active-action="action-notesZeta124"><div class="name"> 中国剩余定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/125" href="/notes/Zeta/125" active-action="action-notesZeta125"><div class="name"> 二次互反律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/126" href="/notes/Zeta/126" active-action="action-notesZeta126"><div class="name"> 不知名的碎片12</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/127" href="/notes/Zeta/127" active-action="action-notesZeta127"><div class="name"> 斯特林公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/128" href="/notes/Zeta/128" active-action="action-notesZeta128"><div class="name"> 梅森素数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/129" href="/notes/Zeta/129" active-action="action-notesZeta129"><div class="name"> 全一素数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/130" href="/notes/Zeta/130" active-action="action-notesZeta130"><div class="name"> 华里士公式与欧拉 Beta 函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/131" href="/notes/Zeta/131" active-action="action-notesZeta131"><div class="name"> Bombieri-Vinogradov 定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/132" href="/notes/Zeta/132" active-action="action-notesZeta132"><div class="name"> EH猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/133" href="/notes/Zeta/133" active-action="action-notesZeta133"><div class="name"> Sarnak纲领性猜想：轨道上的素数分布理论</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/134" href="/notes/Zeta/134" active-action="action-notesZeta134"><div class="name"> 圆法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/135" href="/notes/Zeta/135" active-action="action-notesZeta135"><div class="name"> Bourgain-Gamburd-Sarnak猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/136" href="/notes/Zeta/136" active-action="action-notesZeta136"><div class="name"> 从L函数到动力系统的深层联系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/137" href="/notes/Zeta/137" active-action="action-notesZeta137"><div class="name"> 量子唯一遍历性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/138" href="/notes/Zeta/138" active-action="action-notesZeta138"><div class="name"> 投资组合优化 Markowitz 模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/139" href="/notes/Zeta/139" active-action="action-notesZeta139"><div class="name"> 凝聚态物理 谢林顿-柯克帕特里克模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/140" href="/notes/Zeta/140" active-action="action-notesZeta140"><div class="name"> 神经网络 Hopfield 模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/141" href="/notes/Zeta/141" active-action="action-notesZeta141"><div class="name"> 跨学科视角下的二次优化模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/142" href="/notes/Zeta/142" active-action="action-notesZeta142"><div class="name"> 不知名的碎片13</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/143" href="/notes/Zeta/143" active-action="action-notesZeta143"><div class="name"> 马尔可夫过程</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/144" href="/notes/Zeta/144" active-action="action-notesZeta144"><div class="name"> 玻尔兹曼机</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/145" href="/notes/Zeta/145" active-action="action-notesZeta145"><div class="name"> 乌拉姆素数螺旋</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/146" href="/notes/Zeta/146" active-action="action-notesZeta146"><div class="name"> 计算不可约性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/147" href="/notes/Zeta/147" active-action="action-notesZeta147"><div class="name"> TREE(3)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/148" href="/notes/Zeta/148" active-action="action-notesZeta148"><div class="name"> 数学自循环演化系统 [胡说八道]</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/149" href="/notes/Zeta/149" active-action="action-notesZeta149"><div class="name"> 不知名的碎片14</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/150" href="/notes/Zeta/150" active-action="action-notesZeta150"><div class="name"> L-函数的分析构造与自守形式的联系</div></a></li></ul></div></section><div class="widget-sticky pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div></aside><pjax><script>window.pdata={},pdata.ispage=!1,pdata.commentPath="",pdata.commentPlaceholder="",pdata.commentConfig={};var l_header=document.getElementById("l_header");l_header.classList.add("show");var cover_wrapper=document.querySelector("#l_cover .cover-wrapper"),scroll_down=document.getElementById("scroll-down");cover_wrapper.id="none",cover_wrapper.style.display="none",scroll_down.style.display="none"</script></pjax></div><footer class="footer clearfix" itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPFooter"><br><br><div class="aplayer-container"><div class="aplayer-local"></div></div><br><div class="social-wrapper" itemprop="about" itemscope="" itemtype="http://schema.org/Thing"><a href="/atom.xml" class="social fa-duotone fa-rss flat-btn" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" itemprop="url"></a><a href="https://mhuig.top/contact/" class="social fa-duotone fa-envelope flat-btn" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" itemprop="url"></a><a href="https://github.com/MHuiG" class="social fa-brands fa-github flat-btn" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" itemprop="url"></a><a href="https://t.me/MHuiG" class="social fa-brands fa-telegram flat-btn" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" itemprop="url"></a></div><div><p>博客内容遵循 <a target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" href="https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.zh-hans">署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际 (CC BY-NC-SA 4.0) 协议</a></p></div><div class="copyright"><p><a href="https://icp.gov.moe" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer">萌ICP备</a> <a href="https://icp.gov.moe/?keyword=2020012138" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer">2020012138号</a><br><a target="_blank" rel="noopener" href="https://mhuig.top/">Copyright © Since 2018 MHuiG</a></p></div></footer><a id="s-top" class="fa-solid fa-arrow-up fa-fw" title="top"></a></div></div><div><script>volantis.dom.bodyAnchor=volantis.dom.$(document.getElementById("safearea")),volantis.dom.topBtn=volantis.dom.$(document.getElementById("s-top")),volantis.dom.wrapper=volantis.dom.$(document.getElementById("wrapper")),volantis.dom.coverAnchor=volantis.dom.$(document.querySelector("#l_cover .cover-wrapper")),volantis.dom.switcher=volantis.dom.$(document.querySelector("#l_header .switcher .s-search")),volantis.dom.header=volantis.dom.$(document.getElementById("l_header")),volantis.dom.search=volantis.dom.$(document.querySelector("#l_header .m_search")),volantis.dom.mPhoneList=volantis.dom.$(document.querySelectorAll("#l_header .m-phone .list-v"))</script><script>volantis.css("https://static.mhuig.top/npm/volantis-static@0.0.1660614606622/libs/@fortawesome/fontawesome-pro/css/all.min.css")</script><script src="/js/app.js"></script><script>const rootElement=document.documentElement,darkModeStorageKey="color-scheme",rootElementDarkModeAttributeName="color-scheme",setLS=(e,t)=>{localStorage.setItem(e,t)},removeLS=e=>{localStorage.removeItem(e)},getLS=e=>localStorage.getItem(e),getModeFromCSSMediaQuery=()=>window.matchMedia("(prefers-color-scheme: dark)").matches?"dark":"light",resetRootDarkModeAttributeAndLS=()=>{rootElement.removeAttribute("color-scheme"),removeLS("color-scheme")},validColorModeKeys={dark:!0,light:!0},applyCustomDarkModeSettings=e=>{const t=e||getLS("color-scheme");getCustomDarkMode(),t===getModeFromCSSMediaQuery()?resetRootDarkModeAttributeAndLS():validColorModeKeys[t]?rootElement.setAttribute("color-scheme",t):resetRootDarkModeAttributeAndLS()},invertDarkModeObj={dark:"light",light:"dark"},getCustomDarkMode=()=>{let e=getLS("color-scheme");if(validColorModeKeys[e])e=invertDarkModeObj[e];else{if(null!==e)return;e=invertDarkModeObj[getModeFromCSSMediaQuery()]}volantis.dark.mode="dark"==e?"light":"dark"},toggleCustomDarkMode=()=>{let e=getLS("color-scheme");if(validColorModeKeys[e])e=invertDarkModeObj[e];else{if(null!