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@MHuiG, Blog, 博客, Magicland, 魔法世界"><meta desc="" name="description" content="大筛法是解析数论的重要工具，由林尼克提出，经科恩、塞尔伯格发展，通过筛除特定整数研究剩余集合分布，应用于素数分布、哥德巴赫猜想等，其分析思想还影响了调和分析与巴拿赫空间理论。 - MHuiG - Magicland"><meta property="og:type" content="website"><meta property="og:title" content="Magicland"><meta property="og:url" content="https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/114"><meta property="og:site_name" content="Magicland"><meta property="og:description" content="大筛法是解析数论的重要工具，由林尼克提出，经科恩、塞尔伯格发展，通过筛除特定整数研究剩余集合分布，应用于素数分布、哥德巴赫猜想等，其分析思想还影响了调和分析与巴拿赫空间理论。"><meta property="og:locale"><meta property="og:image" content="https://blog.mhuig.top/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"><meta property="article:published_time" content="2026-01-15T00:07:00.000Z"><meta property="article:modified_time" content="2026-01-15T00:10:00.000Z"><meta property="article:author" content="MHuiG"><meta property="article:tag" content="Math"><meta property="article:tag" content="傅里叶分析"><meta property="article:tag" content="大筛法"><meta 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="大筛法：数论分析工具的发展与跨学科影响"><meta itemprop="description" content="大筛法是解析数论的重要工具，由林尼克提出，经科恩、塞尔伯格发展，通过筛除特定整数研究剩余集合分布，应用于素数分布、哥德巴赫猜想等，其分析思想还影响了调和分析与巴拿赫空间理论。"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">大筛法</span></p><br><h1 hidden="">大筛法：从数论问题到现代分析的桥梁</h1><p>大筛法是解析数论中一种极具威力的工具，其核心思想源于试图 “筛除” 不满足特定条件的整数集合，进而研究剩余集合的分布性质。这一方法最初由苏联数学家尤里・林尼克于 1941 年提出，旨在解决哥德巴赫猜想中的例外集问题。然而，真正将其发展为系统性理论的是法国数学家亨利・科恩，他在 1947 年的工作中引入了关键的分析技巧，将筛法从组合学框架转向分析学框架。随后，挪威数学家阿特勒・塞尔伯格通过引入二次型优化的思想，于 1960 年代极大地改进了大筛法的估计精度，使其成为研究素数分布、堆垒数论及模形式理论的重要工具。值得注意的是，大筛法的发展历程呈现出显著的跨学科特征，它不仅为数论问题提供了强大的技术支持，其背后的分析思想也深刻影响了调和分析与巴拿赫空间理论的发展。</p><div class="story post-story"><h2 id="历史背景与核心问题"><a href="#历史背景与核心问题" class="headerlink" title="历史背景与核心问题"></a>历史背景与核心问题</h2><p>大筛法的诞生与数论中的经典问题密切相关。19 世纪中叶，伯恩哈德・黎曼建立了黎曼<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="2.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -697 474 902"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\zeta"><g data-mml-node="mi" data-latex="\zeta"><path data-c="1D701" d="M276-175C251-175 228-165 206-146 200-141 195-139 191-139 182-139 178-144 178-153 178-158 182-165 191-173 215-194 243-205 276-205 337-205 387-142 387-81 387-32 355-1 315 16 302 20 185 62 182 63 133 84 108 128 108 195 108 262 129 334 172 410 215 486 265 540 322 571 335 560 355 554 383 554 444 554 474 566 474 589 474 610 447 620 392 620 368 620 348 617 331 611 328 621 326 632 326 643 326 652 328 665 331 680 331 691 326 697 315 697 300 697 293 679 293 644 293 626 296 610 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d="M415 648 315 247C291 151 261 88 224 58 200 39 179 29 161 29 139 29 128 38 128 56 128 65 135 93 135 102 135 125 124 136 103 136 72 136 53 120 44 88 27 25 70-11 129-11 221-11 299 56 334 121 352 154 384 236 396 287 483 288 558 313 621 363 670 402 702 451 717 512 722 531 724 548 724 563 724 588 718 608 705 625 675 666 606 686 499 687L503 705 492 710 427 685C339 685 266 663 209 619 158 581 127 539 116 492 104 443 113 418 143 418 152 418 164 423 177 432 193 446 199 463 195 495 197 518 198 531 198 534 218 609 314 647 415 648M624 610C638 591 645 569 645 545 645 533 643 520 640 507 609 387 530 326 405 324L486 648C526 648 555 645 573 639 598 631 615 621 624 610Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container>，如何估计集合<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.034ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.939ex" height="1.604ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 857 709"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathcal{A}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal{A}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="41" d="M399 233 610 233 573 82C568 60 565 43 565 32 568 1 576-15 608-15 627-15 652-6 683 11 722 32 758 58 789 88L775 111C749 93 732 81 724 76 710 67 698 63 687 63 659 63 658 96 664 131 675 193 690 262 709 339L781 626C785 642 791 653 799 659L817 669 817 694C720 685 682 668 618 630 583 610 542 565 493 496 476 472 442 419 391 337 317 218 273 150 260 133 211 70 173 38 146 38 134 38 120 50 122 61 126 76 145 110 133 122 127 132 117 137 103 137 72 137 52 121 43 89 29 30 58-10 112-10 224-10 342 143 399 233M706 641 710 634 622 284 431 284C528 464 602 574 651 613 670 628 688 637 706 641Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 中不能被<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.726ex" height="1.631ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -710 763 721"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathcal{P}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal{P}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="P"><path data-c="50" d="M415 648 315 247C291 151 261 88 224 58 200 39 179 29 161 29 139 29 128 38 128 56 128 65 135 93 135 102 135 125 124 136 103 136 72 136 53 120 44 88 27 25 70-11 129-11 221-11 299 56 334 121 352 154 384 236 396 287 483 288 558 313 621 363 670 402 702 451 717 512 722 531 724 548 724 563 724 588 718 608 705 625 675 666 606 686 499 687L503 705 492 710 427 685C339 685 266 663 209 619 158 581 127 539 116 492 104 443 113 418 143 418 152 418 164 423 177 432 193 446 199 463 195 495 197 518 198 531 198 534 218 609 314 647 415 648M624 610C638 591 645 569 645 545 645 533 643 520 640 507 609 387 530 326 405 324L486 648C526 648 555 645 573 639 598 631 615 621 624 610Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 中任何素数整除的元素个数。传统的埃拉托斯特尼筛法虽然直观，但在处理复杂集合时效率低下，尤其当需要同时考虑多个同余条件时，其估计精度往往无法满足理论需求。</p><p>林尼克在研究哥德巴赫猜想的例外集时首次提出了 “大筛法” 的雏形。他考虑的问题是：对于给定的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.054ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 466 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\varepsilon > 0"><g data-mml-node="mi" data-latex="\varepsilon"><path data-c="1D700" d="M429 393C429 405 416 418 388 432 360 446 330 453 299 453 250 453 202 441 157 418 103 390 76 353 76 308 76 282 88 259 112 239 71 214 26 165 26 106 26 24 104-22 190-22 239-22 280-11 313 10 356 37 378 62 378 83 378 92 373 97 363 97 358 97 354 94 350 88 325 44 286 31 199 31 176 31 154 33 134 37 97 44 59 71 59 112 59 161 105 204 143 222 165 213 193 209 227 209 282 209 310 221 310 244 310 264 285 274 235 274 201 274 171 268 144 256 120 269 108 286 108 308 108 339 132 364 179 381 214 394 251 400 289 400 322 400 352 391 377 373 387 366 394 363 399 363 414 363 429 378 429 393M235 245C246 245 256 244 266 242 256 240 243 239 227 239 214 239 202 239 193 240 206 243 220 245 235 245Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\varepsilon > 0"><g data-mml-node="mo" data-latex=">"><path data-c="3E" d="M686 227C696 232 701 239 701 250 701 261 696 268 686 273L112 545C109 546 105 547 101 547 85 547 77 539 77 522 77 513 82 506 91 502L625 250 91-2C82-6 77-13 77-22 77-39 85-47 101-47 105-47 109-46 112-45Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，是否存在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.808ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2125 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N(\varepsilon)"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(881,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\varepsilon" transform="translate(1270,0)"><path data-c="1D700" 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data-mml-node="mi" data-latex="q"><path data-c="1D45E" d="M372 377C352 420 321 442 280 442 215 442 158 409 109 342 63 280 40 216 40 149 40 62 90-13 173-13 209-13 245 4 282 38L241-126C238-141 229-150 215-153 210-154 197-155 174-155 168-156 164-156 162-156 153-157 148-165 148-179L148-183C151-190 157-194 165-194 184-194 244-191 263-191 282-191 345-194 364-194 378-194 385-186 385-170 385-160 375-155 356-155 338-155 313-156 313-144 313-140 314-133 317-123L452 427C452 436 447 441 438 441 420 441 382 391 372 377M340 373C349 352 354 338 354 329 354 328 353 322 351 313L327 216C308 144 299 107 298 105 279 70 224 16 176 16 137 16 117 46 117 105 117 151 148 263 162 300 181 347 225 412 280 412 307 412 327 399 340 373Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 881 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的表达式控制。