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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="魔群"><meta itemprop="description" content="魔群作为有限单群分类中最大的散在单群，含约8×10⁵³个元素，通过魔群月光猜想连接群论、数论与理论物理。格里斯1982年利用196884维Griess代数构造魔群，其最小非平凡表示维数196883与j函数系数196884的巧合，促使康威和诺顿提出猜想，后由博赫茲用顶点算子代数证明，揭示数学统一性。"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">魔群</span></p><br><h1 hidden="">魔群</h1><p>在有限群论的浩瀚星海中，魔群（Monster Group）如同一颗神秘的超新星，以其<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 500 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g 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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="26"><g data-mml-node="mn" data-latex="26"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path><path data-c="36" d="M383 504C416 504 432 521 432 555 432 627 378 666 304 666 221 666 155 627 106 548 63 480 42 403 42 316 42 189 65 100 112 47 152 1 198-22 251-22 312-22 362 1 401 47 438 91 457 144 457 205 457 266 439 318 403 361 365 407 316 431 257 431 205 431 165 402 138 346L138 352C138 465 166 561 226 605 252 624 279 633 306 633 342 633 368 623 385 602 351 602 334 583 334 553 334 525 355 504 383 504M344 340C355 317 361 272 361 206 361 141 356 98 345 76 325 35 294 14 251 14 222 14 200 24 184 44 171 60 162 74 158 85 146 116 140 163 140 227 140 255 144 282 151 308 164 355 201 399 256 399 295 399 325 379 344 340Z" transform="translate(500,0)"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 个散在单群中最引人注目的存在。这个被称为 "友善巨人"（Friendly Giant）的代数结构，不仅是有限单群分类定理的巅峰之作，更通过 "魔群月光猜想"（Monstrous Moonshine）架起了连接群论、数论与理论物理的桥梁。这里将从历史背景出发，系统阐述魔群的构造原理、表示理论及其深远的数学影响，揭示这个抽象代数对象如何成为理解数学统一性的关键钥匙。</p><div style="position:relative;width:100%;height:0;padding-bottom:75%"><iframe src="https://bilibili.com/blackboard/html5mobileplayer.html?aid=202090972&bvid=BV1Rh411R7KL&cid=234096193&p=1&hideCoverInfo=1&danmaku=0" scrolling="no" border="0" frameborder="no" framespacing="0" allowfullscreen="true" style="position:absolute;width:100%;height:100%;left:0;top:0"></iframe></div><div class="story post-story"><h2 id="历史渊源：从散在单群到-月光-的发现"><a href="#历史渊源：从散在单群到-月光-的发现" class="headerlink" title="历史渊源：从散在单群到"月光"的发现"></a>历史渊源：从散在单群到 "月光" 的发现</h2><p>魔群的故事始于 20 世纪中期有限单群分类的宏大工程。当数学家们逐渐意识到大多数有限单群可归入<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.262ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1000 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="18"><g data-mml-node="mn" data-latex="18"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path><path data-c="38" d="M250 666C201 666 158 650 122 618 86 586 68 546 68 497 68 456 83 419 113 386 120 378 142 361 179 335 88 288 42 227 42 153 42 100 64 57 107 24 147-7 194-22 249-22 305-22 354-4 395 32 436 68 457 115 457 170 457 216 441 257 408 294 396 307 365 330 316 361 393 402 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Griess）则独立开展了构造工作。这场数学长征的关键突破出现在 1978 年，康考迪亚大学的约翰・麦凯（John McKay）偶然发现，数论中著名的 j 函数傅里叶展开式的第一个非平凡系数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.787ex" height="1.581ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 3000 699"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="196884"><g data-mml-node="mn" data-latex="196884"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path><path data-c="39" d="M116 140C83 140 67 123 67 89 67 14 128-22 207-22 287-22 351 18 398 99 437 166 457 243 457 329 457 456 434 546 388 599 349 644 304 666 253 666 194 666 145 645 106 602 63 557 42 503 42 440 42 379 60 327 96 284 134 238 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class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:125.422ex"><svg style="vertical-align:-12.33ex;min-width:125.422ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="25.792ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -5950)"><g data-mml-node="math" data-latex="
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的正式名称，而康威随后简化的构造揭示了其与 2B 对合中心化子<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.673ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.774ex" height="2.689ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -891 4320 1188.3"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2^{1+24}_+.Co_1"><g data-mml-node="msubsup" data-latex="2^{1+4}_+"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(533,412.3) scale(0.707)" data-latex="{1+4}" 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width="full" style="min-width:78.123ex"><svg style="vertical-align:-.726ex;min-width:78.123ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.583ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -820.9)"><g data-mml-node="math" data-latex="
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|M| = 2^{46} \cdot 3^{20} \cdot 5^9 \cdot 7^6 \cdot 11^2 \cdot 13^3 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 47 \cdot 59 \cdot 71
" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 820.9) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="14687.1 -820.9 1 1141.7"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-70.9)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo" data-latex="|"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="M" transform="translate(278,0)"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 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data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn" data-latex="3"><path data-c="35" d="M118 315C123 315 129 319 134 326 164 371 205 393 257 393 292 393 319 373 337 332 348 305 354 264 354 209 354 146 346 102 331 76 306 35 272 14 229 14 162 14 109 62 91 114 94 113 96 114 100 114 130 114 155 137 155 167 155 198 130 219 100 219 65 219 50 200 50 163 50 63 131-22 231-22 292-22 344 0 386 44 428 88 449 141 449 202 449 260 432 310 398 353 361 400 315 423 259 423 212 423 171 408 138 378L138 556C165 548 191 544 218 544 264 544 304 555 338 578 369 597 390 616 402 634 408 642 411 648 411 651 411 661 406 666 396 666 341 645 294 634 256 634 211 634 168 643 127 662 122 664 118 665 114 665 105 665 100 656 100 637L100 345C100 324 100 315 118 