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博客, Magicland, 魔法世界"><meta desc="" name="description" content="柯西方法是19世纪数学家柯西提出的问题解决范式，核心为将复杂问题分层分解，通过解决简单情形为一般情形提供归纳基础，在加性柯西方程求解中体现为依次证明整数、有理数和实数域上的解，最终得出线性函数形式。该方法也应用于柯西不等式证明，通过参数配方法和向量形式等途径，揭示代数结构与几何意义的联系，在优化问题和几何证明中展现应用价值，成为连接古典与现代数学的桥梁。 - MHuiG - Magicland"><meta property="og:type" content="website"><meta property="og:title" content="Magicland"><meta property="og:url" content="https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/39"><meta property="og:site_name" content="Magicland"><meta property="og:description" content="柯西方法是19世纪数学家柯西提出的问题解决范式，核心为将复杂问题分层分解，通过解决简单情形为一般情形提供归纳基础，在加性柯西方程求解中体现为依次证明整数、有理数和实数域上的解，最终得出线性函数形式。该方法也应用于柯西不等式证明，通过参数配方法和向量形式等途径，揭示代数结构与几何意义的联系，在优化问题和几何证明中展现应用价值，成为连接古典与现代数学的桥梁。"><meta property="og:locale"><meta property="og:image" content="https://blog.mhuig.top/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"><meta property="article:published_time" content="2025-10-08T06:42:00.000Z"><meta property="article:modified_time" content="2025-11-20T10:18:00.000Z"><meta property="article:author" 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="柯西方法"><meta itemprop="description" content="柯西方法是19世纪数学家柯西提出的问题解决范式，核心为将复杂问题分层分解，通过解决简单情形为一般情形提供归纳基础，在加性柯西方程求解中体现为依次证明整数、有理数和实数域上的解，最终得出线性函数形式。该方法也应用于柯西不等式证明，通过参数配方法和向量形式等途径，揭示代数结构与几何意义的联系，在优化问题和几何证明中展现应用价值，成为连接古典与现代数学的桥梁。"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">柯西方法</span></p><br><h1 hidden="">柯西方法</h1><div class="story post-story"><h2 id="Cauchy-method"><a href="#Cauchy-method" class="headerlink" title="Cauchy method"></a>Cauchy method</h2><p>We know that the function<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.303ex" height="2.253ex" 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世纪上半叶，一个新旧思想激烈碰撞的变革时代。作为现代分析学的奠基人，柯西以其对严格性的执着追求，将微积分从几何直观和无穷小的模糊概念中解放出来，重构为以极限为核心的逻辑体系。这种思想方法不仅体现在他对极限、连续、导数等基本概念的重新定义中，更凝结为一种解决问题的范式，柯西方法，其核心精神表现为 "从特殊到一般、从具体到抽象" 的分层递进策略。本文将系统梳理柯西方法的历史背景、理论基础及其在函数方程求解中的典范应用，揭示其如何成为连接古典数学与现代数学的桥梁。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="历史背景：19世纪初的数学危机与柯西的严格化运动"><a href="#历史背景：19世纪初的数学危机与柯西的严格化运动" class="headerlink" title="历史背景：19世纪初的数学危机与柯西的严格化运动"></a>历史背景：19 世纪初的数学危机与柯西的严格化运动</h2><p>18 世纪的微积分如同一个神通广大却根基不稳的巨人。牛顿用 "流逝量"（fluxion）、莱布尼茨用 "无穷小" 构建的算法体系，在天文学、力学领域取得了辉煌成就，但这些概念始终缺乏清晰的逻辑定义。贝克莱主教 1734 年在《分析者》中尖锐指出："无穷小量是已死量的幽灵"，直指微积分基础中的逻辑矛盾。欧拉将函数视为解析式的观点，以及拉格朗日试图用幂级数定义导数的尝试，都未能彻底解决这些矛盾。</p><p>柯西诞生于法国大革命爆发的 1789 年，成长于拿破仑时代的学术复兴期。他的父亲作为巴黎高等法院的律师，与拉格朗日、拉普拉斯等数学家过从甚密，使少年柯西获得了得天独厚的学术熏陶。拉格朗日曾告诫柯西父亲："赶快给柯西一种坚实的文学教育，以便他的爱好不致把他引入歧途"，这种建议竟意外塑造了柯西兼具严密逻辑与清晰表达的学术风格。1807 年进入巴黎综合理工学院后，柯西在工程实践中意识到，缺乏严格基础的数学可能导致工程设计的隐患，这促使他致力于分析学的严格化。</p><p>1821 年，柯西出版《皇家综合工科学院分析教程》，这部著作标志着严格分析时代的开端。他首次将极限定义为 "当一个变量的相继值无限趋近某个固定值时，如果最终同固定值之差可以随意地小，那么这个固定值就称为所有这些值的极限"。这个定义用不等式刻画极限过程，避免了 "无穷小" 的模糊表述，为整个微积分体系奠定了严格基础。正是在这部著作中，柯西系统发展了后来被称为 "柯西方法" 的问题解决策略，其核心思想在他处理函数方程时得到了最为鲜明的体现。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="柯西方法的理论基础：从整数到实数的分层推进策略"><a href="#柯西方法的理论基础：从整数到实数的分层推进策略" class="headerlink" title="柯西方法的理论基础：从整数到实数的分层推进策略"></a>柯西方法的理论基础：从整数到实数的分层推进策略</h2><p>柯西方法的精髓在于将复杂问题分解为可逐步解决的层次，通过对简单情形的彻底解决，为更一般情形提供归纳基础。这种方法论在柯西处理<strong>加性柯西方程</strong>时展现得淋漓尽致，该方程后来成为以他命名的一类函数方程的原型。方程表述如下：设函数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.249ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 552 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705 400 705 357 665 334 586 329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411 204 400 214 395 235 395L295 395 222 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442Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2431.2,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，求<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.303ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1902 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705 400 705 357 665 334 586 329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 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transform="translate(941,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1513,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的一般形式。柯西对这个方程的解决，完美诠释了其方法论的四个层次：</p><h3 id="第一步：整数域上的解"><a href="#第一步：整数域上的解" class="headerlink" title="第一步：整数域上的解"></a>第一步：整数域上的解</h3><p>柯西首先考虑最简单的情形：当<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.409ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1506.7 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="x, y"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(572,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="y" transform="translate(1016.7,0)"><path data-c="1D466" d="M163 442C118 442 83 417 58 367 39 328 29 301 29 286 29 277 34 272 45 272 59 272 60 278 64 293 87 372 119 412 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f(n) = f(1+1+\cdots+1) = f(1) + f(1) + \cdots + f(1) = n f(1)