这一转化标志着大筛法从组合方法向分析方法的关键转变。</p><p>塞尔伯格于 1962 年的工作则代表了大筛法发展的另一个里程碑。他通过引入二次型的极小化技巧，将大筛法不等式的估计精度提升到了新的高度。塞尔伯格的核心洞察是将筛法问题转化为一个优化问题：在给定的线性约束下，最小化某个二次型的取值。这一方法不仅改进了大筛法的常数项，更重要的是，它揭示了大筛法与希尔伯特空间中正交性原理的深层联系，为后续的理论发展奠定了基础。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="大筛法的定义与数学表述"><a href="#大筛法的定义与数学表述" class="headerlink" title="大筛法的定义与数学表述"></a>大筛法的定义与数学表述</h2><p>大筛法的数学定义可以从不同角度进行表述，其中最经典的表述涉及同余条件下的密度估计。设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.939ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 857 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathcal{A} = \{ a_n \}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal{A}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="A"><path data-c="41" d="M399 233 610 233 573 82C568 60 565 43 565 32 568 1 576-15 608-15 627-15 652-6 683 11 722 32 758 58 789 88L775 111C749 93 732 81 724 76 710 67 698 63 687 63 659 63 658 96 664 131 675 193 690 262 709 339L781 626C785 642 791 653 799 659L817 669 817 694C720 685 682 668 618 630 583 610 542 565 493 496 476 472 442 419 391 337 317 218 273 150 260 133 211 70 173 38 146 38 134 38 120 50 122 61 126 76 145 110 133 122 127 132 117 137 103 137 72 137 52 121 43 89 29 30 58-10 112-10 224-10 342 143 399 233M706 641 710 634 622 284 431 284C528 464 602 574 651 613 670 628 688 637 706 641Z"></path></g></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.996ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3092 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathcal{A} = \{ a_n \}"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\{" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="7B" d="M286-122 286 126C286 183 251 225 182 250 251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718 420 718 425 723 425 734 425 745 420 750 409 750 363 750 321 740 284 721 237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266 80 266 75 261 75 250 75 239 80 234 91 234 155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221 321-240 363-250 409-250 420-250 425-245 425-234 425-223 420-218 409-218 348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="a_n" transform="translate(1555.8,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\}" transform="translate(2592,0)"><path data-c="7D" d="M286 374 286 622C286 664 263 697 216 721 179 740 137 750 91 750 80 750 75 745 75 734 75 723 80 718 91 718 152 718 214 680 214 622L214 374C214 317 249 275 318 250 249 225 214 183 214 126L214-122C214-180 152-218 91-218 80-218 75-223 75-234 75-245 80-250 91-250 137-250 179-240 216-221 263-197 286-164 286-122L286 126C286 188 345 234 409 234 420 234 425 239 425 250 425 261 420 266 409 266 345 266 286 312 286 374Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是一个复数序列，通常满足<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.344ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1036.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a_n = 0"><g data-mml-node="msub" data-latex="a_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="a_n = 0"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 或<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="1"><g data-mml-node="mn" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>（表示元素是否属于被筛集合），但在一般理论中允许更广泛的复数值。设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.79ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 791 899"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="Q"><g data-mml-node="mi" data-latex="Q"><path data-c="1D444" d="M306-24C335-24 366-19 399-10 396-48 395-72 395-81 395-156 424-194 481-194 542-194 589-145 612-100 637-48 650-14 650 2 650 11 645 16 635 16 628 16 623 12 620 3 605-43 564-90 508-90 457-90 450-49 442 6 526 39 597 96 654 178 711 260 740 345 740 434 740 513 717 577 670 628 623 679 561 705 484 705 431 705 378 692 325 665 217 612 138 528 87 415 62 358 49 302 49 245 49 88 151-24 306-24M645 466C645 405 630 335 600 254 565 161 511 92 436 48 432 70 426 90 418 108 405 138 381 153 346 153 291 153 241 103 241 48 241 39 242 30 244 23 177 54 144 117 144 213 144 255 152 306 169 366 204 493 267 583 358 636 401 660 441 672 478 672 588 672 645 581 645 466M346 123C383 123 402 96 402 43 402 34 399 29 393 27 365 15 338 9 312 9 284 9 270 22 270 48 270 86 308 123 346 123Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是一个正整数，对于每个素数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.023ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 452 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="q \leq Q"><g data-mml-node="mi" data-latex="q"><path data-c="1D45E" d="M372 377C352 420 321 442 280 442 215 442 158 409 109 342 63 280 40 216 40 149 40 62 90-13 173-13 209-13 245 4 282 38L241-126C238-141 229-150 215-153 210-154 197-155 174-155 168-156 164-156 162-156 153-157 148-165 148-179L148-183C151-190 157-194 165-194 184-194 244-191 263-191 282-191 345-194 364-194 378-194 385-186 385-170 385-160 375-155 356-155 338-155 313-156 313-144 313-140 314-133 317-123L452 427C452 436 447 441 438 441 420 441 382 391 372 377M340 373C349 352 354 338 354 329 354 328 353 322 351 313L327 216C308 144 299 107 298 105 279 70 224 16 176 16 137 16 117 46 117 105 117 151 148 263 162 300 181 347 225 412 280 412 307 412 327 399 340 373Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.178ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1846.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="q \leq Q"><g data-mml-node="mo" data-latex="\leq"><path data-c="2264" d="M668 38C686 29 703 44 703 60 703 69 698 76 689 80L155 333 689 586C698 590 703 597 703 606 703 623 695 631 679 631 675 631 671 630 668 629L94 357C84 352 79 344 79 333 79 322 84 315 94 310M678-72 100-72C84-72 76-80 76-95 76-111 84-119 100-119L678-119C694-119 702-111 702-95 702-83 691-72 678-72Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="Q" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="1D444" d="M306-24C335-24 366-19 399-10 396-48 395-72 395-81 395-156 424-194 481-194 542-194 589-145 612-100 637-48 650-14 650 2 650 11 645 16 635 16 628 16 623 12 620 3 605-43 564-90 508-90 457-90 450-49 442 6 526 39 597 96 654 178 711 260 740 345 740 434 740 513 717 577 670 628 623 679 561 705 484 705 431 705 378 692 325 665 217 612 138 528 87 415 62 358 49 302 49 245 49 88 151-24 306-24M645 466C645 405 630 335 600 254 565 161 511 92 436 48 432 70 426 90 418 108 405 138 381 153 346 153 291 153 241 103 241 48 241 39 242 30 244 23 177 54 144 117 144 213 144 255 152 306 169 366 204 493 267 583 358 636 401 660 441 672 478 672 588 672 645 581 645 466M346 123C383 123 402 96 402 43 402 34 399 29 393 27 365 15 338 9 312 9 284 9 270 22 270 48 270 86 308 123 346 123Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，给定<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.65ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.931ex" height="1.65ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 853.6 729.2"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="r_q"><g data-mml-node="msub" data-latex="r_q"><g data-mml-node="mi" data-latex="r"><path data-c="1D45F" d="M436 374C436 416 395 442 351 442 302 442 261 419 227 372 217 411 183 442 136 442 95 442 65 410 44 345 34 312 29 293 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 