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Blog, 博客, Magicland, 魔法世界"><meta desc="" name="description" content="黎曼素数计数函数J(x)由黎曼1859年引入，定义为素数计数函数π(x)的加权和J(x)=π(x)+1/2π(x¹/²)+1/3π(x¹/³)+...，通过莫比乌斯反演可还原π(x)。作为连接初等与解析数论的枢纽，其积分表示与ζ函数对数的梅林变换相关，显式公式将素数分布与ζ函数零点直接关联，是素数定理证明的关键工具，在黎曼猜想研究中具有核心地位。 - MHuiG - Magicland"><meta property="og:type" content="website"><meta property="og:title" content="Magicland"><meta property="og:url" content="https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/27"><meta property="og:site_name" content="Magicland"><meta property="og:description" content="黎曼素数计数函数J(x)由黎曼1859年引入，定义为素数计数函数π(x)的加权和J(x)=π(x)+1/2π(x¹/²)+1/3π(x¹/³)+...，通过莫比乌斯反演可还原π(x)。作为连接初等与解析数论的枢纽，其积分表示与ζ函数对数的梅林变换相关，显式公式将素数分布与ζ函数零点直接关联，是素数定理证明的关键工具，在黎曼猜想研究中具有核心地位。"><meta property="og:locale"><meta property="og:image" content="https://blog.mhuig.top/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"><meta property="article:published_time" content="2025-10-06T22:10:00.000Z"><meta property="article:modified_time" content="2025-11-20T10:18:00.000Z"><meta property="article:author" 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="黎曼素数计数函数J(x)"><meta itemprop="description" content="黎曼素数计数函数J(x)由黎曼1859年引入，定义为素数计数函数π(x)的加权和J(x)=π(x)+1/2π(x¹/²)+1/3π(x¹/³)+...，通过莫比乌斯反演可还原π(x)。作为连接初等与解析数论的枢纽，其积分表示与ζ函数对数的梅林变换相关，显式公式将素数分布与ζ函数零点直接关联，是素数定理证明的关键工具，在黎曼猜想研究中具有核心地位。"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">黎曼素数计数函数 J (x)</span></p><br><h1 hidden="">黎曼素数计数函数 J (x)</h1><p>1859 年，波恩哈德・黎曼在《论小于给定数值的素数个数》中，首次引入了一个革命性的函数被后世称为黎曼素数计数函数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.486ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1983 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="J(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="1D43D" d="M633 667C633 678 627 683 615 683 596 683 525 680 506 680L361 683C344 683 336 675 336 659 336 649 349 644 374 644 419 644 446 642 453 637 456 635 457 632 457 627 457 624 456 617 454 607L340 153C324 89 273 8 202 8 157 8 128 25 114 60L120 60C156 60 188 91 188 127 188 158 172 173 141 173 97 173 71 134 71 90 71 20 132-22 205-22 255-22 301-6 344 26 387 58 415 97 427 144L542 606C551 642 555 644 602 644 623 644 633 646 633 667Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(633,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 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75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g></g><rect width="1162.8" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> 。这些工作为黎曼的突破奠定了基础，但均未能揭示素数分布的深层解析结构。</p><p>黎曼将<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数从实变量延拓至复平面，并发现其非平凡零点与素数分布的精确联系。他引入<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.486ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1983 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="J(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="1D43D" d="M633 667C633 678 627 683 615 683 596 683 525 680 506 680L361 683C344 683 336 675 336 659 336 649 349 644 374 644 419 644 446 642 453 637 456 635 457 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287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1594,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 作为中间工具，通过对数变换将欧拉乘积公式转化为积分方程</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:37.151ex"><svg style="vertical-align:-2.05ex;min-width:37.151ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.232ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1406.3)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\ln \zeta(s) = s \int_0^\infty J(x) x^{-s-1} \mathrm dx
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\ln \zeta(s) = s \int_0 ^\infty J(x) x^{-s-1} \mathrm dx
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1406.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="6132.3 -1406.3 1 2312.5"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,5.7)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="\ln"><path data-c="6C" d="M144 3 255 0 255 39C219 39 197 40 190 44 183 48 180 60 180 79L180 694 33 683 33 645C68 645 90 642 97 636 104 630 108 616 108 593L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path><path data-c="6E" d="M314 413C359 413 382 378 382 307L382 79C382 60 379 48 372 44 365 40 343 38 306 38L306 0 421 3 535 0 535 38C503 38 482 39 472 42 462 45 458 52 458 64L458 251C458 298 457 331 454 350 444 411 399 442 320 442 257 442 210 412 179 352L179 442 32 431 32 393C68 393 90 390 98 384 106 378 109 365 109 342L109 79C109 60 105 48 98 44 91 40 69 38 32 38L32 0 147 3 261 0 261 38C224 38 203 40 196 44 189 48 185 60 185 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jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:29.995ex"><svg style="vertical-align:-2.555ex;min-width:29.995ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.24ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1629.1)"><g data-mml-node="math" data-latex="
J(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \pi(x^{1/n})
