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Magicland, 魔法世界"><meta desc="" name="description" content="佩龙公式由奥斯卡·佩龙1907年提出，建立狄利克雷级数与算术函数部分和的积分关系，核心形式为部分和等于生成函数在复平面上的围道积分。通过梅林变换和留数定理推导，将离散求和转化为复积分，是连接数论与复分析的关键工具，在素数定理证明中起决定性作用，可将素数计数函数表示为黎曼ζ函数积分形式。 - MHuiG - Magicland"><meta property="og:type" content="website"><meta property="og:title" content="Magicland"><meta property="og:url" content="https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/25"><meta property="og:site_name" content="Magicland"><meta property="og:description" content="佩龙公式由奥斯卡·佩龙1907年提出，建立狄利克雷级数与算术函数部分和的积分关系，核心形式为部分和等于生成函数在复平面上的围道积分。通过梅林变换和留数定理推导，将离散求和转化为复积分，是连接数论与复分析的关键工具，在素数定理证明中起决定性作用，可将素数计数函数表示为黎曼ζ函数积分形式。"><meta property="og:locale"><meta property="og:image" content="https://blog.mhuig.top/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"><meta property="article:published_time" content="2025-10-06T08:10:00.000Z"><meta property="article:modified_time" content="2025-11-20T10:18:00.000Z"><meta property="article:author" content="MHuiG"><meta property="article:tag" content="Math"><meta 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="佩龙公式"><meta itemprop="description" content="佩龙公式由奥斯卡·佩龙1907年提出，建立狄利克雷级数与算术函数部分和的积分关系，核心形式为部分和等于生成函数在复平面上的围道积分。通过梅林变换和留数定理推导，将离散求和转化为复积分，是连接数论与复分析的关键工具，在素数定理证明中起决定性作用，可将素数计数函数表示为黎曼ζ函数积分形式。"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">佩龙公式</span></p><br><h1 hidden="">佩龙公式</h1><div class="story post-story"><h2 id="历史背景"><a href="#历史背景" class="headerlink" title="历史背景"></a>历史背景</h2><p>19 世纪末至 20 世纪初，解析数论面临的核心挑战是如何将离散算术函数与连续复分析工具连接起来。1859 年黎曼发表关于素数分布的开创性论文后，数学家们意识到狄利克雷级数的解析性质蕴含着数论函数的深刻信息。正是在这一背景下，德国数学家奥斯卡・佩龙（Oskar Perron）于 1907 年在研究连分数理论时首次系统提出了这一积分表示公式，其原始形式虽未直接针对数论问题，但很快被发现是连接狄利克雷级数与算术函数和的关键工具。</p><p>佩龙公式的核心意义在于提供了<strong>离散 - 连续对偶性</strong>的严格数学表述：它将数论中离散的求和运算（如素数计数函数）转化为复平面上的积分运算，从而允许应用柯西留数定理、围道积分等复分析方法研究数论问题。这种转换在素数定理的证明中展现出决定性作用，通过将切比雪夫 ψ 函数表示为黎曼 ζ 函数的积分形式，数学家得以将素数分布问题转化为对 ζ 函数零点分布的研究。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="严格定义与数学表述"><a href="#严格定义与数学表述" class="headerlink" title="严格定义与数学表述"></a>严格定义与数学表述</h2><h3 id="基本形式"><a href="#基本形式" class="headerlink" title="基本形式"></a>基本形式</h3><p>设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.314ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1907 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a(n)"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 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57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为算术函数，其狄利克雷级数生成函数为：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:25.892ex"><svg style="vertical-align:-2.555ex;min-width:25.892ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.24ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1629.1)"><g data-mml-node="math" data-latex="
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" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1658.8) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="10933.4 -1658.8 1 2817.6"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,88.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="munderover" data-latex="\sum_{n\leq x}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\sum"><path data-c="2211" d="M1265-450 1389-124 1355-124C1336-174 1304-216 1258-250 1145-334 1000-356 791-356L200-356 700 232C707 239 710 246 710 251L244 894 781 894C970 894 1127 870 1230 804 1290 766 1332 719 1356 663L1389 663 1265 950 88 950C70 950 60 947 57 941 56 938 56 926 56 905L581 187 68-415C61-423 57-430 57-435 57-445 67-450 88-450Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(32.6,-1063.2) scale(0.707)" data-latex="{n\leq x}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 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72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ），积分理解为柯西主值。</p><h3 id="带余项的实用形式"><a href="#带余项的实用形式" class="headerlink" title="带余项的实用形式"></a>带余项的实用形式</h3><p>在实际计算中，无穷积分需截断为有限积分，此时带余项的佩龙公式更为有用。严格表述：</p><p><strong>定理</strong>（带余项的佩龙公式）：</p><p>设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.518ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1997 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A(s) = \sum_{n=1}^\infty a(n)n^{-s}"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A(s) = \sum_{n=1}^\infty a(n)n^{-s}"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="munderover" data-latex="\infty" transform="translate(1055.8,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex="\sum"><path data-c="2211" d="M56 713 417 216 67-217C60-225 57-231 57-235 57-245 67-250 88-250L913-250 1001 5 967 5C954-33 933-66 902-95 825-166 719-188 565-188L152-188 490 232C497 240 500 246 500 250 500 254 498 259 493 266L175 702 560 702C682 702 764 691 854 644 907 616 944 571 967 510L1001 510 913 750 88 750C57 750 56 746 56 713Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1089,477.1) scale(0.707)" 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\sum_{n \leq x} a(n)n^{-s_0} = \frac{1}{2\pi i} \int_{b - iT}^{b + iT} A(s_0 + s)\frac{x^s}{s}ds + O\left( \frac{x^b B(b + \sigma_0)}{T} \right) + \O\left( x^{1 - \sigma_0} H(2x) \min\left(1, \frac{\log x}{T}\right) \right) + \O\left( x^{-\sigma_0} H(N) \min\left(1, \frac{x}{T\|x\|}\right) \right)
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="\mathcal{O}\left( x^{-\sigma_0 } H(N) \min\left(1, \frac{x}{T\|x\|}\right) \right)