150 413 159 399 159 371 159 358 154 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 110-11 130-11 143-1 150 19L169 91C180 134 187 162 190 175L221 303C223 311 231 324 244 343 271 381 302 413 351 413 363 413 373 411 382 406 352 397 337 378 337 351 337 325 351 312 378 312 411 312 436 341 436 374Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(484,-150) scale(0.707)" data-latex="q"><path data-c="1D45E" d="M372 377C352 420 321 442 280 442 215 442 158 409 109 342 63 280 40 216 40 149 40 62 90-13 173-13 209-13 245 4 282 38L241-126C238-141 229-150 215-153 210-154 197-155 174-155 168-156 164-156 162-156 153-157 148-165 148-179L148-183C151-190 157-194 165-194 184-194 244-191 263-191 282-191 345-194 364-194 378-194 385-186 385-170 385-160 375-155 356-155 338-155 313-156 313-144 313-140 314-133 317-123L452 427C452 436 447 441 438 441 420 441 382 391 372 377M340 373C349 352 354 338 354 329 354 328 353 322 351 313L327 216C308 144 299 107 298 105 279 70 224 16 176 16 137 16 117 46 117 105 117 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149C121 189 130 229 148 268 180 340 253 405 343 415L244 16C169 22 121 69 121 149Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是欧拉函数。科恩最初的大筛法不等式可以表述为：存在绝对常数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.719ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 760 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 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\sum_{n \in \mathcal{A}^*} |a_n|^2 \leq C \frac{N + Q^2}{1 - \Delta} \sum_{n} |a_n|^2
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\sum_{n \in \mathcal{A}^*} |a_n|^2 \leq C \frac{N + Q^2}{1 - \Delta} \sum_{n} |a_n|^2
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1624) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="6838.4 -1624 1 2748.1"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,114.1)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="munder" data-latex="\sum_{n\in\mathcal{A}^*}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\sum" transform="translate(183.3,0)"><path data-c="2211" d="M1265-450 1389-124 1355-124C1336-174 1304-216 1258-250 1145-334 1000-356 791-356L200-356 700 232C707 239 710 246 710 251L244 894 781 894C970 894 1127 870 1230 804 1290 766 1332 719 1356 663L1389 663 1265 950 88 950C70 950 60 947 57 941 56 938 56 926 56 905L581 187 68-415C61-423 57-430 57-435 57-445 67-450 88-450Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(0,-1107.7) scale(0.707)" data-latex="{n\in\mathcal{A}^*}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="1"><g data-mml-node="mn" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，则剩余集合的大小可以被<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 881 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N + Q^2"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.04ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 2227.8 1083.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N + Q^2"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="Q^2" transform="translate(1000.2,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="Q"><path data-c="1D444" d="M306-24C335-24 366-19 399-10 396-48 395-72 395-81 395-156 424-194 481-194 542-194 589-145 612-100 637-48 650-14 650 2 650 11 645 16 635 16 628 16 623 12 620 3 605-43 564-90 508-90 457-90 450-49 442 6 526 39 597 96 654 178 711 260 740 345 740 434 740 513 717 577 670 628 623 679 561 705 484 705 431 705 378 692 325 665 217 612 138 528 87 415 62 358 49 302 49 245 49 88 151-24 306-24M645 466C645 405 630 335 600 254 565 161 511 92 436 48 432 70 426 90 418 108 405 138 381 153 346 153 291 153 241 103 241 48 241 39 242 30 244 23 177 54 144 117 144 213 144 255 152 306 169 366 204 493 267 583 358 636 401 660 441 672 478 672 588 672 645 581 645 466M346 123C383 123 402 96 402 43 402 34 399 29 393 27 365 15 338 9 312 9 284 9 270 22 270 48 270 86 308 123 346 123Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(824,363) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 控制。</p><p>现代大筛法的标准表述则采用更抽象的分析语言。设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.768ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2107.5 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\{ x_\alpha \}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\{"><path data-c="7B" d="M286-122 286 126C286 183 251 225 182 250 251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718 420 718 425 723 425 734 425 745 420 750 409 750 363 750 321 740 284 721 237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266 80 266 75 261 75 250 75 239 80 234 91 234 155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221 321-240 363-250 409-250 420-250 425-245 425-234 425-223 420-218 409-218 348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="\alpha" transform="translate(500,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 158 481 158 472 158 467 153 464 144 447 87 402 18 337 18 304 18 287 38 287 79 287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413 445 413 458 410 469 405 442 396 429 378 429 351 429 325 443 312 470 312 502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-latex="alpha"><path data-c="1D6FC" d="M310 442C241 442 179 412 124 353 69 294 41 229 41 159 41 61 107-11 205-11 274-11 342 16 410 69 425 16 456-11 502-11 538-11 589 27 589 63 589 72 584 76 573 76 566 76 560 72 557 64 549 43 528 18 505 18 488 18 479 50 479 115 479 129 482 140 488 147 515 180 539 218 558 260 583 314 598 354 602 380L602 384C599 391 593 394 586 394 581 393 575 385 568 371 547 299 518 237 479 186L479 236C479 352 421 442 310 442M403 211C403 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.249ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 552 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705 400 705 357 665 334 586 329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411 204 400 214 395 235 395L295 395 222 8C211-49 201-91 192-119 180-156 163-175 141-175 126-175 114-171 103-164 135-159 151-140 151-108 151-82 138-69 111-69 77-69 53-99 53-133 53-177 94-205 141-205 166-205 189-195 208-174 240-141 265-94 283-31 294 8 304 46 311 84L369 395 451 395C474 395 484 396 484 419 484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644 430 665 444 675 462 675 477 675 490 671 501 664 470 657 454 639 454 608 454 582 467 569 494 569 528 569 552 599 552 633Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，大筛法不等式表述为</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:63.653ex"><svg style="vertical-align:-2.809ex;min-width:63.653ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.749ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1741.5)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\sum_\alpha |f(x_\alpha)|^2 \leq \left( \frac{1}{\delta} + C \right) \int_0^1 |f(x)|^2 \mathrm{d}x + C \sum_{|k| \leq 1/\delta} |\hat{f}(k)|^2
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
\sum_\alpha |f(x_\alpha)|^2 \leq \left( \frac{1}{\delta} + C \right) \int_0 ^1 |f(x)|^2 \mathrm{d}x + C \sum_{|k| \leq 1/\delta} |\hat{f}(k)|^2
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为三角多项式时，上述不等式转化为关于指数和的估计，这正是数论应用中的常见情形。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="大筛法的分析学推导"><a href="#大筛法的分析学推导" class="headerlink" title="大筛法的分析学推导"></a>大筛法的分析学推导</h2><p>大筛法的分析学推导建立在傅里叶分析与二次型优化的基础上。以下将详细展示两种经典的推导方法：科恩的傅里叶分析方法与塞尔伯格的二次型方法。两种方法虽途径不同，但最终得到的估计在阶的意义上是等价的，均表明大筛法不等式的主项为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 881 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N + Q^2"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 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求和后交换求和顺序，得到</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:53.428ex"><svg style="vertical-align:-2.899ex;min-width:53.428ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.928ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1781.2)"><g data-mml-node="math" data-latex="