==e)return;e=invertDarkModeObj[getModeFromCSSMediaQuery()]}return setLS("color-scheme",e),e};function bindToggleButton(){document.querySelectorAll("#wrapper .toggle-mode-btn,#rightmenu-wrapper .toggle-mode-btn").forEach((function(e){volantis.dom.$(e).on("click",volantis.dark.toggle)}))}volantis.dark.toggle=()=>{const e=toggleCustomDarkMode();applyCustomDarkModeSettings(e),volantis.dark.method.toggle.start()},applyCustomDarkModeSettings(),document.addEventListener("DOMContentLoaded",(()=>{volantis.requestAnimationFrame(bindToggleButton)})),volantis.pjax.push(bindToggleButton);const darkModelListeners={dark:e=>{e.matches&&(volantis.dark.mode="dark"),volantis.dark.method.toggle.start()},light:e=>{e.matches&&(volantis.dark.mode="light"),volantis.dark.method.toggle.start()}};window.matchMedia("(prefers-color-scheme: dark)").addListener(darkModelListeners.dark),window.matchMedia("(prefers-color-scheme: light)").addListener(darkModelListeners.light)</script><script>function loadIssuesJS(){null!=document.getElementById("sites-api")&&"undefined"==typeof SitesJS&&volantis.js("/js/plugins/tags/sites.js");null!=document.getElementById("friends-api")&&"undefined"==typeof FriendsJS&&volantis.js("/js/plugins/tags/friends.js");null!=document.getElementById("contributors-api")&&"undefined"==typeof ContributorsJS&&volantis.js("/js/plugins/tags/contributors.js")}loadIssuesJS(),volantis.pjax.push((()=>{loadIssuesJS()}))</script><script defer="" src="https://cdn.bootcdn.net/ajax/libs/vanilla-lazyload/17.1.0/lazyload.min.js"></script><script>window.lazyLoadOptions={elements_selector:".lazyload",threshold:0},window.addEventListener("LazyLoad::Initialized",(function(n){window.lazyLoadInstance=n.detail.instance}),!1),document.addEventListener("DOMContentLoaded",(function(){lazyLoadInstance.update()})),document.addEventListener("pjax:complete",(function(){lazyLoadInstance.update()}))</script><script>window.FPConfig={delay:0,ignoreKeywords:["#"],maxRPS:6,hoverDelay:0}</script><script defer="" src="https://static.mhuig.top/npm/volantis-static@0.0.1660614606622/libs/flying-pages/flying-pages.min.js"></script><script>volantis.css("https://cdn.bootcdn.net/ajax/libs/aplayer/1.10.1/APlayer.min.css"),volantis.js("https://cdn.bootcdn.net/ajax/libs/aplayer/1.10.1/APlayer.min.js").then((()=>{function e(){document.querySelector(".aplayer-local-min")&&document.querySelectorAll(".aplayer-local-min").forEach((e=>{new APlayer(Object.assign({container:e,mini:!0,order:"list",volume:"0.7",autoplay:!1,loop:"all",theme:"#1BCDFC",listMaxHeight:"320px",listFolded:"true",preload:"auto",lrcType:3,audio:[{name:"虹之间",artist:"钢琴版伴奏",url:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/BetweenTheRainbow.mp3",lrc:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/BetweenTheRainbow.lrc",cover:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/BetweenTheRainbow.jpg"},{name:"Avem",artist:"Alan Walker",url:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/Avem.mp3",lrc:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/Avem.lrc",cover:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/Avem.jpg"},{name:"Fly",artist:"Marshmello / Leau Culver",url:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/fly.mp3",lrc:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/fly.lrc",cover:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/fly.jpg"},{name:"Alone",artist:"Marshmello",url:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/alone.mp3",lrc:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/alone.lrc",cover:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/alone.jpg"}]},JSON.parse(e.querySelector(".aplayer-local-min-conf").innerText)))}))}document.querySelectorAll(".aplayer-local").forEach((e=>{new