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
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" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="12783.7 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705 400 705 357 665 334 586 329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411 204 400 214 395 235 395L295 395 222 8C211-49 201-91 192-119 180-156 163-175 141-175 126-175 114-171 103-164 135-159 151-140 151-108 151-82 138-69 111-69 77-69 53-99 53-133 53-177 94-205 141-205 166-205 189-195 208-174 240-141 265-94 283-31 294 8 304 46 311 84L369 395 451 395C474 395 484 396 484 419 484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644 430 665 444 675 462 675 477 675 490 671 501 664 470 657 454 639 454 608 454 582 467 569 494 569 528 569 552 599 552 633Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" 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style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.303ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1902 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705 400 705 357 665 334 586 329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411 204 400 214 395 235 395L295 395 222 8C211-49 201-91 192-119 180-156 163-175 141-175 126-175 114-171 103-164 135-159 151-140 151-108 151-82 138-69 111-69 77-69 53-99 53-133 53-177 94-205 141-205 166-205 189-195 208-174 240-141 265-94 283-31 294 8 304 46 311 84L369 395 451 395C474 395 484 396 484 419 484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644 430 665 444 675 462 675 477 675 490 671 501 664 470 657 454 639 454 608 454 582 467 569 494 569 528 569 552 599 552 633Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" 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332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(941,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1513,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.662ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2060.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f(x) = cx"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 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111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。这个结果揭示了一个深刻事实：在实数域上，函数方程的解可能存在非构造性的病态解（如利用选择公理构造的不连续解），但在自然的正则性条件下，解必然是线性的。柯西的这一发现，开创了泛函方程研究中 "正则性蕴含结构性" 的重要方向。</p><p>柯西方法的分层策略具有普适性。正如他在处理重复积分问题时所展示的，通过将<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 重积分转化为含参变量的单积分，逐步推导得到公式：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:51.001ex"><svg style="vertical-align:-2.1ex;min-width:51.001ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.332ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1428.3)"><g data-mml-node="math" data-latex="
f^{(-n)}(x) = \frac{1}{(n-1)!}\int_a^x(x-t)^{n-1}f(t)\mathrm d t
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
f^{(-n)}(x) = \frac{1}{(n-1)!}\int_a^x(x-t)^{n-1}f(t)\mathrm d t
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data-latex="\text{(14)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199 28 163 289 163 289 81C289 63 285 51 278 46 271 41 252 39 219 39L194 39 194 0C223 2 269 3 331 3 393 3 439 2 468 0L468 39 443 39C410 39 391 41 384 46 377 51 373 63 373 81L373 163 471 163 471 202 373 202 373 660C373 670 366 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height="1.437ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 5244 635"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a_1,a_2,\cdots,a_n"><g data-mml-node="msub" data-latex="a_1"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path 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data-mml-node="mi" transform="translate(462,-150) scale(0.707)" data-latex="i"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 178 373 175 357 168 338 145 275 121 208 101 155 86 115 78 88 78 74 78 25 114-11 162-11 205-11 239 14 264 64 283 103 293 130 293 145 293 154 288 159 277 159 274 159 259 150 259 138Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> （<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.029ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.319ex" height="1.6ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 583 707"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\lambda"><g data-mml-node="mi" data-latex="\lambda"><path data-c="1D706" d="M86-13C97-13 109-6 122 9L355 285C390 189 416 117 433 68 444 37 451 19 456 12 467-3 486-11 512-11L533-11C543-10 548-6 548 3 548 5 546 9 542 14 535 21 528 36 520 59L319 621C302 670 261 694 196 694 181 694 174 689 174 679 174 672 180 667 191 664 205 660 214 655 219 649 226 641 236 621 247 589L342 322 72 53C59 40 53 29 53 20 53 2 68-13 86-13Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为常数）。柯西最初的证明采用了参数配方法，构造二次函数：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:77.693ex"><svg style="vertical-align:-2.817ex;min-width:77.693ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.765ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1745)"><g data-mml-node="math" data-latex="