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\sum_j |S(\alpha_j)|^2 \leq (J + C N / \delta) \sum_n |a_n|^2
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
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" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1389.7) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="7703.3 -1389.7 1 2279.4"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,439.7)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="munder" data-latex="\sum_j"><g data-mml-node="mo" data-latex="\sum"><path data-c="2211" d="M1265-450 1389-124 1355-124C1336-174 1304-216 1258-250 1145-334 1000-356 791-356L200-356 700 232C707 239 710 246 710 251L244 894 781 894C970 894 1127 870 1230 804 1290 766 1332 719 1356 663L1389 663 1265 950 88 950C70 950 60 947 57 941 56 938 56 926 56 905L581 187 68-415C61-423 57-430 57-435 57-445 67-450 88-450Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(576.3,-1084.4) scale(0.707)" data-latex="j"><path data-c="1D457" d="M397 621C397 648 383 661 356 661 328 661 300 633 300 605 300 578 313 565 340 565 368 565 397 593 397 621M267 444C214 444 169 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data-latex="\mu"><g data-mml-node="mi" data-latex="\mu"><path data-c="1D707" d="M572 142C572 151 567 156 556 156 548 156 542 149 539 136 519 56 495 16 468 16 451 16 442 30 442 58 442 75 448 109 461 159L489 266C498 302 506 327 512 358L518 386C520 393 521 398 521 400 521 421 510 431 488 431 466 431 452 419 446 394L374 108C374 97 358 77 326 47 304 26 279 16 250 16 204 16 181 43 181 98 181 117 185 144 194 181L236 347C244 378 249 400 251 411 251 432 240 442 218 442 196 442 182 429 175 403L33-169C31-177 30-182 30-185 30-206 41-216 62-216 77-216 89-208 100-193 103-186 120-117 153 14 177-4 208-13 246-13 305-13 344 18 375 54 386 17 419-13 466-13 535-13 556 68 572 142Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> （如矩形测度），可以证明最大特征值的阶为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.993ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 881 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N + Q^2"><g data-mml-node="mi" data-latex="N"><path data-c="1D441" d="M864 683C845 683 783 680 764 680 745 680 682 683 663 683 648 683 641 675 641 659 641 650 648 645 663 644 705 644 726 631 726 605 726 599 725 592 724 585L616 157 401 662C393 681 391 683 366 683L233 683C209 683 200 681 200 659 200 649 211 644 232 644 274 644 295 643 296 640L163 110C154 71 131 49 95 42 69 39 39 43 39 15 39 5 45 0 56 0 74 0 136 3 155 3 174 3 238 0 257 0 272 0 279 8 279 24 279 33 271 38 255 39 214 40 194 53 194 78 194 83 195 90 197 100L326 611 576 21C582 7 590 0 599 0 608 0 614 8 618 24L757 574C770 625 798 643 860 644 874 645 881 653 881 669 878 678 877 683 864 683Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.04ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 2227.8 1083.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="N + Q^2"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="Q^2" transform="translate(1000.2,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="Q"><path data-c="1D444" d="M306-24C335-24 366-19 399-10 396-48 395-72 395-81 395-156 424-194 481-194 542-194 589-145 612-100 637-48 650-14 650 2 650 11 645 16 635 16 628 16 623 12 620 3 605-43 564-90 508-90 457-90 450-49 442 6 526 39 597 96 654 178 711 260 740 345 740 434 740 513 717 577 670 628 623 679 561 705 484 705 431 705 378 692 325 665 217 612 138 528 87 415 62 358 49 302 49 245 49 88 151-24 306-24M645 466C645 405 630 335 600 254 565 161 511 92 436 48 432 70 426 90 418 108 405 138 381 153 346 153 291 153 241 103 241 48 241 39 242 30 244 23 177 54 144 117 144 213 144 255 152 306 169 366 204 493 267 583 358 636 401 660 441 672 478 672 588 672 645 581 645 466M346 123C383 123 402 96 402 43 402 34 399 29 393 27 365 15 338 9 312 9 284 9 270 22 270 48 270 86 308 123 346 123Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(824,363) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> ，从而得到与科恩方法相同的估计阶。</p><p>值得注意的是，塞尔伯格方法的优势在于能够得到精确的常数项估计。通过选取最优的权函数，塞尔伯格证明了大筛法不等式中的常数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.719ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 760 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="C"><g data-mml-node="mi" data-latex="C"><path data-c="1D436" d="M148 218C148 346 204 476 267 548 318 607 406 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 705 735 701 727 692L662 619C623 676 568 705 497 705 442 705 388 692 333 667 222 615 141 533 89 421 63 366 50 310 50 253 50 173 75 108 126 56 177 4 242-22 322-22 401-22 473 7 538 64 565 87 588 115 607 146 634 191 648 222 648 241 648 250 643 255 632 255 623 255 618 251 616 242 595 177 562 125 517 88 460 41 400 17 338 17 218 17 148 98 148 218Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 可以取为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 500 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="1 + o(1)"><g data-mml-node="mn" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.252ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2763.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="1 + o(1)"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="o" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="1D45C" d="M308 442C239 442 176 412 122 353 68 294 41 229 41 159 41 63 106-11 202-11 272-11 334 19 388 78 442 137 469 201 469 272 469 369 405 442 308 442M389 310C389 287 384 255 374 213 353 130 319 73 272 42 248 26 225 18 203 18 149 18 121 65 121 122 121 180 155 288 178 324 216 383 259 413 307 413 361 413 389 367 389 310Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(1485.2,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1874.2,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2374.2,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，这一结果在后续的应用中至关重要，尤其是在需要精确估计误差项的场景中。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="大筛法的数论应用"><a href="#大筛法的数论应用" class="headerlink" title="大筛法的数论应用"></a>大筛法的数论应用</h2><p>大筛法在数论中的应用极为广泛，从素数分布到堆垒数论，从模形式理论到解析数论的前沿问题，都能看到其身影。以下重点介绍三个具有代表性的应用：算术级数中的素数定理、哥德巴赫猜想的例外集估计以及模形式傅里叶系数的估计。</p><h3 id="算术级数中的素数定理"><a href="#算术级数中的素数定理" class="headerlink" title="算术级数中的素数定理"></a>算术级数中的素数定理</h3><p>大筛法在算术级数素数分布问题中提供了关键工具。设<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.575ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 3790.3 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\pi(x; q, a)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\pi"><path data-c="1D70B" d="M524 431 194 431C153 431 117 415 88 384 74 369 27 305 27 292 31 285 31 279 43 279 50 279 56 283 62 292 94 341 135 366 184 366L235 366C212 279 170 172 110 45 105 33 102 24 102 19 102-1 113-11 134-11 153-11 167 0 176 21 194 78 207 122 214 152L269 366 372 366C345 247 331 164 331 117 331 68 342-11 379-11 400-11 423 9 423 30 423 35 421 43 417 53 398 100 389 153 389 214 389 261 395 312 406 366L515 366C550 366 567 378 567 403 567 426 549 431 524 431Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(570,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(959,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 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transform="translate(1975.7,0)"><path data-c="1D45E" d="M372 377C352 420 321 442 280 442 215 442 158 409 109 342 63 280 40 216 40 149 40 62 90-13 173-13 209-13 245 4 282 38L241-126C238-141 229-150 215-153 210-154 197-155 174-155 168-156 164-156 162-156 153-157 148-165 148-179L148-183C151-190 157-194 165-194 184-194 244-191 263-191 