APlayer({container:e,fixed:!1,order:"list",volume:"0.7",autoplay:!1,loop:"all",theme:"#1BCDFC",listMaxHeight:"320px",listFolded:"true",preload:"auto",lrcType:3,audio:[{name:"虹之间",artist:"钢琴版伴奏",url:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/BetweenTheRainbow.mp3",lrc:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/BetweenTheRainbow.lrc",cover:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/BetweenTheRainbow.jpg"},{name:"Avem",artist:"Alan Walker",url:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/Avem.mp3",lrc:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/Avem.lrc",cover:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/Avem.jpg"},{name:"Fly",artist:"Marshmello / Leau Culver",url:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/fly.mp3",lrc:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/fly.lrc",cover:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/fly.jpg"},{name:"Alone",artist:"Marshmello",url:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/alone.mp3",lrc:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/alone.lrc",cover:"https://blog.mhuig.top/music-Archive/alone.jpg"}]})})),e(),volantis.pjax.push(e,"aplayerMin")}))</script><script>function check_giscus(){return"dark"===volantis.dark.mode?volantis.giscus.Theme="dark":volantis.giscus.Theme="light",document.getElementById("giscus_container")}function pjax_giscus(){const t=check_giscus();if(!t)return;let s=Object.assign({theme:{light:"light",dark:"dark"},repo:"MHuiG/talk","repo-id":"MDEwOlJlcG9zaXRvcnkyODQ4NDg1NTg=",category:"Giscus","category-id":"DIC_kwDOEPpxrs4B_X67",mapping:"pathname","reactions-enabled":"1","emit-metadata":"1",lang:"zh-CN","input-position":"top"},pdata.commentConfig);const e=document.createElement("script");e.setAttribute("src","https://giscus.app/client.js"),Object.keys(s).forEach((t=>{"theme"!=t&&e.setAttribute("data-"+t,s[t])})),e.setAttribute("data-theme",volantis.giscus.Theme),e.setAttribute("crossorigin","anonymous"),t.appendChild(e)}function dark_giscus(){if(!check_giscus())return;const t={setConfig:{theme:volantis.giscus.Theme}};document.querySelector("iframe.giscus-frame").contentWindow.postMessage({giscus:t},"https://giscus.app")}volantis.layoutHelper("comments",'<div id="giscus_container"></div>'),volantis.giscus={},pjax_giscus(),volantis.pjax.push(pjax_giscus),volantis.dark.push(dark_giscus)</script><script>async function loadSearchScript(){return volantis.js("/js/search/hexo.js")}function loadSearchService(){loadSearchScript(),document.querySelectorAll(".input.u-search-input").forEach((e=>{e.removeEventListener("focus",loadSearchService,!1)})),document.querySelectorAll(".u-search-form").forEach((e=>{e.addEventListener("submit",(e=>{e.preventDefault()}),!1)}))}function OpenSearch(e){"undefined"==typeof SearchService?loadSearchScript().then((()=>{SearchService.setQueryText(e),SearchService.search()})):(SearchService.setQueryText(e),SearchService.search())}if(window.location.search&&/^\?s=/g.test(window.location.search)){OpenSearch(decodeURI(window.location.search).replace(/\ /g,"-").replace(/^\?s=/g,""))}document.querySelectorAll(".input.u-search-input").forEach((e=>{e.addEventListener("focus",loadSearchService,!1)}))</script><script>function pjax_highlightjs_copyCode(){(document.querySelector(".highlight .code pre")||document.querySelector(".article pre code"))&&VolantisApp.utilCopyCode(".highlight .code pre, .article pre code")}volantis.requestAnimationFrame(pjax_highlightjs_copyCode),volantis.pjax.push(pjax_highlightjs_copyCode)</script><script>function load_swiper(){document.querySelectorAll(".swiper-container")[0]&&(volantis.css("https://cdn.bootcdn.net/ajax/libs/Swiper/8.3.2/swiper-bundle.min.css"),volantis.js("https://cdn.bootcdn.net/ajax/libs/Swiper/8.3.2/swiper-bundle.min.js").then((()=>{pjax_swiper()})))}function pjax_swiper(){volantis.swiper=new Swiper(".swiper-container",{slidesPerView:"auto",spaceBetween:8,centeredSlides:!0,loop:!0,pagination:{el:".swiper-pagination",clickable:!0},navigation:{nextEl:".swiper-button-next",prevEl:".swiper-button-prev"}})}load_swiper(),volantis.pjax.push((()=>{document.querySelectorAll(".swiper-container")[0]&&(void 