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1663.1) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="28753.2 -1663.1 1 2826.1"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,84.3)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="munder" data-latex="\sum_{n\leq x}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\sum"><path data-c="2211" d="M1265-450 1389-124 1355-124C1336-174 1304-216 1258-250 1145-334 1000-356 791-356L200-356 700 232C707 239 710 246 710 251L244 894 781 894C970 894 1127 870 1230 804 1290 766 1332 719 1356 663L1389 663 1265 950 88 950C70 950 60 947 57 941 56 938 56 926 56 905L581 187 68-415C61-423 57-430 57-435 57-445 67-450 88-450Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(32.6,-1063.2) scale(0.707)" data-latex="{n\leq x}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 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53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="b_0" transform="translate(1472.7,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="b"><path data-c="1D44F" d="M281 445C245 445 209 428 174 394L243 679C241 688 238 694 226 694 193 694 120 685 107 684 92 682 84 675 84 660 84 650 93 645 112 645 131 645 157 646 157 632 157 628 152 608 143 571L63 249C52 207 47 173 47 148 47 62 93-11 175-11 240-11 297 22 347 89 392 151 415 216 415 283 415 370 364 445 281 445M279 415C318 415 337 385 337 326 337 299 331 263 319 218 297 133 268 75 233 44 213 27 194 19 175 19 134 19 114 51 114 115 114 137 119 170 129 214L151 304C154 319 159 330 165 338 204 389 242 415 279 415Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(462,-150) scale(0.707)" data-latex="0"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 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class="story post-story"><h2 id="推导过程"><a href="#推导过程" class="headerlink" title="推导过程"></a>推导过程</h2><p>佩龙公式的严格推导需要结合狄利克雷级数与梅林变换的性质，以下分四步给出完整证明：</p><h3 id="1-阶跃函数表示"><a href="#1-阶跃函数表示" class="headerlink" title="1. 阶跃函数表示"></a>1. 阶跃函数表示</h3><p>引入 Heaviside 单位阶跃函数：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:30.878ex"><svg style="vertical-align:-3.281ex;min-width:30.878ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="7.692ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1950)"><g data-mml-node="math" data-latex="
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狄利克雷级数与积分的交换</h3><p>考虑<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.751ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2100 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g><g data-mml-node="mo" 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\int_0^\infty A(x) x^{-s - 1} \mathrm dx = \sum_{n=1}^\infty a(n) \int_0^\infty H(x - n) x^{-s - 1} \mathrm dx
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\int_0 ^\infty A(x) x^{-s - 1} \mathrm dx = \sum_{n=1}^\infty a(n) \int_0 ^\infty H(x - n) x^{-s - 1} \mathrm dx
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1629.1) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="11176.4 -1629.1 1 2758.3"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,66.6)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msubsup" data-latex="\infty"><g data-mml-node="mo" data-latex="\int"><path data-c="222B" d="M831 1361C784 1361 742 1318 703 1232 684 1191 664 1129 642 1046 545 688 472 339 395-117 360-328 331-481 308-574 267-745 220-831 168-831 149-831 132-826 117-815 146-810 160-793 160-763 160-734 138-711 109-711 74-711 56-729 56-764 56-822 113-861 170-861 243-861 303-803 350-688 375-627 409-509 451-336 524-39 589 279 646 617 686 854 722 1034 753 1157 782 1273 809 1331 833 1331 853 1331 870 1326 883 1315 854 1310 839 1293 839 1263 839 1234 861 1211 890 1211 925 1211 943 1229 943 1264 943 1319 889 1361 831 1361Z"></path></g><g data-mml-node="mi" 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Mellin 逆变换</h3><p>根据 Mellin 变换的反演公式，若<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1998 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="F(s) = \mathcal{M}_x[f(x)] (s) = \int_0^\infty f(x) x^{s - 1}\mathrm dx"><g data-mml-node="mi" data-latex="F"><path data-c="1D439" d="M199 656C199 646 210 641 231 641 271 641 291 637 291 628 291 625 289 618 286 605L156 82C150 60 140 47 126 42 119 40 101 39 70 39 48 39 38 37 38 16 38 5 44 0 57 0L187 3 335 0C351 0 359 8 359 23 359 40 348 39 322 39 278 39 253 41 247 46 244 47 243 51 243 56L307 321 400 321C446 321 478 319 478 281 478 268 476 252 471 233 470 230 469 226 468 222 468 211 473 206 484 206 489 207 496 214 503 229L557 444C559 452 560 458 560 461 557 470 551 475 544 475 536 475 530 467 526 452 516 414 502 390 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233-202Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="0"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.142ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3598.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="[-iT, iT] "><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270 80 270C64 270 56 263 56 250 56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250 722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="i" transform="translate(778,0)"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 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data-latex="," transform="translate(1827,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="i" transform="translate(2271.7,0)"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661 216 661 188 633 188 605 188 578 202 565 229 565 257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19 151 19 144 28 144 47 144 64 173 150 232 306 240 329 244 347 244 360 244 409 210 445 161 445 118 445 84 420 59 369 39 328 29 301 29 288 29 279 34 275 45 275 58 275 60 281 64 295 87 375 118 415 158 415 171 415 178 406 178 387 178 373 175 357 168 338 145 275 121 208 101 155 86 115 78 88 78 74 78 25 114-11 162-11 205-11 239 14 264 64 283 103 293 130 293 145 293 154 288 159 277 159 274 159 259 150 259 138Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="T" transform="translate(2616.7,0)"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="]" transform="translate(3320.7,0)"><path data-c="5D" d="M45-250 164-250 164 750 45 750C30 750 22 742 22 726 22 710 30 702 45 702L119 702 119-202 45-202C30-202 22-210 22-226 22-242 30-250 45-250Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的有限积分，余项估计基于复分析中的约当引理和被积函数衰减性。