315Z"></path><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 578 119 580 145 615 186 633 242 633 302 633 332 598 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focusable="false" viewBox="0 -891 4320 1188.3"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2^{1+24}_+.Co_1"><g data-mml-node="msubsup" data-latex="2^{1+4}_+"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(533,412.3) scale(0.707)" data-latex="{1+4}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 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d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="o_1" transform="translate(3398.5,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="o"><path data-c="1D45C" d="M308 442C239 442 176 412 122 353 68 294 41 229 41 159 41 63 106-11 202-11 272-11 334 19 388 78 442 137 469 201 469 272 469 369 405 442 308 442M389 310C389 287 384 255 374 213 353 130 319 73 272 42 248 26 225 18 203 18 149 18 121 65 121 122 121 180 155 288 178 324 216 383 259 413 307 413 361 413 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748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(4794.8,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ：5 - 局部极大子群，在融合系统研究中至关重要</p><p>这些子群的存在使魔群成为散在单群的 "通约者"，通过研究魔群的表示可同时获取多个散在群的信息。特别地，魔群的子群格包含了 Mathieu 群、Conway 群、Fischer 群等大多数散在单群，形成一个复杂而有序的对称网络。</p><h3 id="Griess代数与极小表示"><a href="#Griess代数与极小表示" class="headerlink" title="Griess代数与极小表示"></a>Griess 代数与极小表示</h3><p>格里斯在构造魔群时引入的 196884 维 <strong>Griess 代数</strong><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.294ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.55ex" height="1.871ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 685 827"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="{\mathcal G}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="{\mathcal G}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal G" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="47" d="M108 37C62 37 39 4 40-36 40-55 46-72 58-88 78-116 116-130 173-130 254-130 334-99 413-36 477 15 527 114 564 260L598 397 535 383C516 344 498 317 479 302 442 272 400 257 354 257 288 257 241 305 241 379 241 401 244 426 251 453 267 518 301 571 353 613 389 641 431 655 479 655 529 655 575 622 563 571 552 522 527 500 469 500L459 476C469 474 506 466 508 466 535 466 563 479 594 504 628 531 645 565 645 606 645 667 601 697 512 697 431 697 360 676 298 634 232 590 190 530 171 454 164 423 160 396 160 373 160 337 168 308 185 287 219 242 271 220 340 220 391 220 440 233 485 260 472 200 464 165 461 154 452 123 437 89 418 54 399 19 376-10 349-32 306-67 263-85 222-85 186-85 162-76 149-59 143-51 140-38 140-19 139 21 139 37 108 37Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 是理解魔群结构的关键工具。作为非结合交换代数，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.294ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.55ex" height="1.871ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 685 827"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="{\mathcal G}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="{\mathcal G}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal G" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="47" d="M108 37C62 37 39 4 40-36 40-55 46-72 58-88 78-116 116-130 173-130 254-130 334-99 413-36 477 15 527 114 564 260L598 397 535 383C516 344 498 317 479 302 442 272 400 257 354 257 288 257 241 305 241 379 241 401 244 426 251 453 267 518 301 571 353 613 389 641 431 655 479 655 529 655 575 622 563 571 552 522 527 500 469 500L459 476C469 474 506 466 508 466 535 466 563 479 594 504 628 531 645 565 645 606 645 667 601 697 512 697 431 697 360 676 298 634 232 590 190 530 171 454 164 423 160 396 160 373 160 337 168 308 185 287 219 242 271 220 340 220 391 220 440 233 485 260 472 200 464 165 461 154 452 123 437 89 418 54 399 19 376-10 349-32 306-67 263-85 222-85 186-85 162-76 149-59 143-51 140-38 140-19 139 21 139 37 108 37Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 具有单位元且满足特殊的容差条件，其自同构群<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.118ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 3146 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="Aut({\mathcal G})"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="u" transform="translate(750,0)"><path data-c="1D462" d="M543 144C543 153 538 158 527 158 518 158 513 151 510 137 505 118 500 99 493 80 480 39 462 18 440 18 422 18 413 32 413 60 413 77 420 111 433 161L460 267C469 303 477 328 483 359L489 386C491 393 492 398 492 401 492 421 481 431 459 431 437 431 423 419 417 394L343 98C342 95 338 88 330 76 314 50 275 18 235 18 197 18 178 44 178 95 178 136 196 202 231 294 242 324 248 345 248 357 248 407 213 442 163 442 118 442 83 417 58 367 39 328 29 301 29 287 29 278 34 273 45 273 58 273 60 279 64 293 87 373 119 413 160 413 174 413 181 403 181 384 181 369 175 348 164 319 126 218 107 148 107 111 107 34 155-11 232-11 275-11 314 9 347 50 361 9 391-11 437-11 506-11 527 70 543 144Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="t" transform="translate(1322,0)"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g><g 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scale(0.707)" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 是魔群的<strong>极小忠实表示</strong>，其维数比 j 函数的第一个非零系数小 1，这一巧合正是魔群月光猜想的最初线索。康威进一步证明，Griess 代数可通过 Leech 格的顶点算子代数构造，建立了与共形场论的联系。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="表示理论与计算实现"><a href="#表示理论与计算实现" class="headerlink" title="表示理论与计算实现"></a>表示理论与计算实现</h2><h3 id="表示的维数与特征标"><a href="#表示的维数与特征标" class="headerlink" title="表示的维数与特征标"></a>表示的维数与特征标</h3><p>魔群的表示理论展现出惊人的规律性，其不可约表示维数序列以 1, 196883, 21296876, 842609326, ... 开始，这些数值通过<strong>特征标表</strong>与模形式系数严格对应。根据月光猜想，这些维数生成函数满足：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:71.62ex"><svg style="vertical-align:-2.612ex;min-width:71.62ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.356ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1654.6)"><g data-mml-node="math" data-latex="
J(\tau) - 744 = \sum_{n=-1}^\infty c(n) q^n = q^{-1} + 196884 q + 21493760 q^2 + \cdots