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60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的增大而有限：对于给定<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 572 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="x>1"><g data-mml-node="mi" 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overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.486ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1983 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="J(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="1D43D" d="M633 667C633 678 627 683 615 683 596 683 525 680 506 680L361 683C344 683 336 675 336 659 336 649 349 644 374 644 419 644 446 642 453 637 456 635 457 632 457 627 457 624 456 617 454 607L340 153C324 89 273 8 202 8 157 8 128 25 114 60L120 60C156 60 188 91 188 127 188 158 172 173 141 173 97 173 71 134 71 90 71 20 132-22 205-22 255-22 301-6 344 26 387 58 415 97 427 144L542 606C551 642 555 644 602 644 623 644 633 646 633 667Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(633,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 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transform="translate(1222.7,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="]" transform="translate(1722.7,0)"><path data-c="5D" d="M45-250 164-250 164 750 45 750C30 750 22 742 22 726 22 710 30 702 45 702L119 702 119-202 45-202C30-202 22-210 22-226 22-242 30-250 45-250Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 上的病态函数</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:36.737ex"><svg style="vertical-align:-1.923ex;min-width:36.737ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="4.977ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1350)"><g data-mml-node="math" data-latex="
R(x) = \begin{cases}
1/q & x = p/q \in \mathbb{Q} \\
0 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}
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R(x) = \begin{cases}
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" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1350) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="6040.8 -1350 1 2200"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="R"><path data-c="1D445" d="M739 531C739 582 713 621 662 649 621 672 572 683 517 683L235 683C212 683 202 682 202 659 202 652 205 647 211 646 221 645 229 644 234 644 264 643 281 641 286 640 291 639 294 636 294 631 294 629 293 623 290 613L158 82C153 60 143 46 128 41 121 39 103 38 72 38 50 38 41 37 41 15 41 4 47-1 59 0L183 3 309 0C325-1 333 8 333 23 333 33 322 38 301 38 261 38 241 43 241 52 241 52 242 54 244 68L308 327 423 327C492 327 527 298 527 241 527 232 522 210 513 174 502 132 497 104 497 89 497 13 556-22 632-22 660-22 687-9 714 16 741 41 755 68 755 96 755 106 750 111 739 111 732 111 726 106 723 95 712 64 698 41 682 28 666 15 651 8 636 8 613 8 601 27 601 64 601 88 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220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1720,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="=" transform="translate(2386.8,0)"><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" data-latex-item="{cases}" data-latex="{cases}" transform="translate(3442.6,0)"><g data-mml-node="mo"><path data-c="7B" d="M196 250C291 293 401 389 401 511L401 1035C401 1084 421 1131 460 1174 497 1215 541 1241 590 1253 602 1256 608 1264 608 1276 608 1292 600 1300 584 1300 581 1300 579 1300 578 1299 511 1286 447 1252 387 1195 334 1144 307 1091 307 1035L307 511C307 458 288 408 251 362 214 316 169 286 118 273 106 270 100 262 100 250 100 238 106 230 118 227 169 214 214 184 251 138 288 92 307 42 307-11L307-535C307-591 334-644 387-695 447-752 511-786 578-799 579-800 581-800 584-800 600-800 608-792 608-776 608-764 602-756 590-753 541-741 497-715 460-674 421-631 401-584 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class="headerlink" title="1. J(x)与π(x)的莫比乌斯反演关系"></a>1. J (x) 与 π(x) 的莫比乌斯反演关系</h3><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.486ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1983 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="J(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="1D43D" d="M633 667C633 678 627 683 615 683 596 683 525 680 506 680L361 683C344 683 336 675 336 659 336 649 349 644 374 644 419 644 446 642 453 637 456 635 457 632 457 627 457 624 456 617 454 607L340 153C324 89 273 8 202 8 157 8 128 25 114 60L120 60C156 60 188 91 188 127 188 158 172 173 141 173 97 173 71 134 71 90 71 20 132-22 205-22 255-22 301-6 344 26 387 58 415 97 427 144L542 606C551 642 555 644 602 644 623 644 633 646 633 667Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(633,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(1022,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1594,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 本质上是素数及其幂次的加权计数。通过展开定义式可见：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:61.243ex"><svg style="vertical-align:-1.753ex;min-width:61.243ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="4.638ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1275)"><g data-mml-node="math" data-latex="
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比<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.344ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1920 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\pi(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(570,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 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78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><h3 id="2-与ζ函数的积分表示"><a href="#2-与ζ函数的积分表示" class="headerlink" title="2. 与ζ函数的积分表示"></a>2. 与 ζ 函数的积分表示</h3><p>黎曼的关键洞见是将<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.486ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1983 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="J(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="1D43D" d="M633 667C633 678 627 683 615 683 596 683 525 680 506 680L361 683C344 683 336 675 336 659 336 649 349 644 374 644 419 644 446 642 453 637 456 635 457 632 457 627 457 624 456 617 454 607L340 153C324 89 273 8 202 8 157 8 128 25 114 60L120 60C156 60 188 91 188 127 188 158 172 173 141 173 97 173 71 134 71 90 71 20 132-22 205-22 255-22 301-6 344 26 387 58 415 97 427 144L542 606C551 642 555 644 602 644 623 644 633 646 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fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数通过拉普拉斯变换联系起来。