以非整数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="x"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为例，积分误差主要来自三部分：</p><ol><li><p>垂直积分路径两端的贡献（<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.075ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 917 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="|t| > T"><g data-mml-node="mo" data-latex="|"><path data-c="7C" d="M139-250C152-250 159-242 159-226L159 726C159 742 152 750 139 750 126 750 119 742 119 726L119-226C119-242 126-250 139-250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="t" transform="translate(278,0)"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 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部分）</p></li><li><p>被积函数在积分路径右侧可能的奇点（由<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.518ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1997 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="A(s)"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="1D434" d="M137 3C155 3 217 0 236 0 251 0 258 8 258 23 258 32 252 38 239 39 210 40 196 50 196 69 196 78 205 98 224 128 251 173 270 206 283 228L526 228C526 221 527 207 530 185 537 112 541 72 541 67 541 48 519 39 474 39 455 39 446 31 446 15 446 5 452 0 464 0 488 0 564 3 588 3 608 3 679 0 699 0 714 0 721 8 721 24 721 34 712 39 694 39 666 39 649 41 644 44 639 47 635 56 634 71L574 689C571 708 572 716 551 716 539 716 529 710 522 697L178 120C148 70 108 43 59 39 43 38 35 30 35 15 35 5 41 0 52 0 68 0 121 3 137 3M492 577 522 267 307 267Z"></path></g><g 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2658.7 1342.7"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="O(\frac{x^b}{T})"><g data-mml-node="mi" data-latex="O"><path data-c="1D442" d="M702 263C727 320 740 377 740 435 740 513 717 577 670 628 623 679 561 705 484 705 431 705 378 692 325 666 217 613 138 529 87 415 62 359 49 303 49 246 49 167 72 103 119 53 166 3 228-22 306-22 358-22 410-9 463 16 572 69 651 152 702 263M644 474C644 341 584 208 520 129 476 74 400 12 312 12 205 12 149 105 149 218 149 253 156 300 169 357 196 475 264 579 353 633 396 659 438 672 478 672 586 672 644 586 644 474Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(763,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 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class="story post-story"><h2 id="核心应用"><a href="#核心应用" class="headerlink" title="核心应用"></a>核心应用</h2><h3 id="素数定理证明中的关键步骤"><a href="#素数定理证明中的关键步骤" class="headerlink" title="素数定理证明中的关键步骤"></a>素数定理证明中的关键步骤</h3><p>佩龙公式在解析数论中最著名的应用是素数定理的严格证明。考虑切比雪夫函数：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:27.541ex"><svg style="vertical-align:-1.92ex;min-width:27.541ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="4.971ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1348.7)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\psi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n)
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\psi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n)
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\psi(x) = x - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} - \frac{1}{2}\log(1 - x^{-2})
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\psi(x) = x - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} - \frac{1}{2}\log(1 - x^{-2})
" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 1631) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="9768.4 -1631 1 2761.9"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,171.8)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="\psi"><path data-c="1D713" d="M534 393C534 384 539 374 550 363 573 341 585 314 585 282 585 253 576 222 557 187 522 120 476 72 421 43 388 26 355 18 322 17L484 663C486 672 487 677 487 679 487 689 482 694 471 694 466 694 463 693 460 691 456 683 454 676 453 671L290 19C219 28 184 64 184 126 184 153 202 214 237 309 244 329 248 346 248 359 248 409 213 444 163 444 118 444 84 419 59 369 39 329 29 302 29 288 29 279 34 274 45 274 58 274 60 280 64 294 87 374 119 414 160 414 174 414 181 405 181 387 181 371 174 343 159 303 127 218 111 162 111 134 111 47 168-1 282-10 274-45 267-74 261-96 246-153 238-185 238-192 241-200 242-205 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111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(4124.5,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 等）</p></li><li><p><strong>构建生成函数</strong>：找到对应的狄利克雷级数（通常需证明解析开拓性质）</p></li><li><p><strong>应用佩龙公式</strong>：选择合适的积分路径（实部<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 433 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="c > \sigma_a"><g data-mml-node="mi" data-latex="c"><path data-c="1D450" d="M328 325C328 300 341 287 368 287 404 287 427 318 427 354 427 410 368 442 308 442 239 442 176 412 122 353 68 294 41 229 41 159 41 61 106-11 204-11 257-11 304 2 345 27 379 48 404 69 420 90 427 99 430 106 430 109 430 120 425 126 414 126 409 126 404 122 398 114 365 70 324 42 277 30 246 22 223 18 206 18 149 18 121 53 121 122 121 184 150 274 174 317 198 361 249 413 308 413 346 413 372 402 386 381 355 378 328 358 328 325Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.715ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2083.