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
J(\tau) - 744 = \sum_{n=-1}^\infty c(n) q^n = q^{-1} + 196884 q + 21493760 q^2 + \cdots
" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 1654.6) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="13250 -1654.6 1 2809.2"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,92)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="1D43D" d="M633 667C633 678 627 683 615 683 596 683 525 680 506 680L361 683C344 683 336 675 336 659 336 649 349 644 374 644 419 644 446 642 453 637 456 635 457 632 457 627 457 624 456 617 454 607L340 153C324 89 273 8 202 8 157 8 128 25 114 60L120 60C156 60 188 91 188 127 188 158 172 173 141 173 97 173 71 134 71 90 71 20 132-22 205-22 255-22 301-6 344 26 387 58 415 97 427 144L542 606C551 642 555 644 602 644 623 644 633 646 633 667Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(633,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 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184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1310.6,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="v_+" transform="translate(1755.2,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="v"><path data-c="1D463" d="M369 391C369 383 378 370 394 350 410 330 418 307 418 281 418 252 404 203 375 134 354 86 306 18 247 18 201 18 178 45 178 100 178 139 197 208 235 307 243 328 247 345 247 357 247 407 213 442 163 442 119 442 84 417 59 367 39 326 29 300 29 287 29 278 34 273 45 273 58 273 60 279 64 293 87 373 119 413 160 413 173 413 180 404 180 385 180 369 175 347 164 318 127 219 108 152 108 115 108 64 125 29 159 10 186-4 214-11 243-11 332-11 394 85 420 162 452 256 468 325 468 369 468 418 452 442 421 442 396 442 369 416 369 391Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(518,-150) scale(0.707)" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(2873.3,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="v_-" transform="translate(3318,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="v"><path data-c="1D463" d="M369 391C369 383 378 370 394 350 410 330 418 307 418 281 418 252 404 203 375 134 354 86 306 18 247 18 201 18 178 45 178 100 178 139 197 208 235 307 243 328 247 345 247 357 247 407 213 442 163 442 119 442 84 417 59 367 39 326 29 300 29 287 29 278 34 273 45 273 58 273 60 279 64 293 87 373 119 413 160 413 173 413 180 404 180 385 180 369 175 347 164 318 127 219 108 152 108 115 108 64 125 29 159 10 186-4 214-11 243-11 332-11 394 85 420 162 452 256 468 325 468 369 468 418 452 442 421 442 396 442 369 416 369 391Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(518,-150) scale(0.707)" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(4436.1,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，使得任意魔群元素<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.079ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 477 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="g"><g data-mml-node="mi" data-latex="g"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205 197-205 241-193 280-170 324-144 351-109 362-66L471 373C473 383 474 389 474 392 474 412 463 422 442 422 420 422 406 410 399 387 377 424 347 442 310 442 246 442 189 410 140 346 95 286 72 223 72 158 72 71 123-3 207-3 246-3 282 14 315 47L285-71C256-140 211-175 148-175 122-175 100-173 82-169 103-158 113-141 113-118 113-93 99-80 72-80 40-80 15-109 15-141M356 392C376 371 386 351 386 331 386 330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60 259 38 233 27 210 27 170 27 150 56 150 114 150 169 184 291 204 327 235 384 270 412 311 412 329 412 344 405 356 392Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 可由其在这些向量上的作用唯一确定。通过将<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.079ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 477 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="g"><g data-mml-node="mi" data-latex="g"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205 197-205 241-193 280-170 324-144 351-109 362-66L471 373C473 383 474 389 474 392 474 412 463 422 442 422 420 422 406 410 399 387 377 424 347 442 310 442 246 442 189 410 140 346 95 286 72 223 72 158 72 71 123-3 207-3 246-3 282 14 315 47L285-71C256-140 211-175 148-175 122-175 100-173 82-169 103-158 113-141 113-118 113-93 99-80 72-80 40-80 15-109 15-141M356 392C376 371 386 351 386 331 386 330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60 259 38 233 27 210 27 170 27 150 56 150 114 150 169 184 291 204 327 235 384 270 412 311 412 329 412 344 405 356 392Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 表示为生成元<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.414ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 625 680"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Gamma"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Gamma"><path data-c="393" d="M274 641 376 641C443 641 487 626 509 596 538 555 541 520 550 450L583 450 554 680 33 680 33 641 61 641C96 641 117 639 124 634 131 629 135 617 135 599L135 81C135 63 131 51 124 46 117 41 96 39 61 39L33 39 33 0C59 2 110 3 187 3 274 3 330 2 356 0L356 39 320 39C267 39 238 44 233 55 231 60 230 69 230 82L230 606C230 641 236 641 274 641Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上的字，并利用 <strong>Griess 代数</strong>的几何性质缩短字长，实现了高效存储（<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.118ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.154ex" height="1.624ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2278 718"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\textless 256"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\textless"><path data-c="3C" d="M666-45C683-52 701-39 701-23 701-13 696-6 687-2L153 250 687 502C696 506 701 513 701 522 701 539 693 547 677 547 673 547 669 546 666 545L92 273C82 268 77 261 77 250 77 239 82 232 92 227Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="56" transform="translate(778,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path><path data-c="35" d="M118 315C123 315 129 319 134 326 164 371 205 393 257 393 292 393 