f(x) = \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) x^2 + 2\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right) x + \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) = \sum_{i=1}^n (a_i x + b_i)^2
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
f(x) = \left(\sum_{i=1}^n a_i^2 \right) x^2 + 2\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right) x + \left(\sum_{i=1}^n b_i^2 \right) = \sum_{i=1}^n (a_i x + b_i)^2
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341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1513,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f(x) \geq 0"><g data-mml-node="mo" data-latex="\geq"><path data-c="2265" d="M684 310C694 315 699 322 699 333 699 344 694 352 684 357L110 629C107 630 103 631 99 631 83 631 75 623 75 606 75 597 80 590 89 586L623 333 89 80C80 76 75 69 75 60 75 43 83 35 99 35 103 35 107 36 110 38M678-72 100-72C84-72 76-80 76-95 76-111 84-119 100-119L678-119C694-119 702-111 702-95 702-83 691-72 678-72Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 对所有<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="x"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 成立，其判别式<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.885ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 833 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Delta \leq 0"><g data-mml-node="mi" data-latex="\Delta"><path data-c="394" d="M759 0C776 0 785 4 785 13L445 696C438 709 429 716 416 716 403 716 394 709 387 696L52 25C49 18 47 14 47 12 47 4 56 0 73 0M384 604 644 83 124 83Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Delta \leq 0"><g data-mml-node="mo" data-latex="\leq"><path data-c="2264" d="M668 38C686 29 703 44 703 60 703 69 698 76 689 80L155 333 689 586C698 590 703 597 703 606 703 623 695 631 679 631 675 631 671 630 668 629L94 357C84 352 79 344 79 333 79 322 84 315 94 310M678-72 100-72C84-72 76-80 76-95 76-111 84-119 100-119L678-119C694-119 702-111 702-95 702-83 691-72 678-72Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，由此直接推得不等式。这种证明体现了柯西将代数结构与分析工具结合的典型风格。</p><p>柯西不等式的向量形式<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.351ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1039 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="|\boldsymbol{\alpha} \cdot \boldsymbol{\beta}| \leq \|\boldsymbol{\alpha}\| \|\boldsymbol{\beta}\|"><g data-mml-node="mo" data-latex="|"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\boldsymbol{\alpha}" transform="translate(278,0)"><path data-c="1D736" d="M704 59C704 73 690 73 681 73 668 73 663 73 658 60 646 31 611 28 611 28 586 28 584 144 584 164 678 272 700 385 700 388 700 402 685 402 676 402 657 402 656 400 651 381 632 314 602 259 580 228 579 276 578 335 524 389 472 442 407 452 360 452 156 452 46 294 46 165 46 55 128-8 253-8 349-8 431 33 484 71 502 29 543-8 604-8 670-8 704 38 704 59M472 115C472 103 411 68 386 57 326 31 282 28 258 28 202 28 161 55 161 121 161 154 184 265 214 323 246 387 308 416 359 416 452 416 463 306 467 208 468 183 472 139 472 115Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.254ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1438.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="|\boldsymbol{\alpha} \cdot \boldsymbol{\beta}| \leq \|\boldsymbol{\alpha}\| \|\boldsymbol{\beta}\|"><g data-mml-node="mo" data-latex="\cdot"><path data-c="22C5" d="M192 250C192 279 168 303 139 303 110 303 86 279 86 250 86 221 110 197 139 197 168 197 192 221 192 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\boldsymbol{\beta}" transform="translate(500.2,0)"><path data-c="1D737" d="M638 566C638 600 628 631 607 654 574 689 522 703 467 703 342 703 225 581 192 448L36-177C35-188 41-194 49-194L68-194C75-194 80-190 82-184L145 70C174 22 228-8 296-8 362-8 431 6 492 46 546 82 584 137 598 194 604 218 608 241 608 264 608 306 597 345 573 375 566 384 558 392 550 399 592 430 621 475 633 522 637 537 638 552 638 566M282 389C282 352 336 348 385 348 420 348 455 353 489 366 500 350 505 325 505 302 505 270 497 235 488 201 477 155 462 108 423 73 388 41 341 28 298 28 222 28 171 81 171 153 171 166 173 180 176 194L238 441C267 557 359 667 465 667 511 667 546 645 546 595 546 574 541 551 535 529 527 495 517 459 492 431 465 440 434 444 403 444 351 444 282 444 282 389M450 399C430 389 408 384 388 384 362 384 328 384 330 393 334 408 371 408 400 408 418 408 435 405 450 399Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="|" transform="translate(1160.2,0)"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.205ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4068.