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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="不知名的碎片13"><meta itemprop="description" content="本文探讨调和级数的累级数求和问题。通过将其转化为积分表达式并进行极限分析，最终得出一个包含对数函数与π平方项的求和结果，展现了该级数求和问题的数学深度与美感"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">不知名的碎片 13</span></p><br><h1 hidden="">不知名的碎片 13</h1><div class="story post-story"><h2 id="Question"><a href="#Question" class="headerlink" title="Question"></a>Question</h2><p>调和级数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.901ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1282.4 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" 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&= \int_{0}^{1} (x^n - 1) \, \mathrm{d}\ln(1-x) \\
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&= \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+m} (n+m) \int_{0}^{1} x^{n+m-1} \ln(1-x) \, \mathrm{d}x}{n+m} \\
&= -\lim_{N \to +\infty} \int_{0}^{1} \left\{ \frac{\ln(1-x)}{x} \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{+\infty} (-x)^{n+m} \right\} \mathrm{d}x \\
&= -\lim_{N \to +\infty} \int_{0}^{1} \left\{ \frac{\ln(1-x)}{x} \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=n+1}^{+\infty} (-x)^m \right\} \mathrm{d}x
&= -\lim_{N \to +\infty} \int_{0}^{1} \left\{ \frac{\ln(1-x)}{x} \sum_{n=1}^{N} \frac{(-x)^{n+1} } {1+x} \right\} \mathrm{d}x \\
&= -\lim_{N \to +\infty} \int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x)\left(x + (-x)^{N+1}\right)}{(1+x)^2} \, \mathrm{d}x \\
&= -\int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x) \, x}{(1+x)^2} \, \mathrm{d}x - \lim_{N \to +\infty} \int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x) (-x)^{N+1} } {(1+x)^2} \, \mathrm{d}x
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\begin{aligned}
&\lim_{N \to +\infty} \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+m} H_{n+m} } {n+m} \\
&= \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+m} (n+m) \int_{0}^{1} x^{n+m-1} \ln(1-x) \, \mathrm{d}x}{n+m} \\
&= -\lim_{N \to +\infty} \int_{0}^{1} \left\{ \frac{\ln(1-x)}{x} \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{+\infty} (-x)^{n+m} \right\} \mathrm{d}x \\
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&= -\lim_{N \to +\infty} \int_{0}^{1} \left\{ \frac{\ln(1-x)}{x} \sum_{n=1}^{N} \frac{(-x)^{n+1} } {1+x} \right\} \mathrm{d}x \\
&= -\lim_{N \to +\infty} \int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x)\left(x + (-x)^{N+1}\right)}{(1+x)^2} \, \mathrm{d}x \\
&= -\int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x) \, x}{(1+x)^2} \, \mathrm{d}x - \lim_{N \to +\infty} \int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x) (-x)^{N+1} } {(1+x)^2} \, \mathrm{d}x
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&= -\int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x)}{1+x} \, \mathrm{d}x + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \ln(1-x) \, \mathrm{d}\frac{x-1}{x+1} \\
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&\lim_{N \to +\infty} \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+m} H_{n+m} } {n+m} \\
&= -\int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x) \, x}{(1+x)^2} \, \mathrm{d}x \\
&= -\int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x)}{1+x} \, \mathrm{d}x + \int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x)}{(1+x)^2} \, \mathrm{d}x \\
&= -\int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x)}{1+x} \, \mathrm{d}x + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \ln(1-x) \, \mathrm{d}\frac{x-1}{x+1} \\
&= -\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} \, \mathrm{d}x - \int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x)}{1+x} \, \mathrm{d}x \\
&= \frac{\pi^2}{12} - \frac{\ln 2}{2} - \frac{\ln^2 2}{2}