对欧拉乘积公式取对数得：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:66.344ex"><svg style="vertical-align:-2.658ex;min-width:66.344ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.447ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1674.9)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\ln \zeta(s) = \sum_p \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k p^{ks} } = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \sum_p (p^k)^{-s} = \int_0^\infty x^{-s} \mathrm dJ(x)
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\ln \zeta(s) = \sum_p \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k p^{ks} } = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \sum_p (p^k)^{-s} = \int_0 ^\infty x^{-s} \mathrm dJ(x)
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1674.9) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="12584.1 -1674.9 1 2849.7"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,112.3)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="\ln"><path data-c="6C" d="M144 3 255 0 255 39C219 39 197 40 190 44 183 48 180 60 180 79L180 694 33 683 33 645C68 645 90 642 97 636 104 630 108 616 108 593L108 79C108 60 105 48 98 44 91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path><path data-c="6E" d="M314 413C359 413 382 378 382 307L382 79C382 60 379 48 372 44 365 40 343 38 306 38L306 0 421 3 535 0 535 38C503 38 482 39 472 42 462 45 458 52 458 64L458 251C458 298 457 331 454 350 444 411 399 442 320 442 257 442 210 412 179 352L179 442 32 431 32 393C68 393 90 390 98 384 106 378 109 365 109 342L109 79C109 60 105 48 98 44 91 40 69 38 32 38L32 0 147 3 261 0 261 38C224 38 203 40 196 44 189 48 185 60 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" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1505.2) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="8918.5 -1505.2 1 2510.5"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-50.2)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="1D43D" d="M633 667C633 678 627 683 615 683 596 683 525 680 506 680L361 683C344 683 336 675 336 659 336 649 349 644 374 644 419 644 446 642 453 637 456 635 457 632 457 627 457 624 456 617 454 607L340 153C324 89 273 8 202 8 157 8 128 25 114 60L120 60C156 60 188 91 188 127 188 158 172 173 141 173 97 173 71 134 71 90 71 20 132-22 205-22 255-22 301-6 344 26 387 58 415 97 427 144L542 606C551 642 555 644 602 644 623 644 633 646 633 667Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(633,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 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data-mml-node="mtext" data-latex="\text{(9)}"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path><path data-c="39" d="M116 140C83 140 67 123 67 89 67 14 128-22 207-22 287-22 351 18 398 99 437 166 457 243 457 329 457 456 434 546 388 599 349 644 304 666 253 666 194 666 145 645 106 602 63 557 42 503 42 440 42 379 60 327 96 284 134 238 183 215 242 215 294 215 334 243 361 299L361 286C361 177 342 103 303 63 272 30 239 14 206 14 166 14 137 23 118 42 149 42 165 60 165 91 165 119 144 140 116 140M243 246C204 246 175 266 155 306 144 329 138 374 138 439 138 504 145 548 158 573 180 613 212 633 253 633 294 633 324 608 343 558 354 531 361 485 361 420 361 333 322 246 243 246Z" transform="translate(389,0)"></path><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z" transform="translate(889,0)"></path></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>该积分的计算需要分析<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数的零点分布，黎曼正是通过这一途径发现了素数分布与<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数零点的深刻联系。</p><h3 id="3-显式公式与零点分布"><a href="#3-显式公式与零点分布" class="headerlink" title="3. 显式公式与零点分布"></a>3. 显式公式与零点分布</h3><p>黎曼进一步利用留数定理计算上述积分，得到<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.486ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1983 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="J(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="1D43D" d="M633 667C633 678 627 683 615 683 596 683 525 680 506 680L361 683C344 683 336 675 336 659 336 649 349 644 374 644 419 644 446 642 453 637 456 635 457 632 457 627 457 624 456 617 454 607L340 153C324 89 273 8 202 8 157 8 128 25 114 60L120 60C156 60 188 91 188 127 188 158 172 173 141 173 97 173 71 134 71 90 71 20 132-22 205-22 255-22 301-6 344 26 387 58 415 97 427 144L542 606C551 642 555 644 602 644 623 644 633 646 633 667Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(633,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(1022,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1594,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的<strong>显式公式</strong>：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:63.021ex"><svg style="vertical-align:-2.492ex;min-width:63.021ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.116ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1601.7)"><g data-mml-node="math" data-latex="
J(x) = \text{Li}(x) - \sum_\rho \text{Li}(x^\rho) - \ln 2 + \int_x^\infty \frac{dt}{t(t^2 - 1)\ln t}