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="|\boldsymbol{\alpha} \cdot \boldsymbol{\beta}| \leq \|\boldsymbol{\alpha}\| \|\boldsymbol{\beta}\|"><g data-mml-node="mo" data-latex="\leq"><path data-c="2264" d="M668 38C686 29 703 44 703 60 703 69 698 76 689 80L155 333 689 586C698 590 703 597 703 606 703 623 695 631 679 631 675 631 671 630 668 629L94 357C84 352 79 344 79 333 79 322 84 315 94 310M678-72 100-72C84-72 76-80 76-95 76-111 84-119 100-119L678-119C694-119 702-111 702-95 702-83 691-72 678-72Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\|" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="2016" d="M264-250C279-250 287-242 287-226L287 726C287 742 279 750 264 750 249 750 241 742 241 726L241-226C241-242 249-250 264-250M134-250C149-250 157-242 157-226L157 726C157 742 149 750 134 750 119 750 111 742 111 726L111-226C111-242 119-250 134-250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\boldsymbol{\alpha}" transform="translate(1453.8,0)"><path data-c="1D736" d="M704 59C704 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\left(\int_a^b f(x)g(x)dx\right)^2 \leq \left(\int_a^b f^2(x)\mathrm dx\right)\left(\int_a^b g^2(x)\mathrm dx\right)
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\left(\int_a^b f(x)g(x)dx\right)^2 \leq \left(\int_a^b f^2 (x)\mathrm dx\right)\left(\int_a^b g^2 (x)\mathrm dx\right)
" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 1844) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="11887.3 -1844 1 3188"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-99)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msup" data-latex="\left(\int_a^b f(x)g(x)dx\right)^2"><g data-mml-node="mrow" data-latex-item="\left(\int_a^b f(x)g(x)dx\right)" data-latex="\left(\int_a^b f(x)g(x)dx\right)"><g data-mml-node="mo" data-latex-item="\left(" data-latex="\left("><path data-c="28" d="M798-1245C815-1245 823-1237 823-1220 823-1212 820-1205 813-1200 732-1139 659-1043 592-910 473-673 385-340 385 1L385 499C385 654 403 810 438 967 500 1247 630 1562 813 1700 820 1705 823 1712 823 1720 823 1737 815 1745 798 1745 793 1745 788 1743 784 1740 697 1673 614 1574 536 1441 398 1205 277 850 277 499L277 1C277-329 388-667 512-899 594-1050 685-1164 784-1240 788-1243 793-1245 798-1245Z"></path></g><g data-mml-node="msubsup" data-latex="\int_a^b" transform="translate(875,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex="\int"><path data-c="222B" d="M831 1361C784 1361 742 1318 703 1232 684 1191 664 1129 642 1046 545 688 472 339 395-117 360-328 331-481 308-574 267-745 220-831 168-831 149-831 132-826 117-815 146-810 160-793 160-763 160-734 138-711 109-711 74-711 56-729 56-764 56-822 113-861 170-861 243-861 303-803 350-688 375-627 409-509 451-336 524-39 589 279 646 617 686 854 722 1034 753 1157 782 1273 809 1331 833 1331 853 1331 870 1326 883 1315 854 1310 839 1293 839 1263 839 1234 861 1211 890 1211 925 1211 943 1229 943 1264 943 1319 889 1361 831 1361Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1098.5,1088.1) scale(0.707)" data-latex="b"><path data-c="1D44F" d="M281 445C245 445 209 428 174 394L243 679C241 688 238 694 226 694 193 694 120 685 107 684 92 682 84 675 84 660 84 650 93 645 112 645 131 645 157 646 157 632 157 628 152 608 143 571L63 249C52 207 47 173 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jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 529 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a + 6b = 3"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break 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data-latex="
3 = a + 6b = 1 \cdot a + \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}b \leq \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}\sqrt{a^2 + (2\sqrt{3}b)^2} = 2\sqrt{a^2 + 12b^2}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
3 = a + 6b = 1 \cdot a + \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}b \leq \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}\sqrt{a^2 + (2\sqrt{3}b)^2} = 2\sqrt{a^2 + 12b^2}
" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 1180.5) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="16935.3 -1180.5 1 1861"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-269.9)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn" data-latex="3"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526 431 569 410 604 369 631 333 654 292 666 246 666 201 666 162 654 127 631 88 605 68 571 68 528 68 495 90 472 122 472 154 472 176 495 176 527 176 560 157 578 119 580 145 615 186 633 242 633 302 633 332 598 332 527 332 485 324 450 309 421 282 373 245 364 183 364 171 362 165 357 165 348 165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173 348 88 317 14 241 14 176 14 128 36 99 80 134 79 160 105 160 139 160 173 135 198 101 198 62 198 42 178 42 137 42 88 64 49 108 18 147-9 193-22 244-22 301-22 350-3 393 34 436 71 457 117 457 173 457 267 383 332 303 353Z"></path></g><g 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133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,363) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 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data-mml-node="mn" transform="translate(523,363) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(241.6,-377.4) scale(0.707)" data-latex="b^2 "><g data-mml-node="mi" data-latex="b"><path data-c="1D44F" d="M281 445C245 445 209 428 174 394L243 679C241 688 238 694 226 694 193 694 120 685 107 684 92 682 84 675 84 660 84 650 93 645 112 645 131 645 157 646 157 632 157 628 152 608 143 571L63 249C52 207 47 173 47 148 47 62 93-11 175-11 240-11 297 22 347 89 392 151 415 216 415 283 415 370 364 445 281 445M279 415C318 415 337 385 337 326 337 299 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stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上一点到直线<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.991ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" 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(Ax + By)^2 \leq (a^2A^2 + b^2B^2)\left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\right) = a^2A^2 + b^2B^2
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
(Ax + By)^2 \leq (a^2 A^2 + b^2 B^2 )\left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\right) = a^2 A^2 + b^2 B^2
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class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/40.html" title="积性函数蕴含迭代结构" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/77.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/77.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="积性函数蕴含迭代结构"> <span class="title">积性函数蕴含迭代结构</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/person/1.html" title="希尔伯特23问题" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/109.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/109.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="希尔伯特23问题"> <span class="title">希尔伯特23问题</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/43.html" title="迭代积分" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/67.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/67.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="迭代积分"> <span class="title">迭代积分</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/83.html" title="不知名的碎片11" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/113.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/113.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="不知名的碎片11"> <span class="title">不知名的碎片11</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/108.html" title="复制函数：统一正弦倍角、勒让德倍乘与伯努利倍元公式的底层联系" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/11.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/11.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="复制函数：统一正弦倍角、勒让德倍乘与伯努利倍元公式的底层联系"> <span class="title">复制函数：统一正弦倍角、勒让德倍乘与伯努利倍元公式的底层联系</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/51.html" title="积分与求和交换顺序" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/50.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/50.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="积分与求和交换顺序"> <span class="title">积分与求和交换顺序</span></a></div></div></article><article class="post white-box shadow floatable blur" id="comments"><span hidden=""><meta itemprop="discussionUrl" content="/notes/Zeta/39#comments"></span><p ct=""><i class="fa-duotone fa-comments"></i> 留言区</p><div id="layoutHelper-comments"></div></article></div><aside id="l_side" itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPSideBar"><section class="widget text desktop mobile pjax"><header><a href="/notes/"><i class="fa-duotone fa-book fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">Notes</span></a></header><div class="content"></div></section><section class="widget list group desktop mobile pjax"><header><i class="fa-duotone fa-square-z fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">Zeta Archive</span></header><div class="content"><ul class="list entry navigation"><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/" href="/notes/Zeta/" active-action="action-notesZeta"><div class="name"> Welcome</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/1" href="/notes/Zeta/1" active-action="action-notesZeta1"><div