0===volantis.swiper?load_swiper():pjax_swiper())}))</script><script>volantis.css("https://cdn.bootcdn.net/ajax/libs/pace/1.2.4/themes/blue/pace-theme-minimal.min.css"),volantis.js("https://cdn.bootcdn.net/ajax/libs/pace/1.2.4/pace.min.js").then((()=>{Pace.options.restartOnPushState=!1,volantis.pjax.send(Pace.restart,"Pace.restart"),volantis.scroll.push(volantis.debounce((()=>{Pace.stop(),Pace.trigger("start"),Pace.bar.update(100*volantis.scroll.progress()),document.body.className=document.body.className.replaceAll("pace-running ","")})),"阅读进度")}))</script><pjax></pjax><script>function listenSidebarTOC(){const t=document.querySelectorAll(".toc li");if(!t.length)return;const e=[];Array.from(t).forEach((t=>{const n=t.querySelector(".toc-link"),i=document.getElementById(n.getAttribute("href")?decodeURI(n.getAttribute("href")).replace("#",""):n.getAttribute("toc-action").split("toc-")[1]);return e.push(i),n.getAttribute("href")&&(n.setAttribute("toc-action","toc-"+decodeURI(n.getAttribute("href")).replace("#","")),n.removeAttribute("href")),i&&i.id&&n.addEventListener("click",(t=>{t.preventDefault(),volantis.scroll.to(i,{addTop:5,observer:!0}),history.pushState(null,document.title,"#"+i.id)})),i}));function n(t){if(t.classList.contains("active-current"))return;document.querySelectorAll(".toc .active").forEach((t=>{t.classList.remove("active","active-current")})),t.classList.add("active","active-current");let e=t.parentNode;for(;!e.matches(".toc");)e.matches("li")&&e.classList.add("active"),e=e.parentNode}volantis.activateNavIndex=0,n(t[volantis.activateNavIndex]),e[0]&&volantis.scroll.push(volantis.debounce((()=>{if(e[0].getBoundingClientRect().top>=0)volantis.activateNavIndex=0;else if(e[e.length-1].getBoundingClientRect().top<0)volantis.activateNavIndex=e.length-1;else for(let t=0;t<e.length;t++){const n=e[t],i=e[(t+1)%e.length];if(n.getBoundingClientRect().top<0&&i.getBoundingClientRect().top>=0){volantis.activateNavIndex=t;break}}n(t[volantis.activateNavIndex])})),"sidebar-toc")}document.addEventListener("DOMContentLoaded",(()=>{volantis.requestAnimationFrame(listenSidebarTOC)})),volantis.pjax.push(listenSidebarTOC,"listenSidebarTOC")</script><script>try{let e=(e,t,n=2)=>Math.abs(e-t)<=n,t=(t,n)=>!e(t.width,n.width)||!e(t.height,n.height),n=new WeakMap,i=(e,i=e.getClientBoundingRect())=>{let o=n.get(e);o&&!t(o,i)||(n.set(e,i),e.style["contain-intrinsic-size"]=`${i.width}px ${i.height}px`)},o=new IntersectionObserver(((e,t)=>{e.forEach((e=>{i(e.target,e.boundingClientRect)}))}),{rootMargin:"500px 0px 500px 0px"}),r=new ResizeObserver(((e,t)=>{e.forEach((e=>{i(e.target,e.contentRect)}))})),s=e=>{let t=document.querySelectorAll(e);t.length&&(t.forEach((e=>{o.observe(e),r.observe(e)})),requestAnimationFrame((()=>{requestAnimationFrame((()=>{t[0].style["content-visibility"]="auto"}))})))},a=()=>{"content-visibility"in document.documentElement.style&&s(".post-story")};a(),volantis.pjax.push(a)}catch(e){console.log(e)}</script><script>document.onreadystatechange=function(){if("complete"==document.readyState){const{saveData:e,effectiveType:t}=navigator.connection||navigator.mozConnection||navigator.webkitConnection||{};("none"==getComputedStyle(document.querySelector("#safearea"),null).display||e||/2g/.test(t))&&(document.querySelectorAll(".reveal").forEach((function(e){e.style.opacity="1"})),document.querySelector("#safearea").style.display="block")}}</script><script src="https://cdn.bootcdn.net/ajax/libs/pjax/0.2.8/pjax.min.js"></script><script>const performanceMonitor={slowThreshold:800,slowCount:0,maxSlowAllowed:1,requestStartTime:0,start(){this.requestStartTime=Date.now()},check(){Date.now()-this.requestStartTime>this.slowThreshold?this.slowCount++:this.slowCount=0},res(){return this.slowCount>=this.maxSlowAllowed}};var pjax;document.addEventListener("DOMContentLoaded",(function(){pjax=new Pjax({elements:'a[href]:not([href^="#"]):not([href="javascript:void(0)"]):not([pjax-fancybox]):not([onclick="return