319 373 337 332 348 305 354 264 354 209 354 146 346 102 331 76 306 35 272 14 229 14 162 14 109 62 91 114 94 113 96 114 100 114 130 114 155 137 155 167 155 198 130 219 100 219 65 219 50 200 50 163 50 63 131-22 231-22 292-22 344 0 386 44 428 88 449 141 449 202 449 260 432 310 398 353 361 400 315 423 259 423 212 423 171 408 138 378L138 556C165 548 191 544 218 544 264 544 304 555 338 578 369 597 390 616 402 634 408 642 411 648 411 651 411 661 406 666 396 666 341 645 294 634 256 634 211 634 168 643 127 662 122 664 118 665 114 665 105 665 100 656 100 637L100 345C100 324 100 315 118 315Z" transform="translate(500,0)"></path><path data-c="36" d="M383 504C416 504 432 521 432 555 432 627 378 666 304 666 221 666 155 627 106 548 63 480 42 403 42 316 42 189 65 100 112 47 152 1 198-22 251-22 312-22 362 1 401 47 438 91 457 144 457 205 457 266 439 318 403 361 365 407 316 431 257 431 205 431 165 402 138 346L138 352C138 465 166 561 226 605 252 624 279 633 306 633 342 633 368 623 385 602 351 602 334 583 334 553 334 525 355 504 383 504M344 340C355 317 361 272 361 206 361 141 356 98 345 76 325 35 294 14 251 14 222 14 200 24 184 44 171 60 162 74 158 85 146 116 140 163 140 227 140 255 144 282 151 308 164 355 201 399 256 399 295 399 325 379 344 340Z" transform="translate(1000,0)"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 比特 / 元素）与运算。这一突破使得大规模魔群计算成为可能，如 Dietrich 等人 2024 年利用该算法完成了魔群极大子群的分类。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="月光猜想与数学统一性"><a href="#月光猜想与数学统一性" class="headerlink" title="月光猜想与数学统一性"></a>月光猜想与数学统一性</h2><h3 id="博赫茲的证明与广义Kac-Moody代数"><a href="#博赫茲的证明与广义Kac-Moody代数" class="headerlink" title="博赫茲的证明与广义Kac-Moody代数"></a>博赫茲的证明与广义 Kac-Moody 代数</h3><p>1992 年，博赫茲通过引入 <strong>Monster Lie algebra</strong><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.063ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.733ex" height="1.14ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -476 766 504"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="{\mathfrak m}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="{\mathfrak m}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathfrak m" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="m"><path data-c="1D52A" d="M627-21 758 89 742 113C728 101 713 92 696 86 687 95 675 110 662 129L662 247C662 322 663 379 666 418 648 423 627 431 603 443 592 448 571 459 542 475 510 448 469 418 419 384L419 418C380 431 339 450 296 476L174 382 174 419 121 473 5 377 22 360 65 383 87 361 91 178C92 143 89 103 84 60L136-24 224 50 182 102C177 111 174 128 174 153L174 345 231 384C280 371 314 357 331 343 334 316 335 285 335 248 335 155 330 89 321 48 349 17 368-8 378-28L470 49C449 77 433 100 422 117 420 120 419 127 419 136L419 349C436 361 456 373 479 384 518 375 547 364 568 352 571 350 573 346 574 340 576 325 577 302 577 273 577 184 573 113 566 61 600 18 620-9 627-21Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 完成了魔群月光猜想的证明，这一成就为他赢得了 1998 年菲尔兹奖。Monster Lie algebra 是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.648ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.866ex" height="2.193ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1708.7 969.5"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\text{II}_{1,1}"><g data-mml-node="msub" data-latex="\text{II}_{1,1}"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{II}"><path data-c="49" d="M180 3C257 3 308 2 333 0L333 39 304 39C268 39 246 41 239 46 232 51 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preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1778 -2180.9 1 3861.8"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:13"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(13)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 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年，该猜想的主要情形被证明，揭示了月光现象的普遍性。 <a target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" href="/go.html?u=aHR0cHM6Ly9hcnhpdi5vcmcvcGRmLzE1MDMuMDE0NzI">…</a></p><p>这些发展促使数学家重新评估数学各分支间的联系。麦凯观察到魔群不可约表示维数与 E8 根系的深刻关联（<strong>麦凯 E8 观察</strong>），暗示魔群可能编码了弦理论中额外维度的几何信息。当代研究正探索魔群与量子引力、拓扑量子场论的可能联系，将这个抽象代数对象推向现代数学物理的前沿。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="魔群与黎曼-Zeta-函数的深层联系"><a href="#魔群与黎曼-Zeta-函数的深层联系" class="headerlink" title="魔群与黎曼 Zeta 函数的深层联系"></a>魔群与黎曼 Zeta 函数的深层联系</h2><p>虽然魔群与黎曼 Zeta 函数无直接关联，但通过以下路径间接相连：</p><p>模形式与 Zeta 函数的共性：J 函数作为模形式，其系数满足类似 Zeta 函数的解析延拓和函数方程，且在数论中常用于研究素数分布（如怀尔斯证明费马大定理时用到的模性猜想）。</p><p>Kloosterman-Selberg Zeta 函数：在研究模形式的谱理论时，会涉及这类与群作用轨道相关的 Zeta 函数。例如，Iwaniec 在分析自守格林函数时，通过 Kloosterman 和构造了与魔群子群相关的 Zeta 函数，其极点对应群表示的特征值。</p><p>广义月光猜想的扩展：2012 年提出的 “伴影月光猜想”（Umbral Moonshine）发现，除魔群外，其他 23 个散在单群（如 <code>O’Nan</code> 群）也与模形式存在类似对应，部分涉及椭圆曲线的 L 函数（Zeta 函数的推广），甚至可用于证明类数同余和 Selmer 群的性质。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="结论：魔群的数学意义与未来展望"><a href="#结论：魔群的数学意义与未来展望" class="headerlink" title="结论：魔群的数学意义与未来展望"></a>结论：魔群的数学意义与未来展望</h2><p>魔群作为有限单群分类的巅峰成就，其意义远超单纯的群论研究。通过魔群月光猜想，它架起了连接代数、数论与理论物理的桥梁，印证了希尔伯特关于数学统一性的远见。魔群的研究方法，从格里斯代数的显式构造到博赫茲的顶点算子代数证明，再到 Seysen 的高效算法，展示了数学创造力在应对极端复杂问题时的多样化路径。</p><p>当前，魔群在融合系统（fusion systems）、高阶范畴论和量子计算中的潜在应用正吸引新的研究兴趣。特别是其<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.119ex" height="1.937ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 936.6 855.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="5^9"><g data-mml-node="msup" data-latex="5^9 "><g data-mml-node="mn" data-latex="5"><path data-c="35" d="M118 315C123 315 129 319 134 326 164 371 205 393 257 393 292 393 319 373 337 332 348 305 354 264 354 209 354 146 346 102 331 76 306 35 272 14 229 14 162 14 109 62 91 114 94 113 96 114 100 114 130 114 155 137 155 167 155 198 130 219 100 219 65 219 50 200 50 163 50 63 131-22 231-22 292-22 344 0 386 44 428 88 449 141 449 202 449 260 432 310 398 353 361 400 315 423 259 423 212 423 171 408 138 378L138 556C165 548 191 544 218 544 264 544 304 555 338 578 369 597 390 616 402 634 408 642 411 648 411 651 411 661 406 666 396 666 341 645 294 634 256 634 211 634 168 643 127 662 122 664 118 665 114 665 105 665 100 656 100 637L100 345C100 324 100 315 118 315Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(533,363) scale(0.707)" data-latex="9"><path data-c="39" d="M116 140C83 140 67 123 67 89 67 14 128-22 207-22 287-22 351 18 398 99 437 166 457 243 457 329 457 456 434 546 388 599 349 644 304 666 253 666 194 666 145 645 106 602 63 557 42 503 42 440 42 379 60 327 96 284 134 238 183 215 242 215 294 215 334 243 361 299L361 286C361 177 342 103 303 63 272 30 239 14 206 14 166 14 137 23 118 42 149 42 165 60 165 91 165 119 144 140 116 140M243 246C204 246 175 266 155 306 144 329 138 374 138 439 138 504 145 548 158 573 180 613 212 633 253 633 294 633 324 608 343 558 354 531 361 485 361 420 361 333 322 246 243 246Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 阶 Sylow 5 - 子群上的 exotic 融合系统的发现，挑战了传统的有限群结构理论。