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函数的非平凡零点，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.097ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2253 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathrm{Li}(x)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathrm{Li}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="Li"><path data-c="4C" d="M230 74 230 601C230 614 231 622 233 627 238 638 267 644 320 644L356 644 356 683C330 681 274 680 187 680 110 680 59 681 33 683L33 644 61 644C96 644 117 641 124 636 131 631 135 620 135 602L135 81C135 63 131 51 124 46 117 41 96 39 61 39L33 39 33 0 554 0 582 263 550 263C545 212 536 171 525 139 503 76 444 39 355 39L274 39C236 39 230 39 230 74Z"></path><path data-c="69" d="M194 601C194 631 169 657 139 657 109 657 83 631 83 601 83 571 108 544 138 544 169 544 194 570 194 601M143 3 247 0 247 39C214 39 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188 91 188 127 188 158 172 173 141 173 97 173 71 134 71 90 71 20 132-22 205-22 255-22 301-6 344 26 387 58 415 97 427 144L542 606C551 642 555 644 602 644 623 644 633 646 633 667Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(633,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(1022,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 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class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.894ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1721 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta(s)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 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stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\Re(s)=1"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathfrak{R}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="R"><path data-c="211C" d="M623 92 689-29 826 75 826 99C789 84 768 76 764 76 757 76 750 83 741 96 732 109 724 130 715 157 710 173 704 238 699 353 671 376 640 389 605 391 666 436 734 473 808 500L797 519C780 516 767 515 758 515 737 515 724 519 719 527 715 544 713 557 712 567 708 634 691 686 627 686 560 686 490 642 419 554 410 578 398 598 385 614 346 662 306 686 265 686 200 686 138 657 81 600 46 565 29 532 29 500 29 477 43 447 70 409L101 366C109 355 113 347 113 342 113 329 108 317 99 306 85 288 67 273 46 262L68 246C113 269 145 290 162 310 183 334 194 358 194 383 194 403 176 434 141 477 118 505 106 524 106 534 106 559 112 576 123 587 142 606 167 616 198 616 242 616 280 593 312 546 338 509 351 449 351 367 351 260 340 185 318 142 301 110 275 81 240 56 205 93 174 112 147 112 130 112 111 103 89 84 73 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作为中间函数，其平滑性避免了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.344ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1920 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\pi(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(570,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 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fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="J(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="1D43D" d="M633 667C633 678 627 683 615 683 596 683 525 680 506 680L361 683C344 683 336 675 336 659 336 649 349 644 374 644 419 644 446 642 453 637 456 635 457 632 457 627 457 624 456 617 454 607L340 153C324 89 273 8 202 8 157 8 128 25 114 60L120 60C156 60 188 91 188 127 188 158 172 173 141 173 97 173 71 134 71 90 71 20 132-22 205-22 255-22 301-6 344 26 387 58 415 97 427 144L542 606C551 642 555 644 602 644 623 644 633 646 633 667Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(633,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 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666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> ，这一假设通过<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.486ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1983 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="J(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="1D43D" d="M633 667C633 678 627 683 615 683 596 683 525 680 506 680L361 683C344 683 336 675 336 659 336 649 349 644 374 644 419 644 446 642 453 637 456 635 457 632 457 627 457 624 456 617 454 607L340 153C324 89 273 8 202 8 157 8 128 25 114 60L120 60C156 60 188 91 188 127 188 158 172 173 141 173 97 173 71 134 71 90 71 20 132-22 205-22 255-22 301-6 344 26 387 58 415 97 427 144L542 606C551 642 555 644 602 644 623 644 633 646 633 667Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(633,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(1022,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 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75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的显式公式直接影响素数分布的误差项。目前已验证前<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.891ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1278 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="1.5×10^9"><g data-mml-node="mn" data-latex=".5"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path><path data-c="2E" d="M192 53C192 82 168 106 139 106 110 106 86 82 86 53 86 24 110 0 139 0 168 0 192 24 192 53Z" transform="translate(500,0)"></path><path data-c="35" d="M118 315C123 315 129 319 134 326 164 371 205 393 257 393 292 393 319 373 337 332 348 305 354 264 354 209 354 146 346 102 331 76 306 35 272 14 229 14 162 14 109 62 91 114 94 113 96 114 100 114 130 114 155 137 155 167 155 198 130 219 100 219 65 219 50 200 50 163 50 63 131-22 231-22 292-22 344 0 386 44 428 88 449 141 449 202 449 260 432 310 398 353 361 400 315 423 259 423 212 423 171 408 138 378L138 556C165 548 191 544 218 544 264 544 304 555 338 578 369 597 390 616 402 634 408 642 411 648 411 651 411 661 406 666 396 666 341 645 294 634 256 634 211 634 168 643 127 662 122 664 118 665 114 665 105 665 100 656 100 637L100 345C100 324 100 315 118 315Z" transform="translate(778,0)"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.513ex" height="2.