class="name"> Leibniz</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/2" href="/notes/Zeta/2" active-action="action-notesZeta2"><div class="name"> On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/3" href="/notes/Zeta/3" active-action="action-notesZeta3"><div class="name"> Clebsch's fair copy of Riemann's publication</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/4" href="/notes/Zeta/4" active-action="action-notesZeta4"><div class="name"> Clebsch's fair copy of Riemann's publication</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/5" href="/notes/Zeta/5" active-action="action-notesZeta5"><div class="name"> Riemann’s 1859 Manuscript</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/6" href="/notes/Zeta/6" active-action="action-notesZeta6"><div class="name"> Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/7" href="/notes/Zeta/7" active-action="action-notesZeta7"><div class="name"> On the Number of Primes Less Than a Given Quantity</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/8" href="/notes/Zeta/8" active-action="action-notesZeta8"><div class="name"> Riemann’s Zeta Function</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/9" href="/notes/Zeta/9" active-action="action-notesZeta9"><div class="name"> Euclid素数无限定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/10" href="/notes/Zeta/10" active-action="action-notesZeta10"><div class="name"> 埃拉托斯特尼筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/11" href="/notes/Zeta/11" active-action="action-notesZeta11"><div class="name"> Euler对无穷级数的若干观察</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/12" href="/notes/Zeta/12" active-action="action-notesZeta12"><div class="name"> 欧拉乘积公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/13" href="/notes/Zeta/13" active-action="action-notesZeta13"><div class="name"> 牛顿广义二项式定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/14" href="/notes/Zeta/14" active-action="action-notesZeta14"><div class="name"> 二年级之梦</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/15" href="/notes/Zeta/15" active-action="action-notesZeta15"><div class="name"> 罗素悖论</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/16" href="/notes/Zeta/16" active-action="action-notesZeta16"><div class="name"> 哥德尔不完备性定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/17" href="/notes/Zeta/17" active-action="action-notesZeta17"><div class="name"> 停机问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/18" href="/notes/Zeta/18" active-action="action-notesZeta18"><div class="name"> 素数定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/19" href="/notes/Zeta/19" active-action="action-notesZeta19"><div class="name"> 对数运算法则</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/20" href="/notes/Zeta/20" active-action="action-notesZeta20"><div class="name"> 本福特定律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/21" href="/notes/Zeta/21" active-action="action-notesZeta21"><div class="name"> 狄利克雷Eta函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/22" href="/notes/Zeta/22" active-action="action-notesZeta22"><div class="name"> 留数定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/23" href="/notes/Zeta/23" active-action="action-notesZeta23"><div class="name"> 多项式分式前n项和变换为积分</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/24" href="/notes/Zeta/24" active-action="action-notesZeta24"><div class="name"> 梅林变换</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/25" href="/notes/Zeta/25" active-action="action-notesZeta25"><div class="name"> 佩龙公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/26" href="/notes/Zeta/26" active-action="action-notesZeta26"><div class="name"> 曼戈尔特函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/27" href="/notes/Zeta/27" active-action="action-notesZeta27"><div class="name"> 黎曼素数计数函数J(x)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/28" href="/notes/Zeta/28" active-action="action-notesZeta28"><div class="name"> 莫比乌斯反演</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/29" href="/notes/Zeta/29" active-action="action-notesZeta29"><div class="name"> 斯蒂尔杰斯积分</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/30" href="/notes/Zeta/30" active-action="action-notesZeta30"><div class="name"> 威尔斯特拉斯无穷乘积展开</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/31" href="/notes/Zeta/31" active-action="action-notesZeta31"><div class="name"> 不知名的碎片1</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/32" href="/notes/Zeta/32" active-action="action-notesZeta32"><div class="name"> 不知名的碎片2</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/33" href="/notes/Zeta/33" active-action="action-notesZeta33"><div class="name"> 