282-191 345-194 364-194 378-194 385-186 385-170 385-160 375-155 356-155 338-155 313-156 313-144 313-140 314-133 317-123L452 427C452 436 447 441 438 441 420 441 382 391 372 377M340 373C349 352 354 338 354 329 354 328 353 322 351 313L327 216C308 144 299 107 298 105 279 70 224 16 176 16 137 16 117 46 117 105 117 151 148 263 162 300 181 347 225 412 280 412 307 412 327 399 340 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(2427.7,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 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data-latex="(" transform="translate(3241.9,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="p" transform="translate(3630.9,0)"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 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fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\chi"><g data-mml-node="mi" data-latex="\chi"><path data-c="1D712" d="M61 372C65 365 64 359 76 359 84 359 90 363 93 372 100 391 120 412 141 412 186 412 249 202 268 134 273 118 275 108 276 103L43-160C35-169 31-175 31-178 31-189 36-194 47-194 52-194 58-190 65-182L287 67C315-26 337-89 352-124 357-137 363-149 370-159 387-185 434-205 478-205 514-205 565-173 565-137 565-127 560-122 550-122 543-122 537-127 532-138 523-163 507-175 484-175 453-175 408-72 349 135L582 397C590 406 594 412 594 415 594 426 589 431 578 431 573 431 567 427 560 418L338 171C307 271 284 337 270 368 263 383 253 398 239 412 220 432 190 442 147 442 109 442 61 408 61 372Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是模<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.023ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 452 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="q"><g data-mml-node="mi" data-latex="q"><path data-c="1D45E" d="M372 377C352 420 321 442 280 442 215 442 158 409 109 342 63 280 40 216 40 149 40 62 90-13 173-13 209-13 245 4 282 38L241-126C238-141 229-150 215-153 210-154 197-155 174-155 168-156 164-156 162-156 153-157 148-165 148-179L148-183C151-190 157-194 165-194 184-194 244-191 263-191 282-191 345-194 364-194 378-194 385-186 385-170 385-160 375-155 356-155 338-155 313-156 313-144 313-140 314-133 317-123L452 427C452 436 447 441 438 441 420 441 382 391 372 377M340 373C349 352 354 338 354 329 354 328 353 322 351 313L327 216C308 144 299 107 298 105 279 70 224 16 176 16 137 16 117 46 117 105 117 151 148 263 162 300 181 347 225 412 280 412 307 412 327 399 340 373Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的非主特征。通过大筛法不等式，我们可以证明</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" 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\sum_{\chi \mod q} \left| \sum_{p \leq x} \chi(p) \right|^2 \leq (x + q^2) \log x
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126-175 114-171 103-164 135-159 151-140 151-108 151-82 138-69 111-69 77-69 53-99 53-133 53-177 94-205 141-205 166-205 189-195 208-174 240-141 265-94 283-31 294 8 304 46 311 84L369 395 451 395C474 395 484 396 484 419 484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644 430 665 444 675 462 675 477 675 490 671 501 664 470 657 454 639 454 608 454 582 467 569 494 569 528 569 552 599 552 633Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(552,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="z" transform="translate(941,0)"><path data-c="1D467" d="M162 92 145 90C193 137 230 171 255 194L351 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245 235 245Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ，这是在德利涅证明之前关于傅里叶系数增长速度的最佳结果。值得注意的是，当<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.179ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 521 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k = 2"><g data-mml-node="mi" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 104-11 117-3 124 12 129 21 147 92 179 226 231 221 286 196 286 146 286 131 279 101 279 91 279 34 316-11 373-11 431-11 470 41 490 145 490 154 485 159 475 159 466 159 460 152 457 138 435 59 408 19 375 19 357 19 348 33 348 61 348 77 360 131 360 147 360 204 314 239 221 253 244 269 270 292 298 322 326 352 346 371 359 382 386 404 412 415 435 415 445 415 453 413 459 409 432 404 409 379 409 353Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k = 2"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 时，这一估计与 BSD 猜想密切相关，因为椭圆曲线的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.541ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 681 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="L"><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 15 39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248 643 258 638 263 627 263 617 263 612 254 607 240 588 191 570 154 555 131 518 75 455 39 363 39L270 39C259 39 252 39 249 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L377 601C383 624 396 637 415 642 421 643 442 644 478 644 506 644 520 644 520 667Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数恰好对应权为 2 的模形式的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.541ex" height="1.548ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 681 684"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="L"><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680 223 683C208 684 200 676 200 659 200 652 203 647 209 646 218 645 226 644 231 644 262 643 279 641 284 640 289 639 292 636 292 631 292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42 119 40 101 39 70 39 49 39 39 31 39 15 39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248 643 258 638 263 627 263 617 263 612 254 607 240 588 191 570 154 555 131 518 75 455 39 363 39L270 39C259 39 252 39 249 40 242 40 239 42 239 45 239 47 241 54 244 67L377 601C383 624 396 637 415 642 421 643 442 644 478 644 506 644 520 644 520 667Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 函数。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="大筛法的现代发展与推广"><a href="#大筛法的现代发展与推广" class="headerlink" title="大筛法的现代发展与推广"></a>大筛法的现代发展与推广</h2><p>大筛法自 20 世纪中叶以来持续发展，其理论框架不断扩展，应用领域也从纯数论延伸到调和分析、组合数学甚至理论计算机科学。以下介绍两个重要的现代推广方向：加权大筛法与高维大筛法。</p><p>加权大筛法通过引入适当的权函数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.738ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2094 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" 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class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 469 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\theta < 1"><g data-mml-node="mi" data-latex="\theta"><path data-c="1D703" d="M164-11C209-11 256 16 302 70 382 163 455 335 455 498 455 539 448 582 434 625 416 678 382 705 333 705 288 705 243 678 196 624 116 532 42 360 42 196 42 94 75-11 164-11M332 675C365 675 382 637 382 560 382 517 372 452 352 367L155 367C180 460 204 529 229 574 266 641 301 675 332 675M145 327 341 327C322 246 299 181 274 132 235 57 199 19 164 19 131 19 115 58 115 135 115 185 125 249 145 327Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 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理论，结合离散限制性定理，在高维大筛法领域取得了突破，为解决诸如素数的线性方程表示问题提供了新的思路。</p><p>大筛法的现代发展呈现出两个显著趋势：一方面，它与调和分析、偏微分方程等领域的交叉日益加深，吸收了来自不同学科的思想方法；另一方面，其应用场景不断扩展，从传统的数论问题扩展到组合优化、密码学与理论计算机科学等领域。例如，在密码学中，大筛法被用于分析某些公钥密码系统的安全性，通过估计特定同余类中元素的分布来评估破解难度。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="结语：大筛法的方法论意义"><a href="#结语：大筛法的方法论意义" class="headerlink" title="结语：大筛法的方法论意义"></a>结语：大筛法的方法论意义</h2><p>大筛法的发展历程深刻体现了数学研究中不同分支的融合与创新。从林尼克的组合思想到科恩的傅里叶分析方法，再到塞尔伯格的二次型优化，每一次突破都源于对原有框架的超越与重构。这种跨学科的思维方式不仅推动了数论的发展，也为其他数学领域提供了宝贵的启示。</p><p>大筛法的核心思想，通过分析方法处理离散分布问题，在现代数学中具有普遍意义。它揭示了离散结构与连续分析之间的深刻联系，表明看似离散的数论问题可以通过连续的分析工具得到精确估计。这种思想方法的迁移能力，使得大筛法从一个专门的数论技巧发展成为一种具有普遍意义的数学方法。