随着计算能力的提升和数学物理的发展，这个 "友善巨人" 仍将继续揭示宇宙最深层的数学秘密，提醒我们在看似离散的数学对象背后，可能隐藏着统一而和谐的对称规律。</p><p>魔群的存在本身就是一个奇迹，它的发现是人类理性最伟大的胜利之一。在探索魔群的征途中，数学家们不仅征服了有限单群分类的最后堡垒，更意外发现了通往数学统一理论的隐秘之门。</p></div></div><div class="footer"></div><div class="article-meta" id="bottom"><div class="new-meta-box"></div></div><div class="prev-next"><a class="prev" href="/notes/Zeta/47"><p class="title"><i class="fa-solid fa-chevron-left" aria-hidden="true"></i>Theta函数</p><p class="content">Theta函数起源于19世纪雅可比对椭圆积分反演的研究，作为构造双周期椭圆函数的核心工具，其四个经典类型具有拟周期性与无穷乘积表示。黎曼将其推广至多变量情形，发展为依赖黎曼矩阵的高维Theta函数，成为代数几何的基本语言。雅可比三重积恒等式建立级数与乘积展开的联系，模变换性质使其成为权1/2模形式。现代应用涵盖椭圆函数表示、通信格码设计，mock Theta函数更与黑洞熵计算相关，展现数学分支的深刻关联。</p></a><a class="next" href="/notes/Zeta/49"><p class="title">朗兰兹纲领<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">朗兰兹纲领由罗伯特·朗兰兹1967年提出，通过推广傅里叶分析，建立数论、调和分析与几何学的深刻联系，核心为自守表示与伽罗瓦群表示的对应，通过L函数实现。其特殊情形谷山-志村猜想是怀尔斯证明费马大定理的关键，2024年Gaitsgory-Raskin团队完成几何情形证明，为数学大一统提供框架。</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/4.html" title="Borcherds理查德·尤恩·博赫兹的生平、学术贡献与思想历程" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/31.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/31.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Borcherds理查德·尤恩·博赫兹的生平、学术贡献与思想历程"> <span class="title">Borcherds理查德·尤恩·博赫兹的生平、学术贡献与思想历程</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/2.html" title="Thompson约翰·格里格斯·汤普森：有限群论大师的学术生涯与贡献" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/26.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/26.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Thompson约翰·格里格斯·汤普森：有限群论大师的学术生涯与贡献"> <span class="title">Thompson约翰·格里格斯·汤普森：有限群论大师的学术生涯与贡献</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/3.html" title="Conway英国数学家约翰·康威的多领域开创性贡献：从生命游戏、超现实数到有限单群" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/64.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/64.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Conway英国数学家约翰·康威的多领域开创性贡献：从生命游戏、超现实数到有限单群"> <span class="title">Conway英国数学家约翰·康威的多领域开创性贡献：从生命游戏、超现实数到有限单群</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/1.html" title="希尔伯特23问题" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/109.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/109.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="希尔伯特23问题"> <span class="title">希尔伯特23问题</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/35.html" title="e的无理性证明" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/35.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/35.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="e的无理性证明"> <span class="title">e的无理性证明</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/49.html" title="朗兰兹纲领" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/99.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/99.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="朗兰兹纲领"> <span class="title">朗兰兹纲领</span></a></div></div></article><article class="post white-box shadow floatable blur" id="comments"><span hidden=""><meta itemprop="discussionUrl" content="/notes/Zeta/48#comments"></span><p ct=""><i class="fa-duotone fa-comments"></i> 留言区</p><div id="layoutHelper-comments"></div></article></div><aside id="l_side" itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPSideBar"><section class="widget text desktop mobile pjax"><header><a href="/notes/"><i class="fa-duotone fa-book fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">Notes</span></a></header><div class="content"></div></section><section class="widget list group desktop mobile pjax"><header><i class="fa-duotone fa-square-z fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">Zeta Archive</span></header><div class="content"><ul class="list entry navigation"><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/" href="/notes/Zeta/" active-action="action-notesZeta"><div class="name"> Welcome</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/1" href="/notes/Zeta/1" active-action="action-notesZeta1"><div class="name"> Leibniz</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/2" href="/notes/Zeta/2" active-action="action-notesZeta2"><div class="name"> On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/3" href="/notes/Zeta/3" active-action="action-notesZeta3"><div class="name"> Clebsch's fair copy of Riemann's publication</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/4" href="/notes/Zeta/4" active-action="action-notesZeta4"><div class="name"> Clebsch's fair copy of Riemann's publication</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/5" href="/notes/Zeta/5" active-action="action-notesZeta5"><div class="name"> Riemann’s 1859 Manuscript</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/6" href="/notes/Zeta/6" active-action="action-notesZeta6"><div class="name"> Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/7" href="/notes/Zeta/7" active-action="action-notesZeta7"><div class="name"> On the Number of Primes Less Than a Given Quantity</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/8" href="/notes/Zeta/8" active-action="action-notesZeta8"><div class="name"> Riemann’s Zeta Function</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/9" href="/notes/Zeta/9" active-action="action-notesZeta9"><div