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="c > \sigma_a"><g data-mml-node="mo" data-latex=">"><path data-c="3E" d="M686 227C696 232 701 239 701 250 701 261 696 268 686 273L112 545C109 546 105 547 101 547 85 547 77 539 77 522 77 513 82 506 91 502L625 250 91-2C82-6 77-13 77-22 77-39 85-47 101-47 105-47 109-46 112-45Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="\sigma_a" transform="translate(1055.8,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\sigma"><path data-c="1D70E" d="M525 431 300 431C252 431 207 416 166 385 102 336 38 250 38 148 38 58 100-11 190-11 257-11 317 18 368 76 417 132 441 194 441 263 441 304 432 338 414 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 550 431 525 431M107 121C107 180 121 234 150 282 184 338 228 366 283 366 341 366 370 336 370 275 370 250 365 221 355 187 335 116 302 66 256 39 233 25 211 18 191 18 136 18 107 63 107 121Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(604,-150) scale(0.707)" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> ）和截断参数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.593ex" height="1.532ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 704 677"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="T"><g data-mml-node="mi" data-latex="T"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></p></li><li><p><strong>围道变形与留数计算</strong>：将积分线移至左半平面，计算被积函数奇点的留数贡献</p></li><li><p><strong>余项估计</strong>：利用函数增长性、衰减性控制积分误差项</p></li><li><p><strong>提取渐近主项</strong>：分析留数贡献得到和函数的渐近公式</p></li></ol><p>例如在高斯圆问题（求圆内整点个数）中，通过将<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.138ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1829 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="r(n)"><g data-mml-node="mi" data-latex="r"><path data-c="1D45F" d="M436 374C436 416 395 442 351 442 302 442 261 419 227 372 217 411 183 442 136 442 95 442 65 410 44 345 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 150 413 159 399 159 371 159 358 154 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 110-11 130-11 143-1 150 19L169 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75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 代入佩龙公式，可将整点计数转化为对该乘积函数的围道积分。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="推广与现代发展"><a href="#推广与现代发展" class="headerlink" title="推广与现代发展"></a>推广与现代发展</h2><h3 id="L-Perron公式：解析延拓与连续性改进"><a href="#L-Perron公式：解析延拓与连续性改进" class="headerlink" title="L-Perron公式：解析延拓与连续性改进"></a>L-Perron 公式：解析延拓与连续性改进</h3><p>标准佩龙公式的结果在整数点处存在跳跃间断（源于 Heaviside 函数的定义）。柯兰（2021）提出的改进形式通过引入包含所有极点的半圆形围道，得到了解析的求和函数：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:38.66ex"><svg style="vertical-align:-2.17ex;min-width:38.66ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.471ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1459.2)"><g data-mml-node="math" data-latex="
L(x) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma + \Gamma} f(s) x^s \frac{\mathrm d s}{s}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
L(x) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma + \Gamma} f(s) x^s \frac{\mathrm d s}{s}
" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 1459.2) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="5965.8 -1459.2 1 2418.4"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,89.2)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 15 39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248 643 258 638 263 627 263 617 263 612 254 607 240 588 191 570 154 555 131 518 75 455 39 363 39L270 39C259 39 252 39 249 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L377 601C383 624 396 637 415 642 421 643 442 644 478 644 506 644 520 644 520 667Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(681,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(1070,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 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class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/50.html" title="黎曼Zeta函数的解析延拓" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/41.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/41.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="黎曼Zeta函数的解析延拓"> <span class="title">黎曼Zeta函数的解析延拓</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/78.html" title="黎曼Zeta函数的表示方法" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/26.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/26.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="黎曼Zeta函数的表示方法"> <span class="title">黎曼Zeta函数的表示方法</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/57.html" title="黎曼的整体思路" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/36.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/36.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="黎曼的整体思路"> <span class="title">黎曼的整体思路</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/54.html" title="Zeta函数解析延拓的经典方法" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/89.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/89.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Zeta函数解析延拓的经典方法"> <span class="title">Zeta函数解析延拓的经典方法</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/53.html" title="Zeta函数的函数方程" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/34.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/34.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Zeta函数的函数方程"> <span class="title">Zeta函数的函数方程</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/24.html" title="梅林变换" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/119.