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content="数学,P-2000, Math,P-2000问题,Sharp-P完全性,计数子集和,MHuiG, @MHuiG, Blog, 博客, Magicland, 魔法世界"><meta desc="" name="description" content="P-2000问题要求计算集合{1,2,…,2000}中所有元素之和为素数的子集数量，属于计算复杂性理论中的#P类问题，其难度远超NP问题。该问题可视为计数版本子集和问题（#Subset Sum）的扩展，需对所有素数p计算和为p的子集数量之和，核心困难在于子集和的计数本身及数论复杂性（素性判断）。通过多项式时间归约证明，P-n问题与#Subset Sum可相互转换，因此是#P完全的，这意味着除非#P=FP，否则不存在高效求解算法。 - MHuiG - Magicland"><meta property="og:type" content="website"><meta property="og:title" content="Magicland"><meta property="og:url" content="https://blog.mhuig.top/notes/P-2000/6"><meta property="og:site_name" content="Magicland"><meta property="og:description" content="P-2000问题要求计算集合{1,2,…,2000}中所有元素之和为素数的子集数量，属于计算复杂性理论中的#P类问题，其难度远超NP问题。该问题可视为计数版本子集和问题（#Subset Sum）的扩展，需对所有素数p计算和为p的子集数量之和，核心困难在于子集和的计数本身及数论复杂性（素性判断）。通过多项式时间归约证明，P-n问题与#Subset Sum可相互转换，因此是#P完全的，这意味着除非#P"><meta property="og:locale"><meta property="og:image" content="https://blog.mhuig.top/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"><meta property="article:published_time" 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shadow floatable blur article-type-docs" id="docs" itemprop="blogPost"><link itemprop="mainEntityOfPage" href="https://blog.mhuig.top/notes/P-2000/6"><span hidden="" itemprop="publisher" itemscope="" itemtype="http://schema.org/Organization"><meta itemprop="name" content="Magicland"></span><span hidden="" itemprop="post" itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="P-n问题与计数版本子集和问题的归约关系 P-n问题的#P完全性证明：与计数子集和问题的归约关系"><meta itemprop="description" content="P-2000问题要求计算集合{1,2,…,2000}中所有元素之和为素数的子集数量，属于计算复杂性理论中的#P类问题，其难度远超NP问题。该问题可视为计数版本子集和问题（#Subset Sum）的扩展，需对所有素数p计算和为p的子集数量之和，核心困难在于子集和的计数本身及数论复杂性（素性判断）。通过多项式时间归约证明，P-n问题与#Subset Sum可相互转换，因此是#P完全的，这意味着除非#P=FP，否则不存在高效求解算法。"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">P-n 问题与计数版本子集和问题的归约关系</span></p><br><h1 hidden="">P-n 问题与计数版本子集和问题的归约关系</h1><div class="story post-story"><h2 id="P-n-Problem"><a href="#P-n-Problem" class="headerlink" title="P-n Problem"></a>P-n Problem</h2><p>Find the number of subsets of<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.583ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 7771.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\{1,2,3,4,5,\dots,n\}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\{"><path data-c="7B" d="M286-122 286 126C286 183 251 225 182 250 251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718 420 718 425 723 425 734 425 745 420 750 409 750 363 750 321 740 284 721 237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266 80 266 75 261 75 250 75 239 80 234 91 234 155 234 214 188 214 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271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\}" transform="translate(4437.7,0)"><path data-c="7D" d="M286 374 286 622C286 664 263 697 216 721 179 740 137 750 91 750 80 750 75 745 75 734 75 723 80 718 91 718 152 718 214 680 214 622L214 374C214 317 249 275 318 250 249 225 214 183 214 126L214-122C214-180 152-218 91-218 80-218 75-223 75-234 75-245 80-250 91-250 137-250 179-240 216-221 263-197 286-164 286-122L286 126C286 188 345 234 409 234 420 234 425 239 425 250 425 261 420 266 409 266 345 266 286 312 286 374Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 中所有元素之和为素数的子集数量。这一问题的核心挑战在于其计数本质，不仅需要判定是否存在满足条件的子集（如 NP 问题），还需精确计算所有符合条件的子集个数。在计算复杂性理论中，此类问题属于 #P 类，即计算 NP 问题解数量的复杂度类。Valiant 于 1979 年首次定义 #P 类时指出，这类问题的难度通常远超对应的判定问题，即使 P = NP 成立，#P 问题仍可能无法高效求解。</p><p>子集和问题（Subset Sum）作为经典的 NP 完全问题，其计数版本（#Subset Sum）已被证明是 #P 完全的。#Subset Sum 要求计算集合中所有和为目标值<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.817ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 361 637"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="t"><g data-mml-node="mi" data-latex="t"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的子集数量，而 P-n 问题可视为 #Subset Sum 的扩展：需对所有素数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 计算和为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的子集数量之和。这种扩展引入了数论复杂性（素性判断），但核心困难仍在于子集和的计数本身。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="P完全性与归约理论"><a href="#P完全性与归约理论" class="headerlink" title="#P完全性与归约理论"></a>#P 完全性与归约理论</h2><h3 id="P类与-P完全性定义"><a href="#P类与-P完全性定义" class="headerlink" title="#P类与#P完全性定义"></a>#P 类与 #P 完全性定义</h3><p>#P 类包含所有 NP 问题的计数版本，其严格定义为：#P 是由多项式时间非确定性图灵机（NTM）接受路径数量的函数构成的复杂度类。例如，NP 问题 “图中是否存在哈密顿路径” 对应 #P 问题 “图中有多少条哈密顿路径”。#P 完全性则要求问题满足两个条件：</p><p>#P 难：任何 #P 问题可在多项式时间内归约到该问题；</p><p>属于 #P：问题本身的解可由 NTM 在多项式时间内计数。