class="name"> Euclid素数无限定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/10" href="/notes/Zeta/10" active-action="action-notesZeta10"><div class="name"> 埃拉托斯特尼筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/11" href="/notes/Zeta/11" active-action="action-notesZeta11"><div class="name"> Euler对无穷级数的若干观察</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/12" href="/notes/Zeta/12" active-action="action-notesZeta12"><div class="name"> 欧拉乘积公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/13" href="/notes/Zeta/13" active-action="action-notesZeta13"><div class="name"> 牛顿广义二项式定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/14" href="/notes/Zeta/14" active-action="action-notesZeta14"><div class="name"> 二年级之梦</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/15" href="/notes/Zeta/15" active-action="action-notesZeta15"><div class="name"> 罗素悖论</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/16" href="/notes/Zeta/16" active-action="action-notesZeta16"><div class="name"> 哥德尔不完备性定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/17" href="/notes/Zeta/17" active-action="action-notesZeta17"><div class="name"> 停机问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/18" href="/notes/Zeta/18" active-action="action-notesZeta18"><div class="name"> 素数定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/19" href="/notes/Zeta/19" active-action="action-notesZeta19"><div class="name"> 对数运算法则</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/20" href="/notes/Zeta/20" active-action="action-notesZeta20"><div class="name"> 本福特定律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/21" href="/notes/Zeta/21" active-action="action-notesZeta21"><div class="name"> 狄利克雷Eta函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/22" href="/notes/Zeta/22" active-action="action-notesZeta22"><div class="name"> 留数定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/23" href="/notes/Zeta/23" active-action="action-notesZeta23"><div class="name"> 多项式分式前n项和变换为积分</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/24" href="/notes/Zeta/24" active-action="action-notesZeta24"><div class="name"> 梅林变换</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/25" href="/notes/Zeta/25" active-action="action-notesZeta25"><div class="name"> 佩龙公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/26" href="/notes/Zeta/26" active-action="action-notesZeta26"><div class="name"> 曼戈尔特函数</div></a></li><li><a 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不知名的碎片3</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/34" href="/notes/Zeta/34" active-action="action-notesZeta34"><div class="name"> 根号2的无理性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/35" href="/notes/Zeta/35" active-action="action-notesZeta35"><div class="name"> e的无理性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/36" href="/notes/Zeta/36" active-action="action-notesZeta36"><div class="name"> π的无理性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/37" href="/notes/Zeta/37" active-action="action-notesZeta37"><div class="name"> Zeta的无理性之谜</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/38" href="/notes/Zeta/38" active-action="action-notesZeta38"><div class="name"> Niven的无理数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/39" href="/notes/Zeta/39" active-action="action-notesZeta39"><div class="name"> 柯西方法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/40" href="/notes/Zeta/40" active-action="action-notesZeta40"><div class="name"> 积性函数蕴含迭代结构</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/41" href="/notes/Zeta/41" active-action="action-notesZeta41"><div class="name"> 黎曼 Zeta 函数是分形</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/42" href="/notes/Zeta/42" active-action="action-notesZeta42"><div class="name"> 沃罗宁定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/43" href="/notes/Zeta/43" active-action="action-notesZeta43"><div class="name"> 迭代积分</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/44" href="/notes/Zeta/44" active-action="action-notesZeta44"><div class="name"> 高阶导数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/45" href="/notes/Zeta/45" active-action="action-notesZeta45"><div class="name"> 阿贝尔变换</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/46" href="/notes/Zeta/46" active-action="action-notesZeta46"><div class="name"> 泊松求和公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/47" href="/notes/Zeta/47" active-action="action-notesZeta47"><div class="name"> Theta函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/48" href="/notes/Zeta/48" active-action="action-notesZeta48"><div class="name"> 魔群</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/49" href="/notes/Zeta/49" active-action="action-notesZeta49"><div class="name"> 朗兰兹纲领</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/50" href="/notes/Zeta/50" active-action="action-notesZeta50"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的解析延拓</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/51" href="/notes/Zeta/51" active-action="action-notesZeta51"><div class="name"> 积分与求和交换顺序</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/52" href="/notes/Zeta/52" active-action="action-notesZeta52"><div class="name"> 魏尔斯特拉斯判别法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/53" href="/notes/Zeta/53" active-action="action-notesZeta53"><div class="name"> Zeta函数的函数方程</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/54" href="/notes/Zeta/54" active-action="action-notesZeta54"><div class="name"> Zeta函数解析延拓的经典方法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/55" href="/notes/Zeta/55" active-action="action-notesZeta55"><div class="name"> 黎曼Xi函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/56" href="/notes/Zeta/56" active-action="action-notesZeta56"><div class="name"> 黎曼关于Zeta函数零点分布的三个核心论断</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/57" href="/notes/Zeta/57" active-action="action-notesZeta57"><div class="name"> 