</p></div></div><div class="footer"></div><div class="article-meta" id="bottom"><div class="new-meta-box"></div></div><div class="prev-next"><a class="prev" href="/notes/Zeta/113"><p class="title"><i class="fa-solid fa-chevron-left" aria-hidden="true"></i>等差数列中的素数分布规律：从狄利克雷到格林-陶定理</p><p class="content">本文系统梳理等差数列素数分布理论的发展历程，从狄利克雷证明互素等差数列含无穷素数，到哈代-利特尔伍德提出渐近分布猜想，再到格林-陶定理确立任意长素数等差数列存在性。通过解析数论方法，揭示素数在互素剩余类中的等分布规律，及其在密码学、数论难题中的应用价值。</p></a><a class="next" href="/notes/Zeta/115"><p class="title">模性定理：连接椭圆曲线与模形式的数学突破<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">模性定理建立椭圆曲线与模形式的L-函数对应，其证明解决费马大定理，推动朗兰兹纲领验证，催生BSD猜想突破与椭圆曲线算法革新，成为数论研究基本工具。</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/131.html" title="Bombieri-Vinogradov定理：算术级数素数分布的平均误差控制" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/88.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/88.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="Bombieri-Vinogradov定理：算术级数素数分布的平均误差控制"> <span class="title">Bombieri-Vinogradov定理：算术级数素数分布的平均误差控制</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/134.html" title="哈代-利特尔伍德圆法" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/80.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/80.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="哈代-利特尔伍德圆法"> <span class="title">哈代-利特尔伍德圆法</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/109.html" title="塞尔伯格筛法：从历史渊源到现代数论应用" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/54.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/54.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="塞尔伯格筛法：从历史渊源到现代数论应用"> <span class="title">塞尔伯格筛法：从历史渊源到现代数论应用</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/96.html" 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aria-hidden="true"></i> <span class="name">Zeta Archive</span></header><div class="content"><ul class="list entry navigation"><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/" href="/notes/Zeta/" active-action="action-notesZeta"><div class="name"> Welcome</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/1" href="/notes/Zeta/1" active-action="action-notesZeta1"><div class="name"> Leibniz</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/2" href="/notes/Zeta/2" active-action="action-notesZeta2"><div class="name"> On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/3" href="/notes/Zeta/3" active-action="action-notesZeta3"><div class="name"> Clebsch's fair copy of Riemann's publication</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/4" href="/notes/Zeta/4" active-action="action-notesZeta4"><div class="name"> Clebsch's fair copy of Riemann's publication</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/5" href="/notes/Zeta/5" active-action="action-notesZeta5"><div class="name"> Riemann’s 1859 Manuscript</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/6" href="/notes/Zeta/6" active-action="action-notesZeta6"><div class="name"> Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/7" href="/notes/Zeta/7" active-action="action-notesZeta7"><div class="name"> On the Number of Primes Less Than a Given Quantity</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/8" href="/notes/Zeta/8" active-action="action-notesZeta8"><div class="name"> Riemann’s Zeta Function</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/9" href="/notes/Zeta/9" active-action="action-notesZeta9"><div class="name"> Euclid素数无限定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/10" href="/notes/Zeta/10" active-action="action-notesZeta10"><div class="name"> 埃拉托斯特尼筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/11" href="/notes/Zeta/11" active-action="action-notesZeta11"><div class="name"> Euler对无穷级数的若干观察</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/12" href="/notes/Zeta/12" active-action="action-notesZeta12"><div class="name"> 欧拉乘积公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/13" href="/notes/Zeta/13" active-action="action-notesZeta13"><div class="name"> 牛顿广义二项式定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/14" href="/notes/Zeta/14" active-action="action-notesZeta14"><div class="name"> 二年级之梦</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/15" href="/notes/Zeta/15" active-action="action-notesZeta15"><div class="name"> 罗素悖论</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/16" href="/notes/Zeta/16" active-action="action-notesZeta16"><div class="name"> 哥德尔不完备性定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/17" href="/notes/Zeta/17" active-action="action-notesZeta17"><div class="name"> 停机问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/18" href="/notes/Zeta/18" active-action="action-notesZeta18"><div class="name"> 素数定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/19" href="/notes/Zeta/19" active-action="action-notesZeta19"><div class="name"> 对数运算法则</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/20" href="/notes/Zeta/20" active-action="action-notesZeta20"><div class="name"> 本福特定律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/21" href="/notes/Zeta/21" active-action="action-notesZeta21"><div class="name"> 狄利克雷Eta函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/22" href="/notes/Zeta/22" active-action="action-notesZeta22"><div class="name"> 留数定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/23" href="/notes/Zeta/23" active-action="action-notesZeta23"><div class="name"> 多项式分式前n项和变换为积分</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/24" href="/notes/Zeta/24" active-action="action-notesZeta24"><div class="name"> 梅林变换</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/25" href="/notes/Zeta/25" active-action="action-notesZeta25"><div class="name"> 佩龙公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/26" href="/notes/Zeta/26" active-action="action-notesZeta26"><div class="name"> 曼戈尔特函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/27" href="/notes/Zeta/27" active-action="action-notesZeta27"><div class="name"> 黎曼素数计数函数J(x)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/28" href="/notes/Zeta/28" active-action="action-notesZeta28"><div class="name"> 莫比乌斯反演</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/29" href="/notes/Zeta/29" active-action="action-notesZeta29"><div class="name"> 斯蒂尔杰斯积分</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/30" href="/notes/Zeta/30" active-action="action-notesZeta30"><div class="name"> 威尔斯特拉斯无穷乘积展开</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/31" href="/notes/Zeta/31" active-action="action-notesZeta31"><div class="name"> 不知名的碎片1</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/32" href="/notes/Zeta/32" active-action="action-notesZeta32"><div class="name"> 不知名的碎片2</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/33" href="/notes/Zeta/33" active-action="action-notesZeta33"><div class="name"> 不知名的碎片3</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/34" href="/notes/Zeta/34" active-action="action-notesZeta34"><div class="name"> 根号2的无理性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/35" href="/notes/Zeta/35" active-action="action-notesZeta35"><div class="name"> e的无理性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/36" href="/notes/Zeta/36" active-action="action-notesZeta36"><div class="name"> π的无理性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/37" href="/notes/Zeta/37" active-action="action-notesZeta37"><div class="name"> Zeta的无理性之谜</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/38" href="/notes/Zeta/38" active-action="action-notesZeta38"><div class="name"> Niven的无理数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/39" href="/notes/Zeta/39" active-action="action-notesZeta39"><div class="name"> 柯西方法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/40" href="/notes/Zeta/40" active-action="action-notesZeta40"><div