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864 2436.8 1114"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="1.5×10^9"><g data-mml-node="mo" data-latex="×"><path data-c="D7" d="M630 32C630 39 628 44 623 49L422 250 623 451C628 456 630 461 630 468 630 481 620 491 607 491 600 491 595 489 590 484L389 283 188 484C183 489 178 491 171 491 158 491 148 481 148 468 148 461 150 456 155 451L356 250 155 49C150 44 148 39 148 32 148 19 158 9 171 9 178 9 183 11 188 16L389 217 590 16C595 11 600 9 607 9 620 9 630 19 630 32Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="0^9" transform="translate(1000.2,0)"><g data-mml-node="mn" data-latex="0"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 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style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.486ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1983 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="J(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="1D43D" d="M633 667C633 678 627 683 615 683 596 683 525 680 506 680L361 683C344 683 336 675 336 659 336 649 349 644 374 644 419 644 446 642 453 637 456 635 457 632 457 627 457 624 456 617 454 607L340 153C324 89 273 8 202 8 157 8 128 25 114 60L120 60C156 60 188 91 188 127 188 158 172 173 141 173 97 173 71 134 71 90 71 20 132-22 205-22 255-22 301-6 344 26 387 58 415 97 427 144L542 606C551 642 555 644 602 644 623 644 633 646 633 667Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(633,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 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527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1594,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 与<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 303 597 233 560 173 499 122 414 71 329 46 247 46 168 46 92 76 36 122 9 161-10 190-22 209-29 248-46 294-52 315-80 323-89 327-101 327-114 327-144 306-175 276-175M391 590C404 590 417 589 428 587 416 585 401 584 384 584 373 584 364 585 357 587 366 589 377 590 391 590Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数零点的关系则是这一核心的枢纽。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="现代拓展与前沿研究"><a href="#现代拓展与前沿研究" class="headerlink" title="现代拓展与前沿研究"></a>现代拓展与前沿研究</h2><p>当代解析数论对<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.486ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1983 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="J(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="1D43D" d="M633 667C633 678 627 683 615 683 596 683 525 680 506 680L361 683C344 683 336 675 336 659 336 649 349 644 374 644 419 644 446 642 453 637 456 635 457 632 457 627 457 624 456 617 454 607L340 153C324 89 273 8 202 8 157 8 128 25 114 60L120 60C156 60 188 91 188 127 188 158 172 173 141 173 97 173 71 134 71 90 71 20 132-22 205-22 255-22 301-6 344 26 387 58 415 97 427 144L542 606C551 642 555 644 602 644 623 644 633 646 633 667Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(633,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 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transform="translate(1594,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的推广主要集中在两个方向：</p><p>一是将其推广到一般 L 函数的<strong>广义素数计数函数</strong>，用于研究算术级数中的素数分布；</p><p>二是通过<strong>零点密度估计</strong>（如 Huxley 定理<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.644ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3378.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N(\sigma,T) \ll T^{\frac{12(1-\sigma)}{5} + \mathcal{o}(1)}"><g data-mml-node="mi" 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stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="J(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="J"><path data-c="1D43D" d="M633 667C633 678 627 683 615 683 596 683 525 680 506 680L361 683C344 683 336 675 336 659 336 649 349 644 374 644 419 644 446 642 453 637 456 635 457 632 457 627 457 624 456 617 454 607L340 153C324 89 273 8 202 8 157 8 128 25 114 60L120 60C156 60 188 91 188 127 188 158 172 173 141 173 97 173 71 134 71 90 71 20 132-22 205-22 255-22 301-6 344 26 387 58 415 97 427 144L542 606C551 642 555 644 602 644 623 644 633 646 633 667Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(633,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 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多年前埋下的这颗种子，至今仍在结出丰硕的果实。</p></div></div><div class="footer"></div><div class="article-meta" id="bottom"><div class="new-meta-box"></div></div><div class="prev-next"><a class="prev" href="/notes/Zeta/26"><p class="title"><i class="fa-solid fa-chevron-left" aria-hidden="true"></i>曼戈尔特函数</p><p class="content">曼戈尔特函数由汉斯·阿道夫·曼戈尔特1894年引入，定义为素数幂的自然对数，其他情况为0，是连接素数分布与黎曼ζ函数的关键工具。其除数求和等于自然数对数，生成函数为ζ函数对数导数的负值，通过第二切比雪夫函数的显式公式将素数分布与ζ函数零点直接关联，在素数定理证明中起核心作用，推动了零点分布和误差项估计的研究。</p></a><a class="next" href="/notes/Zeta/28"><p class="title">莫比乌斯反演<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">莫比乌斯反演是连接局部与整体计数的数论工具，核心为若g(n)是f(d)的除数和，则f(n)可表为μ(d)g(n/d)的除数和。莫比乌斯函数μ(n)在n含平方因子时为0，素数积时为(-1)^k，通过狄利克雷卷积与常数函数互逆，应用于欧拉函数展开、素数计数函数及算术傅里叶变换等领域，体现数论与组合数学的深刻联系。</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a 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data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/56.