黎曼的整体思路</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/58" href="/notes/Zeta/58" active-action="action-notesZeta58"><div class="name"> 筛法的奇偶障碍</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/59" href="/notes/Zeta/59" active-action="action-notesZeta59"><div class="name"> 黎曼非平凡零点计数渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/60" href="/notes/Zeta/60" active-action="action-notesZeta60"><div class="name"> Zeta非平凡零点虚部渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/61" href="/notes/Zeta/61" active-action="action-notesZeta61"><div class="name"> 黎曼Zeta函数非平凡零点虚部研究的历史脉络</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/62" href="/notes/Zeta/62" active-action="action-notesZeta62"><div class="name"> 黎曼Zeta函数非平凡零点虚部的表达式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/63" href="/notes/Zeta/63" active-action="action-notesZeta63"><div class="name"> 黎曼-西格尔公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/64" href="/notes/Zeta/64" active-action="action-notesZeta64"><div class="name"> On Riemann’s Nachlass for Analytic Number Theory Siegel(1932)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/65" href="/notes/Zeta/65" active-action="action-notesZeta65"><div class="name"> 论黎曼解析数论遗稿 西格尔(1932)[中文]</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/66" href="/notes/Zeta/66" active-action="action-notesZeta66"><div class="name"> 不知名的碎片4</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/67" href="/notes/Zeta/67" active-action="action-notesZeta67"><div class="name"> 不知名的碎片5</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/68" href="/notes/Zeta/68" active-action="action-notesZeta68"><div class="name"> 不知名的碎片6</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/69" href="/notes/Zeta/69" active-action="action-notesZeta69"><div class="name"> 不知名的碎片7</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/70" href="/notes/Zeta/70" active-action="action-notesZeta70"><div class="name"> Zeta(3)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/71" href="/notes/Zeta/71" active-action="action-notesZeta71"><div class="name"> 与RH等价的命题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/72" href="/notes/Zeta/72" active-action="action-notesZeta72"><div class="name"> 黎曼ξ函数的对数表示与其零点乘积形式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/73" href="/notes/Zeta/73" active-action="action-notesZeta73"><div class="name"> 黎曼ξ函数对数展开的历史</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/74" href="/notes/Zeta/74" active-action="action-notesZeta74"><div class="name"> 阿达马因子分解定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/75" href="/notes/Zeta/75" active-action="action-notesZeta75"><div class="name"> 戴森与蒙哥马利的跨学科邂逅</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/76" href="/notes/Zeta/76" active-action="action-notesZeta76"><div class="name"> 希尔伯特-波利亚猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/77" href="/notes/Zeta/77" active-action="action-notesZeta77"><div class="name"> 蒙哥马利-奥德利兹科定律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/78" href="/notes/Zeta/78" active-action="action-notesZeta78"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的表示方法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/79" href="/notes/Zeta/79" active-action="action-notesZeta79"><div class="name"> 拉马努金主定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/80" href="/notes/Zeta/80" active-action="action-notesZeta80"><div class="name"> 不知名的碎片8</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/81" href="/notes/Zeta/81" active-action="action-notesZeta81"><div class="name"> 不知名的碎片9</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/82" href="/notes/Zeta/82" active-action="action-notesZeta82"><div class="name"> 不知名的碎片10</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/83" href="/notes/Zeta/83" active-action="action-notesZeta83"><div class="name"> 不知名的碎片11</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/84" href="/notes/Zeta/84" active-action="action-notesZeta84"><div class="name"> 哈代定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/85" href="/notes/Zeta/85" active-action="action-notesZeta85"><div class="name"> 解析延拓的局限性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/86" href="/notes/Zeta/86" active-action="action-notesZeta86"><div class="name"> P对NP问题：计算复杂性的终极谜题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/87" href="/notes/Zeta/87" active-action="action-notesZeta87"><div class="name"> 广义化思维：从特殊到一般</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/88" href="/notes/Zeta/88" active-action="action-notesZeta88"><div class="name"> 问题的归约</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/89" href="/notes/Zeta/89" active-action="action-notesZeta89"><div class="name"> Shor算法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/90" href="/notes/Zeta/90" active-action="action-notesZeta90"><div class="name"> 子集和问题的NPC属性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/91" href="/notes/Zeta/91" active-action="action-notesZeta91"><div class="name"> 函数零点问题的等价转化及黎曼猜想的方法论困境</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/92" href="/notes/Zeta/92" active-action="action-notesZeta92"><div class="name"> 黎曼素数计数函数 J(x) 的自然截断现象与截断点分析</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/93" href="/notes/Zeta/93" active-action="action-notesZeta93"><div class="name"> 拉普拉斯变换</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/94" href="/notes/Zeta/94" active-action="action-notesZeta94"><div class="name"> 莫比乌斯函数与黎曼 Zeta 函数的深刻联系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/95" href="/notes/Zeta/95" active-action="action-notesZeta95"><div class="name"> 特殊函数倍乘公式的统一性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/96" href="/notes/Zeta/96" active-action="action-notesZeta96"><div class="name"> 塞尔伯格渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/97" href="/notes/Zeta/97" active-action="action-notesZeta97"><div class="name"> 塞尔伯格Zeta函数非平凡零点的正密率</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/98" href="/notes/Zeta/98" active-action="action-notesZeta98"><div class="name"> 