不知名的碎片3</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/34" href="/notes/Zeta/34" active-action="action-notesZeta34"><div class="name"> 根号2的无理性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/35" href="/notes/Zeta/35" active-action="action-notesZeta35"><div class="name"> e的无理性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/36" href="/notes/Zeta/36" 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title="/notes/Zeta/43" href="/notes/Zeta/43" active-action="action-notesZeta43"><div class="name"> 迭代积分</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/44" href="/notes/Zeta/44" active-action="action-notesZeta44"><div class="name"> 高阶导数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/45" href="/notes/Zeta/45" active-action="action-notesZeta45"><div class="name"> 阿贝尔变换</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/46" href="/notes/Zeta/46" active-action="action-notesZeta46"><div class="name"> 泊松求和公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/47" href="/notes/Zeta/47" active-action="action-notesZeta47"><div class="name"> Theta函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/48" href="/notes/Zeta/48" active-action="action-notesZeta48"><div class="name"> 魔群</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/49" href="/notes/Zeta/49" active-action="action-notesZeta49"><div class="name"> 朗兰兹纲领</div></a></li><li><a class="flat-box" 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黎曼关于Zeta函数零点分布的三个核心论断</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/57" href="/notes/Zeta/57" active-action="action-notesZeta57"><div class="name"> 黎曼的整体思路</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/58" href="/notes/Zeta/58" active-action="action-notesZeta58"><div class="name"> 筛法的奇偶障碍</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/59" href="/notes/Zeta/59" active-action="action-notesZeta59"><div class="name"> 黎曼非平凡零点计数渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/60" href="/notes/Zeta/60" active-action="action-notesZeta60"><div class="name"> Zeta非平凡零点虚部渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/61" href="/notes/Zeta/61" active-action="action-notesZeta61"><div class="name"> 黎曼Zeta函数非平凡零点虚部研究的历史脉络</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/62" href="/notes/Zeta/62" active-action="action-notesZeta62"><div class="name"> 黎曼Zeta函数非平凡零点虚部的表达式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/63" 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title="/notes/Zeta/76" href="/notes/Zeta/76" active-action="action-notesZeta76"><div class="name"> 希尔伯特-波利亚猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/77" href="/notes/Zeta/77" active-action="action-notesZeta77"><div class="name"> 蒙哥马利-奥德利兹科定律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/78" href="/notes/Zeta/78" active-action="action-notesZeta78"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的表示方法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/79" href="/notes/Zeta/79" active-action="action-notesZeta79"><div class="name"> 拉马努金主定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/80" href="/notes/Zeta/80" active-action="action-notesZeta80"><div class="name"> 不知名的碎片8</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/81" href="/notes/Zeta/81" active-action="action-notesZeta81"><div class="name"> 不知名的碎片9</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/82" href="/notes/Zeta/82" active-action="action-notesZeta82"><div class="name"> 不知名的碎片10</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/83" href="/notes/Zeta/83" active-action="action-notesZeta83"><div class="name"> 不知名的碎片11</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/84" href="/notes/Zeta/84" active-action="action-notesZeta84"><div class="name"> 哈代定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/85" href="/notes/Zeta/85" active-action="action-notesZeta85"><div class="name"> 解析延拓的局限性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/86" href="/notes/Zeta/86" active-action="action-notesZeta86"><div class="name"> P对NP问题：计算复杂性的终极谜题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/87" href="/notes/Zeta/87" active-action="action-notesZeta87"><div class="name"> 广义化思维：从特殊到一般</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/88" href="/notes/Zeta/88" active-action="action-notesZeta88"><div class="name"> 问题的归约</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/89" href="/notes/Zeta/89" 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特殊函数倍乘公式的统一性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/96" href="/notes/Zeta/96" active-action="action-notesZeta96"><div class="name"> 塞尔伯格渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/97" href="/notes/Zeta/97" active-action="action-notesZeta97"><div