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="素数定理"> <span class="title">素数定理</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/121.html" title="第n个素数的通项公式：从历史探索到现代理论" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/86.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/86.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="第n个素数的通项公式：从历史探索到现代理论"> <span class="title">第n个素数的通项公式：从历史探索到现代理论</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/78.html" title="黎曼Zeta函数的表示方法" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/26.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/26.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="黎曼Zeta函数的表示方法"> <span class="title">黎曼Zeta函数的表示方法</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/26.html" title="曼戈尔特函数" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/116.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/116.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="曼戈尔特函数"> <span class="title">曼戈尔特函数</span></a></div></div></article><article class="post white-box shadow floatable blur" id="comments"><span hidden=""><meta itemprop="discussionUrl" content="/notes/Zeta/27#comments"></span><p ct=""><i class="fa-duotone fa-comments"></i> 留言区</p><div id="layoutHelper-comments"></div></article></div><aside id="l_side" itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPSideBar"><section class="widget text desktop mobile pjax"><header><a href="/notes/"><i class="fa-duotone fa-book fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">Notes</span></a></header><div 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active-action="action-notesZeta4"><div class="name"> Clebsch's fair copy of Riemann's publication</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/5" href="/notes/Zeta/5" active-action="action-notesZeta5"><div class="name"> Riemann’s 1859 Manuscript</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/6" href="/notes/Zeta/6" active-action="action-notesZeta6"><div class="name"> Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/7" href="/notes/Zeta/7" active-action="action-notesZeta7"><div class="name"> On the Number of Primes Less Than a Given Quantity</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/8" href="/notes/Zeta/8" active-action="action-notesZeta8"><div class="name"> Riemann’s Zeta Function</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/9" href="/notes/Zeta/9" active-action="action-notesZeta9"><div class="name"> Euclid素数无限定理</div></a></li><li><a class="flat-box" 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class="flat-box" title="/notes/Zeta/51" href="/notes/Zeta/51" active-action="action-notesZeta51"><div class="name"> 积分与求和交换顺序</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/52" href="/notes/Zeta/52" active-action="action-notesZeta52"><div class="name"> 魏尔斯特拉斯判别法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/53" href="/notes/Zeta/53" active-action="action-notesZeta53"><div class="name"> Zeta函数的函数方程</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/54" href="/notes/Zeta/54" active-action="action-notesZeta54"><div class="name"> Zeta函数解析延拓的经典方法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/55" href="/notes/Zeta/55" active-action="action-notesZeta55"><div class="name"> 黎曼Xi函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/56" href="/notes/Zeta/56" active-action="action-notesZeta56"><div class="name"> 黎曼关于Zeta函数零点分布的三个核心论断</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/57" href="/notes/Zeta/57" active-action="action-notesZeta57"><div class="name"> 黎曼的整体思路</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/58" href="/notes/Zeta/58" active-action="action-notesZeta58"><div class="name"> 筛法的奇偶障碍</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/59" href="/notes/Zeta/59" active-action="action-notesZeta59"><div class="name"> 黎曼非平凡零点计数渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/60" href="/notes/Zeta/60" active-action="action-notesZeta60"><div class="name"> Zeta非平凡零点虚部渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/61" href="/notes/Zeta/61" active-action="action-notesZeta61"><div class="name"> 黎曼Zeta函数非平凡零点虚部研究的历史脉络</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/62" href="/notes/Zeta/62" active-action="action-notesZeta62"><div class="name"> 黎曼Zeta函数非平凡零点虚部的表达式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/63" href="/notes/Zeta/63" active-action="action-notesZeta63"><div class="name"> 黎曼-西格尔公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/64" href="/notes/Zeta/64" active-action="action-notesZeta64"><div class="name"> On Riemann’s Nachlass for Analytic Number Theory Siegel(1932)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/65" href="/notes/Zeta/65" active-action="action-notesZeta65"><div class="name"> 论黎曼解析数论遗稿 西格尔(1932)[中文]</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/66" href="/notes/Zeta/66" active-action="action-notesZeta66"><div class="name"> 不知名的碎片4</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/67" href="/notes/Zeta/67" active-action="action-notesZeta67"><div class="name"> 不知名的碎片5</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/68" href="/notes/Zeta/68" active-action="action-notesZeta68"><div class="name"> 不知名的碎片6</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/69" href="/notes/Zeta/69" active-action="action-notesZeta69"><div class="name"> 不知名的碎片7</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/70" href="/notes/Zeta/70" 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title="/notes/Zeta/77" href="/notes/Zeta/77" active-action="action-notesZeta77"><div