class="name"> 积性函数蕴含迭代结构</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/41" href="/notes/Zeta/41" active-action="action-notesZeta41"><div class="name"> 黎曼 Zeta 函数是分形</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/42" href="/notes/Zeta/42" active-action="action-notesZeta42"><div class="name"> 沃罗宁定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/43" href="/notes/Zeta/43" active-action="action-notesZeta43"><div class="name"> 迭代积分</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/44" href="/notes/Zeta/44" active-action="action-notesZeta44"><div class="name"> 高阶导数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/45" href="/notes/Zeta/45" active-action="action-notesZeta45"><div class="name"> 阿贝尔变换</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/46" href="/notes/Zeta/46" active-action="action-notesZeta46"><div class="name"> 泊松求和公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/47" href="/notes/Zeta/47" active-action="action-notesZeta47"><div class="name"> Theta函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/48" href="/notes/Zeta/48" active-action="action-notesZeta48"><div class="name"> 魔群</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/49" href="/notes/Zeta/49" active-action="action-notesZeta49"><div class="name"> 朗兰兹纲领</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/50" href="/notes/Zeta/50" active-action="action-notesZeta50"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的解析延拓</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/51" href="/notes/Zeta/51" active-action="action-notesZeta51"><div class="name"> 积分与求和交换顺序</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/52" href="/notes/Zeta/52" active-action="action-notesZeta52"><div class="name"> 魏尔斯特拉斯判别法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/53" href="/notes/Zeta/53" active-action="action-notesZeta53"><div class="name"> Zeta函数的函数方程</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/54" href="/notes/Zeta/54" active-action="action-notesZeta54"><div class="name"> Zeta函数解析延拓的经典方法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/55" href="/notes/Zeta/55" active-action="action-notesZeta55"><div class="name"> 黎曼Xi函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/56" href="/notes/Zeta/56" active-action="action-notesZeta56"><div class="name"> 黎曼关于Zeta函数零点分布的三个核心论断</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/57" href="/notes/Zeta/57" active-action="action-notesZeta57"><div class="name"> 黎曼的整体思路</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/58" href="/notes/Zeta/58" active-action="action-notesZeta58"><div class="name"> 筛法的奇偶障碍</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/59" href="/notes/Zeta/59" active-action="action-notesZeta59"><div class="name"> 黎曼非平凡零点计数渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/60" href="/notes/Zeta/60" active-action="action-notesZeta60"><div class="name"> Zeta非平凡零点虚部渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/61" href="/notes/Zeta/61" active-action="action-notesZeta61"><div class="name"> 黎曼Zeta函数非平凡零点虚部研究的历史脉络</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/62" href="/notes/Zeta/62" active-action="action-notesZeta62"><div class="name"> 黎曼Zeta函数非平凡零点虚部的表达式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/63" href="/notes/Zeta/63" active-action="action-notesZeta63"><div class="name"> 黎曼-西格尔公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/64" href="/notes/Zeta/64" active-action="action-notesZeta64"><div class="name"> On Riemann’s Nachlass for Analytic Number Theory Siegel(1932)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/65" href="/notes/Zeta/65" active-action="action-notesZeta65"><div class="name"> 论黎曼解析数论遗稿 西格尔(1932)[中文]</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/66" href="/notes/Zeta/66" active-action="action-notesZeta66"><div class="name"> 不知名的碎片4</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/67" href="/notes/Zeta/67" active-action="action-notesZeta67"><div class="name"> 不知名的碎片5</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/68" href="/notes/Zeta/68" active-action="action-notesZeta68"><div class="name"> 不知名的碎片6</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/69" href="/notes/Zeta/69" active-action="action-notesZeta69"><div class="name"> 不知名的碎片7</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/70" href="/notes/Zeta/70" active-action="action-notesZeta70"><div class="name"> Zeta(3)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/71" href="/notes/Zeta/71" active-action="action-notesZeta71"><div class="name"> 与RH等价的命题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/72" href="/notes/Zeta/72" active-action="action-notesZeta72"><div class="name"> 黎曼ξ函数的对数表示与其零点乘积形式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/73" href="/notes/Zeta/73" active-action="action-notesZeta73"><div class="name"> 黎曼ξ函数对数展开的历史</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/74" href="/notes/Zeta/74" active-action="action-notesZeta74"><div class="name"> 阿达马因子分解定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/75" href="/notes/Zeta/75" active-action="action-notesZeta75"><div class="name"> 戴森与蒙哥马利的跨学科邂逅</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/76" href="/notes/Zeta/76" active-action="action-notesZeta76"><div class="name"> 希尔伯特-波利亚猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/77" href="/notes/Zeta/77" active-action="action-notesZeta77"><div class="name"> 蒙哥马利-奥德利兹科定律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/78" href="/notes/Zeta/78" active-action="action-notesZeta78"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的表示方法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/79" href="/notes/Zeta/79" active-action="action-notesZeta79"><div class="name"> 拉马努金主定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/80" href="/notes/Zeta/80" active-action="action-notesZeta80"><div class="name"> 不知名的碎片8</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/81" href="/notes/Zeta/81" active-action="action-notesZeta81"><div class="name"> 不知名的碎片9</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/82" href="/notes/Zeta/82" active-action="action-notesZeta82"><div class="name"> 不知名的碎片10</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/83" href="/notes/Zeta/83" active-action="action-notesZeta83"><div class="name"> 不知名的碎片11</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/84" href="/notes/Zeta/84" active-action="action-notesZeta84"><div class="name"> 哈代定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/85" href="/notes/Zeta/85" active-action="action-notesZeta85"><div class="name"> 解析延拓的局限性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/86" href="/notes/Zeta/86" active-action="action-notesZeta86"><div class="name"> P对NP问题：计算复杂性的终极谜题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/87" href="/notes/Zeta/87" active-action="action-notesZeta87"><div class="name"> 广义化思维：从特殊到一般</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/88" href="/notes/Zeta/88" active-action="action-notesZeta88"><div class="name"> 问题的归约</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/89" href="/notes/Zeta/89" active-action="action-notesZeta89"><div class="name"> Shor算法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/90" href="/notes/Zeta/90" active-action="action-notesZeta90"><div class="name"> 子集和问题的NPC属性证明</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/91" href="/notes/Zeta/91" active-action="action-notesZeta91"><div class="name"> 函数零点问题的等价转化及黎曼猜想的方法论困境</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/92" href="/notes/Zeta/92" active-action="action-notesZeta92"><div class="name"> 黎曼素数计数函数 