</p><h3 id="归约的核心思想"><a href="#归约的核心思想" class="headerlink" title="归约的核心思想"></a>归约的核心思想</h3><p>归约是复杂性理论中证明问题难度的关键工具。对于计数问题，常用的归约方式包括：</p><p>卡普归约（Karp Reduction）：通过多项式时间函数将问题 A 的实例映射为问题 B 的实例，使得 A 的解可由 B 的解直接计算；</p><p>库克归约（Cook Reduction）：允许通过多项式次调用问题 B 的 oracle 来解决问题 A。</p><p>P-n 问题与 #Subset Sum 的归约关系需满足：存在多项式时间算法，将 #Subset Sum 的任意实例转换为 P-n 问题的实例，且两者的解数量相等。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="P-n问题到-Subset-Sum的归约"><a href="#P-n问题到-Subset-Sum的归约" class="headerlink" title="P-n问题到#Subset Sum的归约"></a>P-n 问题到 #Subset Sum 的归约</h2><h3 id="问题转换的形式化描述"><a href="#问题转换的形式化描述" class="headerlink" title="问题转换的形式化描述"></a>问题转换的形式化描述</h3><p>设 #Subset Sum 的实例为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.042ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2228.7 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="(S, t)"><g data-mml-node="mo" data-latex="("><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="S" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 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" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1393.6) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="8998.2 -1393.6 1 2287.1"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,443.6)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{\#Subset Sum}"><path data-c="23" d="M739 130C764 130 776 138 776 154 776 170 763 178 738 178L535 178 572 322 738 322C763 322 776 330 776 346 776 362 764 370 739 370L586 370 662 651C665 657 666 663 666 670 666 686 658 694 642 694 637 694 632 692 628 689 622 679 618 672 617 667L538 370 360 370 436 651C439 657 440 663 440 670 440 686 432 694 416 694 411 694 406 692 401 689 395 679 391 672 390 667L311 370 93 370C68 370 56 362 56 346 56 330 69 322 94 322L297 322 260 178 94 178C69 178 56 170 56 154 56 138 68 130 93 130L246 130 170-151C167-157 166-163 166-170 166-186 174-194 190-194 195-194 200-192 204-189 210-179 214-172 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为素数时，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.594ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3798.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\text{P-n}(S, t) = \text{\#Subset Sum}(S, t)"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\text{P-n}"><path data-c="50" d="M395 312C452 312 503 328 548 360 599 396 624 441 624 495 624 552 598 599 546 635 500 667 447 683 387 683L35 683 35 644 63 644C98 644 119 641 126 636 133 631 137 620 137 602L137 81C137 63 133 51 126 46 119 41 98 39 63 39L35 39 35 0C61 2 111 3 184 3 258 3 308 2 334 0L334 39 306 39C271 39 250 41 243 46 236 51 232 63 232 81L232 312M274 644 362 644C391 644 416 640 437 633 494 612 514 570 514 495 514 467 511 443 504 423 487 373 433 346 362 346L229 346 229 609C229 645 235 644 274 644Z"></path><path data-c="2D" d="M11 187 276 187 276 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transform="translate(1959,0)"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(2604,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160 105-168 101-174 101-178 101-188 105-193 114-193 123-193 135-181 152-158 186-110 203-57 203 0 203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="t" transform="translate(3048.7,0)"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(3409.7,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\text{P-n}(S, t) = 0"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。这一构造可通过在 P-n 问题的计数过程中加入素性判断实现。</p></li><li><p>复杂性分析：由于素性判断是多项式时间操作，且 #Subset Sum 的实例可直接嵌入 P-n 问题的目标素数集合中，该归约过程的时间复杂度为多项式级。因此，#Subset Sum 可归约到 P-n 问题。</p></li></ol></div><div class="story post-story"><h2 id="Subset-Sum到P-n问题的归约"><a href="#Subset-Sum到P-n问题的归约" class="headerlink" title="#Subset Sum到P-n问题的归约"></a>#Subset Sum 到 P-n 问题的归约</h2><h3 id="反向归约的挑战"><a href="#反向归约的挑战" class="headerlink" title="反向归约的挑战"></a>反向归约的挑战</h3><p>证明 P-n 问题是 #P 完全的，需进一步证明 #Subset Sum 可归约到 P-n 问题。关键在于构造一个集合<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.415ex" height="1.749ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -751.2 1067.4 773.2"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S'"><g data-mml-node="msup" data-latex="S'"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(729.6,363) scale(0.707)" data-latex="'"><path data-c="2032" d="M284 549C259 549 242 539 233 518L65 96 110 96 332 463C337 472 340 482 340 493 340 523 314 549 284 549Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> ，使得和为目标值<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.817ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 361 637"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="t"><g data-mml-node="mi" data-latex="t"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的子集数量等于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.415ex" height="1.749ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -751.2 1067.4 773.2"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S'"><g data-mml-node="msup" data-latex="S'"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(729.6,363) scale(0.707)" data-latex="'"><path data-c="2032" d="M284 549C259 549 242 539 233 518L65 96 110 96 332 463C337 472 340 482 340 493 340 523 314 549 284 549Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 中和为素数的子集数量。