class="name"> 蒙哥马利-奥德利兹科定律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/78" href="/notes/Zeta/78" active-action="action-notesZeta78"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的表示方法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/79" href="/notes/Zeta/79" active-action="action-notesZeta79"><div class="name"> 拉马努金主定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/80" href="/notes/Zeta/80" active-action="action-notesZeta80"><div class="name"> 不知名的碎片8</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/81" href="/notes/Zeta/81" active-action="action-notesZeta81"><div class="name"> 不知名的碎片9</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/82" href="/notes/Zeta/82" active-action="action-notesZeta82"><div class="name"> 不知名的碎片10</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/83" href="/notes/Zeta/83" active-action="action-notesZeta83"><div class="name"> 不知名的碎片11</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/84" href="/notes/Zeta/84" active-action="action-notesZeta84"><div class="name"> 哈代定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/85" href="/notes/Zeta/85" active-action="action-notesZeta85"><div class="name"> 解析延拓的局限性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/86" href="/notes/Zeta/86" active-action="action-notesZeta86"><div class="name"> P对NP问题：计算复杂性的终极谜题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/87" href="/notes/Zeta/87" active-action="action-notesZeta87"><div class="name"> 广义化思维：从特殊到一般</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/88" href="/notes/Zeta/88" active-action="action-notesZeta88"><div class="name"> 问题的归约</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/89" href="/notes/Zeta/89" active-action="action-notesZeta89"><div class="name"> Shor算法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/90" href="/notes/Zeta/90" active-action="action-notesZeta90"><div class="name"> 子集和问题的NPC属性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/91" href="/notes/Zeta/91" active-action="action-notesZeta91"><div class="name"> 函数零点问题的等价转化及黎曼猜想的方法论困境</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/92" href="/notes/Zeta/92" active-action="action-notesZeta92"><div class="name"> 黎曼素数计数函数 J(x) 的自然截断现象与截断点分析</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/93" href="/notes/Zeta/93" active-action="action-notesZeta93"><div class="name"> 拉普拉斯变换</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/94" href="/notes/Zeta/94" active-action="action-notesZeta94"><div class="name"> 莫比乌斯函数与黎曼 Zeta 函数的深刻联系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/95" href="/notes/Zeta/95" active-action="action-notesZeta95"><div class="name"> 特殊函数倍乘公式的统一性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/96" href="/notes/Zeta/96" active-action="action-notesZeta96"><div class="name"> 塞尔伯格渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/97" href="/notes/Zeta/97" active-action="action-notesZeta97"><div class="name"> 塞尔伯格Zeta函数非平凡零点的正密率</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/98" href="/notes/Zeta/98" active-action="action-notesZeta98"><div class="name"> 塞尔伯格磨光函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/99" href="/notes/Zeta/99" active-action="action-notesZeta99"><div class="name"> 磨光技术</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/100" href="/notes/Zeta/100" active-action="action-notesZeta100"><div class="name"> 黎曼Zeta函数临界线幅角函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/101" href="/notes/Zeta/101" active-action="action-notesZeta101"><div class="name"> 玻尔-兰道定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/102" href="/notes/Zeta/102" active-action="action-notesZeta102"><div class="name"> 哈代-利特尔伍德临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/103" href="/notes/Zeta/103" 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class="flat-box" title="/notes/Zeta/110" href="/notes/Zeta/110" active-action="action-notesZeta110"><div class="name"> 庞加莱猜想与奇点手术</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/111" href="/notes/Zeta/111" active-action="action-notesZeta111"><div class="name"> 先磨光再解析延拓</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/112" href="/notes/Zeta/112" active-action="action-notesZeta112"><div class="name"> 朗道-西格尔零点猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/113" href="/notes/Zeta/113" active-action="action-notesZeta113"><div class="name"> 等差数列上的素数分布</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/114" href="/notes/Zeta/114" active-action="action-notesZeta114"><div class="name"> 大筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/115" href="/notes/Zeta/115" active-action="action-notesZeta115"><div class="name"> 模性定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/116" href="/notes/Zeta/116" active-action="action-notesZeta116"><div class="name"> 相邻素数间的有界间隔</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/117" href="/notes/Zeta/117" active-action="action-notesZeta117"><div class="name"> 克拉梅尔模型与孪生素数猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/118" href="/notes/Zeta/118" active-action="action-notesZeta118"><div class="name"> Zeta函数的洛朗展开</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/119" href="/notes/Zeta/119" active-action="action-notesZeta119"><div class="name"> Zeta函数与欧拉常数的关系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/120" href="/notes/Zeta/120" active-action="action-notesZeta120"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的矩问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/121" href="/notes/Zeta/121" active-action="action-notesZeta121"><div