J(x) 的自然截断现象与截断点分析</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/93" href="/notes/Zeta/93" active-action="action-notesZeta93"><div class="name"> 拉普拉斯变换</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/94" href="/notes/Zeta/94" active-action="action-notesZeta94"><div class="name"> 莫比乌斯函数与黎曼 Zeta 函数的深刻联系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/95" href="/notes/Zeta/95" active-action="action-notesZeta95"><div class="name"> 特殊函数倍乘公式的统一性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/96" href="/notes/Zeta/96" active-action="action-notesZeta96"><div class="name"> 塞尔伯格渐近公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/97" href="/notes/Zeta/97" active-action="action-notesZeta97"><div class="name"> 塞尔伯格Zeta函数非平凡零点的正密率</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/98" href="/notes/Zeta/98" active-action="action-notesZeta98"><div class="name"> 塞尔伯格磨光函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/99" href="/notes/Zeta/99" active-action="action-notesZeta99"><div class="name"> 磨光技术</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/100" href="/notes/Zeta/100" active-action="action-notesZeta100"><div class="name"> 黎曼Zeta函数临界线幅角函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/101" href="/notes/Zeta/101" active-action="action-notesZeta101"><div class="name"> 玻尔-兰道定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/102" href="/notes/Zeta/102" active-action="action-notesZeta102"><div class="name"> 哈代-利特尔伍德临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/103" href="/notes/Zeta/103" active-action="action-notesZeta103"><div class="name"> 塞尔伯格临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/104" href="/notes/Zeta/104" active-action="action-notesZeta104"><div class="name"> 莱文森临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/105" href="/notes/Zeta/105" active-action="action-notesZeta105"><div class="name"> 康瑞临界线定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/106" href="/notes/Zeta/106" active-action="action-notesZeta106"><div class="name"> Zeta函数非平凡零点虚部的无理性与超越性之谜</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/107" href="/notes/Zeta/107" active-action="action-notesZeta107"><div class="name"> 塞尔伯格迹公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/108" href="/notes/Zeta/108" active-action="action-notesZeta108"><div class="name"> 复制函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/109" href="/notes/Zeta/109" active-action="action-notesZeta109"><div class="name"> 塞尔伯格筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/110" href="/notes/Zeta/110" active-action="action-notesZeta110"><div class="name"> 庞加莱猜想与奇点手术</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/111" href="/notes/Zeta/111" active-action="action-notesZeta111"><div class="name"> 先磨光再解析延拓</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/112" href="/notes/Zeta/112" active-action="action-notesZeta112"><div class="name"> 朗道-西格尔零点猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/113" href="/notes/Zeta/113" active-action="action-notesZeta113"><div class="name"> 等差数列上的素数分布</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/114" href="/notes/Zeta/114" active-action="action-notesZeta114"><div class="name"> 大筛法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/115" href="/notes/Zeta/115" active-action="action-notesZeta115"><div class="name"> 模性定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/116" href="/notes/Zeta/116" active-action="action-notesZeta116"><div class="name"> 相邻素数间的有界间隔</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/117" href="/notes/Zeta/117" active-action="action-notesZeta117"><div class="name"> 克拉梅尔模型与孪生素数猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/118" href="/notes/Zeta/118" active-action="action-notesZeta118"><div class="name"> Zeta函数的洛朗展开</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/119" href="/notes/Zeta/119" active-action="action-notesZeta119"><div class="name"> Zeta函数与欧拉常数的关系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/120" href="/notes/Zeta/120" active-action="action-notesZeta120"><div class="name"> 黎曼Zeta函数的矩问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/121" href="/notes/Zeta/121" active-action="action-notesZeta121"><div class="name"> 第n个素数的通项公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/122" href="/notes/Zeta/122" active-action="action-notesZeta122"><div class="name"> AKS算法证明素数判定属于P类问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/123" href="/notes/Zeta/123" active-action="action-notesZeta123"><div class="name"> 米勒-拉宾素性检验</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/124" href="/notes/Zeta/124" active-action="action-notesZeta124"><div class="name"> 中国剩余定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/125" href="/notes/Zeta/125" active-action="action-notesZeta125"><div class="name"> 二次互反律</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/126" href="/notes/Zeta/126" active-action="action-notesZeta126"><div class="name"> 不知名的碎片12</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/127" href="/notes/Zeta/127" active-action="action-notesZeta127"><div class="name"> 斯特林公式</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/128" href="/notes/Zeta/128" active-action="action-notesZeta128"><div class="name"> 梅森素数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/129" href="/notes/Zeta/129" active-action="action-notesZeta129"><div class="name"> 全一素数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/130" href="/notes/Zeta/130" active-action="action-notesZeta130"><div class="name"> 华里士公式与欧拉 Beta 函数</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/131" href="/notes/Zeta/131" active-action="action-notesZeta131"><div class="name"> Bombieri-Vinogradov 定理</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/132" href="/notes/Zeta/132" active-action="action-notesZeta132"><div class="name"> EH猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/133" href="/notes/Zeta/133" active-action="action-notesZeta133"><div class="name"> Sarnak纲领性猜想：轨道上的素数分布理论</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/134" href="/notes/Zeta/134" active-action="action-notesZeta134"><div class="name"> 圆法</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/135" href="/notes/Zeta/135" active-action="action-notesZeta135"><div class="name"> Bourgain-Gamburd-Sarnak猜想</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/136" href="/notes/Zeta/136" active-action="action-notesZeta136"><div class="name"> 从L函数到动力系统的深层联系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/137" href="/notes/Zeta/137" 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马尔可夫过程</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/144" href="/notes/Zeta/144" active-action="action-notesZeta144"><div class="name"> 玻尔兹曼机</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/145" href="/notes/Zeta/145" active-action="action-notesZeta145"><div class="name"> 乌拉姆素数螺旋</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/146" href="/notes/Zeta/146" active-action="action-notesZeta146"><div class="name"> 计算不可约性</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/147" href="/notes/Zeta/147" active-action="action-notesZeta147"><div class="name"> TREE(3)</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/148" href="/notes/Zeta/148" active-action="action-notesZeta148"><div class="name"> 数学自循环演化系统 [胡说八道]</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/149" href="/notes/Zeta/149" active-action="action-notesZeta149"><div class="name"> 不知名的碎片14</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/Zeta/150" href="/notes/Zeta/150" 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