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href="/notes/Zeta/143"><p class="title">马尔可夫过程：从历史起源到数学推导与应用<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">本文介绍了马尔可夫过程的核心概念，从历史起源到离散与连续时间模型的定义。文章详细阐述了其数学性质，包括马尔可夫性、转移概率矩阵、切普曼-科尔莫戈罗夫方程以及平稳分布的存在性证明，并探讨了其在排队系统和强化学习等领域的应用</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/80.html" title="不知名的碎片8" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/75.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/75.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="不知名的碎片8"> <span class="title">不知名的碎片8</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/69.html" title="不知名的碎片7" rel="bookmark"><img 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黎曼ξ函数对数展开的历史</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/74" href="/notes/Zeta/74" active-action="action-notesZeta74"><div class="name"> 阿达马因子分解定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/75" href="/notes/Zeta/75" active-action="action-notesZeta75"><div class="name"> 戴森与蒙哥马利的跨学科邂逅</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/76" href="/notes/Zeta/76" active-action="action-notesZeta76"><div class="name"> 希尔伯特-波利亚猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/77" href="/notes/Zeta/77" active-action="action-notesZeta77"><div class="name"> 蒙哥马利-奥德利兹科定律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/78" href="/notes/Zeta/78" active-action="action-notesZeta78"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的表示方法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/79" href="/notes/Zeta/79" active-action="action-notesZeta79"><div class="name"> 拉马努金主定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/80" href="/notes/Zeta/80" 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title="/notes/Zeta/87" href="/notes/Zeta/87" active-action="action-notesZeta87"><div class="name"> 广义化思维：从特殊到一般</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/88" href="/notes/Zeta/88" active-action="action-notesZeta88"><div class="name"> 问题的归约</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/89" href="/notes/Zeta/89" active-action="action-notesZeta89"><div class="name"> Shor算法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/90" href="/notes/Zeta/90" active-action="action-notesZeta90"><div class="name"> 子集和问题的NPC属性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/91" href="/notes/Zeta/91" active-action="action-notesZeta91"><div class="name"> 函数零点问题的等价转化及黎曼猜想的方法论困境</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/92" href="/notes/Zeta/92" active-action="action-notesZeta92"><div class="name"> 黎曼素数计数函数 J(x) 的自然截断现象与截断点分析</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/93" href="/notes/Zeta/93" active-action="action-notesZeta93"><div class="name"> 拉普拉斯变换</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/94" href="/notes/Zeta/94" active-action="action-notesZeta94"><div class="name"> 莫比乌斯函数与黎曼 Zeta 函数的深刻联系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/95" href="/notes/Zeta/95" active-action="action-notesZeta95"><div class="name"> 特殊函数倍乘公式的统一性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/96" href="/notes/Zeta/96" active-action="action-notesZeta96"><div class="name"> 塞尔伯格渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/97" href="/notes/Zeta/97" active-action="action-notesZeta97"><div class="name"> 塞尔伯格Zeta函数非平凡零点的正密率</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/98" href="/notes/Zeta/98" active-action="action-notesZeta98"><div class="name"> 塞尔伯格磨光函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/99" href="/notes/Zeta/99" active-action="action-notesZeta99"><div class="name"> 磨光技术</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/100" href="/notes/Zeta/100" active-action="action-notesZeta100"><div class="name"> 黎曼Zeta函数临界线幅角函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/101" href="/notes/Zeta/101" active-action="action-notesZeta101"><div class="name"> 玻尔-兰道定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/102" href="/notes/Zeta/102" active-action="action-notesZeta102"><div class="name"> 哈代-利特尔伍德临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/103" href="/notes/Zeta/103" active-action="action-notesZeta103"><div class="name"> 塞尔伯格临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/104" href="/notes/Zeta/104" active-action="action-notesZeta104"><div class="name"> 莱文森临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/105" href="/notes/Zeta/105" active-action="action-notesZeta105"><div class="name"> 康瑞临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/106" href="/notes/Zeta/106" active-action="action-notesZeta106"><div class="name"> Zeta函数非平凡零点虚部的无理性与超越性之谜</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/107" href="/notes/Zeta/107" active-action="action-notesZeta107"><div class="name"> 塞尔伯格迹公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/108" href="/notes/Zeta/108" active-action="action-notesZeta108"><div class="name"> 复制函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/109" href="/notes/Zeta/109" active-action="action-notesZeta109"><div class="name"> 