class="name"> 第n个素数的通项公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/122" href="/notes/Zeta/122" active-action="action-notesZeta122"><div class="name"> AKS算法证明素数判定属于P类问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/123" href="/notes/Zeta/123" active-action="action-notesZeta123"><div class="name"> 米勒-拉宾素性检验</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/124" href="/notes/Zeta/124" active-action="action-notesZeta124"><div class="name"> 中国剩余定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/125" href="/notes/Zeta/125" active-action="action-notesZeta125"><div class="name"> 二次互反律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/126" href="/notes/Zeta/126" active-action="action-notesZeta126"><div class="name"> 不知名的碎片12</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/127" href="/notes/Zeta/127" active-action="action-notesZeta127"><div class="name"> 斯特林公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/128" href="/notes/Zeta/128" active-action="action-notesZeta128"><div class="name"> 梅森素数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/129" href="/notes/Zeta/129" active-action="action-notesZeta129"><div class="name"> 全一素数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/130" href="/notes/Zeta/130" active-action="action-notesZeta130"><div class="name"> 华里士公式与欧拉 Beta 函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/131" href="/notes/Zeta/131" active-action="action-notesZeta131"><div class="name"> Bombieri-Vinogradov 定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/132" href="/notes/Zeta/132" active-action="action-notesZeta132"><div class="name"> EH猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/133" href="/notes/Zeta/133" active-action="action-notesZeta133"><div class="name"> Sarnak纲领性猜想：轨道上的素数分布理论</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/134" href="/notes/Zeta/134" active-action="action-notesZeta134"><div class="name"> 圆法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/135" href="/notes/Zeta/135" active-action="action-notesZeta135"><div class="name"> Bourgain-Gamburd-Sarnak猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/136" href="/notes/Zeta/136" active-action="action-notesZeta136"><div class="name"> 从L函数到动力系统的深层联系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/137" href="/notes/Zeta/137" active-action="action-notesZeta137"><div class="name"> 量子唯一遍历性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/138" href="/notes/Zeta/138" active-action="action-notesZeta138"><div class="name"> 投资组合优化 Markowitz 模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/139" href="/notes/Zeta/139" active-action="action-notesZeta139"><div class="name"> 凝聚态物理 谢林顿-柯克帕特里克模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/140" href="/notes/Zeta/140" active-action="action-notesZeta140"><div class="name"> 神经网络 Hopfield 模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/141" href="/notes/Zeta/141" active-action="action-notesZeta141"><div class="name"> 跨学科视角下的二次优化模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/142" href="/notes/Zeta/142" 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title="/notes/Zeta/149" href="/notes/Zeta/149" active-action="action-notesZeta149"><div class="name"> 不知名的碎片14</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/150" href="/notes/Zeta/150" active-action="action-notesZeta150"><div class="name"> L-函数的分析构造与自守形式的联系</div></a></li></ul></div></section><div class="widget-sticky pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div></aside><pjax><script>window.pdata={},pdata.ispage=!1,pdata.commentPath="",pdata.commentPlaceholder="",pdata.commentConfig={};var l_header=document.getElementById("l_header");l_header.classList.add("show");var cover_wrapper=document.querySelector("#l_cover .cover-wrapper"),scroll_down=document.getElementById("scroll-down");cover_wrapper.id="none",cover_wrapper.style.display="none",scroll_down.style.display="none"</script></pjax></div><footer class="footer clearfix" itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPFooter"><br><br><div class="aplayer-container"><div class="aplayer-local"></div></div><br><div class="social-wrapper" itemprop="about" itemscope="" itemtype="http://schema.org/Thing"><a href="/atom.xml" class="social fa-duotone fa-rss flat-btn" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" 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href="https://mhuig.top/">Copyright © Since 2018 MHuiG</a></p></div></footer><a id="s-top" class="fa-solid fa-arrow-up fa-fw" title="top"></a></div></div><div><script>volantis.dom.bodyAnchor=volantis.dom.$(document.getElementById("safearea")),volantis.dom.topBtn=volantis.dom.$(document.getElementById("s-top")),volantis.dom.wrapper=volantis.dom.$(document.getElementById("wrapper")),volantis.dom.coverAnchor=volantis.dom.$(document.querySelector("#l_cover .cover-wrapper")),volantis.dom.switcher=volantis.dom.$(document.querySelector("#l_header .switcher .s-search")),volantis.dom.header=volantis.dom.$(document.getElementById("l_header")),volantis.dom.search=volantis.dom.$(document.querySelector("#l_header .m_search")),volantis.dom.mPhoneList=volantis.dom.$(document.querySelectorAll("#l_header .m-phone .list-v"))</script><script>volantis.css("https://static.mhuig.top/npm/volantis-static@0.0.1660614606622/libs/@fortawesome/fontawesome-pro/css/all.min.css")</script><script 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