class="name"> 塞尔伯格Zeta函数非平凡零点的正密率</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/98" href="/notes/Zeta/98" active-action="action-notesZeta98"><div class="name"> 塞尔伯格磨光函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/99" href="/notes/Zeta/99" active-action="action-notesZeta99"><div class="name"> 磨光技术</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/100" href="/notes/Zeta/100" active-action="action-notesZeta100"><div class="name"> 黎曼Zeta函数临界线幅角函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/101" href="/notes/Zeta/101" active-action="action-notesZeta101"><div class="name"> 玻尔-兰道定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/102" href="/notes/Zeta/102" 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class="flat-box" title="/notes/Zeta/109" href="/notes/Zeta/109" active-action="action-notesZeta109"><div class="name"> 塞尔伯格筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/110" href="/notes/Zeta/110" active-action="action-notesZeta110"><div class="name"> 庞加莱猜想与奇点手术</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/111" href="/notes/Zeta/111" active-action="action-notesZeta111"><div class="name"> 先磨光再解析延拓</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/112" href="/notes/Zeta/112" active-action="action-notesZeta112"><div class="name"> 朗道-西格尔零点猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/113" href="/notes/Zeta/113" active-action="action-notesZeta113"><div class="name"> 等差数列上的素数分布</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/114" href="/notes/Zeta/114" active-action="action-notesZeta114"><div class="name"> 大筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/115" href="/notes/Zeta/115" active-action="action-notesZeta115"><div class="name"> 模性定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/116" href="/notes/Zeta/116" active-action="action-notesZeta116"><div class="name"> 相邻素数间的有界间隔</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/117" href="/notes/Zeta/117" active-action="action-notesZeta117"><div class="name"> 克拉梅尔模型与孪生素数猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/118" href="/notes/Zeta/118" active-action="action-notesZeta118"><div class="name"> Zeta函数的洛朗展开</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/119" href="/notes/Zeta/119" active-action="action-notesZeta119"><div class="name"> Zeta函数与欧拉常数的关系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/120" href="/notes/Zeta/120" active-action="action-notesZeta120"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的矩问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/121" href="/notes/Zeta/121" active-action="action-notesZeta121"><div class="name"> 第n个素数的通项公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/122" href="/notes/Zeta/122" active-action="action-notesZeta122"><div class="name"> AKS算法证明素数判定属于P类问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/123" href="/notes/Zeta/123" active-action="action-notesZeta123"><div class="name"> 米勒-拉宾素性检验</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/124" href="/notes/Zeta/124" active-action="action-notesZeta124"><div class="name"> 中国剩余定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/125" href="/notes/Zeta/125" active-action="action-notesZeta125"><div class="name"> 二次互反律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/126" href="/notes/Zeta/126" active-action="action-notesZeta126"><div class="name"> 不知名的碎片12</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/127" href="/notes/Zeta/127" active-action="action-notesZeta127"><div class="name"> 斯特林公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/128" href="/notes/Zeta/128" active-action="action-notesZeta128"><div class="name"> 梅森素数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/129" href="/notes/Zeta/129" active-action="action-notesZeta129"><div class="name"> 全一素数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/130" href="/notes/Zeta/130" active-action="action-notesZeta130"><div class="name"> 华里士公式与欧拉 Beta 函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/131" href="/notes/Zeta/131" active-action="action-notesZeta131"><div class="name"> Bombieri-Vinogradov 定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/132" href="/notes/Zeta/132" active-action="action-notesZeta132"><div class="name"> EH猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/133" href="/notes/Zeta/133" active-action="action-notesZeta133"><div class="name"> Sarnak纲领性猜想：轨道上的素数分布理论</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/134" href="/notes/Zeta/134" active-action="action-notesZeta134"><div class="name"> 圆法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/135" href="/notes/Zeta/135" 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