塞尔伯格筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/110" href="/notes/Zeta/110" active-action="action-notesZeta110"><div class="name"> 庞加莱猜想与奇点手术</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/111" href="/notes/Zeta/111" active-action="action-notesZeta111"><div class="name"> 先磨光再解析延拓</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/112" href="/notes/Zeta/112" active-action="action-notesZeta112"><div class="name"> 朗道-西格尔零点猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/113" href="/notes/Zeta/113" active-action="action-notesZeta113"><div class="name"> 等差数列上的素数分布</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/114" href="/notes/Zeta/114" active-action="action-notesZeta114"><div class="name"> 大筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/115" href="/notes/Zeta/115" active-action="action-notesZeta115"><div class="name"> 模性定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/116" href="/notes/Zeta/116" active-action="action-notesZeta116"><div class="name"> 相邻素数间的有界间隔</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/117" href="/notes/Zeta/117" active-action="action-notesZeta117"><div class="name"> 克拉梅尔模型与孪生素数猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/118" href="/notes/Zeta/118" active-action="action-notesZeta118"><div class="name"> Zeta函数的洛朗展开</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/119" href="/notes/Zeta/119" active-action="action-notesZeta119"><div class="name"> Zeta函数与欧拉常数的关系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/120" href="/notes/Zeta/120" active-action="action-notesZeta120"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的矩问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/121" href="/notes/Zeta/121" active-action="action-notesZeta121"><div class="name"> 第n个素数的通项公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/122" href="/notes/Zeta/122" active-action="action-notesZeta122"><div class="name"> AKS算法证明素数判定属于P类问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/123" href="/notes/Zeta/123" active-action="action-notesZeta123"><div class="name"> 米勒-拉宾素性检验</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/124" href="/notes/Zeta/124" active-action="action-notesZeta124"><div class="name"> 中国剩余定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/125" href="/notes/Zeta/125" active-action="action-notesZeta125"><div class="name"> 二次互反律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/126" href="/notes/Zeta/126" 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class="flat-box" title="/notes/Zeta/133" href="/notes/Zeta/133" active-action="action-notesZeta133"><div class="name"> Sarnak纲领性猜想：轨道上的素数分布理论</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/134" href="/notes/Zeta/134" active-action="action-notesZeta134"><div class="name"> 圆法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/135" href="/notes/Zeta/135" active-action="action-notesZeta135"><div class="name"> Bourgain-Gamburd-Sarnak猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/136" href="/notes/Zeta/136" active-action="action-notesZeta136"><div class="name"> 从L函数到动力系统的深层联系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/137" href="/notes/Zeta/137" active-action="action-notesZeta137"><div class="name"> 量子唯一遍历性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/138" href="/notes/Zeta/138" active-action="action-notesZeta138"><div class="name"> 投资组合优化 Markowitz 模型</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/139" href="/notes/Zeta/139" 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class="flat-box" title="/notes/Zeta/146" href="/notes/Zeta/146" active-action="action-notesZeta146"><div class="name"> 计算不可约性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/147" href="/notes/Zeta/147" active-action="action-notesZeta147"><div class="name"> TREE(3)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/148" href="/notes/Zeta/148" active-action="action-notesZeta148"><div class="name"> 数学自循环演化系统 [胡说八道]</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/149" href="/notes/Zeta/149" active-action="action-notesZeta149"><div class="name"> 不知名的碎片14</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/150" href="/notes/Zeta/150" active-action="action-notesZeta150"><div class="name"> L-函数的分析构造与自守形式的联系</div></a></li></ul></div></section><div class="widget-sticky pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div 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