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/119.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="梅林变换"> <span class="title">梅林变换</span></a></div></div></article><article class="post white-box shadow floatable blur" id="comments"><span hidden=""><meta itemprop="discussionUrl" content="/notes/Zeta/25#comments"></span><p ct=""><i class="fa-duotone fa-comments"></i> 留言区</p><div id="layoutHelper-comments"></div></article></div><aside id="l_side" itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPSideBar"><section class="widget text desktop mobile 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fair copy of Riemann's publication</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/4" href="/notes/Zeta/4" active-action="action-notesZeta4"><div class="name"> Clebsch's fair copy of Riemann's publication</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/5" href="/notes/Zeta/5" active-action="action-notesZeta5"><div class="name"> Riemann’s 1859 Manuscript</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/6" href="/notes/Zeta/6" active-action="action-notesZeta6"><div class="name"> Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/7" href="/notes/Zeta/7" active-action="action-notesZeta7"><div class="name"> On the Number of Primes Less Than a Given Quantity</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/8" href="/notes/Zeta/8" active-action="action-notesZeta8"><div class="name"> Riemann’s Zeta Function</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/9" href="/notes/Zeta/9" active-action="action-notesZeta9"><div class="name"> Euclid素数无限定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/10" href="/notes/Zeta/10" active-action="action-notesZeta10"><div class="name"> 埃拉托斯特尼筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/11" href="/notes/Zeta/11" active-action="action-notesZeta11"><div class="name"> Euler对无穷级数的若干观察</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/12" href="/notes/Zeta/12" active-action="action-notesZeta12"><div class="name"> 欧拉乘积公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/13" href="/notes/Zeta/13" active-action="action-notesZeta13"><div class="name"> 牛顿广义二项式定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/14" href="/notes/Zeta/14" active-action="action-notesZeta14"><div class="name"> 二年级之梦</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/15" href="/notes/Zeta/15" active-action="action-notesZeta15"><div class="name"> 罗素悖论</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/16" href="/notes/Zeta/16" active-action="action-notesZeta16"><div class="name"> 哥德尔不完备性定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/17" href="/notes/Zeta/17" active-action="action-notesZeta17"><div class="name"> 停机问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/18" href="/notes/Zeta/18" active-action="action-notesZeta18"><div class="name"> 素数定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/19" href="/notes/Zeta/19" active-action="action-notesZeta19"><div class="name"> 对数运算法则</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/20" href="/notes/Zeta/20" active-action="action-notesZeta20"><div class="name"> 本福特定律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/21" href="/notes/Zeta/21" active-action="action-notesZeta21"><div class="name"> 狄利克雷Eta函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/22" href="/notes/Zeta/22" active-action="action-notesZeta22"><div class="name"> 留数定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/23" href="/notes/Zeta/23" active-action="action-notesZeta23"><div class="name"> 多项式分式前n项和变换为积分</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/24" href="/notes/Zeta/24" active-action="action-notesZeta24"><div class="name"> 梅林变换</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/25" href="/notes/Zeta/25" active-action="action-notesZeta25"><div class="name"> 佩龙公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/26" href="/notes/Zeta/26" active-action="action-notesZeta26"><div class="name"> 曼戈尔特函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/27" href="/notes/Zeta/27" active-action="action-notesZeta27"><div class="name"> 黎曼素数计数函数J(x)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/28" href="/notes/Zeta/28" active-action="action-notesZeta28"><div class="name"> 莫比乌斯反演</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/29" href="/notes/Zeta/29" active-action="action-notesZeta29"><div class="name"> 斯蒂尔杰斯积分</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/30" href="/notes/Zeta/30" active-action="action-notesZeta30"><div class="name"> 威尔斯特拉斯无穷乘积展开</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/31" href="/notes/Zeta/31" active-action="action-notesZeta31"><div class="name"> 不知名的碎片1</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/32" href="/notes/Zeta/32" active-action="action-notesZeta32"><div class="name"> 不知名的碎片2</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/33" href="/notes/Zeta/33" active-action="action-notesZeta33"><div class="name"> 不知名的碎片3</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/34" href="/notes/Zeta/34" active-action="action-notesZeta34"><div class="name"> 根号2的无理性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/35" href="/notes/Zeta/35" active-action="action-notesZeta35"><div class="name"> e的无理性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/36" href="/notes/Zeta/36" active-action="action-notesZeta36"><div class="name"> π的无理性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/37" href="/notes/Zeta/37" active-action="action-notesZeta37"><div