</p><h3 id="素数偏移技术"><a href="#素数偏移技术" class="headerlink" title="素数偏移技术"></a>素数偏移技术</h3><p>考虑集合<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.459ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 645 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.653ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 7360.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\{" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="7B" d="M286-122 286 126C286 183 251 225 182 250 251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718 420 718 425 723 425 734 425 745 420 750 409 750 363 750 321 740 284 721 237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266 80 266 75 261 75 250 75 239 80 234 91 234 155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221 321-240 363-250 409-250 420-250 425-245 425-234 425-223 420-218 409-218 348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="a_1" transform="translate(1555.8,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 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fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的子集：和为素数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373 217 419 186 442 137 442 96 442 66 409 45 344 35 311 30 292 30 286 30 277 35 272 46 272 51 272 54 273 57 275 62 284 65 291 66 298 84 374 107 412 134 412 152 412 161 398 161 371 161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155-23-155-32-163-32-178-32-189-26-194-15-194 0-194 52-191 67-191 86-191 146-194 165-194 180-194 187-186 187-170 187-160 178-155 159-155 141-155 114-156 114-144 114-131 155 26 159 43 179 6 209-13 249-13 314-13 371 20 421 87 467 148 490 213 490 280 490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323 411 296 405 260 394 215 371 128 342 71 307 42 286 25 267 16 248 16 219 16 199 29 188 56 179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377 304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，对应<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.459ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 645 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 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为素数。</p></li></ol><p>通过选择<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1044 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 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297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.08ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1361.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M + t"><g data-mml-node="mo" data-latex="+"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="t" transform="translate(1000.2,0)"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 为素数且<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.362ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1044 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M > \sum S"><g data-mml-node="mi" data-latex="M"><path data-c="1D440" d="M594 16C594 5 600 0 613 0L736 3C759 4 840 0 859 0 874 0 882 8 882 24 882 34 872 39 851 39 810 39 790 43 790 52 790 55 792 62 795 75L927 602C932 623 942 636 955 641 961 643 979 644 1008 644 1033 644 1044 645 1044 668 1044 678 1034 683 1013 683L882 683C853 683 853 681 840 662L484 108 408 657C404 682 402 683 373 683L237 683C215 683 204 682 204 660 204 649 215 644 236 644 256 644 297 647 297 631 297 629 296 623 293 613L167 110C158 72 135 49 100 42 75 39 42 43 42 16 42 5 48 0 60 0 78 0 141 3 159 3 178 3 242 0 261 0 276 0 283 8 283 24 283 33 276 38 261 39 219 39 198 52 198 78 198 82 199 89 202 100L332 621 415 26C418 9 424 0 434 0 442 0 450 7 459 20L848 627 712 82C706 60 696 47 681 42 675 40 656 39 625 39 604 39 594 37 594 16Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.614ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2923.4 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="M > \sum S"><g data-mml-node="mo" data-latex=">"><path data-c="3E" d="M686 227C696 232 701 239 701 250 701 261 