false;"]):not([onclick="return!1"]):not([target="_blank"]):not([target="view_window"]):not([href$=".xml"])',selectors:["head title","head meta[name=keywords]","head meta[name=description]","#l_main","#pjax-header-nav-list",".pjax","pjax","meta[name=robots]","link[rel=canonical]","meta[property='og:title']","meta[property='og:description']","meta[property='og:url']","meta[property='og:image']","script[type='application/ld+json']"],cacheBust:!1,timeout:900})})),document.addEventListener("pjax:send",(function(e){window.stop(),performanceMonitor.start();try{var t=window.location.pathname,o=e.triggerElement.href,n=[""];""!=n[0]&&n.forEach((e=>{-1==t.indexOf(e)&&-1==o.indexOf(e)||(window.location.href=o)})),performanceMonitor.res()&&(window.location.href=o)}catch(e){}volantis.pjax.method.send.start()})),document.addEventListener("pjax:complete",(function(){performanceMonitor.check(),document.querySelectorAll("script[data-pjax], .pjax-reload script").forEach((e=>{const t=e.text||e.textContent||e.innerHTML||"",o=document.createElement("script");Object.keys(e.attributes).forEach((t=>{o.setAttribute(e.attributes[t].nodeName,e.attributes[t].nodeValue)})),t&&o.appendChild(document.createTextNode(t)),e.parentNode.replaceChild(o,e)})),volantis.pjax.method.complete.start()})),document.addEventListener("pjax:error",(function(e){"pjax"===volantis.debug?(console.error(e),console.log("pjax error: \n"+JSON.stringify(e))):(volantis.pjax.method.error.start(),window.location.href=e.triggerElement.href)}))</script></div><pjax> <a style="display:none" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" href="https://bot-trap.mhuig.top/">Are You A Robot?</a></pjax><script>(()=>{function t(){if("localhost:4000"!=window.location.host&&!/blog\.mhuig\.top/.test(window.location.host)){const t=document.createElement("meta");t.name="robots",t.content=atob("bm9pbmRleCwgbm9mb2xsb3csIG5vYXJjaGl2ZQ=="),document.head.appendChild(t)}}function o(){document.querySelector("figcaption")&&document.querySelectorAll("figcaption").forEach((t=>{volantis.dom.$(t).on("click",(function(){const t=!window.CodeBlockFullscreen;window.CodeBlockFullscreen=t;const o=document.getElementById("post")||document.getElementById("docs")||document.getElementById("page");if(!o)return;const e=this.parentElement,n=e.parentElement,l=document.documentElement,c=document.querySelectorAll(".highlight > table .gutter");o.classList.toggle("code-block-fullscreen",t),e.classList.toggle("code-block-fullscreen",t),n.classList.toggle("code-block-fullscreen",t),e.classList.toggle("code-block-fullscreen-overflow-auto",t),l.classList.toggle("code-block-fullscreen-html-scroll",t),c.forEach((o=>{o.classList.toggle("code-block-fullscreen-gutter",t)}))}))}))}t(),volantis.pjax.push(t),top.location!=self.location&&(top.location=self.location),"mhuig.github.io"==window.location.host||"localhost:4000"==window.location.host||/mhuig\.top$/.test(window.location.host)||/kix\.moe$/.test(window.location.host)||/mhuig/.test(window.location.host)||/ipfs/.test(window.location.host)||(window.location.href=atob("aHR0cHM6Ly9ibG9nLm1odWlnLnRvcC8=")),o(),volantis.pjax.push(o);const e=[{month:12,day:13},function(){const t=(new Date).getFullYear(),o=t%100,e=t>=2e3?4.81:5.59,n=Math.floor(o/4),l=Math.floor(.2422*o+e)-n;return{month:4,day:Math.max(4,l)}}(),{month:7,day:7},{month:9,day:18},{month:9,day:30}];function n(){document.documentElement.classList.remove("mourning-mode");if(!["/","/index.html","/index.htm","/index"].includes(window.location.pathname))return;const t=new Date,o=t.getMonth()+1,n=t.getDate();e.some((t=>t.month===o&&t.day===n))&&document.documentElement.classList.add("mourning-mode")}const l=document.createElement("style");l.textContent="\n html.mourning-mode {\n filter: grayscale(100%);\n -webkit-filter: grayscale(100%);\n transition: filter 0.5s ease;\n }\n ",document.head.appendChild(l),n(),document.addEventListener("pjax:complete",n)})()</script></body></html>