class="name"> Zeta的无理性之谜</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/38" href="/notes/Zeta/38" active-action="action-notesZeta38"><div class="name"> Niven的无理数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/39" href="/notes/Zeta/39" active-action="action-notesZeta39"><div class="name"> 柯西方法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/40" href="/notes/Zeta/40" active-action="action-notesZeta40"><div class="name"> 积性函数蕴含迭代结构</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/41" href="/notes/Zeta/41" active-action="action-notesZeta41"><div class="name"> 黎曼 Zeta 函数是分形</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/42" href="/notes/Zeta/42" active-action="action-notesZeta42"><div class="name"> 沃罗宁定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/43" href="/notes/Zeta/43" active-action="action-notesZeta43"><div class="name"> 迭代积分</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/44" href="/notes/Zeta/44" active-action="action-notesZeta44"><div class="name"> 高阶导数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/45" href="/notes/Zeta/45" active-action="action-notesZeta45"><div class="name"> 阿贝尔变换</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/46" href="/notes/Zeta/46" active-action="action-notesZeta46"><div class="name"> 泊松求和公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/47" href="/notes/Zeta/47" active-action="action-notesZeta47"><div class="name"> Theta函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/48" href="/notes/Zeta/48" active-action="action-notesZeta48"><div class="name"> 魔群</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/49" href="/notes/Zeta/49" active-action="action-notesZeta49"><div class="name"> 朗兰兹纲领</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/50" href="/notes/Zeta/50" active-action="action-notesZeta50"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的解析延拓</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/51" href="/notes/Zeta/51" active-action="action-notesZeta51"><div class="name"> 积分与求和交换顺序</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/52" href="/notes/Zeta/52" active-action="action-notesZeta52"><div class="name"> 魏尔斯特拉斯判别法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/53" href="/notes/Zeta/53" active-action="action-notesZeta53"><div class="name"> Zeta函数的函数方程</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/54" href="/notes/Zeta/54" active-action="action-notesZeta54"><div class="name"> Zeta函数解析延拓的经典方法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/55" href="/notes/Zeta/55" active-action="action-notesZeta55"><div class="name"> 黎曼Xi函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/56" href="/notes/Zeta/56" active-action="action-notesZeta56"><div class="name"> 黎曼关于Zeta函数零点分布的三个核心论断</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/57" href="/notes/Zeta/57" active-action="action-notesZeta57"><div class="name"> 黎曼的整体思路</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/58" href="/notes/Zeta/58" active-action="action-notesZeta58"><div class="name"> 筛法的奇偶障碍</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/59" href="/notes/Zeta/59" active-action="action-notesZeta59"><div class="name"> 黎曼非平凡零点计数渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/60" href="/notes/Zeta/60" active-action="action-notesZeta60"><div class="name"> Zeta非平凡零点虚部渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/61" href="/notes/Zeta/61" active-action="action-notesZeta61"><div class="name"> 黎曼Zeta函数非平凡零点虚部研究的历史脉络</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/62" href="/notes/Zeta/62" active-action="action-notesZeta62"><div class="name"> 黎曼Zeta函数非平凡零点虚部的表达式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/63" href="/notes/Zeta/63" active-action="action-notesZeta63"><div class="name"> 黎曼-西格尔公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/64" href="/notes/Zeta/64" active-action="action-notesZeta64"><div class="name"> On Riemann’s Nachlass for Analytic Number Theory Siegel(1932)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/65" href="/notes/Zeta/65" active-action="action-notesZeta65"><div class="name"> 论黎曼解析数论遗稿 西格尔(1932)[中文]</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/66" href="/notes/Zeta/66" active-action="action-notesZeta66"><div class="name"> 不知名的碎片4</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/67" href="/notes/Zeta/67" active-action="action-notesZeta67"><div class="name"> 不知名的碎片5</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/68" href="/notes/Zeta/68" active-action="action-notesZeta68"><div class="name"> 不知名的碎片6</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/69" href="/notes/Zeta/69" active-action="action-notesZeta69"><div class="name"> 不知名的碎片7</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/70" href="/notes/Zeta/70" active-action="action-notesZeta70"><div class="name"> Zeta(3)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/71" href="/notes/Zeta/71" active-action="action-notesZeta71"><div class="name"> 与RH等价的命题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/72" href="/notes/Zeta/72" active-action="action-notesZeta72"><div class="name"> 黎曼ξ函数的对数表示与其零点乘积形式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/73" href="/notes/Zeta/73" active-action="action-notesZeta73"><div class="name"> 黎曼ξ函数对数展开的历史</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/74" href="/notes/Zeta/74" active-action="action-notesZeta74"><div class="name"> 阿达马因子分解定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/75" href="/notes/Zeta/75" active-action="action-notesZeta75"><div class="name"> 