696 268 686 273L112 545C109 546 105 547 101 547 85 547 77 539 77 522 77 513 82 506 91 502L625 250 91-2C82-6 77-13 77-22 77-39 85-47 101-47 105-47 109-46 112-45Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\sum" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="2211" d="M56 713 417 216 67-217C60-225 57-231 57-235 57-245 67-250 88-250L913-250 1001 5 967 5C954-33 933-66 902-95 825-166 719-188 565-188L152-188 490 232C497 240 500 246 500 250 500 254 498 259 493 266L175 702 560 702C682 702 764 691 854 644 907 616 944 571 967 510L1001 510 913 750 88 750C57 750 56 746 56 713Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="S" transform="translate(2278.4,0)"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，可确保第二类子集仅包含和为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.817ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 361 637"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="t"><g data-mml-node="mi" data-latex="t"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的情况。此时：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:67.574ex"><svg style="vertical-align:-2.87ex;min-width:67.574ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.87ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1768.3)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\text{P-n}(S') = \text{\#Subset Sum}(S, t) + \sum_{\substack{p \in \text{Primes} \\ p \neq M + t} } \text{\#Subset Sum}(S, p)
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="\begin{subarray}{c}p \in \text{Primes} \\ p \neq M + t\end{subarray} } \text{\#Subset Sum}(S, p)
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title="归约的保真性（Soundness）"></a>归约的保真性（Soundness）</h3><p>需证明：若 #Subset Sum 实例<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.042ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2228.7 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="(S, t)"><g data-mml-node="mo" data-latex="("><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="S" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 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stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 中有<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.179ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 521 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k"><g data-mml-node="mi" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 104-11 117-3 124 12 129 21 147 92 179 226 231 221 286 196 286 146 286 131 279 101 279 91 279 34 316-11 373-11 431-11 470 41 490 145 490 154 485 159 475 159 466 159 460 152 457 138 435 59 408 19 375 19 357 19 348 33 348 61 348 77 360 131 360 147 360 204 314 239 221 253 244 269 270 292 298 322 326 352 346 371 359 382 386 404 412 415 435 415 445 415 453 413 459 409 432 404 409 379 409 353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 个子集和为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.817ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 361 637"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="t"><g data-mml-node="mi" data-latex="t"><path data-c="1D461" d="M330 419C330 428 320 433 299 433L218 433C244 537 257 591 257 595 257 616 246 626 225 626 202 626 188 613 182 587L145 433 56 433C34 433 23 432 23 411 23 400 33 395 54 395L135 395C86 200 62 97 62 84 62 28 100-11 156-11 194-11 227 6 256 41 280 70 297 98 308 125 312 136 314 142 314 145 314 154 309 159 299 159 291 159 285 154 281 143 247 60 206 19 157 19 140 19 131 33 131 60 131 75 133 91 137 107L208 395 297 395C323 395 330 397 330 419Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 。</p><h3 id="多项式时间性"><a href="#多项式时间性" class="headerlink" title="多项式时间性"></a>多项式时间性</h3><p>构造<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.415ex" height="1.749ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -751.2 1067.4 773.2"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S'"><g data-mml-node="msup" data-latex="S'"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 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href="#P完全性的结论" class="headerlink" title="#P完全性的结论"></a>#P 完全性的结论</h3><p>由于 #Subset Sum 是 #P 完全的，且 P-n 问题可通过上述归约与 #Subset Sum 相互转换，因此 P-n 问题是 #P 完全的。这一结论意味着：</p><p>除非 #P = FP（即所有 #P 问题可在多项式时间内求解），否则 P-n 问题无高效算法；</p><p>即使 P = NP 成立（NP 问题可高效判定），P-n 问题仍可能无法高效计数，因为 #P 完全性比 NP 完全性更强。</p><h3 id="与其他-P完全问题的联系"><a href="#与其他-P完全问题的联系" class="headerlink" title="与其他#P完全问题的联系"></a>与其他 #P 完全问题的联系</h3><p>P-n 问题的归约过程与 #2SAT 的 #P 完全性证明类似。Valiant 最初通过矩阵积和式（Permanent）证明 #P 完全性，而后续研究使用图形化演算（如 ZH - 演算）简化了 #2SAT 到 #SAT 的归约。P-n 问题的归约则展示了数论约束（素性）如何与计数复杂性结合，为研究 #P 问题的扩展提供了新视角。