塞尔伯格磨光函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/99" href="/notes/Zeta/99" active-action="action-notesZeta99"><div class="name"> 磨光技术</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/100" href="/notes/Zeta/100" active-action="action-notesZeta100"><div class="name"> 黎曼Zeta函数临界线幅角函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/101" href="/notes/Zeta/101" active-action="action-notesZeta101"><div class="name"> 玻尔-兰道定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/102" href="/notes/Zeta/102" active-action="action-notesZeta102"><div class="name"> 哈代-利特尔伍德临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/103" href="/notes/Zeta/103" active-action="action-notesZeta103"><div class="name"> 塞尔伯格临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/104" href="/notes/Zeta/104" active-action="action-notesZeta104"><div class="name"> 莱文森临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/105" href="/notes/Zeta/105" active-action="action-notesZeta105"><div class="name"> 康瑞临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/106" href="/notes/Zeta/106" active-action="action-notesZeta106"><div class="name"> Zeta函数非平凡零点虚部的无理性与超越性之谜</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/107" href="/notes/Zeta/107" active-action="action-notesZeta107"><div class="name"> 塞尔伯格迹公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/108" href="/notes/Zeta/108" active-action="action-notesZeta108"><div class="name"> 复制函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/109" href="/notes/Zeta/109" active-action="action-notesZeta109"><div class="name"> 塞尔伯格筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/110" href="/notes/Zeta/110" active-action="action-notesZeta110"><div class="name"> 庞加莱猜想与奇点手术</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/111" href="/notes/Zeta/111" active-action="action-notesZeta111"><div class="name"> 先磨光再解析延拓</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/112" href="/notes/Zeta/112" active-action="action-notesZeta112"><div class="name"> 朗道-西格尔零点猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/113" href="/notes/Zeta/113" active-action="action-notesZeta113"><div class="name"> 等差数列上的素数分布</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/114" href="/notes/Zeta/114" active-action="action-notesZeta114"><div class="name"> 大筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/115" href="/notes/Zeta/115" active-action="action-notesZeta115"><div class="name"> 模性定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/116" href="/notes/Zeta/116" active-action="action-notesZeta116"><div class="name"> 相邻素数间的有界间隔</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/117" href="/notes/Zeta/117" active-action="action-notesZeta117"><div class="name"> 克拉梅尔模型与孪生素数猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/118" href="/notes/Zeta/118" active-action="action-notesZeta118"><div class="name"> Zeta函数的洛朗展开</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/119" href="/notes/Zeta/119" active-action="action-notesZeta119"><div class="name"> Zeta函数与欧拉常数的关系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/120" href="/notes/Zeta/120" active-action="action-notesZeta120"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的矩问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/121" href="/notes/Zeta/121" active-action="action-notesZeta121"><div class="name"> 第n个素数的通项公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/122" href="/notes/Zeta/122" active-action="action-notesZeta122"><div class="name"> AKS算法证明素数判定属于P类问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/123" href="/notes/Zeta/123" active-action="action-notesZeta123"><div class="name"> 米勒-拉宾素性检验</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/124" href="/notes/Zeta/124" active-action="action-notesZeta124"><div class="name"> 中国剩余定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/125" href="/notes/Zeta/125" active-action="action-notesZeta125"><div class="name"> 二次互反律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/126" href="/notes/Zeta/126" active-action="action-notesZeta126"><div class="name"> 不知名的碎片12</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/127" href="/notes/Zeta/127" active-action="action-notesZeta127"><div class="name"> 斯特林公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/128" href="/notes/Zeta/128" active-action="action-notesZeta128"><div class="name"> 梅森素数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/129" href="/notes/Zeta/129" active-action="action-notesZeta129"><div class="name"> 全一素数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/130" href="/notes/Zeta/130" active-action="action-notesZeta130"><div class="name"> 华里士公式与欧拉 Beta 函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/131" href="/notes/Zeta/131" active-action="action-notesZeta131"><div class="name"> Bombieri-Vinogradov 定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/132" href="/notes/Zeta/132" 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模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/139" href="/notes/Zeta/139" active-action="action-notesZeta139"><div class="name"> 凝聚态物理 谢林顿-柯克帕特里克模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/140" href="/notes/Zeta/140" active-action="action-notesZeta140"><div class="name"> 神经网络 Hopfield 模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/141" href="/notes/Zeta/141" active-action="action-notesZeta141"><div class="name"> 跨学科视角下的二次优化模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/142" href="/notes/Zeta/142" active-action="action-notesZeta142"><div class="name"> 不知名的碎片13</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/143" href="/notes/Zeta/143" active-action="action-notesZeta143"><div class="name"> 马尔可夫过程</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/144" href="/notes/Zeta/144" active-action="action-notesZeta144"><div class="name"> 玻尔兹曼机</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/145" href="/notes/Zeta/145" 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