戴森与蒙哥马利的跨学科邂逅</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/76" href="/notes/Zeta/76" active-action="action-notesZeta76"><div class="name"> 希尔伯特-波利亚猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/77" href="/notes/Zeta/77" active-action="action-notesZeta77"><div class="name"> 蒙哥马利-奥德利兹科定律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/78" href="/notes/Zeta/78" active-action="action-notesZeta78"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的表示方法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/79" href="/notes/Zeta/79" active-action="action-notesZeta79"><div class="name"> 拉马努金主定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/80" href="/notes/Zeta/80" active-action="action-notesZeta80"><div class="name"> 不知名的碎片8</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/81" href="/notes/Zeta/81" active-action="action-notesZeta81"><div class="name"> 不知名的碎片9</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/82" href="/notes/Zeta/82" active-action="action-notesZeta82"><div class="name"> 不知名的碎片10</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/83" href="/notes/Zeta/83" active-action="action-notesZeta83"><div class="name"> 不知名的碎片11</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/84" href="/notes/Zeta/84" active-action="action-notesZeta84"><div class="name"> 哈代定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/85" href="/notes/Zeta/85" active-action="action-notesZeta85"><div class="name"> 解析延拓的局限性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/86" href="/notes/Zeta/86" active-action="action-notesZeta86"><div class="name"> P对NP问题：计算复杂性的终极谜题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/87" href="/notes/Zeta/87" active-action="action-notesZeta87"><div class="name"> 广义化思维：从特殊到一般</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/88" href="/notes/Zeta/88" active-action="action-notesZeta88"><div class="name"> 问题的归约</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/89" href="/notes/Zeta/89" active-action="action-notesZeta89"><div class="name"> Shor算法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/90" href="/notes/Zeta/90" active-action="action-notesZeta90"><div class="name"> 子集和问题的NPC属性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/91" href="/notes/Zeta/91" active-action="action-notesZeta91"><div class="name"> 函数零点问题的等价转化及黎曼猜想的方法论困境</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/92" href="/notes/Zeta/92" active-action="action-notesZeta92"><div class="name"> 黎曼素数计数函数 J(x) 的自然截断现象与截断点分析</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/93" href="/notes/Zeta/93" active-action="action-notesZeta93"><div class="name"> 拉普拉斯变换</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/94" href="/notes/Zeta/94" active-action="action-notesZeta94"><div class="name"> 莫比乌斯函数与黎曼 Zeta 函数的深刻联系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/95" href="/notes/Zeta/95" active-action="action-notesZeta95"><div class="name"> 特殊函数倍乘公式的统一性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/96" href="/notes/Zeta/96" active-action="action-notesZeta96"><div class="name"> 塞尔伯格渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/97" href="/notes/Zeta/97" active-action="action-notesZeta97"><div class="name"> 塞尔伯格Zeta函数非平凡零点的正密率</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/98" href="/notes/Zeta/98" active-action="action-notesZeta98"><div class="name"> 塞尔伯格磨光函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/99" href="/notes/Zeta/99" active-action="action-notesZeta99"><div class="name"> 磨光技术</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/100" href="/notes/Zeta/100" active-action="action-notesZeta100"><div class="name"> 黎曼Zeta函数临界线幅角函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/101" href="/notes/Zeta/101" active-action="action-notesZeta101"><div class="name"> 玻尔-兰道定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/102" href="/notes/Zeta/102" active-action="action-notesZeta102"><div class="name"> 哈代-利特尔伍德临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/103" href="/notes/Zeta/103" active-action="action-notesZeta103"><div class="name"> 塞尔伯格临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/104" href="/notes/Zeta/104" active-action="action-notesZeta104"><div class="name"> 莱文森临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/105" href="/notes/Zeta/105" active-action="action-notesZeta105"><div class="name"> 康瑞临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/106" href="/notes/Zeta/106" active-action="action-notesZeta106"><div class="name"> Zeta函数非平凡零点虚部的无理性与超越性之谜</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/107" href="/notes/Zeta/107" active-action="action-notesZeta107"><div class="name"> 塞尔伯格迹公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/108" href="/notes/Zeta/108" active-action="action-notesZeta108"><div class="name"> 复制函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/109" href="/notes/Zeta/109" active-action="action-notesZeta109"><div class="name"> 塞尔伯格筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/110" href="/notes/Zeta/110" active-action="action-notesZeta110"><div class="name"> 庞加莱猜想与奇点手术</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/111" href="/notes/Zeta/111" active-action="action-notesZeta111"><div class="name"> 先磨光再解析延拓</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/112" href="/notes/Zeta/112" active-action="action-notesZeta112"><div class="name"> 朗道-西格尔零点猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/113" href="/notes/Zeta/113" active-action="action-notesZeta113"><div class="name"> 等差数列上的素数分布</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/114" href="/notes/Zeta/114" active-action="action-notesZeta114"><div