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="实际计算复杂性"><a href="#实际计算复杂性" class="headerlink" title="实际计算复杂性"></a>实际计算复杂性</h2><h3 id="动态规划下的时间下界"><a href="#动态规划下的时间下界" class="headerlink" title="动态规划下的时间下界"></a>动态规划下的时间下界</h3><p>即使使用优化的动态规划算法，#Subset Sum 的时间复杂度仍为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.561ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.292ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 2781 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathcal O(nT)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal O" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="O"><path data-c="4F" d="M583 525C583 424 528 266 490 194 429 83 352 28 258 28 211 28 174 46 147 83 129 108 120 144 120 193 120 238 127 290 142 349 172 472 233 570 324 643L308 660C283 647 264 634 249 622 154 545 90 442 57 312 46 270 41 230 41 192 41 134 53 88 78 55 115 6 163-18 223-18 372-18 485 51 562 190 605 268 663 421 659 530 656 621 605 686 514 686 402 686 321 596 299 505 290 472 292 448 304 432 311 421 322 415 338 415 365 415 382 427 389 451 394 467 394 480 387 489 372 508 365 526 365 542 365 570 380 595 411 616 439 635 468 645 497 645 558 645 583 584 583 525Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(699,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234 332-231 330-227 327-223 275-183 233-117 202-26 175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526 233 617 275 683 327 723 330 726 332 730 332 734 332 743 327 748 318 748 317 748 314 747 311 745 251 699 201 631 160 540 121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40 201-131 251-199 311-245 314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(1088,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="T" transform="translate(1688,0)"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(2392,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40 268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540 188 631 138 699 78 745 75 747 72 748 71 748 62 748 57 743 57 734 57 730 59 726 62 723 114 683 156 617 187 526 214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26 156-117 114-183 62-223 59-227 57-231 57-234 57-243 62-248 71-248 72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ，其中<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是元素数量，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.593ex" height="1.532ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 704 677"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="T"><g data-mml-node="mi" data-latex="T"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55 188 44 154 39 94 39 63 39 49 42 49 16 49 5 56 0 69 0 120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0 420 0 428 8 428 24 428 34 416 39 391 39 339 39 309 41 300 46 297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629 443 635 467 638 511 638 566 638 604 634 623 625 642 616 652 595 652 561 652 543 649 517 644 483 642 475 641 469 641 464 641 453 646 447 657 447 666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662 704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462 24 452 29 447 40 447 48 447 55 455 60 470 85 543 110 588 133 607 159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是目标和。（T 是独立于 n 的数值变量，其输入规模随 T 指数增长。）对于具体的 P-2000 问题，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 600 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" 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问题的时间复杂度是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.412ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2392 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\mathcal O(nT \times \pi(T))"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\mathcal O" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="O"><path data-c="4F" d="M583 525C583 424 528 266 490 194 429 83 352 28 258 28 211 28 174 46 147 83 129 108 120 144 120 193 120 238 127 290 142 349 172 472 233 570 324 643L308 660C283 647 264 634 249 622 154 545 90 442 57 312 46 270 41 230 41 192 41 134 53 88 78 55 115 6 163-18 223-18 372-18 485 51 562 190 605 268 663 421 659 530 656 621 605 686 514 686 402 686 321 596 299 505 290 472 292 448 304 432 311 421 322 415 338 415 365 415 382 427 389 451 394 467 394 480 387 489 372 508 365 526 365 542 365 570 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class="new-meta-box"></div></div><div class="prev-next"><a class="prev" href="/notes/P-2000/5"><p class="title"><i class="fa-solid fa-chevron-left" aria-hidden="true"></i>P-2000问题的#P完全性证明与复杂性分析</p><p class="content">证明集合{1,2,…,2000}中子集和为素数的计数问题（P-2000问题）是#P完全问题。