class="name"> 大筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/115" href="/notes/Zeta/115" active-action="action-notesZeta115"><div class="name"> 模性定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/116" href="/notes/Zeta/116" active-action="action-notesZeta116"><div class="name"> 相邻素数间的有界间隔</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/117" href="/notes/Zeta/117" active-action="action-notesZeta117"><div class="name"> 克拉梅尔模型与孪生素数猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/118" href="/notes/Zeta/118" active-action="action-notesZeta118"><div class="name"> Zeta函数的洛朗展开</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/119" href="/notes/Zeta/119" active-action="action-notesZeta119"><div class="name"> Zeta函数与欧拉常数的关系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/120" href="/notes/Zeta/120" active-action="action-notesZeta120"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的矩问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/121" href="/notes/Zeta/121" active-action="action-notesZeta121"><div class="name"> 第n个素数的通项公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/122" href="/notes/Zeta/122" active-action="action-notesZeta122"><div class="name"> AKS算法证明素数判定属于P类问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/123" href="/notes/Zeta/123" active-action="action-notesZeta123"><div class="name"> 米勒-拉宾素性检验</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/124" href="/notes/Zeta/124" active-action="action-notesZeta124"><div class="name"> 中国剩余定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/125" href="/notes/Zeta/125" active-action="action-notesZeta125"><div class="name"> 二次互反律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/126" href="/notes/Zeta/126" active-action="action-notesZeta126"><div class="name"> 不知名的碎片12</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/127" href="/notes/Zeta/127" active-action="action-notesZeta127"><div class="name"> 斯特林公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/128" href="/notes/Zeta/128" active-action="action-notesZeta128"><div class="name"> 梅森素数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/129" href="/notes/Zeta/129" active-action="action-notesZeta129"><div class="name"> 全一素数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/130" href="/notes/Zeta/130" active-action="action-notesZeta130"><div class="name"> 华里士公式与欧拉 Beta 函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/131" href="/notes/Zeta/131" active-action="action-notesZeta131"><div class="name"> Bombieri-Vinogradov 定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/132" href="/notes/Zeta/132" active-action="action-notesZeta132"><div class="name"> EH猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/133" href="/notes/Zeta/133" active-action="action-notesZeta133"><div class="name"> Sarnak纲领性猜想：轨道上的素数分布理论</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/134" href="/notes/Zeta/134" active-action="action-notesZeta134"><div class="name"> 圆法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/135" href="/notes/Zeta/135" active-action="action-notesZeta135"><div class="name"> Bourgain-Gamburd-Sarnak猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/136" href="/notes/Zeta/136" active-action="action-notesZeta136"><div class="name"> 从L函数到动力系统的深层联系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/137" href="/notes/Zeta/137" active-action="action-notesZeta137"><div class="name"> 量子唯一遍历性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/138" href="/notes/Zeta/138" active-action="action-notesZeta138"><div class="name"> 投资组合优化 Markowitz 模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/139" href="/notes/Zeta/139" active-action="action-notesZeta139"><div class="name"> 凝聚态物理 谢林顿-柯克帕特里克模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/140" href="/notes/Zeta/140" active-action="action-notesZeta140"><div class="name"> 神经网络 Hopfield 模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/141" href="/notes/Zeta/141" active-action="action-notesZeta141"><div class="name"> 跨学科视角下的二次优化模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/142" href="/notes/Zeta/142" active-action="action-notesZeta142"><div class="name"> 不知名的碎片13</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/143" href="/notes/Zeta/143" active-action="action-notesZeta143"><div class="name"> 马尔可夫过程</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/144" href="/notes/Zeta/144" active-action="action-notesZeta144"><div class="name"> 玻尔兹曼机</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/145" href="/notes/Zeta/145" active-action="action-notesZeta145"><div class="name"> 乌拉姆素数螺旋</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/146" href="/notes/Zeta/146" active-action="action-notesZeta146"><div class="name"> 计算不可约性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/147" href="/notes/Zeta/147" active-action="action-notesZeta147"><div class="name"> TREE(3)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/148" href="/notes/Zeta/148" active-action="action-notesZeta148"><div class="name"> 数学自循环演化系统 [胡说八道]</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/149" href="/notes/Zeta/149" active-action="action-notesZeta149"><div class="name"> 不知名的碎片14</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/150" href="/notes/Zeta/150" active-action="action-notesZeta150"><div class="name"> L-函数的分析构造与自守形式的联系</div></a></li></ul></div></section><div class="widget-sticky pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div 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