通过构造多项式时间计数图灵机证明其属于#P类，并从#SAT问题多项式归约论证其#P-hard性，揭示了该问题与NP完全问题的复杂性层级差异。</p></a><a class="next" href="/notes/P-2000/7"><p class="title">P-2000问题与子集和问题的计算复杂性关联分析<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">P-2000问题要求统计集合{1,2,...,2000}中元素和为素数的子集数量，是组合枚举与数论分析结合的经典难题。其本质困难推动研究者探索与计算复杂性理论的关联，通过动态规划与素数筛选结合建立求解框架，时间复杂度为O(n·S_max + S_max·log log S_max)。研究表明经典子集和问题可多项式归约到该问题，强化了#P类与NP类问题的难度分野。</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/P-2000/5.html" title="P-2000问题的#P完全性证明与复杂性分析" 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data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/43.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="暴力穷举：一个简单的P-5问题示例 暴力穷举法求解P-5问题：子集和为素数的案例分析"> <span class="title">暴力穷举：一个简单的P-5问题示例 暴力穷举法求解P-5问题：子集和为素数的案例分析</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/88.html" title="问题的归约：连接P与NP世界的逻辑桥梁" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/92.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/92.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="问题的归约：连接P与NP世界的逻辑桥梁"> <span class="title">问题的归约：连接P与NP世界的逻辑桥梁</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/P-2000/8.html" title="P-2000问题规模分析：子集组合与素数数量估算" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/76.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/76.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="P-2000问题规模分析：子集组合与素数数量估算"> <span class="title">P-2000问题规模分析：子集组合与素数数量估算</span></a> <a class="recommended-article-item" href="/notes/Zeta/86.html" title="P对NP问题：计算复杂性理论的核心谜题与科学影响" rel="bookmark"><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/112.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.15/c/112.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="P对NP问题：计算复杂性理论的核心谜题与科学影响"> <span class="title">P对NP问题：计算复杂性理论的核心谜题与科学影响</span></a></div></div></article><article class="post white-box shadow floatable blur" id="comments"><span hidden=""><meta itemprop="discussionUrl" content="/notes/P-2000/6#comments"></span><p ct=""><i class="fa-duotone fa-comments"></i> 留言区</p><div id="layoutHelper-comments"></div></article></div><aside id="l_side" itemscope="" itemtype="http://schema.org/WPSideBar"><section class="widget text desktop mobile pjax"><header><a href="/notes/"><i class="fa-duotone fa-book fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">Notes</span></a></header><div class="content"></div></section><section class="widget list group desktop mobile pjax"><header><i class="fa-duotone fa-p fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span class="name">P-2000 Problem</span></header><div class="content"><ul class="list entry navigation"><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/" href="/notes/P-2000/" active-action="action-notesP-2000"><div class="name"> Welcome</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/1" href="/notes/P-2000/1" active-action="action-notesP-20001"><div class="name"> D2-2000 Problem</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/2" href="/notes/P-2000/2" active-action="action-notesP-20002"><div class="name"> D5-2000 Problem</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/3" href="/notes/P-2000/3" active-action="action-notesP-20003"><div class="name"> P-2000 Problem</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/4" href="/notes/P-2000/4" active-action="action-notesP-20004"><div class="name"> P-∞ Problem</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/5" href="/notes/P-2000/5" active-action="action-notesP-20005"><div class="name"> P-2000问题是#P完全问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/6" href="/notes/P-2000/6" active-action="action-notesP-20006"><div class="name"> P-n问题与计数版本子集和问题的归约关系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/7" href="/notes/P-2000/7" active-action="action-notesP-20007"><div class="name"> P-2000问题与子集和问题的计算复杂性关联分析</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/8" href="/notes/P-2000/8" active-action="action-notesP-20008"><div class="name"> 暴力破解：确定P-2000问题的规模</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/9" href="/notes/P-2000/9" active-action="action-notesP-20009"><div class="name"> 暴力穷举：一个简单的P-5问题示例</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/10" href="/notes/P-2000/10" active-action="action-notesP-200010"><div class="name"> 开关灯问题</div></a></li></ul></div></section><div class="widget-sticky pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div class="pjax"></div><div 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